微分方程在化學中的應用范文

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篇1

（鄭州工業應用技術學院，河南 鄭州 451150）

摘 要：微分方程的研究對于數學、物理等各方面的研究都具有重要意義.微分方程的應用在我們日常生活中常常會存在，其應用范圍具有相關的廣泛性.通過對微分方程的研究可以使我們更好的了解生活中的動態變量問題，從而使我們能夠實現動態角度的分析，將生活研究更加真實化準確化.一類微分方程是微分方程中形式較為簡單的方程結構，對一類微分方程的解及解的導數進行研究，對我們學習微分方程具有重要作用.本文通過對一類微分方程的求解和一類微分方程解的導數的角度，探討一類微分方程的解及其解的導數與不動點的關系，從而幫助我們更好地進行微分方程的學習.

關鍵詞 ：一類微分方程；方程解；解的導數；不動點

中圖分類號：O175.8 文獻標識碼：A 文章編號：1673-260X（2015）05-0001-03

微分方程作為數學學科的分支，在現實生活中的應用十分廣泛.微分方程知識在物理學中的許多變量問題的求解中均有涉及，在化學中的動態變化中也有運用.此外，微分方程還廣泛地應用于工程學、經濟學等諸多方面.一類微分方程是形式相對簡單的微分方程，通過對一類微分方程進行研究，可以更好地幫助我們進行多元微分方程的研究，強化我們的數學基礎.同時也有助于相應物理學、化學、工程學等學科問題的研究和解決.因此，對一類微分方程的相關特性進行研究具有重要意義，是實現各領域研究的基礎.

1 微分方程的相關基本定義

微分方程指的是由未知函數的導數與自變量之間形成的方程等式.微分方程的解是使微分方程等式兩邊成立的函數.微分方程具有十分廣泛的應用，在物理學中許多涉及到動態的變化量的研究常用到微分方程.包括涉及到變力的動力學和運動學等，例如受到空氣阻力的落體運動都可以利用微分方程進行求解.

當未知函數是一元函數時，未知函數導數與自變量之間的關系等式即為一類微分方程，也稱常微分方程.當未知函數為多元函數時，未知函數導數與自變量之間的關系等式稱為偏微分方程.微分方程的數學模型如圖1.

2 一類微分方程的解與不動點

假設某一類微分方程形式為M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，且M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左邊部分即M(x,y)dx+N(x,y)dy為某個二元函數T(x,y)的全微分，則可以得到dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy.其中M(x,y)dx+N(x,y)dy=0為全微分方程，二元函數T(x,y)為該全微分方程的原函數.

如果T(x,y)是dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy的一個原函數，則對全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0進行通積分，可得到全微分的通積分T(x,y)=A，其中A為任意的常數[1].

如果F（x）≠T（x）Pk（x）＋1，其中Pk（x）是任意次數為k的多項式,則對于方程非零亞純解f（x）的k－1階導數f（k-1）（x）有無窮多個不動點，且τ（f（k－1））＝σ（f）＝＋∞和τ2（f（k－1））＝σ2（f）＝σ至多有一個例外解f（x）.

通過對微分方程進行方程假設和窮級轉換，在非零亞純函數的變化下，通過極點等數據方程轉化，構建微分方程的等式典型乘積或通過多項式建立，對方程等式進行數學歸納.在對數測度為有限的集合條件中，通過范圍假設，引理帶入運算，建立相應的解集表達式.通過微分方程的解集表達式，進行方程式的解集求導，獲取一類微分方程的解的一階導數.對解集等式和解集一階導數式進行變形，并代入上述引理等式中，通過變形轉化和數據假設推斷，從而得到不動點的關系等式.

5 結束語

綜上所述，通過對一類微分方程進行求解和解的導數與不動點之間的關系研究，指出受微分方程的制約影響，一類微分方程的不動點密度與解和解的導數情況有著密切的關系.對一類微分方程的解進行分析以及解的導數情況進行分析，從而分析一類微分方程解與解的導數與微分方程不動點之間的關系，從而更好地幫助我們進行微分方程的學習以及高階層微分方程的研究，從而將微分方程的數學知識應用到更多的領域，幫助各領域研究人員進行動態量的研究，從而提高各領域的應用水平的發展以及社會技術的發展和提高.目前，我們對于一類微分方程的解與解的導數和微分方程不動點之間的關系研究還不深入，因此希望后期更多研究者對微分方程進行更加深入的探討和研究.

參考文獻：

〔1〕金瑾,石寧生.一類微分方程的解及其解的導數與不動點的關系[J].數學的實踐與認識,2011,41(22):185-190.

〔2〕石東洋,劉玉曉.一類微分方程的非協調元超逼近性分析[J].河南師范大學學報（自然科學版）,2010,38(3):175-178.

〔3〕梁霄,翟延慧.經濟系統中一類微分方程模型的Hopf分支[J].伊犁師范學院學報（自然科學版）,2012,10(4):8-12.

〔4〕何力爭.一類微分方程的特解問題[J].科學技術與工程,2010,10(6):1484-1485.

〔5〕姚慧麗,卜憲江,宋曉秋等.一類微分方程的指數增長的溫和漸近概自守解[J].哈爾濱理工大學學報,2014,19(5):23-26.

〔6〕王鵬珍.一類微分方程適度解的存在性[J].科技信息,2013,11(18):503-504.

篇2

關鍵詞：常微分方程 MATLAB 線素場 包絡

中圖分類號：O175.1

文獻標識碼：A

文章編號：1004-4914（2013）01-152-02

微分方程是現代數學的一個重要分支，是人們解決各種實際問題的有效工具。它在幾何、力學、物理、電子技術、自動控制、航天等領域都有著廣泛的應用{1}。科學技術和工程中大量的問題都表達為常微分方程的形式，特別是描述系統的動態演變時，如機械振動、數學擺、人口模型、人造衛星軌道方程、化學反應過程等都表達為以時間t為獨立變量的常微分方程或方程組，所以常微分方程在科學技術領域非常重要。

傳統的常微分方程的教學方式主要是“粉筆+黑板”的灌堂式教學，往往偏重于理論學習，給出各種方程（方程組）的解法，以計算為主，而對于抽象的方程的解對應的積分曲線和積分曲線族，以及一些與幾何聯系緊密的概念如線素場、包絡等是學生不容易直觀想象的，致使學生很難理解這些相關概念。

MATLAB語言起源于矩陣運算，是由美國的Cleve Moler博士于1980年提出的并已經發展成一種高度集成的計算機語言{2}。在數值計算、微分方程與模擬仿真等領域MATLAB語言具有其他軟件無法替代的優勢。在常微分方程教學過程中引進MATLAB軟件輔助教學，以培養學生使用Matlab直觀演示微分方程的相關概念，增強學生想象力、激發學習興趣。興趣是學習的原動力，有了興趣，學習才有動力，教學過程才有生機，進而達到理論的升華{3}。

一、常微分方程教學改革的實施與探索

常微分方程課程理論性強，對學生的數學能力要求較高，學生學起來不容易入門。因此在教學改革探索中應該注意如何利用MATLAB使理論學習與計算機演示完整統一起來。課堂是學生學習知識的第一要素，常微分方程課堂學習主要是學習算法、求解方法，加強課堂基礎教學，并以此作為實施教學方法改革的重點尤為重要。首先要讓學生了解常微分方程對本專業后續課程的重要性，引起學生對該課程的重視，學生對一門課程的重視程度會直接影響其對該課程的學習精力的投入{4}。進一步通過介紹微分方程在科學技術廣泛應用特別是微分方程建模的重要性使之進一步提高對課程的學習興趣。學生在學習微分方程的過程中，可以先通過理論方法求出微分方程的解析解，然后利用MATLAB語言的計算速度快、準確性高等特點求出微分方程的數值解并進行比較，通過發現解析解和數值解吻合得很好，從而提高了學生自己動手分析、設計算法的能力。所以，在授課過程中，將基本概念和原理給學生講解透徹的同時又可以充分利用MATLAB將抽象問題具體化，在相關章節的理論課上完就安排對應的上機實驗。MATLAB教學平臺的引入，首先將計算機輔助分析與設計得到簡化，例如為了分析微分方程解曲線，而在黑板上畫出該曲線又很困難，采用MATLAB語言只需簡單指令立即就可以得到微分方程的解曲線，學生就可以直觀分析該解曲線，達到事半功倍的作用。以往的教學，由于受條件所限，一般只能分析簡單的二階系統，而利用MATLAB，就可以對高階系統進行分析研究。因而MATLAB的引入不但使學生有了應用計算機的條件和興趣，幫助學生建立正確的專業思想，而且使學生對常微分方程的解有了較為感性的認識，更促進了學生學習與獨立思考的積極性，同時也激發了學習本門課程的熱情。由于MATLAB語言的先進性，頗受學生的喜愛，更增強了教師在實驗設計上的靈活性與實驗指導工作中的多樣性。

