運籌學求最優解的方法范文

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關鍵詞：運籌學；企業管理；應用

運籌學作為一門新興科學，其應用范圍是十分廣泛的。對于不同類型問題，運籌學都有著不同的解決方法。在企業管理中，運籌學的思想貫穿了企業管理的始終，運籌學對各種決策方案進行科學評估，為管理決策服務，使得企業管理者更有效合理地利用有限資源。優勝劣汰，適者生存，這是自然界的生存法則，也是企業的生存法則。只有那些能夠成功地應付環境挑戰的企業，才是得以繼續生存和發展的企業。作為企業的管理者，把握并運用好運籌學的理念定會取得“運籌帷幄之中，決勝千里之外”之功效。

一、企業管理中常用的運籌學方法

（1）線性規劃： 線性規劃是目前在經濟管理中應用最廣泛的一種優化法， 它的理論已經十分成熟， 可以應用于生產計劃、物資調用、資源優化配置等問題。它主要研究的是經濟管理活動中經常遇到的兩類問題： 一類是在有限的勞動力、設備、資金等資源條件下， 研究如何合理安排生產計劃， 以取得最大的經濟效益； 另一類是為了實現某一特定的目標（ 生產指標或其它指標） ， 研究如何組織生產， 或合理安排工藝流程， 或調整產品的成份等等，以使消耗的資料（ 人力、設備臺數、資金原材料等） 最少。這類統籌規劃的問題用數學語言表達（ 即數學模型） ， 先根據問題要達到的目標選取適當的決策變量， 問題的目標通過用決策變量的函數形式來表示， 稱之為目標函數，對問題的限制條件用有關變量的等式或不等式表達， 稱為約束條件。當目標函數和約束條件均為線性時， 即為線性規劃的數學模型。線性規劃可通過單純型法求出最優解， 現在已有專門的軟件， 使用起來非常方便。

（2）動態規劃： 動態規劃是運籌學的一個分支， 是一種解決多階段決策過程最優化的數學方法， 它把復雜的多階段決策問題分解成一系列相互聯系的較容易解決的單階段決策問題，通過解決一系列單階段決策問題來解決多階段決策問題。以尋求最優決策序列的方法。動態規劃研究多階段決策過程的總體優化， 即從系統總體出發， 要求各階段決策所構成的決策序列使目標函數值達到最優。在經濟管理方面， 動態規劃可以用來解決最優路徑問題、資源分配問題、生產調度問題、庫存問題、裝載問題、排序問題、設備更新問題、生產過程最優控制問題等等， 所以它是現代經濟管理中的一種重要的決策方法。

二、企業生產計劃與市場營銷

（1）生產計劃。使用運籌學方法從總體上確定適應需求的生產、貯存和勞動力安排等計劃，以謀求最大的利潤或最小的成本，運籌學主要用線性規劃、整數規劃以及模擬方法來解決此類問題。線性規劃問題的數學模型是指求一組滿足一個線性方程組（或線性不等式組，或線性方程與線性不等式混合組）的非負變量，使這組變量的一個線性函數達到最大值或最小值的數學表達式.

建立數學模型的一般步驟：①確定決策變量（有非負約束）；對于一個企業來說，一般是直生產某產品的計劃數量；②寫出目標函數（求最大值或最小值）確定一個目標函數；③寫出約束條件（由等式或不等式組成）.約束條件包括指標約束需求約束、資源約束等；④最后根據目標函數為作出最合適的企業生產計劃決策。

（2）市場營銷。一個市場研究專家試圖用數據證明消費者的洞察多么有意義，而一個戰略管理咨詢專家則強調成功營銷案例中隱藏的思路更有價值。我認為市場營銷管理的任務主要是探查決策環境，進行數據和信息的搜集、加工、分析，確定影響決策的因素或條件。因此，在確定目標階段實際上包含了問題識別和問題診斷兩個內容。在設計方案階段要理解問題，建立模型，進行模擬，并獲得結論，提供各種可供選擇的方案（方案主要通過對產品、價格、銷售渠道、促銷等基本環境的控制來影響消費需求的水平、時機和構成）。評價方案階段要根據確定的決策準則，從可行方案中選擇出最優或滿意的方案。這些都都可以使用運籌學的理念來為管理者提供輔助決策。

三、企業庫存管理、運輸問題和財務管理

（1）庫存管理。如果說生產計劃是從信息流的角度指揮、控制生產系統的運行，那么庫存的管理則是從物質流的角度來指揮和控制。庫存管理的目標是如何最有效的利用企業的物質資源的問題?，F在流行的庫存管理系統的庫存管理軟件，一般含貨品進貨、出貨管理系統，倉庫管理系統，報表系統等子模塊等，運用的原理還是運籌學模型。

（2）運輸問題。在企業管理中經常出現運輸范疇內的問題，例如，工廠的原材料從倉庫運往各個生產車間，各個生產車間的產成品又分別運到成品倉庫。這種運輸活動一般都有若干個發貨地點（產地）、又有若干個收貨地點（銷地）；各產地有一定的可供貨量（產量）；各銷地各有一定的需求量（銷量）；運輸問題的實質就是如何組織調運，才能滿足各地地需求，又使總的運輸費用（公里數、時間等）達到最小。運輸模型是線性規劃的一種特殊模型。這模型不僅實用于實際物料的運輸問題，還實用于其它方面：新建廠址的選擇、短缺資源的分配問題、生產調度問題等。

（3）財務管理。運籌學的理念在財務與會計中顯得更為突出也就是說它解決企業如何最有效的利用資金資源的問題。其涉及到投資決策分析、成本核算分析、證券管理等。在投資決策分析中，企業如何利用剩余資金，如何投資往往有多種方案。而運籌學的作用就是要要對這些不同的投資方案進行決策，以確定最優的方案，使得企業的收益最大。

運籌學是運用科學的數量方法，研究對有限的人、財、物、時、空、信息等資源進行合理籌劃和運用，尋找管理及決策最優化的綜合性學科。隨著國民經濟的發展，科學技術的飛躍，運籌學也不斷的發展完善成為近代應用數學的一個重要分支，主要是將生產、管理等事件中出現的一些帶有普遍性的運籌問題加以提煉，然后利用數學方法進行解決。運籌學將為決策者提供定量、定性分析結，有助作出全局優化決策。

參考文獻：

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一、運籌學方法

運籌學是秘書人員計劃工作的有效工具，它廣泛地用于解決有限資源如何合理運用以實現既定目標的問題。

應用運籌學一般包括以下主要步驟：

（1）建立問題的數學模型。

首先根據研究目的對問題的范圍進行界定，確定描述問題的主要變量和問題和約束條件，然后根據問題的性質確定采用哪一類運籌學方法，并按此方法將問題描述為一定的數學模型。

為了使問題簡經和突出主要的影響因素，需要作各種必要的假定。

（2）規定一個目標函數，作為對各種可能的行動方案進行比較的尺度。

（3）確定模型中各參量的具體數值。

（4）求解模型，找出使目標函數達的最大值（或最小值）的最優解。通常，即使是求一很簡單的管理問題模型的最優解，也要編制計算機程序上機運算。

二、滾動式計劃方法

滾動式計劃方法是一種編制具有靈活性的、能夠適應環境變化的長期計劃方法。

秘書人員在編制這種計劃的方法是：

在已編制出的計劃的基礎上，每經過一段固定的時期（例如一年或一個季度等，這段固定的時期被稱為滾動期），便根據變化了的環境條件和計劃的實際執行情況，從確保實現計劃目標出發對原計劃進行調整。

每次調整時，保持原計劃期限不變，而將計劃期限順序向前推進一個滾動期。

采用滾動式計劃方法，可以根據環境條件和實際完成情況，定期地對計劃進行修訂，使組織始終有一個較為切合實際的長期計劃作指導，并使長期計劃能夠始終與短期計劃緊密地銜接在一起。

