高中數學圓和橢圓的知識點范文

導語：如何才能寫好一篇高中數學圓和橢圓的知識點，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

一、數形結合思想，增強直觀感受

師：同學們，在我們的生活中存在著各種各樣的橢圓，你們知道橢圓是如何畫出來的嗎？橢圓又有什么性質嗎？

生1：橢圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.

師：說得沒錯，根據我們以前學習的知識，橢圓就是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.那么接下來就看老師在黑板上畫的這個橢圓，要觀察老師是如何畫的.

（然后教師就用一根繩子、兩個圖釘和一只粉筆畫出了橢圓，同學們都被教師畫的過程驚呆了.）

師：同學們，有沒有感覺到橢圓畫起來很神奇呢？

生：是.

師：那么就需要接下來好好聽老師講解橢圓的性質.我們一般會以橢圓的中心為原點，以對稱軸為坐標軸建立坐標系，就是這個樣子的，同學們看仔細了.還有這兩個比較短的軸我們就叫做短半軸，而兩個比較長的軸我們就叫做長半軸.同學們明白了嗎？

生：明白了.

【設計思路：讓學生對學習的內容產生興趣，這就需要讓學生對橢圓有直觀的感受，因此就需要利用數形結合的方式來加深學生的印象，教師在作圖的時候，學生也會緊跟著教師的思路，積極思考教師提出的問題，這樣就能夠大大提升教學效率.】

二、函數與方程思想，簡化解題過程

師：我們已經對橢圓的基本性質有了了解，現在同學們來思考一下橢圓的表達式是怎樣的呢？橢圓的方程和我們之前學過的哪個圖形的表達式比較相近呢？

生：橢圓和之前學過的圓比較相似.

師：沒錯，在圓中，長軸和短軸是相等的，但是在橢圓中是不相等的，因此我們的橢圓表達式就如下所示，x2a2+y2b2=1 （a>b>0），其中c2=a2-b2；y2a2+x2b2=1（a>b>0），其中c2=a2-b2.前一個式子是長軸在x軸上的橢圓的表達式，而第二個式子是長軸在y軸上的表達式，同學們明白了嗎？

生：明白.

師：那么接下來老師問同學們一個問題，如果求某條直線和橢圓之間的關系，同學們如何來進行思考呢？想一想直線和橢圓之間的關系和我們之前學過的哪些知識比較相近.

生1：和直線與圓之間的關系比較相近.

師：那我們之前是如何來進行圓與直線之間的關系處理，那么又如何將以前的方法遷移過來呢？

生1：以前是將圓和直線的方程聯立起來，建立方程來進行解答，看二者之間的解的個數.

師：說得沒錯，我們以前就是將幾何問題轉化為函數方程問題來進行解決，那么我們是否能夠將這種函數方程的思想遷移到這里呢？

生1：可以，我們也可以將橢圓的方程與直線的方程聯立起來，看解的個數就知道直線與橢圓之間的位置關系.

師：真聰明，要解決直線與方程之間交點問題，需要做的就是聯立方程，求共同解，這樣就能夠很快得出結果.

【設計思路：對學生滲透函數與方程的數學思想，教師并不是立即就告訴學生答案，而是對學生進行引導，將之前學習的知識引申到新的知識點的學習中，這樣學生對于新的知識點就能夠自然而然地接受，學生以后在進行新的數學問題解決的時候，也學會將以前學過的數學思想借鑒過來.】

三、分類討論思想，鍛煉邏輯思維

師：同學們，我們剛才探究了直線和橢圓之間的問題，那么橢圓和直線之間的關系應該有幾種呢？（學生沉默.）

師：那么同學們想一想直線和圓之間的關系有幾種呢？

生1：三種，相交，相切以及相離.

師：那么直線和橢圓之間的關系是不是也應該有這三種呢？

生：是的.

師：同學們在看到直線的表達式中含有字母的時候，在探究與橢圓的問題的時候，就需要對字母進行分類討論，只有通過分類討論才能夠將所有的情況都考慮進來.同學在以后的學習中也需要具備這樣一種分類討論的思想，明白嗎？

生：明白.

篇2

關鍵詞： 數學 讀、聽、講、寫與用

高中數學的學習關鍵在于學習方法的掌握，而數學中的讀、聽、講、寫與用是學好數學的關鍵之關鍵。那么怎樣才能實現數學中的讀、聽、講、寫與用，在此談談以下看法。

1 高中數學學習中的“讀”

在教學中教會學生讀書，引導學生進行聯想，善于發現各個問題之間的聯系，揭示問題之間聯系的規律，有利于開拓學生的智力，培養學生的邏輯思維能力，從而提高教學效果。

首先是閱讀教材：讀教材包括課前、課堂、課后三個環節。課前讀教材可了解教材內容，發現疑難問題；課堂讀教材則能更深刻地理解教材內容，掌握有關知識點；課后讀教材是對前面兩個環節的深化和拓展，達到對教材內容全面、系統地理解和掌握。這是因為教材是學生學習數學的主要材料，它是數學課程教材編制專家在充分考慮學生生理心理特征、教育教學質量、數學學科特點等眾多因素的基礎上精心編寫而成的，具有極高的閱讀價值。

其次是讀書刊：除讀教材外，學生應廣泛閱讀課外讀物，如《中學生數學》雜志、《中學數學》等，從書刊雜志上關注我們日常生活中的數學，捕捉身邊的數學信息，體會數學的價值，了解數學發展動態。數學學習中的“讀”，需紙筆演算推理來“架橋鋪路”，還需大腦建起靈活的語言轉化機制。

2 高中數學學習中的“聽”

高中數學學習中的“聽”主要指課堂上聽課，它是學生獲取知識的重要環節，也是學生系統學習知識的基本方法。聽課不僅指聽教師上課，而且包括聽學生的理解性的發言。在數學學習中“聽”到知識并作出正確的判斷，有利于促進學生得到的知識信息得以進一步升華。聽教師上課主要是了解教師上課的思路，即發現問題、明確問題、提出假設、檢驗假設的思維過程。既要聽教師講解、分析、發揮時的每一句話，更要抓住重點，聽好關鍵性的步驟，概括性的敘述。特別是自己讀教材時發現或產生的疑難問題。聽同學發言，傾聽和接受他人的數學思想和方法，學生間的思想交流更能引起共鳴，從而進一步了解其他同學對數學的思考方法，開闊思路、激發思考、澄清思維、引起反思。

3 高中數學學習中的“講”

高中數學學習中的“講”主要是指學生用自己的語言去講解數學知識，它是數學概念的理解與加深。一是教師在導學中的講，是引導學生掌握知識的前提。教師的講是關鍵，但不能因此把學生當作被動的學習工具。滿堂灌已不適用于現代教育理念，但不能在關鍵問題上不加以重點點撥。所以“講”必須講出重點、難點，講必須留有一定的讓學生發揮的充分空間。二是學生在學習中的講。根據教師所設計的問題，學生通過思考回答相應問題，通過學習再主動提出問題，同學間互相討論發表自己的見解。

4 高中數學的寫與用

學習數學的主要目的在于應用數學，數學中的用必須與練相結合，要解決數學中的每道題必須親手做一遍。俗話說，眼看千遍不如手寫一遍，只有動手試驗才能體會數學知識內在的精華。因此教師必須讓學生真正地動起來。課堂教學的有趣設計是關鍵。