二、利用MATLAB和幾何法理解微分方程的線素場

微分方程最初是從物理和幾何中的問題引出的，從物理和幾何直觀的角度來理解微分方程的解可以使我們對所討論的問題有一個簡單而鮮明的形象。很多微分方程的解析解并不能直接表達出來，數值解只能得到一些離散點處的近似值。如果我們想知道積分曲線的走向，大致形狀等，光憑學生的想象力是很難的，而通過MATLAB將方程的線素場描述出來，積分曲線就很容易看出來了，直觀、易懂。

四、結論

傳統教學模式的弊端，往往使學生感到學習困難，教學效果不理想，MATLAB教學的引入，能夠化繁為簡，化抽象為具體，加深學生對本課程的掌握程度。利用MATLAB能將常微分方程用多方式、多途徑來求解，從而拓寬學生的解題思路，并為后繼課程打下基礎，在此基礎上進行的教學改革可以提高整體教學質量。身為教師需要樹立終身學習的理念，在知識的創新實踐中改革教學方法、教學手段，提升自己的教學魅力，才能適應時代要求，培養學生的創新精神和解決問題的綜合能力。

[本文為黑龍江科技學院教學研究項目（98）-基于MATLAB的信計專業數學類課程群教學改革的研究與探索]

注釋：

{1}朱春蓉，鄭群珍.Maple在常微分方程教學中的應用[J].河南教育學院學報（自然科學版），2009（3）

{2}何雙.MATLAB在常微分方程初值問題的應用[J].長春師范學院學報（自然科學版），2005（3）

{3}劉衛國.MATLAB程序設計教程（第二版）[M].中國水利水電出版社，2010

{4}V. I. Arnold， Ordinary Differential Equations[M]， MITPress， Princeton， 1973.

篇3

關鍵詞 常微分方程；分階段教學；數學建模

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2016）22-0080-03

Research on Staged Teaching of Course Ordinary Differential Equations//LI Xinfu， ZHANG Guang

Abstract In this paper， according to the features of the course Ordi-nary Differential Equations and the problems in the procedure of tea-

ching， we divide the teaching process for this course into four stages：

basic knowledge explanation， comprehensive title explanation， ac-

tual case explanation and students explain. In each stage the scientific

thinking methods are emphasized in order to improve the students’ ability to analyze and solve problems， and the ability of independent

research and innovation.

Key words ordinary differential equations； staged teaching； mathe-matical modeling

1 前言

常微分方程課程是數學及相關專業的一門核心課程，其先修課程為數學分析與高等代數。這門課程的特點是知識點較整、應用廣泛，學完這門課，學生應該可以試著寫科研論文，是本科畢業論文的一個非常好的選題素材。因此，通過常微分方程課程的學習，學生應具備解決問題、自主學習與研究、創新的能力。

但是就筆者講授這門課程所觀察，學生對基礎知識運用得不好，自主學習研究能力更不樂觀。因此，關于這門課程的教學改革非常重要。在這方面，國內專家已有很多實踐經驗和理論研究結果[1-4]。在借鑒上述教學方法的基礎上，結合常微分方程課程的特點及授課中存在的問題，在教學過程中進行分階段教學的嘗試，并在各個階段授課中重點培養學生的科學思考能力。

2 常微分方程課程介紹

課程定位與目標 常微分方程屬于數學分析的一支，在整個數學大廈中占據重要位置，是定性理論、穩定性理論、動力系統等后續數學研究的基礎。常微分方程的研究與其他學科或領域結合出現各種新的分支，如控制論，種群生態學、分支理論、脈沖微分方程等。常微分方程所研究的模型來自于物理、力學、社會、生物、化學及氣象等，是數學中與應用密切相關的學科，其自身也在不斷發展中，學好常微分方程基本理論與方法，對進一步學習研究數學理論和實際應用均非常重要。因此，通過常微分方程這門課的學習，學生應具備解決問題、自主學習與研究、創新的能力。

課程教學內容 常微分方程包含的內容很多，不同教材的側重點有所不同。天津商業大學使用王高雄等編寫的教材[5]，主要包括以下內容。

1）一階微分方程的初等解法：變量分離方程與變量變換、線性微分方程與常數變易法、恰當微分方程與積分因子、一階隱式微分方程與參數表示。

2）一階微分方程的解的存在定理：解的存在唯一性定理與逐步逼近法、解的延拓、解對初值的連續性和可微性定理、數值解。

3）高階微分方程：線性微分方程的一般理論、常系數線性微分方程的解法、高階微分方程的講解和冪級數解法。

4）線性微分方程組：存在唯一性定理、線性微分方程組的一般理論、常系數線性微分方程組。

5）非線性微分方程：穩定性、V函數方法、奇點、極限環和平面圖貌、分支與混沌、哈密頓方程。

課程教學存在的問題 通過批改作業、答疑、期末考試及學生畢業論文等途徑，發現通過常微分方程課程的學習，學生對最基礎部分――方程的初等解法掌握還可以，但是對稍有難度、綜合性稍強的題目解決得并不好，自主學習研究能力更不樂觀。經分析，主要原因有：對方程的初等解法講解太多，占用太多時間；對理論知識講解太細太煩瑣，掩蓋了重點；針對培養學生解決問題與自主學習能力的教學內容設置太少；對日后學習研究較重要的數值解與非線性微分方程部分講解太少；綜合性題目布置較少，沒能督促學生及時復結，知識形不成系統；布置的習題難度不在學生的學習區，太簡單或太難，學生沒有成就感。因此，如何在有限的課時內將常微分方程的方法原理、思考方式以學生容易接受的方式講透徹，讓學生會利用所學知識科學地思考問題、解決問題、自主研究，是值得思考的問題。

3 分階段教學法實施過程

分階段教學法簡介 認知心理學理論認為完整的認知過程是一個“定向―抽取特征―與記憶中的知識相比較”的一系列循環過程，它依賴于來自環境和知覺者自身的知識，而且在人的認知過程中，前后關系很重要，特別是原有知識之間、原有知識和當前認知對象之間的關系[6]。基于這一理論、常微分方程課程的特點及授課存在的問題，將該課程的教學過程劃分為4個階段：

基礎知識講解階段綜合題講解階段實際案例講解階段學生講解階段

分階段教學法具體實施過程

第一階段：基礎知識講解。該階段旨在使學生掌握基本理論與方法，會做簡單習題。由教師系統講授知識點，并針對所講知識點布置相應習題。

1）對一階微分方程、高階微分方程、線性微分方程組的精確解求解部分，針對每種類型講解方法原理，講解一個例題，布置一個習題。該部分重點是方法原理。

2）對數值解部分，講解原理及數學軟件求解命令，演示求解操作過程，布置兩個習題。同時給學生預留拓展資源供學生自學。該部分重點是會用軟件求解。

3）對一階微分方程解的存在唯一性定理及逐步逼近法一節，重點提煉出證明存在性的逐步逼近法與證明唯一性的方法，避免過多證明細節把學生弄糊涂。同時布置自學任務，如查找其他的存在性定理、唯一性定理并比較，鍛煉學生查閱文獻的能力。

4）對非線性微分方程一章，重點講授理論方法，布置相應習題。該部分重點是理解基本理論。

在此階段，每講完一章，布置1～2個綜合性、一題多種解法或稍有難度的題目，以此來促使學生查閱并總結所學內容，把知識點聯系起來。如可布置習題：

②求解方程xy″-2（1+x）y′+（2+x）y=0（x≠0）

第一階段科學思考方法滲透舉例如下。

1）把問題特殊化的思考方法。舉例告訴學生在解決問題時，首先考慮是否能從特殊情況中得到啟示。

【例1】求解高階常系數齊次線性微分方程：

對一階常系數方程有解x=eat，故猜測高階微分方程有eλt（λ待定）形式的解。

【例2】求一階常系數齊次線性微分方程組的基解矩陣。

其中，A=（aij）n×n為n階常數矩陣，x=（x1，x2，...，xn）僅含一個方程（n=1）時，基解矩陣為eat，故猜測方程組的基解矩陣為eAt。

2）利用聯系，改造區別的思考方法。舉例告訴學生想問題時既要利用事物的聯系，遇到區別時又不要放棄，適當修正可能會有意外發現。

【例】已經學過n階常系數齊次線性微分方程的解法，知道若α為特征方程λn+an-1λn-1+...a1λ+a0=0的單特征根，eαt是微分方程的解；若β為特征方程的k重特征根，eβt，teβt，t2eβt，...，

tk-1eβt是微分方程的k個線性無關解。在求解一階常系數齊次線性微分方程組的線性無關解時，利用兩個方程的聯系，是否有類似結論呢？

經驗證，若α為系數矩陣A的單特征根，微分方程組有eαtη形式的解，其中η為對應α的特征向量；若β為系數矩陣A的k重特征根，eβtη0，teβtη1，t2eβtη2，...，tk-1eβtηk-1并不是微分方程組的k個線性無關解。