三、計劃－規劃－預算方法

計劃－規劃－預算方法是完全從目標出發編制預算的。新晨

計劃開始時，首先由最高主管部門提出組織的總目標和戰略，并確定實現目標的項目。

其次分別按每一個項目的實施階段所需的資源數量進行測算和規劃，并排出項目的優先次序；

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[關鍵詞] 線性規劃 方法 應用

線性規劃是運籌學中研究較早、發展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支,它是輔助人們進行科學管理的一種數學方法，早在1939年蘇聯的康托洛維奇（H.B.Kahtopob ）和美國的希奇柯克（F.L.Hitchcock）等人就在生產組織管理和制定交通運輸方案方面首先研究和應用線性規劃方法。1947年旦茨格等人提出了求解線性規劃問題的單純形方法，為線性規劃的理論與計算奠定了基礎，特別是電子計算機的出現和日益完善，更使規劃論得到迅速的發展，可用電子計算機來處理成千上萬個約束條件和變量的大規模線性規劃（或非線性規劃）問題。從應用范圍來看，小到一個班組的計劃安排，大至整個部門，以至國民經濟計劃的最優化方案分析，它都有用武之地，從解決技術問題的最優化，到工業、農業、商業、交通運輸業以及決策分析部門它都可以發揮作用。線性規劃方法具有適應性強，應用面廣，計算技術比較簡便的特點。其基本思路是在滿足一定的約束條件下，使預定的目標達到最優。它的研究內容可歸納為兩個方面：一是系統的任務已定，如何合理籌劃，精細安排，用最少的資源(人力、物力和財力)去實現這個任務；二是資源的數量已定，如何合理利用、調配，使任務完成的最多。前者是求極小，后者是求極大。線性規劃是在滿足企業內、外部的條件下，實現管理目標的極值(極小值和極大值)問題，就是要以盡量少的資源輸入來實現更多的社會需要的產品的產出。因此，線性規劃是輔助企業“轉軌”、“變型”的十分有利的工具，它在輔助企業經營決策、計劃優化等方面具有十分重要的作用。

一、線性規劃模型的結構

企業是一個復雜的系統，要研究它必須將其抽象出來形成模型。如果將系統內部因素的相互關系和它們活動的規律用數學的形式描述出來，就稱之為數學模型。線性規劃的模型決定于它的定義，線性規劃的定義是：求一組變量的值，在滿足一組約束條件下，求得目標函數的最優解。

根據這個定義，就可以確定線性規劃模型的基本結構。

1.變量:變量又叫未知數，它是實際系統的未知因素，也是決策系統中的可控因素，一般稱為決策變量，常引用英文字母加下標來表示，如Xl，X2，X3，Xm等。

2.目標函數:將實際系統的目標，用數學形式表現出來，就稱為目標函數，線性規劃的目標函數是求系統目標的數值，即極大值（如產值極大值、利潤極大值）或者極小值（如成本極小值、費用極小值、損耗極小值等等）。

3.約束條件:約束條件是指實現系統目標的限制因素。它涉及到企業內部條件和外部環境的各個方面，如原材料供應、設備能力、計劃指標、產品質量要求和市場銷售狀態等等，這些因素都對模型的變量起約束作用，故稱其為約束條件。約束條件的數學表示形式有三種，即≥、＝、≤。線性規劃的變量應為正值，因為變量在實際問題中所代表的均為實物，所以不能為負。

在經濟管理中，線性規劃使用較多的是下述幾個方面的問題：

(1)投資問題―確定有限投資額的最優分配，使得收益最大或者見效最快。

(2)計劃安排問題―確定生產的品種和數量，使得產值或利潤最大，如資源配制問題。

(3)任務分配問題―分配不同的工作給各個對象(勞動力或機床)，使產量最多、效率最高，如生產安排問題。

(4)下料問題―如何下料，使得邊角料損失最小。

(5)運輸問題―在物資調運過程中，確定最經濟的調運方案。

(6)庫存問題―如何確定最佳庫存量，做到即保證生產又節約資金等等。

二、應用線性規劃建立數學模型的三步驟

1.明確問題，確定目標，列出約束條件。

2.收集資料，建立模型。

3.模型求解(最優解)，進行優化后分析。

其中，最困難的是建立模型，而建立模型的關鍵是明確問題、確定目標，在建立模型過程中花時間、花精力最大的是收集資料。

三、線性規劃的應用實例

例1 某工廠生產甲、乙兩種產品，每件甲產品要耗鋼材2kg、煤2kg、產值為120元；每件乙產品要耗鋼材3kg，煤1kg，產值為100元。現鋼廠有鋼材600kg，煤400kg，試確定甲、乙兩種產品各生產多少件，才能使該廠的總產值最大？

解： 設甲、乙兩種產品的產量分別為X1、X2，則總產值是X1 、X2的函數

f(X1，X2)＝120X1＋100X2

資源的多少是約束條件：

由于鋼的限制，應滿足2X1＋3X2≤600；由于煤的限制，應滿足2X1＋X2≤400。

綜合上述表達式，得數學模型為

求最大值（目標函數）：f(X1，X2)＝120X1＋100X2

2X1＋3X2≤600

2X1＋X2≤400

X1≥0，X2≥0

Xl，X2為決策變量，解（略）得：Xl≤150件，X2≤100件

fmax＝(120 ×150＋100×100)元＝28000元

故當甲產品生產150件、乙產品生產100件時，產值最大，為28000元。

例2：已知甲、乙兩煤礦每年的產量分別為200萬噸和300萬噸，需經過東車站和西車站兩個車站運往外地。東車站每年最多能運280萬噸煤，西車站每年最多能運360萬噸煤，甲煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為1元/噸和1.5元/噸，乙煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為0.8元/噸和1.6元/噸。煤礦應怎樣編制調運方案，能使總運費最少?

解：設甲煤礦向東車站運x萬噸煤，乙煤礦向東車站運y萬噸煤，那么總運費

f(X，Y)=x+1.5(200－x)+0.8y+1.6(300－y)(萬元)

即f(X，Y)=780－0.5x－0.8y

現要求此目標函數的最小值。

x、y應滿足：x≥0 ;y≥0

200-x≥0

300-y≥0

x+y≤280

200-x+(300-y)≤360

解（略）得：X=0 ，Y=280

甲煤礦生產的煤全部運往西車站、乙煤礦向東車站運280萬噸向西車站運20萬噸時，總運費最少。

上述兩例是只有兩個變量的線性規劃（求目標函數最大，最?。﹩栴}，其求解方法為圖解法，對于含更多變量的線性規劃問題，在解決思路、步驟上基本一致，只是在具體求解方法上要用到所謂的“單純形”方法，在此不再贅述。

四、結束語

線性規劃作為運籌學的重要分支，它在輔助企業經營決策、計劃優化，對于企業優化配置資源，降低成本，實現效益最大化等方面都具有重要的作用，因此作為企業的經營決策者有必要學習一點線性規劃知識，為科學決策，合理規劃做必要的知識準備。

參考文獻:

[1]管梅谷鄭漢影:線性規劃[M].山東科學技術出版社， 1983

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關鍵詞 運籌學 理論教學 對偶理論 實例導入

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

0引言

運籌學是高等學校經濟管理專業必修的一門重要基礎課程，課程設置的目標是培養學生運用定量分析的方式來解決經濟與管理實際問題的能力。由于授課對象普遍是文科生，他們的數學基礎比較薄弱，加上這門課程的預備知識與微積分、線性代數等緊密相連，導致學生對運籌學的學習有著恐懼心理，學習興趣不濃。針對這一現狀，怎樣合理地講授這門課程，恰當地通過生活中的具體實例導入理論知識，避免過于抽象的理論知識的直接灌輸和推導在很大程度上決定了運籌學的教學質量。下面通過教學過程中學生的重難點“線性規劃的對偶理論舉例說明。