課堂必須有重點，課堂的教學都是圍繞著這個重點來逐步展開的。為了讓學生明確本堂課的重點、難點，教師在上課開始時，可以在黑板的一角將這些內容簡短地寫出來，以便引起學生的重視。講授重點內容，是整堂課的教學。教師要通過聲音、手勢、板書等的變化或應用模型、投影儀等直觀教具，刺激學生的大腦，使學生能夠興奮起來，對所學內容在大腦中刻下強烈的印象，激發學生的學習興趣，提高學生對新知識的接受能力。如教學解析幾何第二章的《橢圓》第一課時，其教學的重點是使學生掌握橢圓的定義和標準方程，難點是使學生掌握橢圓方程的化簡。教師可從太陽、地球、人造地球衛星的運行軌道，談到圓形臺面的直觀圖、圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面的影子等等，讓學生對橢圓有一個直觀的了解。為了強調橢圓的定義，教師事先準備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數學上的嚴格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細線的長度），讓兩名學生按教師的要求在黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細線的長度），請剛才兩名學生按同樣的要求作圖。學生通過觀察兩次作圖的過程，總結出經驗和教訓，教師因勢利導，讓學生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣，學生對這一定義就會有深刻的了解，尤其是上臺板演的那兩位學生，更是終生難忘。在進一步求軌跡方程時，學生容易得出結果，但化簡卻遇到了麻煩。這時教師可以適當提示：化簡含有根號的式子時，我們通常有什么方法？學生回答：可以兩邊平方。教師問：是直接平方好呢還是恰當整理后再平方？學生通過實踐，發現對于這個方程，直接平方不利于化簡，而整理后再平方，最后能得到圓滿的結果。這樣，橢圓方程的化簡這一難點也就迎刃而解了，同時也解決了以后要學的求雙曲線的標準方程時的化簡問題。

只有通過自己的親自體驗生活，學生才會知道知識點的來龍去脈以及解決問題的方法。關鍵是講解例題的時候，要能讓學生也參與進去。教師應騰出十來分鐘時間，讓學生做做練習或思考教師提出的問題，或解答學生的提問，以進一步強化本堂課的教學內容。若課堂內容相對輕松，也可以指導學生進行預習，提出適當的要求，為下一次課作準備。

篇3

關鍵詞：高中數學；數形結合方法；應用

同其他的學科不同，高中數學有很強的邏輯性，因此對學生也提出了更高的要求。要求其不僅要有空間想象能力，還要能夠對數量關系進行解答。而對學生來講，學習數學的過程是一個非常枯燥的過程，所以教師應想方設法將課堂效率提高。實踐證明，在高中數學中應用數形結合方法，不僅能夠調動學學生學習數學的積極性，還能夠將學生分析問題、思考問題以及解決問題的能力有效提升。

一、應用數形結合方法來解決方程問題

一般情況下，在高中數學當中，都是以文字和代數式相結合的方式來展示方程相關的問題，而學生同這些題目接觸的時候，即便能理解文字的含義，也很難將問題成功解答。而這很顯然，學生不能將解題速度有效提升，而通過應用數形結合方法，學生能夠在最短的時間內將解題方式以及解題途徑找到，從而有效地提升其解題的效率和數學能力。比如以下這道例題：

已知圓心為H的圓和定點A（1，0），B是圓上任意一點，線段AB的中垂線l和直線BH相交于點M，當點B在圓上運動時，點M的軌跡記為橢圓，記為C，求C的方程。

在這個時候，可運用數形結合的方法，然后教師需要幫助學生分析：由圓的方程求出圓心坐標和半徑，由|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4可得點M的軌跡是以A，H為焦點，4為長軸長的橢圓，則其標準方程可求。而后學生就會快速的找到解題思路，將這道題解答出來。通過“數”理念與“形”特點結合在一起，實現兩者的相互促進和配合，能夠為學生提供更廣的思路，啟發學生對問題的思考，從而助于學生快速的將問題解決。

二、數形結合方法在函數的應用

從某種角度來講，函數是非常抽象的概念，而學習這一知識點，對于學生來講，也有較大的難度。因此，在實際的教學中，可應用到數形結合的方法解決一些三角函數的問題。比如，有以下例題：

函數的零點個數是？

這道題主要的知識點就是，根的存在性及根的個數判斷。因此首先要將函數的零點個數可化為函數與的圖象的交點的個數，然后再將相關的圖做出來就可以得到答案。

解：函檔牧愕愀鍪可化為方程的解的個數，即函數與的圖象的交點的個數；

作函數與的圖象，通過圖像可知

函數與共有2個交點，

故答案為：2。

通過數形結合的方式，即便面對函數的問題，學生也能夠以最快的速度，最有效的方式將其解答出來。

三、數形結合方法在集合中的應用

可以這么說，集合是學習高中數據的基礎。而碰到集合的問題時，通過圖形能夠很好的將問題核心抓住。比方說，可以對韋恩圖進行利用來解答集合題，這樣能夠將問題生動且形象的展示出來。比如，以下的集合的練習題，就可應用到數形結合的方法。

在滿足條件的奇數中，重復的有：15，45，75，105，135，165，195，225，255，285共10個。故集合T={xy|，}中元素的個數為15010=140。故選：B。

通過繪制韋恩圖的方式，能夠助于學生理清問題的思路，并抓住核心要點，從而將問題解答出來。

四、三角形中數形結合方法的應用

在高中數學當中，有很多較為抽象的知識，而純粹的文字解讀，很難正確的解答問題。因此，在解題的過程中，需要對數形結合的方法進行應用，這樣不僅能夠助于生動地將問題的要點呈現在學生面前，讓其理清思路，還能夠讓其快速的將問題解答出來。比如這道題：如圖，為了估測某塔的高度，在同一水平面的A，B兩點處進行測量，在點A處測得塔頂C在西偏北20°的方向上，仰角為60°；在點B處測得塔頂C在東偏北40°的方向上，仰角為30°。若A，B兩點相距130m，則塔的高度為？要想更好地將這道題解出來，首先就要作出平面ABD的方位圖，并根據根據方位角求出∠ADB，利用仰角的正切值得出AD，BD關系，在ABD中使用余弦定理解出AD，BD，從而得出CD。通過這樣的方式，能夠化抽象為具象，讓學生掌握更多的數學知識點。

五、結語

總而言之，在高中數學教學中應用數形結合方法，能夠幫助學生更好地理解數學的抽象知識，也能夠拓展學生的數學思維。因此，在實際的教學中，教師應充分發揮好數形結合方法的作用，只有這樣能夠在激發學生數學興趣的同時，保障數學的整體教學質量。

參考文獻：

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篇4

【關鍵詞】新課改 高中數學 高效 簡約

【中圖分類號】 G 【文獻標識碼】 A

【文章編號】0450-9889（2014）09B-0033-02

高中新課程標準實施以來，數學作為變化較大的一個學科，原先較多艱深的知識被刪除，概念性的難題被大幅減少，數學知識更加切合生活，更重視理論與實際的結合。同時，很多國際及國內的先進教學理念得到廣泛推廣。有了先進的數學教學課程標準、先進的教材，國內涌現了多種教學模式，如EMPO模式、洋思教學模式、杜郎口模式等。但是，有些老師不加分辨全盤吸收，有些老師過多追求情境、媒體、活動，使原本簡單的數學課堂變得煩瑣、拖沓、沉重。其實，高效的課堂并不需要花里胡哨，高中數學課應該是簡約而不簡單，刪繁就簡，去浮存真。本文從教學目標的定位、教學情境的創設、教學環節的設計、教學課件的運用四個維度思考新課程背景下高中數學課程如何實現高效簡約教學。

一、新課改下高中數學課程實現高效簡約教學的必要性

目前的高中教學課堂仍十分沉重，教與學都較為辛苦。一部分年輕教師喜歡過度追求花哨的形式，過于浮華，與真正有效課堂愈來愈遠；一部分老教師過于墨守成規，使得教學環節復雜煩瑣、課堂語言冗長無效。這些現象都會使學生的思維受到限制，甚至產生厭學心理，務實性較低，沒有辦法很好地達到教學目的。

教學模式迫切需要從繁雜走向簡練，從緊張走向舒緩，從雜亂走向清晰，因此要使得教學更加流暢、自然、簡潔、精練，以便更好地達到教學目的。

數學教學應是簡約高效的。數學教師應學會有效地取舍，篩選和提煉精華，沉淀出深刻的文化內涵。“大音希聲，大象無形”，大道至簡，最有價值的道理其實是最樸素的道理，很重要的道理其實是很簡常的道理。數學課堂教授的更多是概念、方法以及思想，應用最簡潔的方式、最精練的語言、最簡明的活動，達到學生對知識最深刻理解，追求教學模式多樣化中最優化，追求表達的高效化簡約化，實現數學學習思想與方法的延伸。數學知識本身是樸素自然簡潔的，這就決定了其教與學的方式也應是高效簡約的。“高效簡約”應成為一種數學教與學的模式，與此同時 “高效簡約”思想應成為教師在課堂教學中潛移默化培養學生養成的思維習慣。