那么能否改造一下呢？可以驗證其組合eβtη0+teβtη1+

t2eβtη2+...+tk-1eβtηk-1（ηi滿足一定條件）為微分方程組的解[7]。

第二階段：綜合題講解。該階段講解第一階段布置的題目，旨在幫助學生梳理所學知識，教會學生如何思考問題。并布置幾個題目作為練習。

該階段科學思考方法滲透舉例如下。

1）復雜簡單化的思考方法。通過舉例告訴學生，遇到解法比較復雜的時候，要試著想想是否有簡單或是簡潔的解法。

【例】求解方程

這是可轉化為分離變量方程的典型類型，大多數學生（幾乎全部）利用標準做法。

首先求交點 ，解得：

作變換，原方程轉化為齊次方程

。作變換Z=Y/X，則齊次方程轉化為分離變量方程。

解分離變量方程得：Z2-Z+1=cX-2。代回原來變量，得原方程通解：y2+x2-xy-y+x=c。

可上述解法較麻煩，要適時引導學生找簡單的解法。下面利用恰當微分方程解法：原方程變形為（x-2y+1）dy-（2x-y+1）dx=0，整理得xdy+ydx-2ydy+dy-2xdx-dx=0，分組湊微分得通解xy-y2+y-x2-x=c。可見關于此題，第二種解法非常簡單。

2）問題層層剪剝、各個擊破的思考方法。通過舉例，告訴學生遇到問題不知如何下手時，不要慌張，靜下心來查找資料，把問題分解，分別解決每個小問題。

【例】求解方程xy″-2（1+x）y′+（2+x）y=0（x≠0）

這是一個二階變系數齊次線性微分方程，學生一般會想到廣義冪級數解法，經求解發現很麻煩。引導學生換種解法，查閱課本發現關于這類方程的降階法，但是需要事先找到方程的一個非零解，如何求？引導學生通過查閱文獻、網上搜索等途徑查找答案，發現課本課后題有要找的答案，從而問題得到解決。

第三階段：實際案例講解。該階段詳細講解兩個案例，一個是常微分方程數學建模案例，一個是常微分方程科研論文案例，旨在讓學生觀摩科學分析與自主研究的過程。選取一個建模案例，詳細講解分析問題、建立模型、利用理論知識分析并用數學軟件求解、對所得結果進行分析、對模型進行合理評價及進一步優化的一系列過程。根據自己寫科研論文的過程，講解發現問題、查文獻、解決問題、撰寫科研論文的整個過程。

第四階段：學生講解。該階段旨在提高學生分析問題解決問題、自主研究的能力。該階段是第三階段的一個實訓，主要由學生自己來完成。學生根據興趣自由分組，從題庫中選題或自由選題，利用幾周的時間完成題目。學生講解，教師點評。題庫由教師查閱資料分類整理完成。

4 結語

以上是針對常微分方程這門課程的特點及授課中存在的問題而采取的以培養學生能力為目的的分階段教學的授課方式。在講完常微分方程這門課后，把上述想法與班級里幾個學習中上等的學生進行探討，學生一致認為很好，因此下學期準備嘗試此授課方式，以期達到良好的教學效果。參考文獻

[1]韓祥臨，歐陽成.《常微分方程》精品課程的教學改革與教學實踐[J].湖州職業技術學院學報，2012（1）：8-11.

[2]劉會民，那文忠，陶鳳梅.“常微分方程”課程教學模式的改革與探索[J].數學教育學報，2006（1）：72-74.

[3]何春花，鄭群珍，姬利娜.常微分方程課程教學改革的探索與實踐[J].河南教育學院學報：自然科學版，2014（2）：

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[4]萬亮.常微分方程的解法與教學改革[J].科技創新與應用，2013（4）：277.

[5]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

篇4

一類高階中立型時滯微分方程的振動性

具無限時滯的分數階微分方程解的存在理論

MTL代數中素濾子集上的拓撲

由Calderón-Zyamund變核構成的多線性奇異積分算子的有界性

關于正規子群的可解性

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塞曼效應實驗現象的理論分析

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基于MITK的CT序列圖像模糊連接度分割算法研究

遺傳算法中控制參數對組卷結果的影響

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電工電子實踐教學中心建設的對策

湘粵贛省際邊界禁止開發區域生態環境質量綜合評價——以國家級風景名勝區蘇仙嶺為例

國際工程承包的風險管理

經濟欠發達地區深化農村金融體系改革探析——以江蘇徐州為例

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鋼鐵企業綠色競爭力影響因素分析

社會分層視角下居民體育消費特征及影響因素研究

廣西大眾網球運動發展的可行性分析

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體育運動中注意機制的研究綜述

a-塊對角占優與廣義嚴格對角占優矩陣的判定

具分布時滯SICNNs周期解的存在性

分數微分方程反周期邊值問題解的存在性

Matlab求解整數規劃問題

一種基于Max-Min方法的帶模糊約束線性規劃的解法

一元線性結構關系EV模型的假設檢驗

正態分布環境下的醫藥博弈算法

一類Franklin幻方的泛對角線性

復積分的對比教學初探

基于IGBT逆變器的大功率直流穩壓電源

無線電力傳輸的歷史發展及應用

PCI總線視頻圖像采集卡驅動程序的設計

高速PCB串擾的分析與仿真

基于最小二乘法的灰色模型參數估計

間硝基苯甲酸稀土配合物與大腸桿菌作用的熱動力學研究

乙醇和微波提取苦瓜葉中黃酮類物質的工藝研究

古詩詞中的化學

基于CMM的軟件建模模型研究

一種Javacard虛擬機IP軟核設計

Bp神經網絡的Matlab實現

基于C語言的手機通訊錄管理程序設計

湖南省高校體育教師專業發展的現狀分析

南非世界杯賽回顧——談足球規則的幾點修改意見

初級長拳健心運動處方探究

武術教學中的口令運用研究

體育舞蹈拉丁舞專業選手藝術素質的研究

低氧運動對骨骼肌自由基代謝的影響

大學生不同性格類型對閑暇體育方式取向的研究

篇5

提高學生整體素質,培養跨世紀合格人才——IAG項目:“師范性基本技能微格訓練科學實驗”課題目標設計

論市場經濟條件下法制建設中的道德功能

試論加強思想政治教育與發展市場經濟的關系

市場經濟條件下的心理學問題

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施教于美——教學藝術談片(上)

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語文教學可以“系列化”嗎?

歐·亨利《四百萬》中譯本中值得商榷的幾個問題

政治課教學要做到“準聯活新”