1實例

借助PPT向學生展示兩個實際問題并引導學生建模：

例1：（工廠生產計劃問題）某工廠在計劃期內要安排生產I，II兩種產品，已知工廠的設備有效臺時數為8，原材料A，B的庫存量分別為16和12千克，而生產單位I產品需設備1臺時、消耗原材料A4千克；生產單位II產品需設備2臺時、消耗原材料B4千克。設該工廠生產單位產品I和II可分別獲利2和3元。問如何安排計劃使該工廠獲利最多？（不妨設x1，x2分別表示在計劃期內產品I和II的產量）

例2：在例1的背景下工廠決定不生產產品，而是將其所有資源出租或銷售。問如何安排出租和出讓價格使該工廠獲利最多？（不妨設y1，y2，y3分別表示出租單位設備臺時的租金和出讓原材料A，B的附加額）

口述強調例1為第一章講過的線性規劃問題，而例2對應的模型稱為例1的對偶問題，即為這節課要講述的內容“線性規劃的對偶理論”。通過討論，在黑板上寫出這兩個實際問題的線性規劃模型，并用矩陣形式表示。為了方便描述，稱例1為原問題，稱例2為對偶問題。

在這兩個具體模型中，引導學生觀察對比找出原問題與對偶問題的聯系和區別。

通過PPT設置以下問題：（1）原問題的目標函數系數在對偶問題中扮演何種角色？（2）原問題約束條件的右端常數在對偶問題中充當何種角色？（3）原問題約束條件的系數矩陣在對偶問題中扮演何種角色？（4）原問題和對偶問題中約束條件的不等號有何區別？

在學生的參與互動下得出以上四個問題的答案，即為標準形式的原問題與對偶問題的變換關系，并在黑板上給出一般化的結論。緊接著設置一個問題：“若原問題中存在等式約束，怎么處理？”引導學生思考將這個等式約束變換成原問題中的“≤”約束，從而可以借助剛才的結論來寫對偶問題。討論得出“X=b X≤b且 X≤ b”的處理技巧。下面設置一個簡單的例題，求含有等式約束的線性規劃原問題的對偶問題。引導學生通過上述處理技巧，寫出相應的對偶問題，從而總結得出等式約束對應的變換關系。至此，可以總結得出一般模式下的原問題與對偶問題的變換關系。并用PPT展示出來。在這個基礎上，可以給出對偶問題的基本性質，并強調這些性質的重要性在于“在求解線性規劃問題的最優解時，可以借助簡單易求的問題來得出另一個問題的解”。并給出例題幫助學生消化吸收。

2總結

針對教學過程中學生的重難點“線性規劃的對偶理論”，借助具體實例導入理論知識的方法，從簡單具體的實例出發，精心設計互動的場景，通過設置引導性的問題，推導并歸納總結抽象的理論知識，由于每一階段的問題比較簡單，學生有能力參與進來，從而充分調動了學生的學習積極性，提高了運籌學教學的質量。

基金項目：武漢紡織大學教學研究項目（2014JY125）資助。

參考文獻

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關鍵詞：EOQ；訂貨成本；儲存成本

中圖分類號：F275.3文獻標識碼：A文章編號：1672-3198（2007）10-0258-01

1引言

人們在生產和日常生活中往往將所需的物資、用品和事物暫時地儲存起來，以備將來使用或消費。這種儲存物品的現象是為了解決供應（生產）與需求（消費）之間的不協調的一種措施，這種不協調性一般表現為供應量與需求量的供應時期與需求時期的不一致性上，出現了供不應求或供過于求。人們在供應與需求這兩環節之間加入儲存這一環節，就能緩解供應與需求之間的不協調，以此為研究對象，利用運籌學方法去解決最合理、最經濟地儲存問題。

2存儲數學模型的建立及求解

2.1瞬時送貨的確定性庫存問題（不允許缺貨的情況）

存貨的功能是滿足生產經營的需要,而存貨必然發生相應的成本。經濟訂貨批量是存貨的相關總成本最低的一次訂貨批量。經濟訂貨批量應根據實際情況,分不同類型來確定?；镜慕洕嗀浥?EconomicOrderingQuantity,簡稱EOQ)模型建立在以下的假定條件之上:

①訂購的存貨瞬時到貨;②不允許缺貨;③全年的存貨需求是確定的;④存貨的價格穩定,沒有數量折扣;⑤存貨的耗用比較均勻。

經濟訂購批量模型如圖所示：

在上述假定條件下,存貨的相關成本包括以下兩項:

(1)訂貨成本。訂貨成本是指為組織進貨所發生的各種費用,包括采購人員的差旅費、通訊費、運輸費、檢驗費等。這些費用一般與訂貨的次數有關。在存貨的全年需求量一定的情況下,一次訂貨量越多,全年的訂貨次數越少,訂貨費用越低。

(2)存儲成本。存儲成本是指企業為持有存貨而發生的費用,包括存貨資金占用費用或機會成本、倉儲費用、存貨保險費用等。這些費用一般與平均存貨水平的高低成正比。在存貨的全年需求量一定的情況下,一次訂貨量越多,全年的平均存貨水平越高,存儲費用越高。

基本的經濟訂貨批量有關的計算公式如下:

總成本=訂貨成本+儲存成本或

R:一定時期存貨的需求量

S:一次采購費用

C:存貨單價

K:存貨的存儲費率,CK為單位存儲費用

3擴展的經濟訂貨批量模型

當基本的經濟訂貨批量模型的某些假定條件改變以后,即可得到擴展的經濟訂貨批量模型。擴展的經濟訂貨批量模型主要是以下下這種形式。

非瞬時送貨的確定性庫存問題（不允許缺貨的情況）。

在訂購的存貨不能瞬時到貨而是陸續供應、且邊送邊用的情況下,經濟訂貨批量有關的計算公式如下:

經濟訂貨批量:Q*=2RSCK(1-d/g)

最佳的訂貨次數:N*=RQ*

最低訂儲費用(訂貨費用和儲存費用合計):

T*=2RSCK(1-d/g)其中,g為送貨期內每日平均送貨量,d為每日平均消耗量。

4數值實例及求解

（1）某廠年計劃生產6500件產品，設每個生產周期的訂購成本為200元，每年每件產品的儲存費為3.2元，每年工作300天，試求最經濟的生產批量Q*和最小的庫存費用T*。

①一次訂購成本S=200件，年計劃產量R=6500件，設該廠每批生產Q件產品，則訂購成本為：

RSQ=13*105/Q

而儲存成本為：

5分析與結論

（1）擴展情形下的經濟訂購批量模型與基本經濟訂購批量相比，進貨雖然不是瞬時完成，且每次訂購批量較大，但是這種邊送邊用卻能有效的降低總的存儲費用。

（2）建立的模型是確定性的，即一個周期內的需求量是已知道的。如果不是這樣的話,更合適的模型將是隨機的(或概率的)，也就是一個周期內的需求量是一個已知分布的隨機變量。

（3）本文僅考察了基本經濟批量模型及不允許缺貨的情況下非瞬時送貨的確定性庫存問題，對EOQ模型的進一步擴展尚未完全展開，比如允許缺貨、備貨時間很短、允許缺貨（需補足缺貨）生產需一定時間、價格有折扣的存儲問題等經濟批量模型就有很研究價值，需要以后補充完善。

參考文獻

［1］胡運權，郭耀煌.運籌學教程［M］.北京:清華大學出版社，2003.

［2］姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［3］運籌學.教材編寫組.運籌學［M］.北京：清華大學出版社，2005.

