學高等代數體會感言

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代數學從高等代數的問題出發,又發展成為包括許多獨立分支的一個大的數學科目,比如:多項式代數,線性代數等。代數學研究的對象也已不僅是數,還有矩陣,向量,向量空間的變換等。對于這些對象,都可以進行運算。雖然也叫做加法或乘法,但是關于書的基本運算定律,有時不再保持有效。因此代數學的內容可以概括為研究帶有運算的一些集合,在數學中把這樣的一些集合叫做代數系統。的算為效men:比如:群、環、域等。

多項式是一類最常見,最簡單的函數,他的應用非常廣泛。多項式理論是以代數方程的根的計算和分布作為中心問題的,也叫做方程論。研究多項式理論,主要在于探討代數方程的性質,從而尋找簡易的解方程的方法。

多項式代數所研究額內容,包括整除性理論,最大公因式,重因式等。這些大體和中學代數里的內容相同。多項式的整除性質對于解代數方程是很有用的。解代數方程無非就是求對應多項式的零點,零點不存在的時候,多對應的代數方程就沒有解。

我們把一次方程叫做線性方程,討論線性方程的代數叫做線性代數。在線性代數中最重要的內容就是行列式和矩陣。

行列式的概念最早是由十七世界日本數學家孝和提出來的。他在1683年寫了一部叫做《解伏題之法》的著作,標題的意思是"解行列式問題的方法",書里對行列式的概念和他的展開已經有了清楚的敘述。歐洲第一個提出行列式概念的是德國的數學家萊布尼茨。德國數學家雅可比于1841年總結并提出了行列式的系統理論。行列式有一定的計算規則,利用行列式可以把一個線性方程組的解表示成公式,因此行列式是解線性方程組的工具。行列式可以把一個線性方程組的解表示成公式,也就是說行列式代表著一個數。因為行列式要求行數等于列數,排成的表總是正方形的,通過對它的研究又發現了矩陣的理論。矩陣也是由數排成行和列的數表,可是行數和列數相等也可以不相等。

矩陣和行列式是兩部完全不同的概念,行列式代表著一個數,而矩陣僅僅是一些數的有順序的擺法。利用矩陣這個工具,可以把線性方程組中的系數組成向量空間中的向量,這樣對于一個多元線性方程組的解的情況,以及不同解之間的關系等等一系列理論上的問題,都可以得到徹底的解決。矩陣的應用是多方面的,不僅在數學領域里,而且在力學、物理、科技等方面都有十分廣泛的應用。

高等代數在初等代數的基礎上研究對象進一步擴充,還引入了最基本的集合,向量和向量空間等。這些量具有和數相類似的運算特點,不過研究的方法和運算的方法都更加繁瑣。

集合是具有某種屬性的事物的全體:向量是除了具有數值,同時還具有方向的量,向量空間也叫線性空間,是由許多向量組成的并且符合某些特定運算的規則的集合。向量空間中的元素已經不只是數,而是向量了,其運算性質也有很大的不同了。

在高等代數的發展過程中,許多數學家都做出了杰出的貢獻,伽羅華就是其中一位,伽羅華在臨死前預測自己難以擺脫死亡的命運,所以曾連夜給朋友寫信,倉促的把自己生平的數學研究心得扼要寫出,并附以論文手稿。他在給朋友舍瓦利葉的信中說:"我在分析方法做出了一些新發現,有些是關于方程論的,有些是關于整函數的……,公開請求雅可比或高斯,不是對這些定理的證明的正確定而是對這些定理的重要性發表意見。我希望將來有人發現消除所有這些混亂對他們是有益的。

伽羅華死后,按照他的遺愿,舍瓦利把他的信發表在《百科評論》中。他的論文手稿過了14年,才由劉維爾編輯出版了他的部分文章,并向數學界推薦。隨著時間的推移,伽羅華的研究成果的重要意義愈來愈為人們認識。伽羅華雖然十分年經,但他在數學史上作出的貢獻,不僅解決了幾個世紀以來一直沒有解決的代數解問題,更重要的是他在解決這個問題提出了"群"的概念,并由此發展了一系列一整套關于群和域的理論,開辟了代數學的一個嶄新的天地,直接影響了代數學研究方法的變革。從此,代數學不再以方程理論為中心內容,而轉向對代數結構性質的研究,促進了代數學的進一步發展。

高等代數不是一門孤立的學科,它和幾何學,分析數學等有密切聯系的同時,又具有獨特的方面。

首先,代數運算是有限次的,而且缺乏連續性的概念,也就是說,代數學主要是關于離散性的。盡管在現實中連續性和不連續性是辯證統一的,但是為了認識現實,有時候需要把它分成幾個部分,然后分別的研究認識,在綜合起來,就得到對現實的總的認識。這是我們認識事物的簡單但是科學的重要手段,也是代數學的基本重要思想和方法。代數學注意到離散關系,并不能說明它的特點,時間已經多次,多方位的證明了代數學的這一特點是有效的。

其次,代數學除了對物理,化學等學科有直接的實踐意義,就數學本身來說,代數學也有重要的地位。代數學中發生的許多新的概念和思想,大大豐富了數學的許多分支,成為眾多學科的共同基礎。

學習高等代數,學習它的理論十分重要,但學習它的同時潛心領悟它光輝奪目的數學思想則尤為可貴,因為它指導我們的學習,對我們的生活,工作等其他社會活動方法具有廣泛的導向作用。