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茅盾短篇小說女性形象淺論

行楷比較談

中學生語文學習興趣的心理基礎談片

文言文教學淺析

關于RLC串聯諧振曲線特性的再討論

從經典時空觀到相對論時空觀

多媒體技術在物理實驗中的應用探索

關于“半群的模糊擬對稱理想和它的根”的一點注記

等勢凝聚集

關于“不妨設”的若干思考

關于《補充一類可積函數》一文的注記

對數學教學的一點探討

師專類數學專業的課程設置與教學計劃安排的探討

STOLZ定理的一個推廣

控制論中動態系統的數學模型及分析

介值定理的推廣

WPS帶來的啟示

在WindowsNT網絡中Lmhosts文件的應用

無窮級數sumfromn=1to∞(1/n2)收斂性的一個求法

“L′Hspital”法則的不同類型及應用拓廣

用二溴鄰羧基偶氮氯膦光度法測定陶瓷中的稀土

水體富營養化及其防治

化學殺雄劑RH-531的開發利用

教育現代化與現代教育技術

鄒天成國畫作品選

信息的理論模型與最優決策

微分的另一種解釋

似乎不相關線性模型線性約束下參數估計的一個最優性

導數問題錯例剖析

一階常系數線性微分方程的某些求法的比較

極限問題的解決

高等數學教學中例題的作用

探求高等數學中的對稱美

環同態象的結構

微分方程與自然數方冪和

基于WEB服務的工作流事務管理器的實現

VFP動態窗體實現的新思路

一種安全的IP網絡模型的構建

同步時序邏輯電路設計方法改進

硬盤的幾種常見故障及解決方法

局域網中網卡與集線器類故障的分析及應對措施

對如何界定病理性互聯網使用的研究概述

篇6

關鍵詞:高等數學;機械設計;教學研究

1高等數學在機械設計專業中的應用

通過翻閱專業課書籍、與專業課老師座談、網上查閱文獻等多種渠道，筆者對機械設計專業(本科)所開設的大部分課程進行了調查，共調查公共基礎課、專業基礎課與專業課近20門．其中，與高等數學有密切關系的有10余門，分別為《大學物理》、《理論力學》、《材料力學》、《機械原理》、《機械制造技術基礎》、《數控技術》、《液壓與氣壓傳動》、《電工電子技術》、《公差與測量技術》、《機械設計》、《機械工程測量技術基礎》等．下面以“導數的概念”與“微分方程”為例，說明了高等數學在部分專業課中的應用，調查發現，機械設計專業對高等數學的應用，主要集中在“導數”的概念、“微分”的概念、“積分”的概念等幾個方面，要求學生會將一些科學量表示為“導數”或“積分”，會在實際問題中建立微分方程．關于計算導數、計算積分、求解微分方程等，掌握基本方法即可，涉及復雜計算的很少．所以，對“導數”、“微分”、“積分”等概念要重點講授，尤其是應用背景與思想方法，而對于可導性與可積性等嚴謹性問題不必過多展開．對計算環節，講授基本方法即可，不必刻意深入，鉆研太多高難度的復雜的計算問題．對于微分方程，不能只講求解微分方程的方法，建立微分方程更是重中之重，要利用應用案例多加練習．等等．明確專業需求之后，高等數學老師就可以對教學側重點有更準確的把握，知道往哪個方向用力，達到深入淺出、融會貫通的教學效果．

2將專業應用案例融入高等數學課堂

2．1引入專業應用案例的必要性

引進專業應用案例，是高等數學與專業協作最直接的途徑．引入專業應用案例可以一舉多得:(1)強化學習動機．按照建構主義理論，學生學習動機的強弱，會直接影響學習的主觀能動性．引進專業應用案例，可以強化學生學習的主觀能動性，激發學生的內有動力與潛能，有利于高等數學知識經驗的建構;(2)理解數學本質．數學中的概念來源于實踐，應用于實踐．結合實踐應用的數學知識可以“活”起來，而不是高度抽象的、枯燥無趣的純數學理論．例如，“導數”這個概念，利用“瞬時速度”問題與“切線斜率”問題引入，歸納總結出導數概念，其內涵是瞬時變化率(平均變化率的極限)．然后利用“導數”概念，可以表示一些科學量，如電流是電量對時間的導數，角速度是轉角對時間的導數等，這些案例可以幫助學生真正理解“導數”的本質;(3)培養應用能力．大學生數學應用能力，通常是指應用高等數學知識和數學思想解決現實世界中的實際問題的能力．在應用型人才的培養過程中，從高等數學這一門課程考慮，加強學生數學應用能力的培養無疑是課程改革的重中之重．培養數學應用能力需要合適的載體，數學在專業中的應用無疑是最好的載體．

2．2專業應用案例舉例

以“定積分的應用”這一章為例，具體列舉若干專業應用案例．“定積分的應用”是機械設計專業應用很多的一部分內容，主要集中在將科學量表示為積分，即“元素法”．例如，在《材料力學》中，“元素法”貫穿始終，在計算直桿內力、圓軸扭轉時的應力、圓軸扭轉時的變形等科學量時，總是先求出所求量的“元素”，然后將所求量表達成積分．在《液壓與氣壓傳動》中，在計算液體的流量時，先求出通過微小截面的流量，即流量“元素”，然后將所求流量表達成積分．所以，高等數學講授的重點應該是“元素法”，不要將大量時間花費在積分的計算，而應該講透“元素法”的思想，反復練習用“元素法”的三個步驟將所求量表示為定積分，進而解決實際問題．筆者收集和設計了不少的應用案例可供課堂教學．高等數學與大學物理的關系十分密切，關于定積分在物理學上的應用，一般的高等數學教材上都設置了專門的小節，這里不再贅述．下面列舉了幾個案例，分別來自電工電子技術、理論力學、材料力學、機械原理、液壓與氣壓傳動等課程．例1［1］(電工電子技術)已知電阻的功率p(t)=Ri2(t)，請將電阻在時間T內消耗的能量表達示為積分．解微小時間dt內，消耗的能量dw=p(t)dt=Ri2dt，則時間T內消耗的能量w=?T0Ri2dt．例2［2］(理論力學)剛體的轉動慣量是剛體轉動時慣性的度量．剛體對任意軸z的轉動慣量定義為．Jz=∑mir2i．r表示質點到z軸的距離．如圖1所示，均質細直桿繞z軸轉動，設桿長為l，單位長度的質量為ρl，求該桿對于z軸的轉動慣量．解取桿上一微段dx，其質量m=ρldx，則此桿對于z軸的轉動慣量為Jz=?l0x2．ρldx=ρll33．桿的質量m=ρll，于是Jz=13ml2．例3［2］(理論力學)剛體的轉動慣量是剛體轉動時慣性的度量．已知均質薄圓環對于中心軸的轉動慣量Jz=∑miR2=mR2．如圖2所示，均質圓板，半徑為R，質量為m，求圓板對中心軸的轉動慣量．解將圓板分為無數同心的薄圓環，任一圓環的半徑為ri，寬度為dri，則薄圓環的質量為mi=2πridriρ，其中ρ=mπR2，是單位面積的質量．因此圓板對于中心軸的轉動慣量為J=?R02πrρr2dr=12mR2．例4［3］(材料力學)生產實踐中經常遇到承受拉伸或壓縮的桿件，如活塞的桿，需要分析直桿軸被拉伸或壓縮時橫截面上的內力與應力．在拉桿的橫截面上，與軸力FN對應的應力是正應力σ，若以A表示橫截面面積，請將FN表示為積分．解在面積元素dA上的內力元素為σdA，整個面積A上的內力FN=?AσdA．說明:若橫截面上各點的正應力σ相等，即σ等于常量，則FN=σ?AdA=σA．例5［4］(液壓與氣壓傳動)液體流動時受粘性的影響，所以通流截面上各點的流速u一般不相等．計算流過整個通流截面A的流量．解在通流截面A上取一微小截面dA，由于通流面積很小，所以可以認為在微小面積dA內各點的速度u相等，則流過微小截面的流量為dq=udA．對上式積分，可得流過整個通流截面A的流量為．q=?AudA例6［5］(機械原理)在機械上，研究軸端接觸面上S所受的壓力F，先從接觸面S上取微小的面積ds，ds上的壓力dF，然后，壓力F=?sdF．值得注意的是，在收集專業應用案例時，必須考慮學生的接受能力．高等數學在大學一年級開設，專業課程一般在二年級及以后開設，對于案例中涉及到的專業概念或公式，學生還沒有接觸到，理解和接受起來有一定難度．所以，案例要慎重選擇，并且一定要適當處理，做到既體現專業應用背景，又體現數學思想，以便于在數學課堂上使用，達到良好的教學效果．上面的案例是經過慎重選擇和精心處理的，充分考慮學生的知識基礎，確保在學生可接受范圍內．例如，在例2和例3中，涉及到《理論力學》中的“轉動慣量”這一概念，所以，在例題開頭部分便對“轉動慣量”進行說明，使學生能夠大致理解，然后在專業背景下考慮積分的應用問題．

篇7

除了物理學，其他學科也有穩定性的概念，比如化學中講某物質的化學性質穩定。而數學中講的穩定性，則大多是指微分方程的解的穩定性。這個穩定性指的是初始值的一點小改變，不會引起整個解的大的改變。

不論是物理學中講的靜止平衡狀態的穩定性，還是數學中講的微分方程的解的穩定性，都是指某一對象（或某一狀態）在一定程度的外部影響下所表現出來的性狀。

在小學數學中，我們也討論三角形的“穩定性”。但這種“穩定性”顯然不同于上述物理學中討論靜止平衡狀態的穩定性，也不同于數學中討論微分方程的解的穩定性。

以人教版的課標教材為例。四年級下冊中關于三角形的穩定性是這樣編排的（如下圖所示）。

教學參考書對這一段的編寫意圖是這樣描述的：穩定性是三角形的重要特性，在生活中有著廣泛的應用。對它進行教學，可以讓學生對三角形有更為全面和深入的認識，有利于培養學生的實踐精神和實踐能力。教材對這一內容的設計思路是“情境、問題—實驗、解釋—特性應用”。

