高中數學求最小值的方法范文

導語：如何才能寫好一篇高中數學求最小值的方法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

一般地，函數f（x）=x+■（k>0） 的圖像如下圖所示.

1. 當x>0時，在區間（0，■]上是減函數；在區間[■，+∞）上是增函數.在x=■時，有最小值2■.當且僅當x=■，即x=■時，f（x） ■=2■.

2. 當x

3. 當x>0時

① 若x∈（0，m]，當m■時，則f（x） ■=2■.

②若x∈[m，+∞），當m■時，則f（x） ■=■.

4. 當x

① 若x∈（-∞，m]，當m-■時，則f（x） ■=-2■.

② 若x∈[m，0），當m-■時，則f（x） ■=■.

例1：求y=x+■（x≠0）的最值

分析：當x>0時，y=x+■有最小值，當且僅當x=■時，即x=1時，y■=2；當x

解：當x>0時，且x=■時，即x=1時，y■=f（1）=2；當x

例2：求y=■的最值

分析：■=■=■+■，且■≥■>0，故當且僅當■=■，即x=±1時，有最小值2■.

解：方法1： ■=■=■+■，且■≥■>0，■=■，即x=±1時，y■=f（±1）=2■.

方法2：■=■=■+■，令■=t（t≥■），y=■+t（t≥■），當■=t，即t=■時，當t∈[■， ■]時，f（t）是單調減函數.當t∈[■，+∞]時，f（t）是單調增函數.故當■=t，即t=■時，y■=f（t） ■=f（■）=2■.

例3：擬造一底面積為64平方米，底面為矩形，高為2米的長方體水箱.由于受到空間的限制，底面的長、寬都不能超過10米若造價是每平方米20元（鐵皮的厚度不計）.求解下列問題：

① 試設計水箱的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價.

② 若水箱被隔成七個體積相等的長方體，求出最低造價.

解：①設水箱的底面長為x米，則寬為■米，又設總造價為y■元，則y■=20×2（64+2x+2×■）=2560+80（x+■）.

x>0，當且僅當x=■，即x=8時，y■=f（8）=3840.

又0

8∈[6.4，10]，而y=x+■在[6.4，8]上是單調減函數，在[8，10]上是單調增函數，y■=f（8）=3840，當水箱的長和寬都是8米時，造價最低，且最低造價是3840元.

②設水箱的底面長為x米，則寬為■米，又設總造價為y■元，則y■=20×（2×64+2×2x×+2×8×■）=2560+（x+■）.當x=■時，即x=16時，y■取最小值.

但6.4≤x≤10，16？埸[6.4，10]，y=x+■在[6.4，10]上是單調減函數，在[6.4，16）上亦為單調減函數.

y■=f（10）=2560+80（10+■）=5408，當y■=5408時，x=10，■=6.4.故水箱的長為10米，寬為6.4米時造價最低，且最低造價為5408元.

參考文獻：

[1]彭建濤.新課程背景下高中數學教學方法研究.教育教學論壇，2014（7）.

[2]周偉林.高中數學教學策略變革的相關探討.佳木斯教育學院院報，2013（4）.

[3]劉桂芬.基于有效教學下的高中數學教學探析.科學大眾，2014（8）.

[4]李本祿.數學解題常用思維方法簡析.數理化解題研究（高中版），2012（10）.

[5]曹文喜.求函數最值看四招.考試（高考?試題設計版），2011（12）.

篇2

一、高中學生數學思維障礙的形成原因

根據布魯納的認識發展理論，學習本身是一種認識過程，在這個課程中，個體的學是要通過已知的內部認知結構，對“從外到內”的輸入信息進行整理加工，以一種易于掌握的形式加以儲存，也就是說學生能從原有的知識結構中提取最有效的舊知識來吸納新知識，即找到新舊知識的“媒介點”，這樣，新舊知識在學生的頭腦中發生積極的相互作用和聯系，導致原有知識結構的不斷分化和重新組合，使學生獲得新知識。但是這個過程并非總是一次性成功的。一方面，如果在教學過程中，教師不顧學生的實際情況（即基礎）或不能覺察到學生的思維困難之處，而是任由教師按自己的思路或知識邏輯進行灌輸式教學，則到學生自己去解決問題時往往會感到無所適從；另一方面，當新的知識與學生原有的知識結構不相符時或者新舊知識中間缺乏必要的“媒介點”時，這些新知識就會被排斥或經“校正”后吸收。因此，如果教師的教學脫離學生的實際；如果學生在學習高中數學過程中，其新舊數學知識不能順利“交接”，那么這時就勢必會造成學生對所學知識認知上的不足、理解上的偏頗，從而在解決具體問題時就會產生思維障礙，影響學生解題能力的提高。

二、高中學生數學思維障礙的突破

1.在高中數學起始教學中，教師必須著重了解和掌握學生的基礎知識狀況，尤其在講解新知識時，要嚴格遵循學生認知發展的階段性特點，照顧到學生認知水平的個性差異，強調學生的主體意識，發展學生的主動精神，培養學生良好的意志品質；同時要培養學生學習數學的興趣。興趣是最好的老師，學生對數學學習有了興趣，才能產生數學思維的興奮灶，也就是更大程度地預防學生思維障礙的產生。教師可以幫助學生進一步明確學習的目的性，針對不同學生的實際情況，因材施教，分別給他們提出新的更高的奮斗目標，使學生有一種“跳一跳，就能摸到桃”的感覺，提高學生學好高中數學的信心。

例：高一年級學生剛進校時，一般我們都要復習一下二次函數的內容，而二次函數中最大、最小值尤其是含參數的二次函數的最大、小值的求法學生普遍感到比較困難，為此我作了如下題型設計，對突破學生的這個難點問題有很大的幫助，而且在整個操作過程中，學生普遍（包括基礎差的學生）情緒亢奮，思維始終保持活躍。設計如下：