簡約教學并非是簡單教學，其是在教學設計和教學環節等各個方面都能高效化、務實化，教學環節高效簡練、課堂目標簡潔、課堂內容簡明扼要、教學過程高效、多媒體加入簡練、教學語言簡潔、課堂練習精巧，在課堂中留下更多的時間給予學生，讓學生成為課堂的主體。著名特級教師華應龍這樣評價高效簡約型教學模式：“這是一個由薄到厚再由厚到薄、由多而少、由繁到簡、由淺入深再深入淺出的教學問題，這也是一個返璞歸真的話題。”

二、新課改下高中數學教學實現高效簡約的策略

構建高效簡約型課堂，要以高中數學新課程標準為教育教學指導，以“數學雙基”的培養滲透為主要指導方針，以符合學生的認知規律為教學備課前提。通過高效簡約的教學策略與教學方法的整合高效簡約實施，追求課堂高效性、務實性，促進學生在數學知識與技能、數學思維與數學素養上的發展，更加便于教師和學生共同參與。華東師范大學鐘啟泉教授認為：“教育改革的核心環節是課程改革，課程改革的核心環節是課堂教學，課堂教學的核心環節是教師的專業發展。簡約教學的理論與實踐的研究，集中地體現了這個改革邏輯。”

（一）教學目標簡潔。目標決定了課堂活動的導向、內容、方法和效果等。課前數學教師應當認真思考教材、教輔資料，上課內容要達到的三維目標等，做到一切了然于心，并結合實際制定切實可行的課堂教學目標。所以一節課的內容為徹底解決一至兩個學生需要解決的問題，真正將知識理解透徹，遠比走馬觀花、蜻蜓點水的教學要有效得多。以選修2-1 1.1.1“命題”為例，將教學目標設定為“讓學生真正理解命題的概念和構成，能判斷命題的真假”。圍繞這一教學目標，教學活動設計為讓學生判斷給定陳述句是否為命題、指出命題中的條件和結論、判斷命題的真假、能將命題改寫為“若，則”的形式，保證所有的學生下課時都能理解命題的定義，并學會判斷命題的真假。

（二）教學內容簡約。目標確定以后，不能遍地開花，應不斷延伸內容。課堂時間是有限的，學生的注意力、精力也是有限的。因此，數學教學內容應該簡約，必須有所側重，圍繞一節課的重點進行高效教學，選材“少而精”，用材“簡而豐”，把最精華，最重要的知識完全教授給學生，以充分發揮教師的主導作用。其實，就高中數學教學的過程而言，它的最高形式都可以表現為三個問題：教什么、怎么教、為什么這么教。三個問題也構成了數學課的認知沖突的主線。教師應緊緊抓住這三大問題，藝術地合理處理教材，有效取舍，洗練、整合、濃縮，在重組與優化中凸顯資源的簡約和高效，達成“以少勝多”的效果，從而讓數學教學過程高效簡約，教學內容務實有效。用材“單而豐”主要表現在一題多解，一題多改，一題多議等方面。在人教A版必修5的“簡單的線性規劃”一課中，在第61頁的例6后可以呈現變化的題目：

（1）實數 滿足 ，目標函數的最小值為-1，則實數 等于多少？（2）在例6的基礎上，如果目標函數 僅在點 處取到最大值，則實數 的范圍是多少？（3）在例6的基礎上，若在區域內有無窮多個點

可使目標函數 取到最小值，則實數 等于多少？以此引導學生體會問題的內在聯系，從多種角度分析問題，培養學生的思維能力。

（三）教學過程高效。教學過程高效，就是盡可能地減少花樣，簡化環節，用最有效、最直接的方法達到教學實效，在課堂中留下更多的時間給予學生，讓學生成為課堂的主體，使學生從感知認知到理想認識，達到知識的高效內化。學習“雙曲線的幾何意義”時，教學“大環節”就設定為學生想辦法推導雙曲線的標準方程，該環節摒棄猜想、交流、總結各環節，而是直接讓學生在橢圓知識的基礎上，就直接根據定義動手推導，再總結交流，這樣學生的思維更加連貫，教學流程更加順暢。

（四）多媒體應用簡練。多媒體應用于課堂的目的就是為教學服務。但是，一部分教師在使用多媒體時往往過猶不及，過多使用多媒體課件，從而導致視覺疲勞，削弱學生對于概念、知識本質的理解與應用。目前數學課堂中的“四無”（無板書、無看書、無筆記、無作業）現象和多媒體課件的過多使用有關。教師應把握使用多媒體的時機，該出手時再出手；巧用，即學會駕馭多媒體，在促進學習興趣、思維培養、教學拓展等方面巧妙組合與運用；活用，即從學生實際出發，有選擇性采用課件。如教學“橢圓的定義”，完全可以讓學生用繩子粉筆實物操作畫出橢圓，親歷探究的過程，理解橢圓的第一定義。

（五）教學語言精準簡潔。著名特級教師于漪女士說：“教師的教學語言雖屬日常口語，但應該是加工了的口頭語言。”“言盡而旨遠，言簡而意豐”，在備課時考慮學生的吸收，精心設計教學語言，力爭在最短時間內讓大部分學生聽懂并接受。問題語言要導向明確、過渡語言要自然流暢、評價語言要扼要坦誠，對于需要重點強調的，不能是簡單地重復，而是換個角度、換種說法，引導學生更好地捕捉知識要領，要求教師做到支離破碎的分析不講，學生已經懂的不講，學生自己能講的不講，教師講不清楚的不講，學生聽不明白的不講；刪無效提問；刪無謂行為。例如，在上必修三“誘導公式”一課時，六組誘導公式可以總結為“奇變偶不變，符號看象限”，形象簡潔的語言概括了六組公式區別和特征，符合學生的最近發展區，給學生留下了鮮明、深刻的印象。

（六）課堂練習簡要精巧。教師應該把握課堂中練習的創新與有效性原則，對練習內容進行整合重組，刪去重復練習，補充設計部分新練習，刪除低效或無效的問題，聚焦重難點，具有典型性，串聯知識點；緊扣熱點內容，設計相關習題，以達到針對性練習的目的；圍繞學生易錯點，具有代表性，遵循由淺入深的原則，設計層次性練習，既鞏固新知識，溝通新舊知識的內在聯系，又發展學生的智力和能力。在學完橢圓單元后，可以給學生一個問題：我們有哪些方法動手直接操作得到一個橢圓？通過小組合作，將有可能得到以下幾種答案：（1）直接做圓錐（或圓柱）的截口曲線（人教A版 選修2-1 P40），（2）橢圓第一定義，（3）將圓伸縮（見教材P40例2，由此可推得很多結論，比如橢圓的面積S=π，過橢圓上一點的切線方程等），（4）平面內到兩個定點 的斜率之積是 的點的軌跡（見教材P41例3），（5）圓的第二定義（見教材P47例6），（6）圓內中垂線說（見教材P47A組練習7）等。 由一個問題引導學生回歸教材，一節課內復習了橢圓的兩個定義以及訓練了求軌跡方程的方法（直接法、定義法，待定系數法、相關點法）。

總之，新課程改革中數學高效簡約的教學而非簡單教學，必然是在教學設計和教學環節等各個方面都能高效化務實化，教學環節的高效簡練，課堂目標簡潔、課堂內容簡明扼要、教學過程高效、多媒體加入簡練、教學語言簡潔、課堂練習精巧，在課堂中留下更多的時間給予學生，讓學生成為課堂的主體。它是一種教學理念以及教學策略，數學教師要致力于將各種教學方式進行有效整合，用簡約的成本、精簡的語言、優化的課堂教學結構取得較大的教學收益。新課程改革的數學課堂只有追尋高效簡約化教學，真正讓學生在短短的課堂中有所思，有所得，教學質量才能得以提高，從而實現數學課堂教學的高效性。

【參考文獻】

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[3]華應龍.現在的課堂會“飛”[J].人民教育，2009（18）