無論是教材還是教學參考書，都沒有對“穩定性”在此具體表示什么意義作明確的界定。從教學實踐來看，主要存在兩類認識。一類認識是認為三角形的穩定性就是如教材中所描述的：三角形的實物“拉不動”；另一類認識是認為三角形的穩定性是指當三角形的三條邊的長度確定后，這個三角形就被唯一確定了。當四邊形的四條邊的長度確定后，這個四邊形并不能唯一確定（即存在兩個形狀不同的四邊形，它們的四條邊長度對應相等，這樣的兩個四邊形很容易構造出來），因此，我們說四邊形不具備穩定性。

這兩種認識各有優點。“拉不動”一說直觀，學生容易感受，也不違背科學性。“唯一確定”一說精確，嚴謹，數學味濃。而且，可以認為這兩種觀點在一定程度上是一致的：“拉不動”是抽象的三角形的數學性質（三邊唯一確定三角形）在現實的物理世界中的體現。

但這兩種認識在教學實踐中都會遇到一些問題。一方面，對于“拉不動”一說，有學生指出，用鋼鐵焊接成一個四邊形，也拉不動（事實上，盡管四邊形不具備“穩定性”，現實生活中大量需要“穩定”的東西，依然會做成四邊形的，門窗之類即是如此）。這與四邊形不具備“唯一確定”意義下的穩定性似乎矛盾。另一方面，按“唯一確定”一說，也有一些不太好解決的問題。比如：正方形有沒有“穩定性”？正方形當然是“拉得動”的，從這個意義上講，正方形沒有“穩定性”。但確定正方形的邊長后，正方形也唯一確定了。按“唯一確定”的認識，正方形又是有“穩定性”的。

筆者認為，在小學數學中，把“穩定性”處理成“拉不動”，是符合學生的認知規律的。不過，要強調的是，在教學實踐中，除了“拉一拉”，還應該讓學生用三根小棒擺一擺三角形——全班同學不需商量，各自獨立擺，擺出來的一定是完全一樣的三角形。這樣可以讓學生感受到三角形的這種特性。還可以通過用對應相等的四根小棒擺四邊形來作對比：甲與乙的四根小棒長度是對應相等的，但兩人可以擺出形狀不同的四邊形。

另一方面，我們也應該認識到，這里的“穩定性”，指的就是“確定性”，即在一定的條件下可以唯一確定一個圖形。只是三角形的這種確定性，在物理上表現為“拉不動”，其他圖形的確定性，則不一定有這種表現。比如正方形即是如此：正方形可以由四條邊唯一確定，但不具備“拉不動”的表現。

（作者單位：長沙市岳麓區教研室）

現在，我們終于將一根毛線引發的事件的原因找到了：是物體的物理屬性在作怪。不管是線段的位置，還是測量的誤差，以及穩定性也好，都是物理屬性造成的。

生活中的毛線，不可能沒有寬度和厚度，也不可能完全是直的。正是這樣的屬性，讓生活中的毛線與數學中的線段有了一道不可逾越的坎。由此可見，生活中的物體與數學中的幾何圖形是有本質區別的，其區別在于：數學中講的圖形，是拋棄了厚度、寬度、顏色等所有物理性質的，但又具有一類物體的共有屬性。

于是，不管老師怎么樣形象描述，“將毛線拉直，就成了一條線段”、“一只蝴蝶是對稱圖形”這樣的話總是不那么正確的。在“幾何圖形的認識”教學這一塊，老師們普遍容易犯這樣的錯誤。

數學世界是從生活世界原型中提煉出來的抽象模式。有鑒于它們之間的隔離會帶來消極的后果，我們贊成教學時可以借鑒生活世界，以幫助學生更好地理解數學世界，但這并不等于教學應回歸生活世界，并不等于數學世界回歸生活世界。當我們說“生活中有數學”，說“生活中的數學”時，其實是說，生活中有數學的素材，有數學的應用，也有數學發展的課題與動力。我們認為，圖形的教學，乃至整個數學教學，既要貼近生活，更要超越生活；既努力從生活中來，又努力回到生活中去，還要在來與去之間努力超越。

也就是說，生活世界有自身不可克服的局限性，它不可能給我們提供太多的理性承諾。所以數學教學必須也應該著眼于社會生活中無法獲得、而必須由數學教學才能獲得的經驗。

教學中，我們要怎么做才能避免出現上述狀況呢？具體到課堂中，從上述幾位老師的觀點中可以總結出，我們需要讓學生經歷“數學化”的過程，這樣才能巧妙越過生活原型與數學模式之間的坎。

篇8

Abstract： This paper briefly describes the backward of the traditional mathematics teaching mode， puts forward the idea of integrating mathematical modeling into the traditional teaching methods of higher mathematics meets the requirements of quality education， and discusses the feasibility， methods， function and significance.

關鍵詞： 數學建模；高等數學；教學

Key words： mathematical modeling；higher mathematics；teaching

中圖分類號：G652 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2016）30-0215-02

0 引言

高等數學課程在高等學校非數學專業的教學計劃中是一門重要的基礎理論課。通過掌握這門課程，能夠幫助其更好地學習其他基礎課和多數專業課，很多課程都或多或少的涉及到高等數學課程，它是這些課程的數學基礎。

數學建模是用圖表、程序、數學式子、數學符號等刻畫客觀事物的本質屬性與內在聯系，將抽象的實際問題轉化為可以解決的數學問題的過程。

數學建模一般分為五個基本環節：①模型設置；②模型構成；③模型求解；④模型檢驗；⑤模型應用。

數學建模涉及的問題方方面面，且千變萬化，建模過程可以說是滲透數學思想方法的過程，在不同的實際問題中數學建模可以滲透不同的思想方法和數學方法，其中思想方法主要包括探索思想、聯想思想、類比化歸和類比、等價轉化思想、邏輯劃分的思想、數形結合的思想、方程的思想等；數學方法主要包括歸納法、解析法、反證法、配方法、待定系數法、換元法、消元法等。通過數學建模，學生們能夠了解和學習到很多的數學思想方法，如此不僅能夠提高學生的綜合素質，還能夠使學生從本質上理解數學建模的思想（數學建模過程圖見圖1）。

1 高等數學的傳統教學模式現狀

隨著社會的進步，很多高校開始改革和創新自身的高等數學教學模式，但部分高校依然采用的是傳統的教學模式，導致其教學過程中存在以下問題：一是教學方式落后，采取的教學方法還是以“填鴨式”為主，教師過分地主導課堂，學生的主觀能動性很低，只能被動地接收教師講授的知識，不利于自身創造力和想象力的培養；二是教學過程過分重視邏輯性，忽視了應用性。當前社會對人才的要求同過去相比有了很大變化，很多企業都十分重視學生的實踐能力，而傳統教學模式下培養出來的學生普通實踐能力較弱，理論知識較扎實，如此遇到實際問題常常沒有能力解決，無法滿足當代用人單位的需求；三是學生的學習積極性不高。在傳統的教學模式下學生較少有機會進行自主思考和探索，多數時間都在消化教師講授的知識，長此以往下去學生由于無法體會到學習的樂趣和解決問題的成就感，很容易對學習失去興趣，如此不利于高校人才的培養。

2 建模思想融入高等數學教學的可行性

高職高專作為一種職業技術教育，其培養的學生都是應用型人才，而數學建模也旨在解決各類實際問題，兩者在這一點上目的是相同的，因此在高等數學教學中融入建模思想是可行的，具體原因分析如下：一是由于高職學生的目的就是成為應用型人才，高職學生比其它層次的學生更清楚實際生產問題的流程，而數學建模往往伴隨著各類實際問題，從這個角度講，高職學生更了解實際生產問題的流程，因此比其它層次的學生更具優勢；二是計算機高職學生已經掌握了一定的數學理論知識，且具有一定的解決實際問題的能力，這就使得在高等數學教學中融入建模思想具有了一定的先天優勢，大大增加了其可行性。

3 數學建模融入到高等數學教學中的方法

將建模思想融入到高等數學教學中，學生在學習理論知識的同時還能夠進行實踐，使自身的理論知識和實踐經驗融會貫通，從而大大提升自身的實力，具體在高等數學教學中融入數學建模的方法如下：

3.1 弄清、搞透概念的意義

正因為實際需要才產生了數學概念，所以在實際的教學過程中教師應注重將抽象的實際問題轉化為數學問題的過程，重視對學生數學學習興趣的培養。高等數學中定積分的概念和導數的概念至關重要，其中導數的概念就是從交變電路的電流強度、物理學的變速直線運動的速度及幾何曲線的切線斜率等實際問題抽象出來的。這同時也說明了導數的概念具有廣泛的應用意義，通過掌握導數的概念可以解決生活中遇到的很多實際問題。定積分的基本思想是“化整為零取近似，聚零為整求極限”。定積分概念建立的關鍵是以局部取近似以直代曲，應抽象以常量代替變量。