1〉求出下列函數在x∈［0，3］時的最大、最小值：(1)y=（x－1）2＋1，(2)y=（x＋1）2＋1，(3)y=（x－4）2＋1

2〉求函數y=x2－2ax＋a2＋2，x∈［0，3］時的最小值。

3〉求函數y=x2－2x＋2，x∈［t，t＋1］的最小值。

上述設計層層遞進，每做完一題，適時指出解決這類問題的要點，大大地調動了學生學習的積極性，提高了課堂效率。

2.重視數學思想方法的教學，指導學生提高數學意識。數學意識是學生在解決數學問題時對自身行為的選擇，它既不是對基礎知識的具體應用，也不是對應用能力的評價，數學意識是指學生在面對數學問題時該做什么及怎么做，至于做得好壞，當屬技能問題，有時一些技能問題不是學生不懂，而是不知怎么做才合理，有的學生面對數學問題，首先想到的是套那個公式，模仿那道做過的題目求解，對沒見過或背景稍微陌生一點的題型便無從下手，無法解決，這是數學意識落后的表現。數學教學中，在強調基礎知識的準確性、規范性、熟練程度的同時，我們應該加強數學意識教學，指導學生以意識帶動雙基，將數學意識滲透到具體問題之中。如：設x2＋y2＝25，求u=的取值范圍。若采用常規的解題思路，μ的取值范圍不大容易求，但適當對u進行變形：轉而構造幾何圖形容易求得u∈［6，6］，這里對u的適當變形實際上是數學的轉換意識在起作用。因此，在數學教學中只有加強數學意識的教學，如“因果轉化意識”“類比轉化意識”等的教學，才能使學生面對數學問題得心應手、從容作答。所以，提高學生的數學意識是突破學生數學思維障礙的一個重要環節。

3.誘導學生暴露其原有的思維框架，消除思維定勢的消極作用。在高中數學教學中，我們不僅僅是傳授數學知識，培養學生的思維能力也應是我們的教學活動中相當重要的一部分。而誘導學生暴露其原有的思維框架，包括結論、例證、推論等對于突破學生的數學思維障礙會起到極其重要的作用。

篇3

關鍵詞：數形結合；高中數學；選擇題

【中圖分類號】G633.6

高中數學是學生學習數學的重要階段，學生的很多重要基礎都開始在高中的數學學習階段開始掌握，與初中階段的數學學習相比，高中的數學學習對學生的數學思維要求更高，已經脫離了小學、初中階段直來直去的思維方式，開始出現思維方法上的要求，很多高中題型，存在著一題多解的現象，簡便的方法可以讓學生節約答題時間，提高成績，而如何尋找到簡便方法，就牽涉到了數學方法和數學思維，其中，數形結合法就是高中階段學生必須掌握的一種數學方法，也是高中階段考察的重點，尤其是在選擇題中容易出現需要學生特別的掌握。

有效地運用圖形結合法，可使問題由復雜變得簡單，抽象變得具體，進而便于學生們接受和理解[1]

一、以數助形，簡潔直觀

對于一些比較復雜的圖形，若果單純從幾何的方面去考慮，可能繞來繞去，陷入了困境，這時候可以考慮將圖形條件適當的代數化，根據題意要求，把“形”的特征正確的表達成為“數”的性質，進行解題。[2]

例1：（2010全國卷1文數）已知圓 的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，那么 的最小值為（）

A． B．C． D．

思路解析：如圖所示：設PA=PB=,∠APO= ,則∠APB= ，PO= ， ，

= = = ，令 ，則 ，即 ，由 是實數，所以

， ，解得 或 .故 .此時 .

二、以數轉形，直觀深刻

在處理到代數問題時，并不像面對幾何問題那樣很容易的就想到數形的轉化,若不借助形的輔助往往會事倍功半,陷入題海無法自拔。[3]相反，如果善于借助圖形簡潔直觀的特點，把代數問題轉化成幾何圖形，有助于尋找突破口。

例2：方程 的實根的個數為（）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

畫出 在同一坐標系中的圖象即可。確定lgx=1的解為x=10，y=lgx在(0，+∞)內遞增， ，所以 和 的圖象應該有三個交點。

例3. 定義在 上的函數 在 上為增函數，且函數 的圖象的對稱軸為 ，則（）

A. B.

C. D.

解： 的圖象是由 的圖象向左平移2個單位而得到的，又知 的圖象關于直線 （即 軸）對稱，故可推知， 的圖象關于直線 對稱，由 在 上為增函數，可知 在 上為減函數，依此易比較函數值的大小。

實際上，在高中數學里面，經常會遇到關于方程（組）解的個數問題，如果通過正面不好計算，都可以考慮數形結合去求解。

例4. 函數u＝ 的最值是（）．

A. 最大值為2 ，最小值為2 B. 最大值為3 ，最小值為2

C. 最大值為6 ，最小值為3 D. 最大值為10 ，最小值為2

分析：觀察得2t+4+2(6－t)＝16，若設x= ，y= ，則有x2+2y2=16，再令u=x+y則轉化為直線與橢圓的關系問題來解決．

解：令 ＝x,=y, 則x2+2y2=16, x≥0, y≥0, 再設u=x+y, 由于直線與橢圓的交點隨著u的變化而變化，易知，當直線與橢圓相切時截距u取得最大值，過點(0，2 )時，u取得最小值2 ， 解方程組 ，得3x2－4ux+2u2－16=0,

令=0, 解得u=±2 .

所以u的最大值為2 ，最小值為2選A

例5. 已知A（1，1）為橢圓 =1內一點，F1為橢圓左焦點，P為橢圓上一動點

求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值是（）

A.B.