篇5

“算兩次”的解題形式，單教授將其比喻成“三步舞曲”，即從兩個方面考慮一個適當量，“一方面……，另一方面……，綜合起來可得……”。如果兩個方面都是精確的結果，綜合起來得到一個等式；如果至少有一個方面采用了估計，那么綜合起來得到一個不等式。“算兩次”不僅體現了從兩個方面去計算的解題方法，還蘊涵著換一個角度看問題的轉換思想。向學生介紹“算兩次”的解題應用，能有效地培養學生思維的發散性，使學生體會到數學知識的內在聯系及統一性。它應當成為學生進行再發現、再創造活動的探索方式。本文介紹算兩次原理在高中數學解題中的應用情況，以期引起大家的重視。

一、算兩次與解析幾何

例1 橢圓以正方形ABCD的對角頂點A、C為焦點，且經過各邊的中點，求橢圓的離心率。

評注 如何建立關于a、c的關系式從而求出e呢？在這里線段AM具有雙重身份，可有兩種表達形式，正是表達的多樣性使得“算兩次”有了用武之地。在很多與圖形有關的題目中只要細心尋找諸如AM這樣的量，“算兩次”就有了一展身手的機會。

二、算兩次與向量

評注 本題解決的關鍵是從兩個角度來考慮向量AP。一個角度順其自然（題目已知），一個角度曲徑通幽（隱藏的結論）。教學過程中教師有必要總結提煉出這里的數學方法――算兩次，使學生對問題的解決能力得到進一步提升。

三、算兩次與導數

評注 題中分別利用導數的幾何意義和斜率的坐標公式得到切線的斜率k的兩種算法，建立方程使問題得以解決。數學中一些公式、定義有多種表達形式，正是這些公式、定義表達的多樣性，使得公式、定義的應用具有很強的靈活性。而“算兩次”正是靈活運用、理解公式和定義的一種重要手法。

小議曲線的切線方程 費小林 03，

曲線的切線方程是高考必考的一個重要的知識點。但是，我在教學過程中發現學生求曲線的切線方程時，對曲線的切線的概念理解不透徹，產生漏解和錯解的現象。我們在初中平面幾何中學過圓的切線，它的定義是：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切。此時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點。圓是一種特殊的曲線。它的切線的定義并不適用于一般的曲線。而曲線的切線是通過逼近的方法，將割線趨于確定位置的直線定義為切線。它適用于各種曲線。這種定義才真正反映了切線的直觀本質。一般曲線的切線不象圓的切線，它可以與曲線有兩個公共點。而圓的切線與圓只有唯一的公共點。如果對曲線的定義理解不夠準確，解題時容易產生錯解和漏解的現象。為此我根據自己的教學心得談談曲線切線方程的求法。

一、求曲線上某點處的切線方程

例1 曲線y=2x2+1在點P（-1，3）處的切線方程是

點評 求曲線上某一點處的切線方程時，先根據導數的幾何意義求出切線斜率，再用點斜式寫出直線方程即可。

二、求過曲線上某一點的切線方程

例2 求過點（1，-1）的曲線y=x3-2x的切線方程。

三、求過曲線外的一點的曲線的切線方程

例3 求過點P（3，5），且與曲線y=x2相切的直線方程。

四、算兩次與證明定理

例4 在ABC中，a、b、c分別是三個內角A、B、C所對的邊，證明：csinB=bsinC。

簡證 過點A作ADBC，垂足為D，向量AB、AC在向量AD上的正射影數量，無論∠C是銳角、鈍角還是直角，得到的兩個數量都是相等的。

評注 對于一些等量關系不太明顯的定理證明，“算兩次”思想幫助我們找到了隱藏的等量關系，巧妙地、無中生有地建立了等式。算兩次可用來證明高中數學中的一些定理如正弦定理、余弦定理、兩角和與差的正、余弦公式等。

篇6

【關鍵詞】拓展訓練 開闊眼界 激發興趣

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2013）06-0154-01

有人說學數學很無聊，我感覺如果課堂內容是老師精心設計和準備后在學生投入的氣氛下進行的，能夠激發學生探究問題的興趣和學習數學的熱情，那就另當別論了。問題是數學的心臟，學生在課堂上帶著問題去探究，老師在課堂上可以帶著解決問題的方法去引導，開展必要而有恰到好處的拓展訓練，課堂教學會更有效，課堂也就不會那么無聊，枯燥。舉例如下：

“橢圓的性質”一節課中，拓展橢圓的一個性質時可以這樣引導學生。

步驟1：先畫一個數軸，提示學生思考原點把這條線分成了左、中、右三部分（兩段線和一個點）對應實數x0。教師誘導學生要有耐心，而且要循序漸進。

步驟2：建立一個坐標系，啟發學生思考y軸把平面分成了左、中、右三部分，對應不等式x0；x軸把平面分成了上、中、下三部分，對應不等式y0。教師注意應當給學生適當思考知識的時間和空間。

步驟3：建立一個坐標系，做一條一三象限的角平分線，根據我們學過線性規劃的問題，得出一三象限的這條角平分線仍然把平面分為左上、直線上、右下三部分，可以用數學式表示為y>x、y=x、y

步驟4：教師趁熱打鐵，在坐標系中，畫一條一般的直線y=kx+b（kb≠0）。讓學生思考這條直線把平面分為幾部分？學生很快進入狀態，嫻熟的說出三部分，而且線性規劃學的好的同學能很快得出這三部分可以用ykx+b，具體探討哪一部分對應哪個不等式，只需要用（0，0）點或其它不再已知直線上的點帶入不等式去驗證即可，滿足不等式的點的周圍區域就可用此不等式表示，不滿足的就不是這個區域。 慢慢地，隨著問題的深入，學生會發揮無限想象，挖掘出學生更多的潛力。

步驟5：在平面直角坐標系中畫一個單位圓，考慮兩點之間距離公式，很容易得出圓上的的點滿足x2+y2=1，圓外的點滿足x2+y2>1，圓內的點滿足x2+y2 r2、（x-a）2+（y-b）2>=r2、（x-a）2+（y-b）2< r。有了前面的鋪墊，這個結論自然水到渠成。

步驟6：建立坐標系，畫一個中心在原點，焦點在x軸上的橢圓，寫出橢圓的標準方程 + =1，有了前面的知識做鋪墊，很容易得到結論：橢圓曲線把平面分為橢圓外部、橢圓上、橢圓內部三部分，各部分可用不等式表示為 + >1、 + =1、 +

步驟7：如在空間坐標系中，x2 +y2 +z2 =1表示單位球，把空間分為球的外部，球面，球的內部三部分，用數學表達式可以表示為x2+y2+z2>1、x2+y2+z2=1、x2+y2+z2

步驟8：在三維空間坐標系中，y和z軸確定的平面把空間分為左中右三部分，用x0表示……讓學生插上想象的翅膀，翱翔在數學知識的天空里，盡情的飛翔，飛的越來越高。

篇7

關鍵詞 高考數學；福建卷；全國課標卷；比較；對策

為確保高考的公平性、科學性和權威性，2016年福建省普通高校招生統一考試數學試卷將由國家教育中心組織專家命制.這對已經習慣自行命題達12年之久的福建省高中數學教育而言，無疑是一個具有挑戰性的變化.比較高考數學福建卷與全國課標卷的異同點，進而思考相應的教學對策，是迎接挑戰所必須的準備工作.

一、高考數學福建卷與全國課標卷的共同特點

近年來，高考數學福建卷與全國課標卷的命制都能嚴格地遵循“綱領文件”（《考試大綱》或《考試說明》）的相關規定，試卷在題型設置、分值安排、內容分布、難易預設、考試時間等方面都保持穩定.試題穩中有新，追求能力立意，選材源于教材又高于教材，主要考查學生對基礎知識的理解、掌握及運用的水平，具有很強的科學性、規范性、基礎性、公平性和選拔性.

1.注重考查數學基礎知識理解水平與邏輯推理能力

數學基礎知識是數學思維的根基，數學思維中的邏輯推理方法與分析問題解決問題的能力，是學生未來生活所需要的，高考數學福建卷與全國卷都能緊緊抓住數學的這些學科特點，重點考查數學基礎知識理解水平與數學邏輯推理能力.

