關(guān)聯(lián)矩陣法的基本原理范文

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篇1

關(guān)鍵詞：柔性關(guān)節(jié)鉸 柔性機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué) 動(dòng)力分析

1.前言

復(fù)雜空間機(jī)械臂的物理模型是受控多體系統(tǒng)?？紤]到現(xiàn)代機(jī)構(gòu)的的構(gòu)型愈來愈大及其高速運(yùn)轉(zhuǎn)，其組成部件及關(guān)節(jié)必須視為柔性體。建立柔性體系統(tǒng)的程式化、便于計(jì)算機(jī)自動(dòng)實(shí)現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型是機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)數(shù)字仿真的基礎(chǔ)。從理論上講，根據(jù)力學(xué)基本原理推導(dǎo)系統(tǒng)離散的仿真數(shù)學(xué)模型并無太大困難，只是比較繁瑣。近幾十年來，國內(nèi)外許多學(xué)者已給出多種形式基本類同的數(shù)學(xué)模型。然而，數(shù)學(xué)模型相當(dāng)復(fù)雜，數(shù)值計(jì)算呈病態(tài)，仿真計(jì)算慢是長(zhǎng)期困惑著力學(xué)工作者的難題。

近幾十年來，多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)迅速發(fā)展，成為應(yīng)用力學(xué)中發(fā)展最快的領(lǐng)域之一。一方面，多體系統(tǒng)正越來越多地用來作為諸如機(jī)器人、機(jī)構(gòu)、鏈系、纜系、空間結(jié)構(gòu)和生物動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)等實(shí)際系統(tǒng)的模型，另一方面，對(duì)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究活動(dòng)已經(jīng)促進(jìn)了許多子領(lǐng)域的研究.當(dāng)前最感興趣的多體動(dòng)力學(xué)研究領(lǐng)域是把柔性效應(yīng)并入動(dòng)力學(xué)控制方程中去[1-3]。對(duì)于柔性多體系統(tǒng)，特別是由小變形物體組成的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，大多采用相對(duì)描述的方法，引進(jìn)浮動(dòng)坐標(biāo)系來分解系統(tǒng)部件的運(yùn)動(dòng)，如節(jié)點(diǎn)切向坐標(biāo)系、割線坐標(biāo)系、或Trsserand坐標(biāo)系和Bucken坐標(biāo)等等[4]。彈性體相對(duì)浮動(dòng)坐標(biāo)系的離散，通常有有限元法、部件模態(tài)法等。后者是建立在現(xiàn)代結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析領(lǐng)域內(nèi)動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法 ，它大大降低了動(dòng)力學(xué)方程的廣義坐標(biāo)數(shù)，且可利用靜力修正模態(tài)收回模態(tài)截?cái)嗾`差，提高計(jì)算精度。在部件有大變形時(shí)，則需考慮采用有限變形的理論進(jìn)行系統(tǒng)建模。對(duì)多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析，目前已形成了Kane方程、Roberson/Wittenburg體系、變分方法、最大數(shù)量坐標(biāo)法、旋量矩陣法及動(dòng)力學(xué)方程單向遞推法等多種方法，推導(dǎo)方程則可以從Largrange方程、虛功原理、虛功率原理、Gibbs-Appells方程和牛頓-Euler方程等出發(fā)，但哪些方法最好仍存在爭(zhēng)論。在描述多體結(jié)構(gòu)的方式上，有Wittenburg的關(guān)聯(lián)矩陣、通路矩陣，Huston的內(nèi)接剛體數(shù)組和Kim， Haug的遞推方程， Shabana等人的遞推投影算法等。對(duì)于非樹或約束多體系統(tǒng)、處理約束方程的方法也有偽逆解法、正交補(bǔ)法、奇異值分解法和零/切空間法等等。多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析中的這些方法的優(yōu)劣很難評(píng)價(jià)，各有長(zhǎng)短，需要不斷研究與探索。由于多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程相當(dāng)繁雜，呈強(qiáng)非線性，多體系統(tǒng)，特別是柔性系統(tǒng)，其數(shù)值計(jì)算特性一般都不能令人滿意。