C. D.

解：將原方程化為

，且

令 ，它表示傾角為 的直線系，

令 ，它表示焦點在 軸上，頂點為 的等軸雙曲線在 軸上方的部分，

原方程有解

兩個函數的圖象有交點，由下圖知 或

的取值范圍為 選A

例6：某單位共有員工50名，為了鍛煉員工的身體素質，單位組織員工參加體育活動小組，已知員工每人至少參加一個體育活動項目小組，參加跑步、跳高、羽毛球小組的人數分別為27、26、16，同時參加跑步、跳高小組的9 人，同時參加跑步、羽毛球小組的7 人，同時參加跳高、羽毛球小組的人數為8，問：同時參加跑步、跳高、羽毛球小組的有（ ）人

A.1B.2 C.3D.5

思路解析：本題屬于典型的集合問題，如果單純根據題意里面的數量關系去解答，非常容易出現混亂，但是如果借助于文氏圖，則關系一目了然。

我們用三個圓來表示跑步、跳高、羽毛球小組的人數，分別是A、B、C，通過下圖我們可以觀察的到，三個圓兩兩相交，相交重合的的地方就是表示共同參加活動的人數部分，同時參加跳高、羽毛球小組的人數就是三個圓共同的交集。如果用n表示集合的元素,則有：

n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(A∩C)−n(B∩C)+n(A∩B∩C)=50

即27 +26+16−9−7−8+n(A∩B∩C)=50；故n(A∩B∩C)=5, 同時參加跑步、跳高、羽毛球小組的有5人 選D

結語

數形結合是數學中重要的一種思維方法，通過“數”與“形”，“形”與“數”的互相轉換去解決問題，讓抽象的圖形關系轉化成簡潔明了的代數關系，讓復雜的代數關系轉化成直觀的幾何圖形關系，通過轉化，可以有效地開拓思路，找到簡明的解題思路，

參考文獻：

[1] 宋端坤. 淺談數形結合思想在高中數學解題中的應用[J]. 數學學習與研究, 2013,(21) .

篇4

一、求最值

例1 求函數f（x）= + 的最大值和最小值。（2013年江西高中數學聯賽題）

分析：此題考查的是形如y= + 的無理函數最值的求法，它是高中數學的一個難點內容，充分利用好三角換元，會使求解過程快捷。

解：因為3x-6≥0，3-x≥0，所以可求出函數f（x）= + 的定義域為[2，3]，從而可設x=2+sin2θ（0≤θ≤ ），故可設f（x）= + = + = sinθ+cosθ=2sin（θ+ ），而 ≤θ+ ≤ ，這時 ≤sin（θ+ ）≤1，所以1≤f（x）≤2，故此函數f（x）的最大值為2，最小值為1。

評注：解此題的關鍵是通過三角換元把無理函數轉化為三角函數，試題別具特色，精致小巧，能較好地考查學生的數學思維水平。上述解法簡潔明快，自然流暢。

變式一：設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為_________。（2011年浙江省數學高考理科試題）

解：現將4x2+y2+xy=1，配方得（y+ ）2+（ x）2=1，再令y+ =sinθ， x=cosθ（θ∈R），

即x= cosθ，y=sinθ- cosθ，從而得2x+y= cosθ+sinθ- cosθ= cosθ+sinθ= sin（θ+φ），故- ≤2x+y≤ ，即2x+y的最大值為 。

變式二：設a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，則 的最小值為__________。（2014年陜西省數學高考理科試題第15題）

分析：根據題設結構，可利用三角換元。

解：由a2+b2=5，設a= sinθ，b= cosθ，則ma+nb=m sinθ+n cosθ= sin（θ+φ）=5，所以 sin（θ+φ）= ≤ ，所以 的最小值為 。

二、求解不等式

例2 解不等式 - > 。（第四屆IMO試題）

解：由-1≤x≤3，得0≤ ≤1，由sin2θ+cos2θ=1，知可設 =cos2θ，θ∈[0， ]，

于是原不等式等價于sinθ-cosθ> ，sin2θ+cos2θ=1，即32cos2θ+8cosθ-15

評析：本題應用三角換元求解無理不等式，不僅減少了計算量，而且思維自然，解法流暢，思維流程創新，對學生的解題能力，大有益處。

變式一：已知x，y，z∈R+，且xyz+x+z-y=0，求證： + +

解：由y= ，tan（α+β）= ，可設x=tanα，z=tanβ，（0

2[cos2α+cos2β+cos2（α+β）]

三、求解方程（組）

例3 解方程x +y =xy。

解：由 ≥0， ≥0，知x≥1，y≥1，

由1+tan2θ=sec2θ，可設x=sec2α，y=sec2β，（0≤α，β< ）

則原方程變形為sin2α+sin2β=2，

又sin2α≤1，sin2β≤1，

所以sin2α=1，sin2β=1，即α=β= ，

故有x=y=2。

篇5

一、數學思維障礙的成因分析

學習本身是一種認識過程，在這個課程中，個體的學是要通過已知的內部認知結構，對從外到內的輸入信息進行整理加工，以一種易于掌握的形式加以儲存，也就是說學生能從原有的知識結構中提取最有效的舊知識來吸納新知識，即找到新舊知識的媒介點，這樣，新舊知識在學生的頭腦中發生積極的相互作用和聯系，導致原有知識結構的不斷分化和重新組合，使學生獲得新知識。一方面，如果在教學過程中，教師不顧學生的實際情況或不能覺察到學生的思維困難之處，而是任由教師按自己的思路或知識邏輯進行灌輸式教學，則到學生自己去解決問題時往往會感到無所適從，另一方面，當新的知識與學生原有的知識結構不相符時或者新舊知識中間缺乏必要的媒介點時，這些新知識就會被排斥或經校正后吸收。因此，如果教師的教學脫離學生的實際；如果學生在學習高中數學過程中，其新舊數學知識不能順利交接，那么這時就勢必會造成學生對所學知識認知上的不足、理解上的偏頗，從而在解決具體問題時就會產生思維障礙，影響學生解題能力的提高。