在近年高考數學福建卷與全國課標卷中，高中數學基礎知識和核心概念是試題的主要載體，試卷重點考查高中數學學科主干知識（如函數與導數、立體幾何、解析幾何、三角函數與數列等），同時將考查運用邏輯推理分析解決問題的能力作為重要目標，某些年份的數學試卷還出現單純的邏輯題，使問題不單純依賴于教材的數學知識，更能體現能力立意，更有利于科學選拔人才和學生的健康成長.

2.增強試題綜合性，注重考查通性通法的運用水平

近年高考數學福建卷與全國課標卷在注重考查數學基礎知識和基本技能的基礎上，越來越多地將試題內容設計在一些重要的知識交匯點處，使試題的知識綜合性逐年增強.同時，也越加重視考查數學通性通法的運用水平，刻意淡化解題的特殊技巧.

數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，數學思想既是數學知識的精髓，又是知識轉化為能力的催化劑，引導學生掌握數學思想方法學會以思想方法解題，是高考數學福建卷與全國課標卷命制中不斷追求的目標.深入考查學生數學思維的靈活性，考查學生對數學解題通性通法的運用水平，也是為了引導學生掌握數學思想方法，學會以思想方法解題.

3.關注生活實際注重考查創新應用意識

數學問題源于生活源于實踐，數學基礎知識是解決實際工作問題的重要工具，數學思維方式是每一個公民必備的素養.因而，近年來的高考數學福建卷與全國課標卷也考查考生基于日常生活和其它學科知識以發現并提出數學問題的能力，以及應用所學數學知識、數學思想方法進行思考探究的能力.

命題有時也會關注現實社會熱點問題，以考查學生應用數學方法解決實際問題的能力，體現數學在解決實際問題中的作用和價值.不斷拓寬試題素材來源，聯系社會生活實際，使試題更接地氣，對提高學生數學應用意識與對數學文化價值的認識，促進學生理性思維習慣的養成，以及未來人生規劃所必備的數學基礎都有積極作用.

二、高考數學福建卷與全國課標卷內容比較

近年高考數學福建卷與全國課標卷在題型結構與賦分方面都十分穩定.

全國課標卷試題分必答題和選做題兩類，選做題三選一.其題型結構與賦分情況是：選擇題12道，每道5分；填空題4道，每道5分；解答題6道，每道10或12分.

福建文科卷的題型結構與賦分情況是：選擇題12道，每道5分；填空題4道，每道5分；解答題6道，每道12或14分.

福建理科試卷分必答題和選做題兩類，選做題三選二.其題型結構與賦分情況是：選擇題10道，每道5分；填空題5道，每道4分；解答題6道，每道13或14分.

在選擇題方面，近年高考數學福建卷與全國課標卷每年都有與集合、函數、命題、幾何、算法初步與框圖、復數的計算等知識點相關的試題，也都有一些綜合題型，考查學生對多個知識點的掌握情況以及綜合能力.大部分選擇題對于學習基礎扎實解題思維細致的考生而言都比較容易，一般地，兩類試卷的最后兩道選擇題都有一定難度，且涉及的知識點在不斷變化，都需要靈活、綜合地思考.

在填空題方面，近年高考數學福建卷與全國課標卷中每年必有一道與函數相關的試題，其它問題涉及的知識點多是立體幾何、不等式、概率統計、數列等.從整體上看，填空題考察的知識內容也都比較基礎，但在形式上較為靈活，常常需要進行數形轉化，解答時要勤于畫圖，認真計算，以避免出錯.

在解答題方面，福建理科卷與全國課標卷的試題內容大都與函數、幾何、數列、概率統計、解析幾何、選學等知識有關.福建文科卷與全國卷II一般都必考數列問題，且大都是在第17題位置，屬容易題，主要考查學生的計算與公式記憶能力，解答時要運用轉化策略，將計算歸結為以基本量為未知數的方程問題.

概率統計是所有試卷必考問題，試題常與隨機這一核心概念緊密相關，既有概率計算問題，也有統計分析如直方圖等問題，一般都較為簡單.

在歷年的福建卷中，對函數問題的考查分值較多，大都有兩道，一道是三角函數問題，另一道是導數在函數中的應用問題.而在全國課標卷中，函數的考查內容與福建卷相似，但分值相對較少，且較少對三角函數進行獨立命題；導數在函數問題中的應用大都是綜合問題，對考生而言是比較困難的，結合圖形進行思考往往是解題要訣.立體幾何問題都是各卷必考內容，大部分是容易問題.

全國課標卷的選考內容為《4-1幾何證明選講》《4-4坐標系與參數方程》和《4-5不等式選講》，不同于福建卷的《4-2矩陣與變換》《4-4坐標系與參數方程》和《4-5不等式選講》.全國課標卷的《幾何證明選講》試題涉及的圖形一般是由圓與三角形（或四邊形）構成的.

福建理科卷考查的知識點主要有：1.共軛復數的概念及復數的運算；2.三視圖的概念，常見幾何體的三視圖；3.等差數列的通項公式和前n項和公式；4.冪函數、指數函數、對數函數的圖象與性質；5.循環結構程序框圖；6.直線與圓的位置關系，充分必要條件的判定；7.基本初等函數的圖象和性質；8.平面向量的基本定理及坐標表示；9.圓與橢圓的位置關系的相關知識及待定系數法；10.排列組合的兩個基本原理與窮舉法；11.可行域的畫法及最優解的控求；12.利用正弦定理解三角形，求三角形的面積；13.基本不等式及函數的實際應用；14.利用定積分求面積及幾何概型概率的求解；15.排列組合中的分類列舉和集合中元素的特性；16.同角三角函數的基本關系式、二倍角公式、輔助角公式以及三角函數的圖象與性質；17.空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系以及求空間角的方法；18.古典概型、離散型隨機變量的分布列、數學期望與方差等基礎知識；19.雙曲線的方程與性質、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識；20基本初等函數的導數、導數的運算及導數應用、全稱量詞與存在量詞的基礎知識；21.（1）逆矩陣、矩陣的特征值與特征向量等基礎知識；（2）直線與圓的參數方程等基礎知識；（3）絕對值不等式、柯西不等式等基礎知識.

全國課標卷考查的知識點主要有：1.集合的含義及表示、集合的運算；2.復數的四則運算；3.函數奇偶性的判斷；4.雙曲線的標準方程及幾何性質、點到直線的距離公式；5.古典概型的求法；6.單位圓與三角函數的定義；7.循環結構程序框圖的基礎知識；8.誘導公式及倍角公式等的靈活應用；9.線性規劃的最優解；10.拋物線的定義，向量的共線；11.利用導數研究函數的圖象、特殊值法解題；12.三視圖還原為幾何體，三棱錐中棱長的計算；13.二項式定理及二項展開式的通項公式；14.對實際問題的邏輯推理；15.向量加法的幾何意義；16.正、余弦定理及三角形的面積公式、基本不等式；17.等差數列的定義，遞推關系的應用；18.用樣本的數字特征估計總體的數字特征，正態分布，數學期望等；19.線面垂直的判定與性質，二面角在小的計算及空間向量的坐標運算；20.橢圓的標準方程及離心率，直線與橢圓的位置關系，點到直線的距離公式，面積問題，直線方程的求解；21.導數的幾何意義，利用導數求函數的最值，不等式的證明；22.圓內接四邊形的性質等幾何基礎知識；23.參數方程、普通方程的相互轉化，點到直線的距離公式；24.重要不等式、均值不等式的應用.

此外，全國課標卷更加注重體現選拔性，試題從易到難的梯度明顯；福建卷則更加關注試卷的區分度與知識覆蓋面，容易題偏多，但押軸試題較為困難.

三、教學與復習對策

高考數學福建卷與全國課標卷雖有一定差異，但從根本上看，二者都以《考試大綱》為指南，順應高考改革大方向，對高中數學的基礎知識、基本技能、基本思想方法和應用進行系統、全面、科學地考查.試卷都注重對數學本質理解的考查，都注重對空間想象、數據處理、應用創新、邏輯推理和方法遷移能力的考查，力圖實現高考為高校招生提供區分與選拔的功能.