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關鍵詞：旅行商問題；流水算法；元啟發式算法；優化

中圖分類號：C934文獻標識碼：A文章編號：10035192（2014）01006505doi：10.11847/fj.33.1.65

1引言

旅行商問題（Traveling Salesman Problem，簡稱TSP）又稱為旅行推銷員問題、貨郎擔問題，最早于1859年由威廉·漢密爾頓首次提出，屬于運籌學中經典的組合優化難題。該問題是單一旅行者由起點出發，不重復地走完其余地點并回到原出發點，在所有可能的路徑中求出路徑長度最短的一條。旅行商問題屬于組合優化范疇，是NPhard問題，具有組合優化問題的典型特征，并且問題描述簡單，因此很多學者將旅行商問題算例作為算法研究的公共實例。同時，旅行商問題有著廣泛的實際應用背景，如物流配送、調度排班、道路交通、計算機網絡節點配置、生產調度、組合優化求極值等問題。所以，旅行商問題成為優化領域里的研究熱點，吸引了管理優化、運籌學、數學、物理、生物和人工智能等領域的研究者的關注。

TSP問題的解空間是多維、多局部極值、復雜的解空間。這個解空間類似一個無窮大的丘陵地帶，山峰、山谷連綿起伏，其中的山谷就代表局部極低值，最低的山谷代表最短路徑，對應的方案就是最佳旅行方案。旅行商問題的求解方法大體可以分為兩類：精確求解法和近似求解法。精確求解法主要是通過解析方法求得最優解，包括枚舉法、分枝定界法、動態規劃等。旅行商問題描述雖然非常簡單，但隨著需要訪問城市數目的增加，會出現所謂的“組合爆炸”現象，在多項式時間內無法精確求解。所以，人們提出了以獲得次優解為目標的近似啟發式求解算法。受到自然界的啟發，人們提出各種各樣的元啟發式算法（MetaHeuristics）用于優化求解，如遺傳算法[1]、模擬退火[2]、禁忌搜索算法[3]、蟻群算法[4～6]、粒子群優化算法[7]等。這些智能算法被廣泛地應用于TSP問題求解，雖然不能保證獲取最優解，但當問題規模較大時，保證在可行時間內找到滿意的解。求解TSP問題的近似求解算法又可分為環路構造算法和環路改進算法兩類[8]。前者從某個非法解開始，通過某種增廣策略逐步改變該解，直到得到一個合法解為止，這類算法包括最近鄰算法、貪心算法、ClarkeWright算法和Christofides算法等。環路改進算法則在給定初始的合法解后使用某種策略來改進初始解。這些策略更多的是元啟發式算法，包括遺傳算法[9～12]、模擬退火[13]、禁忌搜索算法[14]、蟻群算法[15，16]、粒子群優化算法[17，18]等。旅行商問題的本質是根據旅行商問題的解空間特征，研究局部最優解、全局最優解和鄰域結構之間的關系，具體包括：一種鄰域結構的局部最優解和另一種鄰域結構的局部最優解之間的關系；全局最優解和所有鄰域結構的局部最優解之間的關系。所以，提出一種更能協調上述關系的啟發式算法是組合優化領域學者長期追求的目標。

3流水算法原理

現代元啟發式算法成為近似求解大規模復雜的旅行商問題的研究熱點。研究者從生物系統的進化和大自然中自適應性現象得到靈感，提出了一些以搜索近優解為目標的仿生元啟發式算法，如遺傳算法、蟻群優化算法、粒子群優化算法等。仿生優化算法是一類模擬自然生物進化或者群體社會行為的隨機搜索方法的統稱。借鑒自然和社會的各種現象，提出并設計優化算法成為一個重要的求解途徑。本文正是在這樣的背景下，基于旅行商問題的解空間類似一個無窮大的丘陵地帶特點，受到自然現象“水無常形，水往低處流，水流千里歸大海”的啟發，設計新型的求解旅行商問題的元啟發式算法—流水算法。

3.1流水的啟示

總啟示：“水無常形，水往低處流，水流千里歸大?！笔潜姸嗔魉謱?，求極值（地勢最?。┑倪^程。如圖1所示，一個流水從初始位置A，流經B、C、D等錨點位置（局部極?。┳罱K到達最低點E（全局最?。Ａ魉奈恢门c旅行商問題可行域具體解的編碼相互映射。

（1）流水局部搜索啟示：“水無常形，水往低處流” 是一個流水根據地勢狀況局部搜索更低點，并向著下一個局部更低位置流動的過程，在這個過程中流水總是盡可能選擇并流經最短路徑到達最低點。并且，流水不可能倒著流動，具有禁忌搜索的特點。

（2）水漫溢出的啟示：當流水流到一個局部最低的位置，會出現停滯（如圖1中位置B）；但隨著水量增加，水位上升到一定高度，流水從一個局部次優的位置溢出，并由此繼續向下流動，跳出局部收斂。從優化算法的角度，流水的這種特點具有突破局部收斂的能力，即當流水若干代不變后，強行更換位置到局部次優的位置，從而繼續進行局部搜索。

（3）流水鑿洞的啟示：流水向著下一個更低、更好位置流動時，落差越大，流水沖擊慣性越大，就會對周圍的泥土或巖石進行磨損，甚至可以鑿洞突破當前位置的限制，向著比當前位置好的附近點流動（向著局部較優解方向搜索），向著最低點流動（向著全局最優解方向搜索）。并且，在現實中往往可以通過人工鑿洞方式，讓水流到更低位置，并且路徑較短。從優化算法的角度，流水的這種特點具有突破局部收斂、向著全局最優解收斂的優點。

（4）蒸發下雨的啟示：在自然界中，位置高、水量少的流水容易被蒸發掉形成水蒸氣；相應水蒸氣會在一定的氣候影響下隨機下雨，形成相對應數量的流水。從優化算法的角度，“蒸發”具有“優勝劣汰”優點；“下雨”具有多樣化群體，具備隨機全局尋優的優點。

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篇7

關鍵詞 目標函數 LINGO 最優解

中圖分類號：O232 文獻標識碼：A

Application of Mathematics in the Mix of Natural Casings

YANG Jingjing， OU Bing

（Zhongshan Polytechnic， Zhongshan， Guangdong 528404）

Abstract By measuring all the ingredients first， then create a mathematical model， the optimal solution using mathematical software model to arrive at the optimal solution of a mix of materials， and significantly improve the efficiency of the company's production casing processing.

Key words objective function； LINGO； optimal solution

1 提出問題

在腸衣加工廠，工人依靠邊丈量原料長度邊心算方式，將腸衣清洗并整理分割成長度不同的原材料，最后按指定根數和總長度扎成捆做成成品出售。

原材料分割后依據不同長度分檔，隔0.5米為一檔，在該檔位所有長度的腸衣原料，按照該檔位中最低長度計算。腸衣加工幾種常見成品的規格表（見表1），工人以米的單位來丈量，第三種規格的最大長度在14米到26米之間（不包括14和26米）。腸衣加工廠建立以某批次原料描述的一個原料描述表（見表2）。目的是通過先丈量所有原料，后通過內部的計劃和商討改變組裝工藝，設計出一個原料搭配的最優方案，工人能根據這個優化方案“照方抓藥”進行生產，并能提高該公司的生產效率。

表1 成品規格表

2 問題分析，模型建立

可以看出腸衣加工公司提出該問題的目的是為了提高生產效率。而生產效率的提高，可以通過改變成品的扎捆方式和提高成品的均勻性、原料的使用率、工人的工作效率等方面來實現該公司生產效率的提高。若要得到的成品捆數最多，考慮到最短長度最長成品越多越好，原料有剩余降級使用的情況，所以需從第三種規格考慮，先求出第三種規格的能扎捆成的最大捆數，得到剩余量，再將剩余的降級到第二種規格中，求出第二規格中能扎捆成的最大捆數，再得到剩余量并以此類推即可。

結合相關資料，我們知道總長度允許有5米的誤差，我們在建立目標函數的時候，每種規格都分別按每捆88.5米、89米、89.5米來建立函數。對于任意的一批材料，為了使成品的捆數最多，建立第三規格的成品捆數最大值： = + + 為了使目標函數更加清晰，讓工人更好地按照方案來“照方抓藥”，我們首先把不同扎捆方式的總捆數（ =1表示每捆長88.5米， =2表示每捆長89米， =3表示每捆長89.5米）分別表示出來，并可由數學軟件lingo來求解得出 = 132， = 5，= 0或者 = 137， = 0， = 0。