二、如何應對高中學生數學思維障礙

1.提高興趣，樹立信心。在高中數學起始教學中，教師必須著重了解和掌握學生的基礎知識狀況，尤其在講解新知識時，要嚴格遵循學生認知發展的階段性特點，照顧到學生認知水平的個性差異，強調學生的主體意識，發展學生的主動精神，培養學生良好的意志品質；同時要培養學生學習數學的興趣。“興趣是最好的老師”，學生對數學學習有了興趣，才能產生數學思維的興奮點，也就是更大程度地預防學生思維障礙的產生。教師可以幫助學生進一步明確學習的目的性，針對不同學生的實際情況，因材施教，分別給他們提出新的更高的奮斗目標，提高學生學好高中數學的信心。

譬如，高一年級學生剛進校時，一般我們都要復習一下二次函數的內容，而二次函數中最大、最小值，尤其是含參數的二次函數的最大、小值的求法學生普遍感到比較困難，為此我作了如下題型設計，對突破學生的這個難點問題有很大的幫助，而且在整個操作過程中，學生普遍（包括基礎差的學生）情緒亢奮，思維始終保持活躍。設計如下：

（1）求出下列函數在x∈［0，3］時的最大、最小值：①y=（x-1）2+1，②y=（x+1）2+1，③y=（x-4）2+1。

（2）求函數y=x2-2ax+a2+2，x∈［0，3］時的最小值。

（3）求函數y=x2-2x+2，x∈［t，t+1］的最小值。

上述設計層層遞進，每做完一題，適時指出解決這類問題的要點，大大地調動了學生學習的積極性，提高了課堂效率。

2.強化意識，培養習慣。重視數學思想方法的教學，指導學生提高數學意識。數學意識是學生在解決數學問題時對自身行為的選擇，它既不是對基礎知識的具體應用，也不是對應用能力的評價，數學意識是指學生在面對數學問題時該做什么及怎么做，至于做得好壞，當屬技能問題，有時一些技能問題不是學生不懂，而是不知怎么做才合理，有的學生面對數學問題，首先想到的是套那個公式，模仿那道做過的題目求解，對沒見過或背景稍微陌生一點的題型便無從下手，無法解決，這是數學意識落后的表現。數學教學中，在強調基礎知識的準確性、規范性、熟練程度的同時，我們應該加強數學意識教學，指導學生以意識帶動雙基，將數學意識滲透到具體問題之中。因此，在數學教學中只有加強數學意識的教學，如“因果轉化意識”、“類比轉化意識”等的教學，才能使學生面對數學問題得心應手、從容作答。所以，提高學生的數學意識是突破學生數學思維障礙的一個重要環節。

3.誘導學生暴露其原有的思維框架，消除思維定勢的消極作用。在高中數學教學中，我們不僅僅是傳授數學知識，培養學生的思維能力也應是我們的教學活動中相當重要的一部分。而誘導學生暴露其原有的思維框架，包括結論、例證、推論等對于突破學生的數學思維障礙會起到極其重要的作用。

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【關鍵詞】高中數學；二次函數

要對高中數學二次函數基本概念和基本性質（圖象以及單調性、奇偶性、有界性）靈活應用，對二次函數進行了根本深入學習。

一、進一步深入理解函數概念

二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射?:AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對應，記為?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

類型I：已知?(x)= 2x2+x+2，求?(x+1)

這里不能把?(x+1)理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值。

類型Ⅱ：設?(x+1)=x2－4x+1,求?(x)

這個問題理解為，已知對應法則?下，定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質是求對應法則。

一般有兩種方法：

(1)把所給表達式表示成x+1的多項式。

?(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得?(x)=x2－6x+6

(2) 變量代換：它的適應性強，對一般函數都可適用。

令t=x+1，則x=t-1

(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6從而?(x)= x2－6x+6

二、二次函數的單調性，最值與圖象。

在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax2+bx+c在區間（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞） 上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖象的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖象學次函數有關的一些函數單調性。

類型Ⅲ：畫出下列函數的圖象，并通過圖象研究其單調性。

（1）y=x2+2|x－1|－1

（2）y=|x2－1|

（3）= x2+2|x|－1

這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系。掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖象。

類型Ⅳ設?(x)=x2－2x－1在區間[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求：g(t)并畫出 y=g(t)的圖象

解：?(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，

在x=1時取最小值－2

當1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2

當t＞1時，g(t)=?(t)=t2－2t－1

當t＜0時，g(t)=?(t+1)=t2－2

t2－2, (t

g(t)= -2，(0≤t≤1)

t2－2t－1, (t>1)

首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。

如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求該函數的值域。

三、二次函數的知識，可以準確反映學生的數學思維：

類型Ⅴ：設二次函數?(x)=ax2+bx+c(a>0)方程?(x)－x=0的兩個根x1，x2滿足0

(Ⅰ)當X∈(0,x1)時，證明X

(Ⅱ)設函數?(x)的圖象關于直線x=x0對稱，證明x0

解題思路：

本題要證明的是x

(Ⅰ)先證明x

所以能?(x)=a(x－x1)(x－x2)

因為0

根據韋達定理,有 x1x2=ca 0＜x1＜x2

即x

(Ⅱ) ?(x)=ax2+bx+c=a（x+－b2a ）2+(c－ ),（a>0）

函數?(x)的圖象的對稱軸為直線x=－b2a ,且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=－b2a ，因為x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根據違達定理得，x1+x2=－b-1a ，x2－1a

x0=－b2a =12 （x1+x2－1a ）

二次函數，它有豐富的內涵和外延。作為最基本的冪函數，可以以它為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。

篇7

【關鍵詞】數學思想方法；高中數學；函數教學

函數是高中數學的重點教學內容，也是學生重點掌握知識，函數知識具有獨特的整體性與邏輯性.再加上函數知識在生活中常常遇到，函數知識能夠幫助學生解決生活中遇到的問題，從而有效顯示數學知識的價值.因此，作為數學重要知識的函數，在教學過程中教師應該注重培養學生數學思想，有利于學生運用數學知識有效解決函數問題.