3.2 加深、推廣應用問題

高等數學中的應用問題眾多，其中最具代表性的如下所示：

①最值問題。在導數的應用中最值問題是最先接觸到的問題，教學中學習到的解決最值問題的方法實際上就是比較簡單的數學建模思想。

②定積分的應用。“微元法”這一思想根植于定積分的概念，在教學過程中必須將定積分的概念進行充分的分析，使學生能夠真正地掌握和靈活應用定積分，如此采用微元法解決實際問題時才能得心應手。

③微分方程就是為了解決實際問題。利用微分方程建立數學模型尚未建立統一的規則方法。通常采取的步驟是：首先確定變量，分析這些變量和他們的微元或變化率之間的關系，然后結合相關學科的理論知識和相關實踐經驗建立其微分方程，再對方程求解，并分析驗證結果。微分方程能夠解決很多實際問題，在教學過程中應本著由淺入深的原則，多舉實例。

3.3 高等數學中數學模型的案例教學

案例教學，顧名思義就是在課堂教學中以具體案例作為教學內容，通過具體問題的建模范例，介紹數學建模的思想方法。

4 數學建模融入高等數學教學的功能和意義

4.1 數學建模的教育功能

4.1.1 數學建模課程有助于深化學生對數學的理解，樹立正確的數學觀

人們對數學的總體看法就是數學觀。在生活中我們發現常常有數學系的學生發出感嘆“學數學到底有什么用”，并且常常因為覺得學數學沒有用途而對繼續學習數學失去興趣，反之是一些經常用到數學知識的學科（物理、計算機等）認為數學的作用很大。由此我們發現只有在實踐中數學才會發散其魅力，通過數學建模課程，學生有機會將自身學到的知識進行實踐，學習效果將事半功倍。

4.1.2 數學建模有助于訓練學生的思維品質

曾有學者說過，思維品質主要包括思維的敏捷性、思維的批判性、思維的獨創性、思維的靈活性、思維的深刻性。通過長時間的實踐我們發現，在數學建模的過程中這些思維品質都能夠得到培養和鍛煉。

要想建立數學模型，首先必須對實際問題有個充分的了解，基于此才能發現問題的內在聯系，繼而解決問題。在建立數學模型的過程中，需要先將抽象的實際問題轉化為數學問題，然后分析求解目標、已知條件和未知條件，要求很高的思維的深刻性和敏捷性。同時由于學生面對的建模問題是一個未知的問題，學生在建模過程中必須充分地發揮自身的想象力和洞察力，不斷地轉換思維角度，靈活應變才能完成數學建模。

此外，在完成了模型的建立后，還要進行分析和檢驗。這是一個回顧和反思的過程，在此過程中培養了學生的思維批判性。

4.1.3 數學建模有助于發展學生良好的非智力因素

實踐表明，當學生意識到數學的作用時，其學習熱情和主動性會更強，會更自覺地投入到數學的學習當中去。通過數學建模學生拓展了自身的知識儲備，豐富了自己的視野。不可否認數學是一門較難的學科，學生通過學習數學能夠鍛煉自身堅忍不拔的意志，不僅如此，通過和同學討論探討，還能夠培養自身的團隊協作能力。

4.2 數學建模的融入有利于傳統數學教育由“應試教育”向“素質教育”的轉變

過去我國實行的是應試教育，現在我國追求的是素質教育，素質教育的目的是為了提高全民素質，它注重的是教育的發展功能，是為全體學生謀福利的。

數學教育思想改變了過去少數人學習數學的現狀，將其變成了大眾數學，它認為學習數學不是為了考試，學習數學能夠幫助我們解決很多實際問題，數學教育思想體現在基礎教育中的，數學教育是面對全體學生的，而不是少數數學尖子生。

培養學生的素質和能力應該有兩個方面，一是通過分析、計算或邏輯推理能夠正確、快速地求解數學問題，即運用已經建立起來的數學模型；二是用數學語言和方法去抽象、概括客觀對象的內在規律，構造出待解決的實際問題的數學模型。

5 結語

既然數學教育本質上是一種素質教育，數學建模不僅凸現出其重要性，而且已成為現代應用數學的一個重要組成部分。學生通過開展數學建模的訓練，能夠拓展自身的知識儲備，豐富自己的視野，提高其綜合實力，使自身成長為一名優秀的理論知識和實踐能力兼備的人才。因此在高等院校開展數學建模教學至關重要，它能夠幫助高校培養出更多的優秀的應用型人才，真正地提高學生的綜合素質。

參考文獻：

[1]李大潛.數學建模與素質教育[J].中國大學教學，2002（10）.

篇9

一、數學有助于經濟學的精深化

數學具有高度的抽象性與嚴密的邏輯推理性，比如在物體冷卻、鐳的衰變、細胞的繁殖，樹木的生長等等現象中出現的函數：

…(1)

在經濟現象中也有其現實意義。

假設本金為Ao，利率為r，期數為t，每期結算次數為m，則本利和Am為：

…(2)

通過實踐我們知道，當本金Ao，利率r及期數t不變的情況下，每期結算的次數m變大則本利和也變大；m減小，則本利和Am也變小。那么通過增加每期結算次數而增加的收入會不會無限增大呢?這一問題顯然用經濟理論難以闡明。運用微積分中的極限理論既可得出精確的結論。我們對(2)式求當m∞時的極限得：

．

說明當每期結算次數m無限制變大時，本利和不會無限制地增大，而是逐漸趨向于常量 ，由此可以看出數學方法可以準確地闡明經濟現象中某些內在的本質問題，僅用經濟理論與語言去分析經濟現象是缺乏說明服力的。而且由于現代經濟現象的復雜性，需要借助更多的數學方法。數理經濟學的誕生與發展說明數學的各個分支如微積分、線性代數、概率論與數理統計，微分方程甚至極其抽象的拓撲學。泛函分析，微分流形等廣泛適用于經濟領域的各個方面。越抽象的數學工具越適合分析實際上十分復雜的事物。經濟學家運用數學形式能夠對經濟理論進行嚴格檢驗，所達到的嚴密性與傳統的經濟學研究形成鮮明的對比。當代杰出成就的經濟學家如薩謬爾遜(著有《經濟分析基礎》)、瓦爾攔斯(建立了一般的均衡價格模型等)、杰文斯、阿羅.德布魯等一大批優秀的經濟學家都具有相當高深的數學知識。數學為他們提供了一種語言，一種方法使之能夠對具有高度復雜的經濟系統進行有效的研究。

二、數學對經濟研究的先導性

數學誕生于客觀的物質世界，但它的研究發展卻超脫于物質世界。它是人類智慧的結晶。例如圓周率在小數點后精確位數的確認，由常量分析到變量分析，笛卡兒坐標系的確立，極限的認識等數學知識，每前進一步都對自然科學產生劃時代的影響。人類對數學的探索已有二千多年的歷史，其理論體系日臻完善，經濟學家一旦掌握并運用數學方法指導經濟理論，便能迅速達到該領域的前沿。在經濟學研究的幾百年歷史中，近代經濟學家運用數學方法后，經濟理論的研究便有了突飛猛進的發展，庫諾、屠能、戈森等人運用數學方法(主要是函數關系式微分方程組)建立經濟理論的軌道。從靜態分析，比較靜態分析到動態分析，從局部均衡分析、單個市場均衡分析、一般均衡分析到動態均衡分析，從完全競爭分析到買方和賣方的多種壟斷分析、從市場效率分析到市場缺陷分析等等卻是數學在西方經濟學中的最新應用成果。

阿羅.英特里利益特將數理經濟學的發展所做的十一個方面的歸納，比如整體分析即人們把微積分與拓撲學結合起來，用以研究在經濟發生變動時，經濟均衡及偏離的性質；對偶理論即把集合論與微積分結合起來研究經濟問題，最優稅收，最優增長理論的多部門增長模型，無一不是數學在經濟方面的應用。

篇10

李大潛：數學家。1937年11月10日生于江蘇南通。1957年畢業于復旦大學數學系并留校任教。1995年當選為中國科學院院士。長期從事偏微分方程理論及應用研究，取得了多項具有國際先進水平的成果。其中對一般形式的二自變數擬線性雙曲型方程組的自由邊界問題和間斷解的系統研究，以及對非線性波動方程經典解的整體存在性及生命跨度的完整結果均處于國際領先地位。曾獲我國數學界最高獎――華羅庚獎。2008年被法國政府授予法國榮譽勛位騎士勛章。

去年12月的寒冬，上海馬路兩旁的法國梧桐葉子全掉了，可是復旦大學光華樓前廣袤的草坪依然碧綠如茵。在一片金色的陽光下，只見一位充滿學者風度的長者騎著一輛老式自行車沿著靜謐的望道路向光華樓而來，他就是剛從國外訪問歸來的李大潛先生。