第三種規格的目標函數：

= （14 + 14.5 + 15 + 15.5 + 16 + 16.5 + 17 + 17.5 + 18 + 18.5 + 19 + 19.5 + 20 + 20.5 + 21 + 21.5 + 22 + 22.5 + 23.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5） / 88.5

= （14 + 14.5 + 15 + 15.5 + 16 + 16.5 + 17 + 17.5 + 18 + 18.5 + 19 + 19.5 + 20 + 20.5 + 21 + 21.5 + 22 + 22.5 + 23.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5） / 89

= （14 + 14.5 + 15 + 15.5 + 16 + 16.5 + 17 + 17.5 + 18 + 18.5 + 19 + 19.5 + 20 + 20.5 + 21 + 21.5 + 22 + 22.5 + 23.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5） / 89.5

從求解結果可知，能得到的總捆數為137捆。在根據原料描述表我們可查找到：14.5米到14.9米間余留1根和19.5米到19.9米間余留1根，也就是說第三規格降級到第二規格在13.5米到13.9米間的有2根； 14.米到14.5米間余留1根和21.5米到21.9米間余留1根，也就是說同樣第三規格降級到第二規格在13.5米到13.9米間的有2根，所以用兩個解除的需降級的都為2根，降到13.5米到13.9米區間加上原來的25根，一共有腸衣27根。

類似地，我們可以建立第二種規格以及第一種規格的目標函數，并由lingo得出結果：第二種規格 = 37， = 0， = 0 。即求得第二規格的總捆數為37捆。在與原材料表對比后發現在，7米到7.4米間余留24根；7.5米到7.9米間余留24根；8米到8.4米間余留8根；8.5米到8.9米間余留1根；12米到12.4米間余留1根；12.5米到12.9米間余留1根；13米到13.4米間余留1根；總共60根。也就是說第二規格降級到第一規格在6.5米到6.9米間的有60根，降到6.5米到6.9米區間加上原來的21根，一共有腸衣81根。

對于第一規格，我們在設計模型的時候考慮到第一規格剩余量不再降級使用，對此，我們要在第一規格實行利用率最大化，減少企業的浪費程度。為更全面地考慮問題，我們把方程放入管理運籌學軟件以及lingo中分別進行求解，得到的最佳結果為：第一規格的總捆數為19捆。那么原料表中裝出的成品捆數最大值為：

= + + + + + + + + = 193（捆）

3 模型的評價

在建立目標函數時，要充分考慮到目標函數的各項約束條件。比如說，各個未知數均大于0。特別地，對于第三規格中，每一捆的標準根數為5，但是，為了提高原材料的使用率，每一捆的總根數允許比標準少1根。所以在不同的扎捆方式中，實際使用的總根數應該介于4倍的捆數與5倍的捆數之間。這些要求都要在約束條件中體現出來。

另外，為了提高模型結果的正確性，我們采用了兩種不同的數學軟件（lingo、管理運籌學軟件）來求解。甚至于我們還用到了同一軟件的不同版本（lingo9以及lingo11）。事實證明，不同的軟件求解出的結果的確不同，lingo求解出的最大捆數為191捆，而管理運籌學軟件求出的最大捆數為193捆，經過分析我們知道，193捆才是最佳答案。在計算第三規格時，用不同版本的lingo求解，得出的結果也是不一樣的。

模型的優點主要有：（1）模型根據實據數據，考慮根數、丈量誤差等因素來建立，又以求捆數最多的最優解求解，并分級考慮問題，減少降級使用率，充分利用了腸衣的原料，確實做到提高腸衣加工的生產效率；（2）模型能提供較為精準的方案，確?？紤]到了求解出的捆數最多的同時，與下一模型的建立提供較好的聯系，規劃性較強。（3）模型的建立最大的特點就是在依據較多的數據基礎上，進行多方案對比比較而得出最優的方案，方案的準確性與可靠性較高。

模型的不足之處主要是由于建立模型是依據某此原料描述表得出，我們并沒有經多個原料描述表加權求平均的方法求出一個比較符合實際的原料描述表。這樣一來，建立的模型與實際模型存在一定的誤差范圍；并且雖然該方案是以求總捆數的最優解來建立最初模型，但在模型的求解過程中，未考慮到公司的經濟效益而提高生產的總捆數。

參考文獻

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篇8

關鍵詞：生產成本；存儲成本；層次分析法；動態規劃

中圖分類號：F23

文獻標識碼：A

doi：10.19311/ki.16723198.2017.02.051

1 引言

τ謚圃煨推笠道此擔想要獲取更多的利潤，可以通過減少企業生產成本、提高客戶服務質量、提高工廠作業效率、減小企業庫存投資等手段和方法?，F代企業不會只單一考慮其中一方面的影響因素，而是會將所有的目標同等看待，力求找出各個目標之間的一種平衡狀態，也即尋找各目標之間的最優解。

生產與存儲成本的合理控制是企業獲取最大化利潤的重要途徑，生產庫存不能積壓，又不能出現短缺。在已知市場需求、本身生產能力、生產成本費用、倉庫存儲容量以及存儲費用等若干因素下，為了制定實際的生產和存儲計劃，必須確定在不同時期時的生產量與庫存量關系，這樣的問題可以看作是一個多階段決策問題。采用動態規劃模型對生產與存儲問題進行建模，并且優化求解，制定最優的生產策略，使生產成本與存儲成本最優，以期達到最佳的經濟效益。

本文以主要對宇通客車股份有限公司進行分析。鄭州宇通客車股份有限公司是一家以客車產品研發、制造與銷售為一體的大型現代化制造企業，日產整車達325臺以上。在宇通客車的一次生產與存儲過程中首先分析了影響生產成本與存儲成本的因素，然后以這些因素構建了基于層析分析法的模型，計算出生產成本與存儲成本，最后基于動態規劃理論，建立最佳生產計劃，確定每個生產和存儲能力的合同期，以便使生產成本和庫存成本和最小總和。

2 層次分析法與動態規劃理論基礎

2.1 層次分析法

層次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是由美國運籌學學家Saaty教授提出的。應用層次分析法，一般可以被分為四個步驟：

第一步： 通過分析決策系統中各因素之間的內在關系，建立決策系統的遞推層次結構模型。在選用AHP方法分析決策問題之前，要把所研究問題分層次、有條理的構造出一個簡單易懂的結構模型。這樣看似復雜的問題就可以被分解成為多個元素的組合，同時元素又可以按照某種規則組成若干的遞進層級，相鄰兩層之間在上一層次的元素對下一層次的連接元素起到支配作用。

第二步：對處在相同層次中的各元素之間的重要性進行兩兩成對比較，得到比較結果，構造兩兩比較判斷矩陣。假設準則層元素所支配的下一層次的元素集合為U1，U2，…Un，那么針對準則層CC，決策者對它支配的兩個元素Ui和Uj，判斷其哪一個元素的重要性更高則使用判斷矩陣A=（aij）nxn，其中aij即為元素Ui和Uj相對于準則的重要度比例標度。

第四步：計算各個層次對于系統的總體排序權重，并且進行排序。通過排序結果得到各個方案對于總目標的總排序。如果對于層次的某些因素對于其所支配的元素Aj的一致性指標為CIj，那么相應的平均隨機一致性指標為RIj，則B層次總排序的一致性比例可以計為：

CR=∑mj=1ajCIj∑mj=1ajRIj

2.2 動態規劃理論

動態規劃（Dynamic Programming）是運籌學理論方法體系中的一個重要分支，它是分析解決多階段決策過程最優化問題的一種十分有用方法。動態規劃理論在解決最優路徑問題、資源分配問題、生產調度問題、庫存問題、裝載問題等問題上有自己獨特的理論體系。