一、滲透舉一反三的數學思想方法

在學習高中數學的時候，有效的解題方法是培養學生數學思想方法的基礎，因此在學習高中函數的過程中就可以采用舉一反三的方式培養學生解題的思路，針對一些典型的數學例題進行重復練習，增強學生對這類型題目理解和掌握程度！

在高中數學學習過程中，科學合理的解題方法是培養學生數學思想的基礎，所以在高中函數教學過程中可以滲透舉一反三的數學思想，重復練習一些典型的數學立體，提高學生對這一類型函數題目的理解與掌握.例如，在講解“求y=x2+4x-2同橫坐標存在幾個交叉點”時，老師講解完這一類型題目的知識點后，便基于這一知識點設計一系列有關問題，例如，“求y=x2+4x-2與x=4的交點”和“求y=x2+4x-2與橫坐標存在幾個交點”等各種問題，要求學生根據所學知識進行解答，從而培養學生舉一反三的數學思想.

二、滲透化歸數學思想方法

化歸數學思想是指把未知的問題轉變為已有知識范圍內能夠解決問題的一種數學思想方法，這一思想方法能夠把陌生、抽象、復雜的問題轉變為熟悉、具體、簡單的問題.化歸思想方法是高中數學函數教學和學習的主要方法，其應用于整個函數學習過程中，引導學生合理轉化問題，剖析出已知條件同結題目標之間的關聯.滲透化歸數學思想，有助于培養學生抽象思維、創造性思維、發散思維與想象思維，從而提高學生分析與解決問題的能力.

例如，設|a|≤1，函數f（x）=ax2+x-a，求：當x≤1時，|f（x）|≤54.這便是二元函數求最小值的題目，應該采用化歸思想方法把這道題轉化為一元函數求最值.如果把a看作主元，問題中函數當作a的一次函數，那么便能夠將題目轉化為：一次函數g（a）=（x2-1）a+x的最小值不得≥1，求其范圍，解題過程如下：

設g（a）=（x2-1）a+x，a∈[-1，1]，x∈[-1，1].當x2-1=0時，g（a）=±1，因此能夠得知，|f（x）|=lg（a）≤54成立；當x2-1≠0時，g（a）便是a的一次函數，因此只需要證明g（±1）≤54，同時g（1）=x2+x-1=x+1[]22-54，-54≤g（1）≤1；g（1）=-x2+x+1=-x-1[]22+54，-1≤g（-1）≤54，即|g（a）|≤54，lg（±1）≤54，因此|f（x）|≤54.

三、滲透數形結合數學思想方法

數形結合是數學中常見的思想方法之一.其能夠采用直觀的方法將抽象的數量關系在空間或平面上表現出來，能夠巧妙地將抽象思維和形象思維集合起來處理各種數學問題的解題方式.偉大數學家華羅庚曾講到“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，割裂分家萬事休.”如果只是憑借數量關系難以著手解決問題，如果把數量關系轉變為相對應的圖形，同時利用其圖形規律性來進行確定，借助直觀易懂的圖形來秒回出數量之間的關系，能夠將復雜難懂的函數問題轉變為簡單、容易的圖形問題進行解決.因此，對于一些抽象的函數題，教師在講解過程中應該引導學生采用數形結合的思想方法，輕松解答出答案.例如，求y=（cosθ-cosα+3）2+（sinθ-sinα-2）2的最值（θ，α∈R），能夠利用距離函數模型來解答該題.

四、滲透分類討論數學思想方法

分類討論數學思想是一種“化整為零為整”的方法.在解決和分析數學問題時，研究對象難以進行統一研究的情況下便可以按照數學對象的本質屬性的不同之處，把問題對象劃分為不同的類別，然后再一一進行研究討論，從而最終有效解決整個數學問題.

篇8

多數學生覺得數學難學，“一聽就會，一做就錯”，關鍵在于一個“悟”字，只要學會悟數學，用內心的體念與創造來學習數學，就會使學生獲取一個善于思考的腦袋。而數學的悟性不是天生俱來的，而是后天培養獲得的，正確認識、科學培養和合理訓練可以有效地提高學生的數學的悟性。要學好高中數學，應在平時的教學中抓住數學的本質，多從概念、性質、內容、數學問題本身的特征，以及猜想、歸納、轉化之中多思多想，定能發現解題的捷徑，使問題簡單。我們應在平時的教學中注重培養學生數學學習的悟性，養成善思、勤奮的好習慣。

【關鍵詞】高中數學 科學培養 數學學習 悟性

如今多數學生覺得高中數學難學，拿到一道習題往往無從下手，常聽學生說：一聽就會，一做就錯。這是什么原因呢？就是因為自己沒有把老師講的悟透。悟性的培養重在一個“悟”字。美國國家數學教育委員會在《人人關心數學教育的未來》的報告中指出：“實在說來，沒有人能教好數學，好的數學老師不是在教數學，而是激發學生自己去學數學”，“學生要牢固地掌握數學，就必須用內心的創造與體念來學習數學”。因此，學生來到學校決不是為了領取一只知識的行囊，而是為了獲取一個善于思考的腦袋，即充分培養學生的悟性。而數學的悟性不是天生俱來的，而是后天培養獲得的，正確認識、科學培養和合理訓練可以有效地提高學生的數學的悟性。下面就自己從幾個方面談談數學悟性的培養：