因而，在教學與復習中，以下的對策對于從福建卷到全國課標卷的教學對接是有一定益處的.

1.立足基礎突出主干，系統構建知識網絡

高考數學福建卷與全國課標卷中，函數、數列、三角、立體幾何、解析幾何和概率統計都是考查的主體內容，在這些基礎知識的網絡交匯點處設計試題，有利于考查學生數學思維的靈活性與綜合處理數學問題的能力.因而，在高中數學日常教學與復習課中，要立足基礎突出主干，幫助學生構建知識網絡，促成知識系統化.在高一、二學習階段，受學生的知識與能力范圍限制，許多知識的獲得是零散的，缺少深度與高度，在高三復習階段，學生的知識視野已變得更加廣闊，復習時根據知識間的縱橫聯系，對所學的知識與方法進行系統復習，可以進一步優化學生的數學認知結構，讓學生對已知知識有新的理解、新的發現和新的感悟.

特別地，在高三第二輪復習階段，需要適應回歸教材，引導學生學會站在知識系統的高度審視所學內容，畫出知識導圖，以在解題中能快速調用所學知識擬定解題思路.

2.注重思維能力培養，深入挖掘例習題的潛在價值

高考數學福建卷與全國課標卷常以基礎知識為載體，以方法為依托，以考查思維能力為目的.因而，教學與復習過程中，在立足基礎突出主干努力幫助學生構建知識網絡的同時，還要十分重視學生數學思維能力培養.數學思維能力的培養，要重在引導學生學會從具體的知識與方法中概括數學基本思想，領悟轉化的策略智慧，掌握解題的通性通法.

由于高考數學重在考查通性通法，因而在解題教學中，要刻意淡化特殊的解題技巧，不鉆研偏題怪題，不解過于煩瑣的運算量很大的數學問題.精心篩選解題教學所用的例習題，解題方法以通性通法為主，讓學生學會舉一反三.教材例習題具有代表性與遷移性，是滲透數學方法體現數學思想的重要素材，所以要充分認識例習題的潛在價值，適當地對其進行改編與延伸，讓學生通過歸納總結，掌握解題的基本轉化策略，逐步感悟數學的思想方法.

3.重視閱讀理解能力的培養，發展學生探究意識與創新思維能力

篇8

關鍵詞：反思性筆記學習 數學解題 自主學習

好多學習比較刻苦的高中生，在學習過程中養成了做題后做數學筆記的好習慣.雖然整理出大量的數學筆記，但是遇到生疏的問題時往往還是一籌莫展，遇到熟悉的題目，依舊是漏洞百出.其主要原因是：只注重機械的記解題筆記，導致數量多而雜卻不重視解題筆記的歸納和整理；只注重解題結果的正誤，而不重視解題的思維過程及解題后的反思.因此，要提高解題效果的數學筆記學習，就必須在“反思”上下功夫，促使學生在自己的數學筆記引領下，通過追問和反思，提升自主學習能力，掌握數學解題反思性筆記學習的方法。

解題后的“反思”性筆記學習是對解題活動的反思，主要包括對題意理解的反思、試題涉及知識點的反思、解題思路形成的反思、解題規律的反思、解題結果表述的反思以及解題失誤的反思等.開展反思活動是認知能力培養的重要形式.若從一個新的角度多層次、多方面地對問題及解決問題的思維過程進行全面的考察、分析和思考，從而深化對問題的理解、優化思維過程、揭示問題本質、探索一般規律、溝通新舊知識間的遷移、深化對知識的理解.反思是一種積極的思維活動和探索行為，是一種再創造的學習.通過回顧、思考、總結、評價和調節等思維過程，反思也是學生自覺地對自己認識活動的再認識、思維活動的再思維.在高中數學學習中，反思還是發現的源泉，是思維訓練和優化思維品質的好方法.要做好高中數學解題筆記學習，學生必須要具備反思的能力和養成反思的習慣，經常進行自我診斷和反思。

1、反思所涉及的知識點

高中數學的基本內容是有限的，考試標準規定的基礎知識更是有限的，但題目卻是靈活多變的.對同一個知識點，命題者可以從不同的角度和側面或以不同的層面和題型來考查.很多同學在面對新題型時，往往覺得很難，其癥結主要是找不到命題者的意圖及考查的知識點.由于知識點不清晰，在解題時就無從下手.因此，做筆記后對筆記學習或復習筆記時，應反思題目所涉及的高中數學基礎知識，使知識點和題目掛鉤，以達到對知識的查缺補漏、夯實基礎，優化知識結構的目的，便于知識的消化、貯存、提取和應用。

例1 如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側面BCC1B1內一動點，若P點到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是（ ）

（A）直線 （B）圓

（C）雙曲線 （D）拋物線

剖析 此題為一道很有新意的題型，符合“在知識的交匯點命題”的高考命題原則.它綜合性強，涉及知識點多，是高考的“熱點”，也是易錯點，作為測試題，區分度較好.整理和總結這種題型的筆記時，學生不僅要“反思”立體幾何中點、線、面間的位置關系及有關知識，而且還要“反思”平面解析幾何中圓錐曲線的定義和求軌跡或軌跡方程的方法及注意事項.也正是這兩大塊知識構成了求解本題的依據，一個知識點有誤則會造成錯選.明確了命題者考核本題的意圖，就能依據這兩大塊知識和有關方法，進行分析判斷；清楚本題所考的知識點后，就有了正確的思維起點及解題目標，以后遇到類似的問題時解題速度會明顯加快，正確率也會明顯提高.由拋物線的定義知，答案為（D）。

2、反思所用的解題方法

許多高中數學試題重在考查學生思維的全面性、深刻性和靈活性，因此，一題可能有多種解法.在學習和復習做過的筆記時，我們不能僅僅滿足于一種解法，要養成解題后反思解題方法的習慣，想一想：本題還有其他解法嗎？哪一種解法更好？若把某一條件換了，此題又變成什么樣的試題？又如何去解答等等.通過一題多解、一題多變、多題一解，引導和追問自己從不同的角度全面考察問題，擺脫固定的思維模式，發現思維過程中的不足，來完善思維過程及培養思維的嚴密性.通過反思，探索出新的解題途徑，尋求最佳的解題方法，養成“從優從快”的思維習慣，激發學生思維的創造性和靈活性，提高解題效率.

例2 已知實系數方程X2+ax+2b=0的一個根大于0且小于1，另一個根大于1且小于2， 求 的取值范圍.

剖析 這個題學生往往會想到“根的分布”列出關于、的不等式組，即

但計算比較費時，思路也易混亂.學生對照數學筆記，經過反思，回顧審題環節，找出“題眼”，即“關于a、b為不等式組的幾何背景，聯系斜率公式”，用數形結合的數學思想便易求得取值范圍.于是學生容易得如下解法：

不等式組（*）表示的平面區域如圖2所示，其中A（-3，1），B（-1，0），D（1，2）.設C（a，b）為可行域內任一點， 的幾何意義為直線CD的斜率，由圖知，故.

由上可知本題若按常規思維進行，需要教強的推理論證的能力，無疑不是每個學生都能快速解答的，特別是在具體的解題情景下更是不易想到。若認真反思，追問自己高中數學最常規的一些數學思想方法，是教容易聯系都數形結合的數學思想方法的，這自然在回顧中反思，在反思中引申，從而打開思維的天窗。

引申 若把條件換為：已知函數在（0，1）內取得極大值，在（1，2）內取得最小值，又如何求的取值范圍呢？

通過對函數f（x）求導，將f（x）在（0，1）內取得極大值，在（1，2）內取得極小值的問題轉化為研究二次方程的根的分布問題即變成例2.