動態規劃有自己的一套理論體系，在構建動態規劃模型時，需要規定背景問題所擁有的階段、狀態、決策、策略、狀態轉移方程、指標函數和最優值函數等概念。利用動態規劃理論求解問題的思想可以歸納概括為通過求解基本的遞推關系式已經設定恰當的邊界條件，首先將問題劃分為若干個相互有聯系的階段，根據所研究的問題，恰當選取狀態變量、決策變量以及定義最優值函數，經過上述的幾個階段，可以將一個較大的問題轉化為在此大問題下的若干個與之有聯系的小問題，然后對這些小問題逐個求解，當每個小問題都滿足最優值條件時，即可得到整個大問題的最優策略。在求整個問題的最優策略過程中，由于初始狀態是已知的，而每段決策都可以理解成為在該狀態的某一函數，故最優策略可以由各段狀態逐次變換得到，從而確定了最優路線。

3 基于層次分析法與動態規劃理論的模型建立

3.1 影響因素選取

企業在進行生產和存儲活動中，影響企業生產成本和存儲成本的影響因素涉及方方面面，在影響因素選取的過程中，既要突出重點，又要不失全面。經過深入且全面調查之后，本文將影響生產成本的因素歸納為以下六個：（1）制造成本A1；（2）零部件等原材料成本A2；（3）工時與管理成本A3；（4）設備和產權均攤成本A4；（5）納稅成本A5；（6）技術研發成本A6。將影響存儲成本的因素歸納為以下四個：（1）倉庫所選地段租金B1；（2）倉庫管理人員費用B2；（3）裝卸以及搬運產品費用B3；（4）商品破損費用B4。且假設影響生產成本和存儲的各個影響因素之間相互獨立。

3.2 基于層次分析法的生產與存儲成本模型建立

在選取影響生產成本和存儲成本的影響因素之后，就可以采用層次分析法確定使用何種生產成本以及存儲成本方案了。假設，現擁有若干種生產成本方案{C1，C2，…Cn}以及若干種存儲成本方案{D1，D2，…Dm}。

首先，分別建立生產成本和存儲成本影響因素兩兩成對比較矩陣，這里依據的是Saaty教授給出的度量比較方法：（1）比例1表示元素與元素具有相同的重要性；（2）比例3表示元素比元素稍微重要；（3）比例5表示元素比元素明顯重要；（4）比例7表示元素比元素強烈重要；（5）比例9表示元素比元素極端重要；利用此套對比量尺分別建立生產成本的影響因素之間比較矩陣以及存儲成本的影響因素之間的比較矩陣。

然后，利用公式Aw=nw，分別求解生產成本和存儲成本的特征向量和特征根，再利用一致性指標檢驗公式：

CI=λ-nn-1

當CI在一定范圍內時，認為A的不一致程度在容許范圍之內，有滿意的一致性，通過一致性檢驗。

最后，分別確定生產成本和存儲成本的各個影響因素的權重，得到生產成本和存儲成本的最優解決方案以及生產成本與存儲成本的最后值。

3.3 基于動態規劃理論的最優生產策略模型建立

在得到生產成本和存儲成本之后，建立基于動態規劃理論的求解最優生產策略模型。動態規劃的模型建立過程主要包括以下幾個步驟。

3.3.1 階段

用動態規劃求解問題時，首先將問題的全過程適當地分成若干個互相聯系的階段，以便能按一定的次序去求解。

3.3.2 狀態

狀態是指每個階段開始時所處的自然狀態或客觀條件。

3.3.3 決策

決策是指在某一階段內決策者的選擇，第n階段的決策與第n個階段的狀態有關系，使用xn（sn）表示第n階段處于sn狀態時的決策變量，而這個決策又決定了第n+1階段的狀態。

3.3.4 策略

由所有各階段組成的決策函數序列稱為全過程策略，記作p1，n（s1）。能夠達到總體最優的策略叫作最優策略。從第k個階段開始到最后階段的決策組成的決策函數序列稱為k子過程策略，記作pk，n（sk）。

3.3.5 指標函數

指標函數是衡量全過程策略或子過程策略優劣的數量指標，指標函數的最優值稱之為最優指標函數f1（s1）和fk（sk），其中f1（s1）表示全^程上的最優指標函數，fk（sk）表示為第k子過程上的最優指標函數。

3.3.6 狀態轉移方程

第n+1階段的狀態可以由第n階段的狀態和第n階段的決策所決定的，表示為：

sn+1=Tn（sn，xn）

對于n階段的動態規劃問題，在求子過程上的最優指標函數時，k子過程與k+1過程有如下遞推關系：

4 模型求解

4.1 案例背景描述

鄭州宇通客車股份有限公司是一家集客車產品研發、制造與銷售為一體的大型現代化制造企業。假設，某市公交集團向宇通客車訂購一批公交車，要求每月月底交付一次，交付期限為半年，每月的需求量分別為：第一個月需求量為2；第二個月需求量為3；第三個月需求量為2；第四個月需求量為4；第五個月需求量為3；第六個月需求量為4。宇通客車每組織一次生產準備費用為3，每生產一輛產品的生產費用可根據影響生產成本的因素中得出，每次生產由于生產能力的限制最多不超過6。存儲方面，每庫存1的產品每個月的費用可以通過影響存儲的費用中得出。并且在第一個月的月初和第六個月的月末均沒有產品庫存。要求在上述條件下應該如何安排各季度的生產與庫存，以使得總成本費用為最低？

4.2 生產和存儲成本求解

5 結論

本文以宇通客車股份有限公司為例，在生產與存儲活動中，首先分析了影響生產成本與存儲成本的因素，然后以這些因素構建了基于層析分析法的模型，計算出生產成本與存儲成本，最后基于動態規劃理論，制定生產策略，確定不同時期的生產量和存儲量，最后得到當x6=4，x5=3，x4=0，x3=6，x2=0，x1=5；總的生產成本費用和庫存費用之和最小。

參考文獻

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篇9

關鍵詞：遺傳算法；運籌學；應用

中圖分類號：F27 文獻標識碼：A

收錄日期：2011年10月28日

一、遺傳算法簡介

遺傳算法（GAS）是由美國密執根大學的Holland等人創立的。與其他啟發式方法順序搜索解空間的工作方式不同，遺傳算法采用解的種群作為工作單元，使用模仿生物進化的適者生存原則指導搜索并改進目標。種群由代表個體的定長字符串組成，每個個體表示解空間的一個點，每個解的質量，通過依賴于問題目標函數的適應值函數來進行評估。搜索過程通過進化來進行，每代中的個體以正比于它的適應值的概率遺傳到下一代。它使用3個基本算子：選擇、交叉和變異。選擇是指個體以其適應值比例復制到池中；交叉是池中的兩個個體進行，組合形成一個（或幾個）新個體，復制和交叉將好的特性進行遺傳；變異則是發生在少數字符串某基因位上的基因的突變，它使搜索過程能夠有機會從搜索到的局部最優解逃出。

解決一個實際問題的遺傳算法通常包括下列兩個決策步驟：（1）將求解問題模型化為符合遺傳算法的框架。可行解空間的定義，適應值函數的表現形式，解的字符串表達式方式；（2）遺傳算法參數的設計。種群規模，復制、交叉、變異的概率選擇，進化最大代數，終止準則設定等。