1.從定義、定理、公式中培養

悟性并不神秘，它源于基礎又回歸基礎，盡管在表面上它與以前獲得的知識相差甚遠，但實際上卻是對以前積累起來的知識、經驗、方法、技能的再現、遷移、重組、變換、改造和升華。只有夯實了基礎，才能在關鍵時刻“眉頭一皺、‘悟’上心來”。

例1：判斷函數

f（x）=x+2 （x＜-1）

0 （-1 ≤x≤1） 的奇偶性。

-x+2（x＞1）

分析：此函數為一分數函數，判斷函數的奇偶性，還得從函數奇偶性定義入手，考慮整個定義域，在整個定義域上是奇函數還是偶函數。

解：該函數的定義域為R，定義域關于原點對稱：

當x＜-1時，-x＞1

f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）

當|x|≤1時，|-x|≤1

f（-x）=0=f（x）

當x＞-1時，-x＜1

f（-x）=-x+2=f（x）

對一切x∈R,都有f（-x）=f（x），因此函數f（x）是偶函數。

2.從圖象中培養

有些數學問題，用定義、公式無法解出來，若結合函數的圖象，就能找準思維起點，再加上合理推理，就能使問題的解決簡潔明了。

例2：已知函數

f（x）= |logx|， 0 ＜x≤10

-12c+b, x＞10

若a、b、c互不相等，且f（a）= f（b）= f（c）,則abc的取值范圍是

解：作出此函數的圖象：

不妨設a＜b＜c，由f（a）= f（b）= f（c）及f（x）圖象知：

110＜a＜1＜b＜10＜c＜12，-loga=logb=-12c+b

ab=1

abc取值范圍為（10，12）

3.從相關性質中培養

許多數學問題，除了從定義、圖象抓中求解的方法之外，還應從數學問題本身的性質考慮解題的方法，可能會使問題迎刃而解：

例3：已知{an}為等差數列，若a11a10＜-1，且它的前n和Sn有最大值，那么，Sn取得最小值時，n等于

解：由可知條件可知，等差數列{an}是首項為正，公差為負的遞減數列，由a11a10＜-1，可得a11＜0，a10＞0，且a10+a11＜0，

S20=(a1+a20)×202=20(a10+a11)2＜0

S19=19(a1+a19)2=19a10 ＞0

當Sn取得最小值時，n=19

4.從問題的轉化中培養

“數學家們往往不是對問題進行正面攻擊，而是不斷地將它變形，直到把它轉化成能夠得到解決的問題。”這就是專家們提到的轉化的思想。事實上，并非所有的問題只要一審題，就來了思路，有時對問題的條件和結論進行不斷轉化就能求解。

例4：X∈R，求函數y=x2+2x+2+x2+4x+8的最小值

分析：求這樣的無理函數的最小值，用代數法較難，作如下變形：

y=(x+1)2+(0+1)2+(x－2)2+(0－2)2y

設P（x,0）,A（-1,-1）,B（2,2），如圖：于是求y的最小值轉化為求x軸上的一點P，使|PA|+|PB|最小，顯然|PA|+|PB|≥|AB|=(2+1)2+(2+1)2=32上式中當x=0時，等號成立，故當x=0時，y的最小值為32。

5.從問題的討論中培養

解題的過程是從題目的條件不斷向問題的結果變形靠近。數學知識的最大特點就是系統性強，新知識是舊知識的延伸、拓展。許多新知，學生均能依賴原有的知識遷移規律類推而得到解決，這時適當展開討論，不僅增強了學生參與學習的興趣，而且有助于學生理解和掌握新知，收到事倍功半的效果。

例如：在學習基本不等式：a+b≥2ab(a>0,b>0)求有關非二次函數極值時，我們必須強調它使用的條件是“一正二定三相等”。“一正”是指a,b滿足正數條件，“二定”是指a,b兩數的和或積有一個是定值，“三相等”是指等號能否成立。為此，我擬了三個求函數最值的題目供大家討論加深對條件的理解和應用：

（1）f(x)=x+1x(x>0)

(2) f(x) =x+1x(x

(3)f(x)=x2+5x2+4

其結果是多數學生較輕松地完成（1）、（2）兩題。對于（3）有的學生作了如下的分析：f(x)=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4≥2.

因此f(x)的最小值為2.“有沒有問題？”我問，一石激起千層浪，同學們大多顯出驚訝與不解，“能取到2嗎？”我又乘勢追問。經過一番激烈的討論，大家從x2+4=1x2+4，即x+4=1，此方程無解，因此等號不能成立，但大于號是成立的，大家從中檢驗到“相等”的重要性。此刻的頓悟所帶來的滿足感溢于言表。接著，在師生的共同參與下，利用f(t)=t+1t在［1，+∞）上的單調性求出了f(x)的最小值為2.5。這不僅使學生拓寬了視野，還加強了前后的聯系。在相互的學習討論中也提高了思維能力。

6.從大膽的猜想中培養

俗話說：大膽的猜想，是創造發明的先導，沒有猜想，就永遠不能得出新的結論。

例6：在計算“1×2+2×3+…n(n+1)”時，有同學用到了如下一種方法：

k(k+1)=13［k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)］

因此：1×2+2×3+…n(n+1)

=13［1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+ n（n+1)（n+2）-（n-1)n（n+1)］