縱觀本例，以二次方程的根的分布為突破口，使其轉化為線性規劃問題，通過討論斜率使問題獲解，充分體現了等價轉化和數形結合思想在解題過程中的作用。

3、反思解題思路

解題的關鍵是從已知和未知中尋找解題的途徑.反思解題思路包括對解題策略的選擇和運用成與敗兩個方面.學習筆記時，應充分認識在解題時所遇到的困惑，反思解題思路和策略的成功之處，分析他們的特點和適用條件，概括出思維規律.比較并借鑒教師和其他同學的解題思路，熟練并掌握解題技能，積累解題經驗，培養良好的思維習慣，尋求最佳解題方法，及時總結各類解題技能，優化自己的思維方法，提高解題效率。

例3： 已知橢圓與A（0，-1），問是否存在斜率為k（k≠0）的直線L，使L與橢圓交于兩個不同點M，N，且|AM|=|AN|，若存在，求k的取值范圍，若不存在，請說明理由.

剖析 此題多出現在高中圓錐曲線部分關于點對稱問題中.學生自己往往做了很多題目，甚至做了一些筆記，有時還是力不從心.若自己死死抓住對稱的本質和解題思路，學生自己在推導中不難發現解法是從L的斜率k出發，借助|AM|=|AN|，得出LLAP，P為MN的中點，用k表示P點，再考慮P點在橢圓內 ，從而建立k的不等式.解法關鍵在于控制P點在橢圓內，從而避開了繁瑣的計算.這也是一大類有關圓錐曲線和直線的對稱問題處理的關鍵所在.可見，數學的推理過程就是促使反思發生的方式之一，緊緊把握解題思路，沿思路追根求源。

4、反思解題規律

解完一道試題后，反思解題方法中有無規律可循？解題思路是否正確、嚴謹？解題方法是否靈活、有創意？怎樣解答最具技巧性、且通過最簡單幾道題的求解，引出一類題的解法，可更有效地強化解題能力，提高解題效率.在做數學筆記時，應該通過反思提練出相應題型的解題規律，達到觸類旁通的效果.

例4 已知關于x的二次方程有兩個等根，求證：、、成等差數列。

剖析 本題的常規解法是應用Δ=0得到a、b、c的關系，再整理可得本題結論.仔細觀察原方程，發現隱含著“系數之和為0”這一關系，由此，兩個等根均為1，再應用根與系數關系進行論證就簡單多了。

證明 由，知原方程的兩個等根是1，由根與系數的關系，得.故、、成差數列。

通過反思，可使學生學會在領會題意方面尋找規律，從而積累更多的解題經驗，這也是認知方面的訓練，可大大提高解題效率。

5、反思一題多變

在解題筆記中，通過多次的筆記復習引導學生自己多側面，多角度，多渠道地思考問題，讓學生自己多探討、多辨析解題過程，梳理知識網絡、拓展解題規律等一系列思維活動，學生不僅能加強對基礎知識的理解與運用，而且能拓寬深化解題思路，探索解題規律，提高思維品質，增強應變能力，實現舉一反三，觸類旁通，勝利走出題海.這樣在數學筆記中就能起到事半功倍的效果.

例5： 在橢圓上求一點P，使它與兩焦點F1，F2的連線互相垂直.

學生在學習筆記時，可促使學生問問自己該題能有哪些變式.比如

變換1：已知橢圓上存在一點P，它與兩焦點F1，F2的連線互相垂直，求此橢圓方程中滿足的條件.

變換2：已知橢圓上一點（-3，4），橢圓的兩焦點為F1，F2，求ΔF1，PF2 的面積.

反思一題多變，在數學筆記中可以對某個知識點進行系統分析研究，挖掘知識間的內在聯系與外延，使知識系統化，同時提高學生的審題，應變能力.重視一題多變訓練，提高知識整合，系統擴展，綜合運用能力，防止“一聽就懂，一看就會，一丟就忘”的現象發生，真正實現“解一題、知一類、會一片”。

6、反思解題中的失誤

學生在解題時可能會出現種種失誤，這些失誤既有知識上的缺陷和能力上的不足，也有非智力因素影響.這些非智力因素主要表現在答題方法、書寫規范、應試的心理調試、時間上的合理安排等方面.因此，學生應認真總結和反思解題中出現的失誤，充分利用數學筆記這個學習載體，進行如下反思：自己是否很好地理解了題意？在解題時曾走過哪些彎路？犯過哪些錯誤？這些問題又是如何改正的？我的“老毛病”又犯了嗎？解這類題的思維模式是什么？通過及時整理，來提高辨析解題正誤的能力，努力克服自己在解題中的不足之處和不良習慣，提高分析問題和解決問題的能力.

例6 若sinα=m，α為第二象限角，則tan2α的值為

（ ）

（A） （B）

（C） （D）以上都不對

剖析 在分析此題時，許多學生認為此題容易，他們的思維模式是：

由sinα=m，α為第二象限的角，得

，

得

所以.

因此，選（A）.

答錯了！錯在哪里？只有極個別學生意識到題設條件中的m∈（0.1），如當時，1-2m2=0，，tanα=-1，此時tan2α失去了意義，故答案只可選（D）.若題設條件中限制，則應當選（A）.

學生若能能比較兩種思路，反思自己錯解的原因，自然能使自己思維的嚴密性和批判性有所收獲.

解題時，不能“一葉障目，不見泰山”，應在審清題意的基礎上認真解答.做筆記過程中應反思題目陷阱所在及其推理是否嚴密、有無漏洞？反思語言表述是否簡明、準確、嚴謹、完整？解答過程是否優化？哪些思路是盲目中被多余添加的？我的思考和老師、同學的思考有何不同……并對發現的問題及時改進或糾正，從而提高運用知識的效率和批判思維能力的形成，從而發展自主學習能力.

篇9

李春燕

（南京市秣陵中學，江蘇  南京  211111）

摘  要：課堂導入是教師引導學生參與學習的過程和手段，它是課堂教學的必需環節，也是教師必備的一項教學技能；它既是學生主體地位的依托，也是教師主導作用的體現。農村高中學生基礎薄弱，恰當的導入利于營造良好的教學情境，集中學生的注意力，激發學習興趣，啟迪學生積極思維，喚起求知欲，為良好的教學效果的取得奠定基礎。

關鍵詞：高中數學；導入設計；方法

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一、復習導入法

復習導入法即所謂 “溫故而知新” ，它利用數學知識之間的聯系導入新課，淡化學生對新知識的陌生感，使學生迅速將新知識納入原有的知識結構中，能有效降低學生對新知識的認知難度。這種方法不但符合學生的認知規律，而且為學生學習新知識鋪路搭橋。教師在導入當中應注意抓住新舊知識的某些聯系，在提問舊知識時引導學生思考、聯想、分析，使學生感受到新知識就是舊知識的引申和拓展。

     這種導入新課的方法一般適用于定理和性質的運用。例如：學倍角時先提問二角和與差公式 、 、 ，再把上式中的  改為  ，可得到什么結論。講半角公式也可以在復習回憶二倍角公式的基礎上順利導入。這樣學生不但復習鞏固了舊知識，而且可把新知識由淺到深、由簡單到復 雜、由低層次到高層次地建立在舊知識的基礎上，利用知識的聯系來啟發思維， 促進新知識的理解和掌握，消除學生對新知識的恐懼和陌生心理，及時準確地 掌握新舊知識的聯系，達到“溫故而知新”的效果。

    二、開門見山導入法

    有時我們談話、寫文章習慣開門見山，這樣主體突出、論點鮮明。在數學課上，我們可以直接從課本的課題中提出新課的學習重點、難點和教學目的，以引起學生的有意注意，誘發探求新知識的興趣，使學生直接進入學習狀態。 例如，在講《二面角》的內容時，可這樣引入：“兩條直線所成的角，直線和平面所成的角，我們已經掌握了它們的度量方法，那么兩個平面所成的角怎樣度量呢？這節課我們就來學習這個內容----二面角和它的平面角！”（板書課題），這樣導入，直截了當，促使學生迅速集中到新知識的探索追求中。再如，講《用單位園中的線段表示三角函數值》一節時，可作如下開篇“前面我們學習了三角函數的定義，每種三角函數的數值都是用兩條線段的比值來定義的，這是我們在應用中帶來諸多不便，如果變成一條線段，那么應用起來就會方便的多，這節課就來解決這個問題：“用單位園中的線段表示三角函數值”，這樣引入課題，不僅明確了這堂課的主題，而且也說明了產生這堂課的背景。