二、遺傳算法的基本特點

（一）結構特點。遺傳算法是以適應值提供的啟發式信息進行搜索的，與其他啟發式（模擬退火、爬山法、神經網絡等）方法相比，在結構和工作過程方面的特點見表1。（表1）

（二）實驗性能方面的特點

1、高效性。遺傳算法具有大范圍全局搜索的特點，與問題領域無關，前期工作量比較少。

2、健壯性。遺傳算法的搜索是用種群作為基本單元，采用三個不同作用的基本算子進行搜索的，解的結果隨時間增加而趨于穩定，不受初始解的影響，而且不因實例的不同而蛻變。

3、通用性和靈活性。遺傳算法可用于多種優化搜索問題，解題程序可以通用，針對不同的實例，適當調整算子參數，就可以使算法執行獲得最佳的解結果和占用CPU機時的關系。

三、遺傳算法在解決經典運籌問題中的應用

（一）旅行商問題（TSP）。旅行商問題自誕生以來，頗受數學家推崇，今天的旅行商問題已遠遠超過其本身的含義，成為一種衡量算法優劣的標準。旅行商問題是采用非標準編碼遺傳算法求解最成功的一例，基因編碼用推銷員順序經歷的城市名表示，求最佳路線即是改變編碼次序而求最低適應值的問題。對類似字符串使用標準交叉，產生的后代可能有重復或丟失的元素，因而成為非可行解。為克服這種困難，人們提出許多非標準的交叉和變異方法：交叉主要采用重排序方法――部分匹配重排序，順序交叉和循環交叉等；變異主要采用位點、反轉、對換、插入等方法，使旅行商問題得以有效地解決。值得一提的是，清華大學張雷博士提出的自適應多點交叉算子，能夠保證多點交叉后路徑的可行性，加快了搜索速度。

（二）作業調度問題。作業調度問題同樣是自然變更次序的問題，可以用基于變更次序的遺傳算法進行處理。（表2）

（三）背包問題。一維、二維和三維背包問題在商業和工業領域有著廣泛的應用，基于遺傳算法的求解方法很多。傳統求解采用啟發式規則，決定下一步該裝哪一塊和裝在哪里，此時變更次序的編碼與啟發式安置策略是利用遺傳算法解決這類問題的最為出色的方法，Lin使用一系列的懲罰項指導其搜索策略，測定單個個體的適應值。

Bortfeldt使用一個層次背包問題，個體用它們的層次代表，當兩個親代被選擇交叉時，它們的層次混在一起，從中選擇最好的作為子代的第一層，再從余下的組件中選擇最好的作為第二層，以此類推，直至產生所有的層次。

陳國良等設計了一種“與/或”交叉方法，使子代繼承雙親的同型基因，對雜型基因采用不同支配方式，這種策略為遺傳算法的硬件實現創造了良好的條件。

（四）時刻表排定問題。Corne對Edinburgh大學7日內的28個時間期間安排40門課的考試問題作了處理，尋找一個可行的時間排定表，使每個學生參加的考試在時間上能夠錯開，時刻表用字符串代表，字符串每個位置代表一門課，該位置的值代表考試的時間，用均勻交叉和標準變異操作求解。

這類問題擴展到基于二維的矩陣代表的逼近問題，Colorini使用行代表教師列代表可用的小時數的矩陣，每個單元的值為教師在此時承擔的任務，包括教室和其他一些資源配置，教師的任務是事先給定的，故行都是可行的，列代表的時間安排可能會發生沖突，將此沖突用懲罰函數表示在適應值函數中，而且采用修復算子在評價之前盡量將結論調整回可行區域內，該算法用Milan學校的實際數據進行了檢驗。

除此之外，遺傳算法在運輸問題、指派問題、分割問題及網絡計劃優化問題等方面都獲得了非常成功的應用，這些問題被認為是NP類問題，其規模隨變量的增加呈指數增長，遺傳算法在這些問題的求解中，充分體現了其操作性能方面的優勢。

四、應用和推廣中存在的問題

在上述問題中，遺傳算法求解展示了優良的性能，但遺傳算法并未像其他啟發式方法那樣容易地被OR學者廣泛接受而用于大量的實際問題中，究其原因，主要有以下幾點：

（一）傳播方式的障礙。遺傳算法最初的工作是以密執根大學嚴謹的研究小組作為研究項目和學術討論中心，當研究成員擴大時，這類討論會演變為機構的學術會議（美國現有5個，歐洲有3個，我國目前還沒有），許多研究者聚于此而遠離問題導向，有關的會議論文公開出版數量很少，而且，由于歷史原因，研究者常常將他們的研究結果選擇在有關人工智能的雜志上發表，導致了應用遺傳算法的信息很緩慢地擴散到其他不同技術應用領域的工作者中，這與模擬退火等其他啟發式方法快速在運籌學會議及雜志上發表相反。由于缺乏交流導致了兩方面的問題：一是許多關于遺傳算法的論文不能與從其他方法得到的結論進行質量的比較，二是削弱了許多遺傳算法多的潛在使用者用遺傳算法與其他方法競爭的信心。

（二）術語的隔膜。初始跨入遺傳算法領域的使用者常常感到起步非常艱難，遺傳算法依賴于遺傳學的術語也像模擬退火的術語來自于統計熱力學一樣。然而，溫度、冷卻等可能很快賦予新的意義，但遺傳算法中的基因位、染色體、遺傳型卻難以很快被人理解和接受；另外，許多發表的研究偏重于用某些專門函數檢驗他們的新思路或新設想，這對于全面理解該技術固然是一件好事，但對于一個面對如此豐富復雜材料的初用者會發現，他將不知從何做起。即使一個非常愿意使用遺傳算法的人，也要有足夠的決心去克服上述障礙。

（三）方法的局限性。對于具有強約束的優化問題，采用懲罰函數逼近常常達不到預想的結果。Radcliffe評論說：“約束通常被認為是遺傳算法面臨的最大問題”因為懲罰因子選擇不當時，會招致錯誤結論。目前，求解帶約束優化問題的啟發式遺傳方法已經有了一些，但是，它們多數與問題領域相關，在這方面還缺少普遍適用的方法的系統研究。

（四）編碼的困難。不是所有問題解空間中的點都能明顯地用編碼表示，作為OR研究者，常常從問題結構取得利益，用矩陣、樹、網絡或其他更適用的方法建立表達式；串表達中的建筑塊假說建議適用較少的字符，導致人們對二進制編碼的偏愛，但二進制編碼具有一定的映射誤差（實際計算時，我們是把問題作為整數規劃），特別是它不能直接反映出所求問題本身結構特征，因此很難滿足生成有意義的積木塊編碼原則；再者，二進制字符的長度隨問題發生明顯變化，當問題復雜時會因為編碼太長而無法進行正常工作。

以上的種種阻力，在一定程度上減緩了遺傳算法在運籌學實際問題中的推廣和應用。

主要參考文獻：

[1]陳國良等.遺傳算法及其應用.北京：人民郵電出版社，1996.6.

篇10

關鍵詞：經濟應用數學 工作過程系統化 課程設計 物流管理專業

課 題：本文系2016年度山東省青年教師教育教學研究課題《基于工作過程系統化的高職經濟應用數學教學改革實證研究――以物流管理專業為例》（編號：16SDJ014，主持人：孫少平）階段研究成果。

一、物流管理專業教學現狀分析

物流管理專業學生主要學習的核心課程為：物流概論、物流企業會計、物流系統與信息技術、倉儲與庫存管理實務、采購實務、配送實務、運輸管理、國際物流、物流企業管理、物流企業財務管理、供應鏈管理、物流管理軟件操作、運籌學、市場營銷學、物流電子商務等。要求學生要掌握物流管理的基本理論、基本知識，了解行業發展的最新動態，具備物流管理的應用程序操作能力，具備物流信息組織、分析研究、傳播與開發利用的基本能力，能進行物流系統分析、設計、規劃，具有物流行業管理的基本能力。

運籌學用數學方法研究各種系統最優化的問題，應用數學模型來求得合理運用人力、物力的最優方案，為決策者提供科學決策的有關信息。倉儲與庫存管理實務課程內容包括：庫存管理概述、需求預測、庫存控制系統、庫存控制的定量分析方法與模型、生產物料控制、生產計劃、能力需求計劃、供應鏈中的庫存管理與控制、庫存管理績效與標桿管理等。物流企業管理是以物流企業管理思想和原理為主要框架，綜合研究物流企業經營管理的全過程，對物流企業管理的系統觀念、管理基礎、組織機構、市場研究、決策和計劃管理、企業文化、作業管理、質量管理、物資管理、設備設施管理進行專門的研究。