=13n（n+1)（n+2）

你可猜想：1×2×3+2×3×4+…n(n+1)(n+2)=

分析：根據求1×2+2×3+…n(n+1)的解法可大膽猜想：

1×2×3+2×3×4+…n(n+1)(n+2)=14 n（n+1)（n+2）（n+3）

篇9

【關鍵詞】數學銜接；原因；實際情況；教學方法

從初中進入高中，學生們都感到很興奮。但是，隨著學習的深入，學生們難免會受到打擊。在學習過程中，越來越多的不適應現象隨之而來。在數學學科上學生所表現出來的不適應性較大。許多學生在升入高中之后，出現數學成績逐步下滑，甚至數學成績不及格的現象，嚴重影響了學生數學學習的欲望，打擊了學生數學學習的自信心。

數學是一門基礎的學科，對其它學科的學習和今后的生活、工作都有著重要的影響。許多高一新生在深入高中之后，出現數學成績下降，和他們不能及時適應高中的數學學習有很大的關系。初中數學和高中數學有著明顯的不同，高中教師的教學和初中教師的教學也存在著差異。面對高一學生數學學習的現狀，作為一名高中數學教師，要努力做好初高中數學教學工作的銜接工作，讓學生盡快適應高中的數學學習，培養學生數學學習的興趣，以讓學生在更加愉快的學習氛圍當中進行數學知識的探究和思考，為學生今后走上社會，更好地適應社會奠定基礎。

筆者在高中從事數學教學工作多年，在多年的數學教學中筆者認識到盡快讓高一學生適應高中數學學習的重要性，針對高一學生數學學習的情況，筆者也進行以一些研究，得到了一些有效的教學方法。現結合教學實踐，談談如何更好地進行初高中數學教學工作的銜接。

一、高一新生數學學習成績下滑的原因。

1、初高中數學教學內容上的差異。

初中數學知識比較簡單，在初中數學教材中，對知識的表達也比較形象，學生們感到通俗易懂，使得初中數學教學的內容難度大大降低。而高中數學教學的內容和初中數學教學內容有著明顯的不同。高中數學知識不僅在量上有所增加，在知識的難度上也有所加深。但是，由于高中學習任務緊，不可能在學時上有所增加，這就為學生學好數學帶來了困難。同時，高中數學教學對學生的抽象思維能力提出了更高的要求，高中數學知識變得更加復雜，在知識的理解上給學生帶來了障礙。

2、教師教學方法的差異。

由于初中學習的內容少并且簡單，教師有充足的時間照顧到全體學生，也有足夠的時間對教學內容進行反復的講解。通過教師的反復講解和學生大量的練習，學生們對所學的知識掌握較好。而進入高中之后，由于教學任務重，使得課堂教學的容量加大，教學進度加快，教師沒有太多的時間對學生進行督促和檢查，需要學生自己在課下能夠及時地對知識進行復習和鞏固。進入高中之后，學生們對高中數學教學方法不能及時適應，在數學學習上很快出現落后的現象。

二、做好初高中數學教學銜接工作的措施。

1、從學生的實際情況入手，做好教學的銜接工作。

教師要做好初高中數學教學的銜接工作，就要從學生的實際情況出發，以學生為中心展開教學工作。在學生升入高中之后，教師首先要通過多種途徑對學生進行全面的了解和調查。教師要摸清學生的數學基礎、認知水平以及數學知識的接受能力。只有從學生的實際出發組織課堂教學，才能夠使數學教學工作更有針對性。

除了要對學生做到清晰的了解之外，教師還要對初中的數學教學進行全面的了解，對初高中數學教學知識點進行分析和對比，找到它們之間的關聯點和不同之處，從初中教材中已有的知識點入手，進行高中數學教學工作，會讓學生更有認同感。

俗話說“知己知彼，百戰不殆。”只要教師對學生、初高中數學教材進行了深入透徹的分析，并根據實際情況合理組織數學教學工作，一定能夠激發學生數學學習的興趣，讓學生在數學學習上取得成功。

2、做好教學方法的銜接，為學生學好數學提供保障。

教學方法在課堂教學中起著重要的作用。只有教師采用科學有效的教學方法，才能提高課堂教學的效率。由于學生對初高中數學教學方法不能做好轉變和適應，導致學生進入高中之后數學成績下降。作為一名數學教師，做好教學方法的銜接十分重要。

在初中數學學習中，由于知識比較簡單，并且初中數學教材中一般以形象的手段進行知識的展示，學生感到數學學習比較容易，在數學學習上表現的十分輕松。但是，高中數學知識比較抽象，邏輯性較強，對學生的抽象思維能力的要求較高。但是，高一學生的抽象思維能力不能夠很快達到教學內容的要求，在數學知識的理解上就表現的比較困難。作為一名高中數學教師，在進行數學知識的講解時，不能夠只是按照教材進行內容的講授，要從實際情況出發，選擇學生能夠適應的教學方法。教師要善于通過形象、生動的教學手段展示抽象的數學知識，讓學生對數學知識先獲得感性上的認識，進而內化為理性認識。通過這種教學手段的采用，學生們會感到數學學習更加有趣。

3、關注全體學生，促進全體學生數學能力的提高。

新課改中要求，在課堂教學中要促進全體學生的共同發展。由于學生之間存在著個體差異，不可能在數學學習上處于同一個水平。但是，每個學生都是課堂教學的主體，都希望得到發展。因此，在課堂教學中，教師要關注全體學生，讓沒有學生在高一時就對數學學習產生興趣，能夠跟上數學課堂教學的進度。教師要根據不同學生的數學水平，設計出不同層次的問題，照顧到每一位學生，做到因材施教。