傳承發展天道酬勤

1937年11月10日，李大潛出生于江蘇南通。其時抗戰伊始，烽火連天。襁褓中的李大潛被父母抱著逃難到上海，暫住法租界的巴黎新村。兩歲起，他就跟著母親讀書習字。4歲重返故里時，順利入讀于當地的小學。由于發蒙早，又先天聰慧，李大潛的知識基礎自然比同齡孩子扎實，9歲時便跳級升入南通商益中學（現啟秀中學）；三年后又以總分第一的成績考入當地最負盛名的南通中學，且連連得到名師的點撥，因此在中學階段他對數學的鉆研勁頭已經不小了。

然而，李大潛的中學生活也碰到了至今令他難忘的事件：剛入中學的第一次算術測驗給了他一次“下馬威”。

“我自小好強爭勝，測驗時也逞能地搶交頭卷。那次測驗我故態復萌，題目來了以后，也沒有仔細想清楚，搶著第一個交卷。由于對題目理解不深入，又不仔細檢查，結果只得了18分。當時教我算術的老師非常嚴格，規定60分及格，決不遷就，你達不到60分，少一分打一記手心，我才18分該打多少記手心呵，而且用的是戒尺。舊教育制度下的嚴師是一點也不會馬虎的。我那時是跳級升入初中，從來沒有經歷過這種陣勢，當然就號啕大哭了。”這下，又引起還在讀小學六年級的一些老同學的冷嘲熱諷：“李大潛，中學生，算術考了18分！”

好強的心靈被“18分事件”深深刺痛，在日后人生的道路上他一直警策著自己：凡事不能粗枝大葉，更不能急于求成，而應細致沉潛，一絲不茍。“18分說明我并不是一位天生的數學家，我之所以能在數學上取得一些成績，只不過是我對數學有著濃厚的興趣，又幸得恩師栽培，自己又肯為數學付出較多努力而已。”這里所說的興趣，很大程度是得益于青少年時代的李大潛沒有一味埋首于課堂上的教材，而是讀了大量“閑書”，助他打開了視野，諸如當時能讀到的蘇聯科普作家別萊利曼編寫的《趣味幾何學》、《趣味代數學》等科普讀物。李大潛至今清晰地記得，這些書里面引用了馬克?吐溫、儒勒?凡爾納等名家小說動人的片斷，這給喜愛文學的少年李大潛留下了深刻的印象。“在這些科普讀物里，數學案例來自現實生活，覺得非常生動。比如，在荒無人煙的地方如何測出當地的經緯度；再比如，河對面有一棵樹，不過河，怎么測出樹的高度，這些都是數學問題。我覺得數學特別活，使我產生興趣，令我著迷⋯⋯”

1953年，才15歲的李大潛考入了復旦大學數學系，成為那一屆學生中年齡最小的一個，用現在的話來說就叫“少年大學生”。李大潛的父親當年送給兒子的禮物是一個自制的竹子筆筒，上面親手寫下了“自強不息”四個大字。李大潛接過筆筒，也將此贈言作為自己的座右銘，奏響了人生道路的主旋律：在往后的歲月里，要不斷地傳承，更要不斷地有所發現、有所創新；要自強必須勤奮，天道酬勤是恒理；“不息”是時間尺度，“自強”是空間畫卷⋯⋯李大潛深有感慨地說：“進了復旦后，我有幸遇到恩師蘇步青和谷超豪等老一輩數學名家，是他們栽培和提攜了我，他們也一直對我說，做學問貴在堅持。”這同父親“自強不息”的教誨完全諧和。李大潛在復旦得到了扎實的數學訓練和數學文化的熏陶，在本科階段就參加了蘇步青、谷超豪組織的微分幾何討論班并受到兩位先生的賞識，以后更成就了數學界“蘇門三代”的佳話。

如果對復旦數學系“蘇門三代”的說法望文生義，認為是“近親繁殖”，那就大錯特錯了。其實，他們之間雖有明確的傳承關系，但更注重的是與時俱進的個人創新。在師道傳承的堅實基礎上，個人孕育的嶄新發展更令學界關注。李大潛儒雅地表示：“我的兩位恩師在學術上造詣精深，成就卓著，他們是確保‘復旦薪火，代代相傳，生生不息’的本源，也是復旦數學系實力的印證。他們不僅一直鼓勵和支持學生們創新和超越，而且還不斷開拓自己的研究領域，一直是帶著‘傳承+發展’的眼光來做學問的。如果安于接受前人的衣缽，那么，‘君子之澤，五世而斬’，復旦數學的傳統也不會綿延至今。”

是啊，蘇步青院士作為中國微分幾何學派的創始人，在國際數學界享有“東方第一幾何學家”的美譽，直到晚年，身處“”的磨難歲月，還開創了計算幾何的新學科。谷超豪院士曾是蘇先生創立微分幾何學派的中堅力量，他在蘇先生的支持下赴蘇聯留學，不僅研習了現代微分幾何，還進一步轉向了偏微分方程的研究方向，后來又在數學物理領域開創了學術上的輝煌。而李大潛則在偏微分方程方面得到谷先生的嚴格訓練，并在擬線性雙曲組的領域中接過了谷先生的接力棒，開始了自己的系統研究。后來，又在蘇步青和谷超豪的鼓勵與支持下，赴法國深造，在法國現代應用數學學派創始人里翁斯院士的指導下，走進了應用數學這一廣闊的領域。1998年，在中法兩國元首的積極支持下，由復旦大學與Ecole Polytechnique合作在上海建立了中法應用數學研究所，由李大潛擔任中方所長，至今已超過了10年。通過一系列學術交流活動，中法兩國一大批優秀數學家建立了深厚的友誼，彼此不斷獲得啟迪和教益，合作雙方的研究工作出現了新的面貌，獲得不少成果，也為中法兩國人民的友誼架起了橋梁。為此，2008年11月14日法國政府授予李大潛教授法國榮譽勛位騎士勛章，以表彰他多年來致力于中法應用數學研究做出的杰出貢獻。這一勛章屬于拿破侖一世于1802年建立的法國最高榮譽勛位系列，目前只有極少數中國科學家獲此殊榮。

展開基礎數學與應用數學

研究的雙翅

1996年9月2日，李大潛在答復一名中學生的信中哲理獨到地指出：一個翅膀的鳥不能飛翔，即使勉強飛了起來，也只能原地打轉，更何談高飛、遠飛。

李大潛的成功，也正是得益于他能展開雙翅。

1957年，19歲的李大潛以大學四年各科全優的成績順利畢業，由于他在數學方面的扎實基礎和研究方面的初露頭角，受到蘇步青教授的青睞，親自提名他留校任教。獲得恩師青睞，又能身處濃厚的學術環境，真是天賜良機，讓李大潛有機會步入數學殿堂。青年李大潛第一個科研方向便是協助剛從莫斯科大學學成歸國的谷超豪先生，以空氣動力學中的激波現象為背景，開展對偏微分方程中一個新的重要研究方向――擬線性雙曲型方程組的理論研究。以“自強不息”為動力，憑扎實的基礎和激情的投入，在谷先生的悉心指導下，李大潛的科研果然很快有了進展。1961年，全國首屆偏微分方程學術會議在北京召開，谷先生給他壓了重擔，讓初出茅廬的他介紹這一項科研成果。

旗開得勝后，李大潛更是一鼓作氣，使項目研究向縱深推進。經過三十多年的拼搏，取得了累累碩果，在對一般形式的二自變數擬線性雙曲型方程組的自由邊界問題和間斷解方面，建立了國際上迄今最完整的局部解理論，并獲得有關整體解的系統深入的成果，屢屢被國際數學界用作理論依據。美國數學家D.G.Schaeffer對李大潛與合作者共同撰寫的英文專著《擬線性雙曲組的邊值問題》（1985）評論道：“他們以如此的功力和盡善盡美的方式來處理這一主題⋯⋯將其推進到超過我原來想象可以達到的程度。”

1992年，李大潛與他的博士生合著的英文專著《非線性發展方程的整體經典解》在英國出版，國際數學界評論該書“無疑將成為這項高難度研究中的一個里程碑”。法國科學院院士里翁斯教授認為：“關于非線性波動方程，過去10年里，一些杰出的數學家都曾得到許多深刻的結果，就在這同一段時間里，李大潛教授成功地超越了所有這些成果，因而在這一非常重要而又深入的領域中成為極少數幾個處于世界領先地位的帶頭人中的一個。”