筆者從工作崗位、相應的職業活動、應該具備的數學能力、對應的數學知識四個方面分析物流行業人員應具備的數學能力。物流信息處理員具有信息的梳理與處理、數據處理和分析預測能力，需要用到數據擬合、預測方法以及極限的知識。商品流通加工員能夠制定商品的加工、原材料的采購和管理方案等，能制訂最優生產及采購方案，用到線性規劃、動態規劃、導數及應用的相關知識。物流配送業務員具有制訂裝箱、運輸路線方案，制訂最優物資裝配、流通運輸路線的能力，需要運輸問題、圖與網絡的知識。物流倉儲業務員具備原材料進購、庫存管理，制訂采購、存儲方案的數學模型能力，利用導數應用的知識。物流市場營銷員具備市場開發、業務承攬、價格談判，判斷業務成本、收益和利潤的變化、走向及合理定價能力，需要極限、導數應用的相關知識。企業管理員具備企業管理決策、最優化企業管理、決策方案制定的數學建模能力，需要學習導數及應用、積分及應用、線性動態規劃、運輸問題、圖與網絡等知識。

二、基于工作過程系統化的課程教學設計

基于工作過程系統化的課程整體教學設計，包括以下10個宏觀的方面：課程信息（代碼、學分、學時、授課對象、課程類型、課程性質），課程整體目標設計（總體目標、知識目標、能力目標、素質目標），課程內容設計（項目名稱、學時、子項目編號、名稱、知識/能力/素質目標、實施方式、手段及步驟、可展示的結果），課程進程表（周次、學時、單元標題、項目編號、知識/能力/素質目標、師生活動、考核內容、教學方法），第一節課及最后一次課梗概（著重介紹課程的目標、項目任務、考核方式，利用典型的案例、實例、問題和操作引起學生的強烈興趣），考核方案（課程組集體研討確定），教學材料（教材或講義、參考資料、儀器、設備、教學軟件等），需要說明的其他問題，常用術語中英文對照，課程整體設計體會。

基于工作過程系統化的具體課程教學設計，高職經濟應用數學課程分為兩個學期來實現，共68學時。第一學期，1～5單元，16周，每周2學時，合計32學時，教學內容包括：經濟活動中的函數關系分析，極限與變化趨勢分析，經濟最優化問題分析，邊際與彈性分析，經濟總量問題分析。第二學期，6～11單元，18周，每周2學時，合計36學時，教學內容包括：銷售與市場、生產作業計劃安排、配送與運輸、物流中心選址和車輛配裝、指派問題和旅行商問題、物資調運問題的圖上作業法。

筆者以第4單元的第2節“邊際分析”為例，具體說明課程單元教學設計的流程。能力目標：能夠掌握邊際成本、收入、利潤的概念；能夠求出成本、收入、利潤等經濟函數的邊際值和邊際函數；能夠掌握邊際分析模型的應用；能夠對經濟生活中常見的商家提價和降價的促銷手段加以分析。知識目標：邊際成本、收入、利潤；成本、收入、利潤等經濟函數的邊際值和邊際函數；若干邊際分析模型。素質目標：深刻思維能力、團結協作能力、語言表達能力。能力訓練任務：任務1，理解邊際的概念和邊際函數；任務2，掌握成本、收入、利潤等經濟函數的邊際值和邊際函數；任務3，學會邊際分析模型的應用。案例分析及知識講解：案例1，麥穗問題；案例2，邊際利潤問題1；案例3，邊際成本問題；案例4，邊際收入問題；案例5，邊際利潤問題2；案例6，最大利潤問題――邊際分析模型。還有課堂操練實訓任務和課下實踐作業，以及課后教師教學的反思體會。

三、基于工作過程系統化的教學模式

基于工作過程的項目化課程教學設計分為5個模塊（情景）：公司經營和生產情況分析，公司生產和產品的邊際分析及彈性分析，公司總量經濟模型的建立，公司決策規劃的最優化模型，公司生產管理及質量管理。

8個知識目標：掌握需求、供給、成本、收入、利潤等經濟變量之間的函數關系；理解函數的極限概念，掌握求函數極限的方法；理解導數及微分概念，掌握求導數及微分的方法；理解微分的經濟意義，掌握微分近似計算的方法；理解不定積分及定積分的概念和幾何意義，掌握求不定積分及定積分的方法；了解線性方程組的結構，掌握求解線性方程組的方法；掌握線性規劃問題的初等解法；理解概率與統計的概念及性質，掌握其基本方法。

15個能力目標：能夠分析典型的、常用的經濟變量之間的函數關系，應用其分析和解釋經濟現象；能用極限方法確定貸款和投資方案；能進行邊際與彈性的計算，明確其經濟意義和做出實際分析；能用導數的方法解決邊際成本、邊際收益、邊際利潤等問題；能用函數的極值和最值，對常用經濟函數的問題做出最優決策；能利用利率、現值、終值和貼現之間的關系進行計算；能分析在一種生產要素的投入變化時，邊際產量、平均產量、總產量之間的經濟關系；能用積分的方法計算在經濟變量的邊際變化條件下，經濟變量的積累變化、總量及平均量；能用表格表示的經濟量之間關系的計算；能利用線性代數方法對實際問題建立相應的數學模型；能合理的獲取數據資料，并作出估計和檢驗；能計算產品的合格率；能對隨機事件、隨機變量問題建立有效的數學模型；能預測連續或者離散變化的經濟現象的狀況及其發生的可能性；能進行相關的數據統計和分析。

以基于工作過程的六步教學法（明確任務、制訂計劃、做出決策、實施計劃、檢查控制、評估反饋）為指導，以物流管理專業學生為教學對象，課堂教學內容為“國美商場”商品采購與庫存控制的最優化方案設計，課下作業為“國美商場”商品營銷的最優方案設計。利用經濟案例，開發實際的數學模型，應用案例驅動教學法，作為現實經濟環境的仿真，是很適合高職學生的應用教學的。在案例教學中，教師要引導學生關注襯托數學知識的經濟背景，有意識地從經濟案例量化分析中汲取建模思想方法，逐步培養學生撥開經濟迷霧、捕捉關鍵信息、洞察內在規律的敏感性和判斷力。下圖即為數學建模、案例分析的基本線路圖。

四、課程改革實證研究的結果分析

筆者以物流管理專業為研究對象較早開始了課堂教學改革，探索出經濟應用數學課堂生態化、項目化、系統化教學模式；編輯項目化課程，制訂人才培養方案、課程標準和單元教學設計；研究實訓實驗課教學項目，編寫數學建模課教案及競賽練習冊。

筆者在兩個學年度（四個學期），在所任教高職學院經管系物流管理專業6個大專班級進行了實踐，以2個物流卓越技師班作為實驗班，其他4個普通班作為對照班，以下是實證研究的結果分析。

根據表1和表2的數據分析得知：卓越班期末成績比入學成績均值增加了18.7分，增幅為29.03%；普通班期末成績比入學成績均值增加了9.8分，增幅為18.56%；卓越班比普通班的入學成績均值高11.6分，但是期末成績均值高20.5分，增幅為76.72%，差距拉大了；根據表1和表2入學和期末成績計算的相關性系數分別為0.951和0.873，這說明相關性很強。由此可以證明卓越班所采用教學改革，對提高高職學生的學習效果確實有明顯的作用。

參考文獻：

[1]姜大源.“學習領域”――工作過程導向的課程模式[J].職教論壇，2004（8）.

[2]姚成龍.基于工作過程系統化的高職教材編寫探索與研究[J].中國職業技術教育，2012（29）.

[3]程德蓉.基于工作過程系統化的高職教材建設[J].教育與職業，2014（7）.