例如：在學生剛剛進入高一，對二次函數的內容進行復習時，教師可以設計這樣的一個練習，以調動全體學生的參與性，讓全體學生都數學學習欲望都被激發：

（1）求出下列函數在x∈[0，3]時的最大、最小值：

①y=（x-1）2+1，②y=（x+1）2+1，③y=（x-4）2+1

（2）求函數y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]時的最小值。

篇10

【關鍵詞】新課標；高中數學；習題教學；探析

數學習題作為數學知識要義、教師教學意圖以及教材目標要求等方面的有效“承載”和生動“代言”，在數學課堂教學進程中占據不可替代的重要地位，并在助推教學進程中發揮著積極顯著的深刻功效。課堂之中的習題教學，表面看似解題思路和方法的探求過程，實際上貫徹著教學的目標要求、滲透著先進的教學理念、體現著教者的教學技能、執行著能力培養的要旨。讓學生在習題教學中提升解決問題的技能，在習題探析中實現能力素養的升華，是新課程改革背景下，高中數學課堂教師習題教學的出發點和落腳點。鑒于上述的認知和感悟，本人現簡要闡述新課標背景下的高中數學習題教學活動的實施。

一、抓住教材知識要義，實施互動式習題教學

教師在數學習題教學進程中的重要目的之一就是鞏固所學數學知識、強化已有數學經驗。具備堅實的數學知識根基、良好的數學知識素養，是學生主體有效認知數學問題、正確解決問題、提高解體技能的重要前提和知識保障。教育運動學認為，教師與學生之間應該是雙向、互動、交流的發展過程，師生只有深入其中、積極配合，才能實現學與教之間的科學融合，有機統一。筆者以為，教師習題教學應成為師與生深入互動、深刻交流的“橋梁”，應成為鞏固強化數學知識素養的重要“階梯”。因此，高中數學教師習題教學，不能好高騖遠，將解題技能培養作為唯一要務，而應該重視基礎工作和要點教學，通過開展師與生之間的深刻互動活動，深入挖掘數學習題中隱含和呈現的數學知識點，及時回顧和復習相關知識點內容，實現問題有效解答和數學知識升華的完美統一。

如“兩條直線位置關系判定”一節課教學中，教師在鞏固練習環節，設置了“已知兩直線l1：x+ysinθ-1=0和l2：2xsinθ+y+1=0，試求θ的值，使得兩直線平行和垂直”習題，組織高中生開展習題解答活動。教師抓住鞏固練習習題在強化數學知識點方面的積極功效，將復習該節課數學知識點內容作為重要任務之一，引導高中生開展該習題條件及要求的認知和解析活動，高中生通過數學問題條件感知活動，認識到該習題主要考察“對兩條直線的垂直和平行的判定”。此時，教師因勢利導進行相關數學知識點的回頭看活動，組織高中生對已學的“兩條直線的位置關系判定內容以及已知三角函數值求角的大小”等相關數學知識點的要義以及注意事項等方面進行全面深刻的研習和鞏固，并結合問題條件獲取該習題的解題思路。教師針對高中生認知相關知識點的實情進行及時的鞏固和強化補充。在此習題教學進程中，高中生不僅以題為媒，由此及彼，實現對所學知識點的及時鞏固強化，同時還對數學習題解析思路有了深刻認知，效果顯著。

二、注重探究過程指導，實施探究式習題教學

高中數學課程改革實施綱要強調指出：“學科教學的根本出發點和落點是學生主體能力素養的培養，培養學生探究、思維、實踐等方面的數學學習能力，是教師課堂教學的重要任務之一，教學工作者應在教學進程中予以深入貫徹和有效落實。”習題教學作為課堂教學不可或缺的實踐活動之一，就必須將學生主體的動手操作、推理分析等數學活動融入其中，在探究式習題教學中，實現數學解題能力的提升和進步。教師講解高中數學習題，既要重視解題策略傳授，更要強化探究過程教學，有意識的延伸習題思路探知、問題解題方法辨析、數學問題過程展示等環節進程，并讓高中生滲透和參與其中，親身參與、親自探知，成為現場“當事人”，在深入有效探究解析中，實現數學解題能力的錘煉和提升。

問題：已知二次函數f（x）滿足條件f（0）=1和f（x+1）-f（x）=f（2x），試求出f（x）和f（x）在區間[-1，1]上的最大值和最小值。

高中生分析習題條件，指出：“該問題主要考查關于二次函數在閉區間上的最值運用”。

教師組織高中生結合習題要求，進行合作探究分析活動，高中生探究獲取解題思路：“設f（x）=ax2+bx+c；則f（x+1）-f（x）=2ax+a+b，求出a，b，c相應的值從而求出f（x）的解析式。要求最小值和最大值，可以對函數進行配方，結合二次函數在閉區間上的單調性分別求出涵數的最值。

教師根據高中生解析思路予以評點，強調指出：“本題主要利用待定系數法求解函數解析式以及最值的求解，要注意所給區間的單調性。”

高中生依據教師指點，補充完善進行解題活動。

三、凸顯評判促進功效，實施反思式習題教學

筆者在平時的習題教學課觀摩中發現，有極少數教師習題講解往往止步于解題方法的規律，而沒有對學生主體在解析習題中的成效予以點評和指導，不利于高中生良好解題方法和習慣的養成和形成。教育學認為，教師的主導作用應通過“導”的活動予以呈現。因此，高中數學教師開展習題教學，要充分利用評價教學所表現出來的指導促進功效，將解題過程評價作為習題教學有效延伸和生動補充，通過評判手段，引導高中生深刻思考解題得失、思路優劣、表現好差，從而促進高中生更加深入的自我反思和深刻剖析，在師與生的共同作用下形成良好解題習慣。

除此之外，高中數學教師開展習題講解，還要利用數學習題發散特性，舉一反三，設置多樣性、發散性的數學習題，引導高中生深入思考研習，錘煉和培養他們的數學綜合應用能力。

【參考文獻】