1994年，李大潛的專著《擬線性雙曲組的整體經典解》在法國出版，又一次贏得數學界的好評，認為李大潛“得到了氣體動力學中好幾個經典問題解的結構，這些結構多年來一直只是猜測，而李大潛卻嚴密地證實了這一點”，“十分令人激動”。

研究結出的碩果是他不斷學習的必然結果。20世紀60年代，正當李大潛一帆風順地在復旦數學系任教并讀在職研究生時，遭遇到他人生第一次真正的挑戰――爆發了史無前例的“”，科研與教育都被迫中斷了，他也被先后下放到上海電機廠和上海汽輪機廠進行勞動鍛煉。

盡管原本憧憬中的學術道路被完全改變了，但工廠里大量迫切需要解決的生產實際問題，卻又激發了他的鉆研沖動。“當時看到廠里有一大批生產實際問題，仔細了解后，發現這些問題的背后實際上都有數學問題。為了能與工人師傅及技術人員溝通，我就利用這個機會自學了大學物理系的課程，一門一門鉆研，包括電動力學、相對論、量子力學、彈性力學等等。也就在這個階段，我認認真真地思考了數學怎么聯系實際的問題。應該說，這成了我后來走上應用數學的一個非常重要的起點。”

學科的貫通和視野的高遠，令李大潛展開了理論研究與應用研究的雙翅。從1974年至1986年，他調集了自己多年的通透學識，為解決我國石油開發中至關重要的判斷石油層位置和儲量的問題，成功提出了“電阻率法測井的數學模型與方法”。為此，他曾六次深入湖北江漢油田實地調研，幫助設計制造出填補國內技術空白的微球型聚焦測井儀并編制了相應的解釋圖版，在我國大慶、江漢、中原等十多家油田一直推廣使用至今。李大潛信心十足地說：“理論與應用是相輔相成的，這個課題不僅取得了良好的地質效果和經濟效益，而且有力地推動了偏微分方程的理論研究，促使我們建立了等值面邊值問題和邊界條件均勻化的理論。”1998年，他將此應用課題成果撰寫成《等值面邊值問題和電阻率測井》專著在英國出版。

在李大潛的心目中，數學的基礎理論研究與應用問題研究同樣重要，兩者誰也不可偏廢。從上世紀60年代初緊緊圍繞“兩彈一星”的研制而投入到與之密切相關的雙曲型方程研究，到成功提出了電阻率法測井的數學模型與方法，李大潛在科研上能不斷有所建樹，都得益于他張開了基礎研究與應用研究的雙翅。再說，科研要轉化為生產力也是時代的要求，他若有所思地告訴筆者：“從應用數學的發展趨勢來說，正迅速地從傳統的應用數學進入現代應用數學的階段。現代應用數學的一個突出的標志是應用范圍的空前擴展，從傳統的力學、物理學等領域擴展到生物、化學、經濟、金融、信息、材料、環境、能源等各個學科甚至社會領域。傳統應用數學領域的數學模型大都已建立了，且已經成了力學、物理等學科的重要內容，而很多新領域的規律至今仍不清楚，應用數學的建模面臨實質性的困難，這也是現代應用數學仍須不斷努力攻克的問題。”他還說：“我一直認為，整個數學學科的分布，應該像兩個同心圓，純粹數學作為整個數學的核心和基礎，占據著小圓的內部。大圓的外面，是數學外部的廣大世界，包括各種其他學科及各種應用領域和高新技術。而在大小圓之間則是應用數學活動的大地盤。其中有些靠近小圓，屬于應用數學基礎研究的部分，靠近大圓的部分，則是數學與其他學科的交叉領域，在這兩者之間的同心圓環上，則分布著各種層次、各種風格的應用數學工作。數學學科發展的原動力，不僅來自它的內部，而且更重要地來自它的外部，來自客觀實際的需要。外部需求的驅動和內部矛盾的驅動對數學發展來說應該是比翼齊飛的雙翼，是相互聯系和促進的，都是必不可少的。”

展開科學與人文的雙翅

數學是一門在非常廣泛的意義下研究自然和社會現象中的數量關系和空間形式的科學。要在數學的蔚藍天空下自由翱翔，除了展開基礎研究與應用研究的雙翅外，還得展開科學與人文的雙翅。

李大潛深有感慨地說：“在數學的殿堂里遨游了數十載，我深深體會到：數學不僅是一種研究自然與社會得心應手的工具、一種國際通用的語言、一門博大精深的科學，它更是一種文化。數學中的人文理念――數學的思想和精神，對我為人處世的熏陶，令我終生獲益匪淺。”

復旦三代數學大師――蘇步青、谷超豪夫婦與李大潛都是對中外傳統文化情有獨鐘的學者。1982年，三代學人同時到法國巴黎訪問，在富有詩意的塞納河邊，他們以詩佐酒，賦詩抒懷，成了數學界一段風流佳話。

李大潛能在數學領域開鑿出一眼又一眼清泉，正是得益于他科學與人文并重的求學之道。

李大潛自幼喜歡中文古詩，日后也一直注重人文學養的陶冶。盡管李大潛已是碩果累累的數學大家，但至今他業余最酷愛的依然是歷史和武俠小說，可以說他是一位地地道道的“武俠迷”。對于有些人覺得武俠小說不入流的講法，李大潛自有一番理論。他覺得小說是人生的教科書和劑，武俠對做學問很有啟示。他常說，做學問就像練武功，要從“手中有劍”到“心中有劍”，最后到“心中無劍”。不能為招式所累，死背數學公式和定理，要做到無招勝有招，才能揮灑自如，隨心所欲。“心中無劍”是練武的最高境界，是物我兩忘的境界，是創造性思維噴發的境界。雖然李大潛謙虛地說，自己在數學領域遠未達到“心中無劍”的境界，但是他對“心中無劍，人劍合一”的體悟，倒恰如其分地折射出“數學大鵬”――李大潛展開科學與人文雙翅的風姿。

在林林總總的武俠小說中，《笑傲江湖》最受李大潛所鐘愛。他直言《笑傲江湖》中有不少超脫的東西，最適合知識分子閱讀。他尤其欣賞令狐沖的豁達大度，不要權力，有超然是非名利之外的境界。武俠中講究派別、排行座次，講究忠于師門、不事二師。李大潛認為名門正派的存在并非偶然，自有它的道理，值得總結，但最好的武功往往不是屬于名門正派，不要關起門來孤芳自賞。名牌大學也一樣，不能老子天下第一，應接受新人才、新思想。名門不應自我封閉，且更要注意內部的團結。李大潛幽默地說道：“有本事到江湖上闖，窩里斗要不得！”

多有氣派！

學術人生誠恒學問

做學問與練武功，其實都要達到最高境界。李大潛若有所思地說：“要臻至武學最高境界，必須博采各家之長，兼收并蓄，否則令狐沖亦難以獨步武林。而做學問也不能拘泥于一個門派。”讓李大潛慶幸的是，無論是蘇步青還是谷超豪，都有寬大的胸襟，都樂于讓弟子師從不同的名師，并主動安排他去法國留學，使他有機會向國際應用數學大師里翁斯院士學習。由此，李大潛悟到：越是出自“名門”，越要看到自己的不足，越要到外面接受鍛煉和教育。

在撲朔迷離的數學王國里，怎樣將基礎數學與應用數學巧妙地結合起來，怎樣將科學與人文融合起來？為此，李大潛大力鼓勵與支持開設數學建模、數學實驗等課程，為數學的教學改革打開了一片柳暗花明的新境界。法國科學院院長里翁斯教授由衷地說：“李大潛是一位享有世界聲譽的中國研究集體的學術帶頭人。他做出了一系列真正屬于國際第一流的貢獻。”

作為大數學家，李大潛先后擔任了復旦大學研究生院院長，國務院學位評定委員會數學學科評議組召集人，高等學校數學研究與高等人才培養中心主任等學術職位，周圍的人自然也常常要向他討教“成功的秘訣”。他總是毫不遲疑地否認有什么“成功的秘訣”，但他會哲理獨到地送四個字給勤奮努力的同學們：

第一個字是“誠”。這是做人的基本要求。大學也不是一片凈土，同學們應該成為誠實的典范，老老實實做人，老老實實辦事，老老實實做學問。

第二個字是“恒”。這是成功的基本保證。聰明和才能都要靠積累，沒有恒心，見異思遷，一曝十寒，天資再高的人也不可能有所成就。

第三個字是“學”。這是學生的主業。現在強調素質和創新能力，但素質和能力并非憑空產生，只有認真學習打好基礎，方能增長能力，提高素質。

第四個字是“問”。這是聰明的方法。學問之道重在問，不會發問，進不了科學大門，要問在點子上，問出水平來，非得認真思考。問老師、問同伴、問書本、問自己，先思后問，多思勤問，必有長進。