2. 轉(zhuǎn)動(dòng)鉸連接系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究先從樹系統(tǒng)開始，因?yàn)闃湎到y(tǒng)具有最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，而且非樹系統(tǒng)可使用切割鉸或者物體切割方法簡(jiǎn)化為派生樹系統(tǒng)來進(jìn)行處理。首先討論轉(zhuǎn)動(dòng)鉸聯(lián)結(jié)的系統(tǒng)，這里鉸點(diǎn)相對(duì)鄰接物體的位置不變而最有利于分析研究。

2.1 物體的變形描述

考慮彈性系統(tǒng)的第i個(gè)物體，在彈性小變形內(nèi)，可以借助有限元方法與模態(tài)綜合理論，它的彈性變形up可用彈性模態(tài)基Ψi與模態(tài)坐標(biāo)向量ηi表示為：up =Ψηi （2.1）

其位移與轉(zhuǎn)角分量分別為： （2.2）； （2.3）

其中o-e0為整體坐標(biāo)，其上固連一正交坐標(biāo)基 ，Ci-ei為浮動(dòng)坐標(biāo)，在質(zhì)心Ci處，其上固連一正交坐標(biāo)基 ，P0為彈性體上任意點(diǎn)，其變形后的位置為P，P-eP為單元坐標(biāo)系，固連于P點(diǎn)，坐標(biāo)基 。對(duì)（2.2）與（2.3）求導(dǎo)，有：

（2.4）； （2.5）

2.2 彈性體的運(yùn)動(dòng)描述

根據(jù)彈性體Bi上任一點(diǎn)P的有限元節(jié)點(diǎn)P的矢徑的表達(dá)式（2.6），再考慮式（2.2）與（2.3），得到P點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系下的速度與角速度為

（2.7）

（2.8）

這里 與 分別為彈性體Bi的質(zhì)心速度與相對(duì)質(zhì)心的角速度。彈性體Bi上的節(jié)點(diǎn)P的加速度與角加速度可分別由對(duì)式（2.7）與（2.8）求導(dǎo)獲得：

（2.9）

（2.10）

這里 與 分別為彈性體Bi的質(zhì)心加速度與相對(duì)質(zhì)心的角加速度。

3.物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)遞推關(guān)系

3.1物體絕對(duì)角速度與角加速度

現(xiàn)在考慮系統(tǒng)中任意物體Bi-（a）相對(duì)慣性參考系的絕對(duì)角速度與角加速度。系統(tǒng)中任意物體Bi-（a）相對(duì)慣性參考系的絕對(duì)角速度ωi應(yīng)等于B0的角速度ω0以及沿物體B0與物體Bi-（a）的路上各對(duì)鄰接物體的相對(duì)角速度之和，引入圖論方法，考慮沿物體B0與物體Bi-（a）的路上的通路矩陣Tji，則任意物體Bi-（a）相對(duì)慣性參考系的絕對(duì)角速度可寫作

（j=1，2，…，n）

3.2物體的質(zhì)心速度與加速度

考慮鉸在物體上的分布情況：在樹系統(tǒng)內(nèi)部，任意物體B0所所關(guān)聯(lián)的全部鉸中，只有一個(gè)特殊鉸與B0連通而成為內(nèi)鉸接。使用規(guī)則標(biāo)號(hào)時(shí)，內(nèi)連接的與物體的序號(hào)相同，記作Oi，除內(nèi)接鉸以外的其他鉸均通過與Bi連通的外側(cè)物體為外鉸鏈。

結(jié)束語

利用Wittenberg的關(guān)聯(lián)矩陣對(duì)開環(huán)拓?fù)錁浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行了柔性關(guān)節(jié)鉸運(yùn)動(dòng)學(xué)遞推組集建模，采用連體浮動(dòng)坐標(biāo)系對(duì)柔性關(guān)節(jié)鉸運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解，用部件模態(tài)法對(duì)柔性關(guān)節(jié)鉸變形進(jìn)行離散，取得了如下成果：1.建立了柔性關(guān)節(jié)鉸系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)遞推組集建模的數(shù)學(xué)描述方法。2.推導(dǎo)了柔性關(guān)節(jié)鉸系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。3.推導(dǎo)了柔性關(guān)節(jié)鉸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)學(xué)方程。

參考文獻(xiàn)：

[1]Huston R L. Multibody dynamic-modeling and analysis methods[J].力學(xué)進(jìn)展，1992，22（3）：426-432