 開門見山、直接導入既能突出中心或主題，又可使學生思維迅速定向，很快進入對中心問題的探求，因此也是其他學科常用的導入方法。它往往用于知識相對自成一體或者前面還沒有涉及的知識與方法，因此在備課時問題要精心 設計，條理清楚，使學生的思維能朝預定的方向發展。在高中數學中，這樣的新課很多，如指數函數、弧度制、數列的概念等等都是相對獨立的知識點或初識的概念，在學習中我們都可以采用這種方式。

    三、情境導入法

   《新課程標準》要求“數學教學要緊密聯系學生的生活實際，從學生的生 活經驗和已有的知識出發，引導學生經歷數學形成的過程，進而理解數學。” 使學生通過感知數學，體驗數學知識與生活的聯系，把教材內容與“數學現實” 有機結合起來，優化數學教學。 牛頓由“蘋果的落地”而發現了“牛頓三大定律”，很多重大科學成果的發現都緣于人在實際生活中對某些事件或情境的不可解釋而引發思考和探索。人的思維過程始于問題情境,問題情境具有情感上的吸引力。數學情境能使學生 產生學習的興趣，激發其求知欲與好奇心。因此，在課堂教學中，若能結合教學內容，捕捉“生活現象”，精心創設問題情境，往往能激起學生對新知學習 的熱情，拉近學生與新知的距離，為學生的學習作好充分的心理準備，讓學生親近數學，起到事半功倍的效果。例如，在學習橢圓時利用多媒體向學生展示拉油車的平面圖、雞蛋的平面圖、地球公轉的軌跡等圖形，并固定兩個點用一根細繩讓學生畫封閉的橢圓曲線，揭示橢圓的形狀與畫法，感受圓與橢圓的不同，從而激發探究興趣，形成強烈的認知需要。 再如：在學習排列組合時，我問：高一年級四個班，學校組織高一年級進行單循環賽籃球賽，總共需要進行多少場比賽？這是一個實際生活中的例子，學生對此很感興趣。這樣的例子很多，比如解三角形、等可能事件的概率等。

    隨著教學改革的深入，數學教學情境導入的方法越來越多，只有我們根據教材特點、學生的實際以及授課總體思路，靈活選擇情境導入新的最佳途徑才能使學生很快的將情境問題抽象成數學問題，激發學生解決問題、探索真理的興趣。

    四、設疑導入法

美國心理學家布魯納指出：“教學過程是一種提出問題，解決問題的持續不斷的活動”，因此教學引入新課時教師要善于提出問題，設置疑問。教師對某些內容故意制造疑團而成為懸念，提出一些必須學習了新知識才能解答的問題，點燃學生的好奇之火，激發學生的求知欲，從而形成一種學習的動力。

例如，在學習《等比數列前n項和》時，教師講述這樣一個故事：相傳古印度國王為獎賞國際象棋的發明者，問他有什么要求，發明者說：“請在棋盤的第一個格子里放上一粒麥子，在第二個格子里放2粒麥子，第3個格子里放4粒一麥子，依此類推，每一個格子放的麥子數是前一個格子里放的麥粒數的2倍， 直到第64個格子放完為止”，發明者所要的麥子數按每粒0.05克，全球年產量按5.918億噸計算，需全球158.5年所有小麥才能填滿。這時學生震撼了， 心理形成強烈的反差，很多學生心理會懷疑老師所給的結論是否正確，激起學生強烈的探求欲望。

篇10

一、動手操作法

【案例1】

如選修1-1《橢圓及其標準方程》第1課時課堂引入設計如下:課前,將事先準備好的圓形紙片給每位同學發一張,讓大家按這樣的步驟進行,①在圓內部異于圓心任取點A;②在圓周上分別標記16個等分點為B1、B2、…、B16;③折疊圓紙片,使圓周上的點B1與點A重合,展開紙片后得到一條折痕;④重復上一步驟,使圓周上其余各點與A點重合,得到16條對應的折痕;⑤最后展開紙片,可以發現未被折痕覆蓋到的區域正是一個橢圓的形狀。

這樣的引入方法新穎、引人入勝,能讓學生動起來,既能培養學生的動手操作能力,同時又讓學生直觀感知橢圓這一幾何圖形。體現了學生是活動的主體。

二、演示導入法

【案例2】

同樣是《橢圓及其標準方程》第1課時,也可如下設計:課前準備一根線繩,教師把這根線繩的兩端各系一根圖釘,再把圖釘固定在黑板上(兩圖釘間距小于該線繩的長),用粉筆將線繩繃緊繞兩定點畫線,在黑板上畫出一條封閉曲線,即為橢圓。

這種導課方法直觀形象,有利于培養學生的抽象思維能力和想象能力,能較好地發揮教師的主導作用。

三、引史講故法

【案例3】

如必修2《空間幾何體體積》如下引入:先講阿基米德檢驗金王冠純度的故事,然后過渡到祖原理,祖比17世紀意大利數學家卡瓦列里早1100年發現該定理,這一數學史故事可大大激發學生的愛國熱情。

《高中數學課程標準(實驗)》提倡:體現數學的文化價值,并在適當的內容中提出對“數學文化”的學習要求,設立“數學史選講”等專題。在教學中我們可以滲透數學的德育教育功能,適當講授數學史內容。

四、類比猜想法

【案例4】

如選修1-1《充分條件與必要條件》可展示幾個電路圖:視“開關A的閉合”為命題A,“燈泡B亮否”為命題B,研究命題A是命題B的何種條件。

這種問題情境引入,可喚起學生的熟悉的物理知識,使其興趣盎然,情結高漲。通過類比回答問題,得出充要條件等相關概念。這樣把握數學問題的本質,可謂入木三分。這種方法還可用在新舊知識、相近或同類知識之間。

五、實例探求法

【案例5】

如必修5《基本不等式》作如下引入:某種時令水果,價格起伏很大,甲乙二人同時分兩次購買。甲兩次都花一樣多的錢,乙兩次都買同樣的數量,誰的平均價格更低?

這種利用現實生活中的具體實例分析和揭示事物的一般規律的課堂引入,既能激發學生的求知欲望,又能體現數學的生活性本源。教材中與生活聯系密切的知識點很多,比如:①“糖水加糖甜更甜”揭示的數學道理是什么?②一臺兩臂長短略有差異的天平,你怎樣能稱出重物的實際質量?③某企業五年盈利100萬元,另一企業二年盈利500萬元,哪個企業效益更好?等等,教學中我們都可以靈活的選用作為課堂引入素材。

《高中數學課程標準(實驗)》指出:“高中數學課程應提供基本內容的實際背景,反映數學的應用價值”,“應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系,促進學生逐步形成和發展數學應用意識,提高實踐能力。”實例探求的方法體現數學知識與現實生活的結合,從生活中來,到生活中去,充分體現了學以致用的最高、最終目標。

除上述引入方法以外,還有直接導入法、溫故引新法、實物展示法、歸納導入法、講評導入法、精心設疑法等等。

當然,對于同一教學內容,由于教師的認識程度、思考角度與經驗背景不同,可能會出現各種各樣的引入設計。一個成功的課堂引入,必須因“師”而異、因“生”施教。具體教學中應遵循以下一些基本原則:

1.科學性。課堂引入形式應根據教學目標及內容而定,引入問題要符合學生的認知規律,符合學生的已有知識水平,貼近學生思維水平的最近發展區,引入方式方法要結合教學環境、教學設施。

2.啟發性。新課程理念倡導“問題情境―建立模型―解釋與應用”的教學模式,情境問題要能激發學生的求知欲,問題設置要有一定的挑戰性,可以考慮以開放性問題為素材。

3.趣味性。近代教育學家斯賓塞指出:“教育要使人愉快,要讓一切教育有樂趣”。教育家烏辛斯基也指出:“沒有絲毫興趣的強制性學習,將會扼殺學習探求真理的欲望”。因此,教師設計問題時,要新穎別致,使學生學習有趣味感、新鮮感。