微積分教學范文

導語：如何才能寫好一篇微積分教學，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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關鍵詞：高等數學 數學文化 微積分 價值研究

高等數學在教學中多圍繞數學知識及了理想，通過宏觀知識和數學命題來探討其應用。隨著數學文化價值的不斷研究，從關注數學教育到重視數學文化，已經從傳統的數學定理、公式等方法上，逐步形成數學技術教育的雙重功能。從整個數學學科的結構來看，微積分的思想和方法是人類智慧的偉大成就之一。微積分是高等數學中的重要內容，也是打開數學之門的鑰匙。學者科朗提出“微積分作為人類思維的重要內容，是聯系自然科學與人文科學的橋梁”。因此，加大對數學文化價值的挖掘，從其教育實踐中來引導學生體味數學素養，并通過具體的教學課程來進行文化滲透。

一、微積分中的數學文化及價值

從高等數學知識結構來看，微積分占據重要位置，尤其是微積分思想和方法在社會、經濟中的應用更為廣泛。作為人類思維藝術之一，微積分中的文化價值熠熠生輝。從微積分學科起源來看，古希臘數學家阿基米德從《圓的測量》與《論球與圓柱》中就提到微分和積分思想，我國古代史料中的《莊子》?天下篇中也有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，劉徽的《割圓術》，也提出“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。隨著數學研究的不斷深入，基于微積分理論的應用日益凸顯其價值，特別是在研究天文學、物理學中更成為科學界的重要理論。然而，對于微積分知識的教學，由于其理論證明和公式推導的復雜性，在邏輯上難以理解，如“無窮小量”與“是否為零”等認識上的模糊性，因此需要從數學教育的價值實踐中來突出。

高等數學中的微積分教學，不僅需要從知識和方法的學習上，幫助學生理解和掌握微積分，更重要的是，利用微積分思想中的辯證法，可以促進學生抽象思維能力、運算能力和創新能力的養成。一是微積分有助于提升學生的創造力。從微積分的理性精神和理性思維中，將自然界的物質運動與變化作為數學知識描述的宏觀世界，并利用微積分來解釋運動的變化和無限的思想。另外，微積分從現代數學的應用中，將人的思維方式作為培養學生創新力的指導，更有助于培養學生的創造力。二是微積分從數學美育價值中促進學生的全面發展。數學不僅是數學符號的表述，在數學美育價值中，正確的認知數學美，將有助于從微積分中來探討數學的簡潔性、對稱性、和諧性、精巧性。利用微積分來養成學生的數學態度，拓寬學生的數學思維，幫助學生從欣賞數學美中來優化審美能力，促進學生品德和智能的發展。三是微積分有助于學生掌握現代工程技術等知識。從微積分的應用實踐來看，對于物理學、電學等自然科學，利用函數、微分方程、數理統計等方法，將有助于學生從中來認識新的科研知識，掌握微積分工具，來更好的學習其他相關學科知識。

二、在微積分教學中滲透數學文化

數學與數學文化是建構數學理論的基礎，也是人類理性思維的重要內容。在微積分教學中，結合數學知識及教學目標，不斷延伸數學史及數學文化，從中來幫助學生感受數學的魅力。如對于函數中康托的生平、集合論等數學悖論的引入，介紹數學危機中的發展過程，從微分、導數教學中來探討導數符合的演變等等。從中來激發學生的學習興趣，促進學生對數學及數學價值的理解。如對于π的研究，從π的相關文獻梳理中，來介紹人們從π的精確值追求中來發掘智力的意義。π又稱為“徽率”、“衡率”、“阿基米德數”等，這些不同名稱背后的故事，開啟了對π的理論探究。同時，在微積分中所展示的嚴密的邏輯性和抽象性，有助于學生從“思維的體操”中增強抽象能力，喚醒學生的好奇心。如在數學中的邏輯美，我們從數學符號的表達中，從符號的簡潔性中來進行形象直觀的數學表示。對于某一曲邊梯形，在計算器面積時就需要用積分符號 。另外，在數學的對稱性研究中，微積分將數與形的對稱性進行了詮釋，更是對抽象概念及方法的直觀應用。如在微積分的實例證明中，對于對稱性的利用，可以減少繁復的計算。對于分部積分中的 ，可以進行變形得到 ；對于某一對稱區間[a，b]上的積分，如果

，當f（x）為奇函數時，則 ；當f（x）為偶函數時，則 。對于微積分中的和諧性研究，從其公式中即可體現。微分在局部性質與積分的整體性質中獲得統一。積分的運算過程是微分的逆運算，我們可以從基本導數的計算中獲得基本積分公式；當次微分與積分進行成對出現時，微分與積分公式顯示出對稱性。如微分中的中值定理與積分中的中值定理，也是微積分和諧美的重要內容。另外，對于拉格朗日中值定理的特殊性，以及柯西中值定理，再加上泰勒定理想高階導數的推廣等，都是微分中值定理的不同形式，這些公式都能夠從其內在聯系中幫助學生從中感受數學美。

三、在高等數學教學中滲透數學文化的實踐研究

抽象性思維是數學的靈魂，對于高等數學中的符號化、抽象化問題，可以從數學文化的滲透中來構建模型，引導學生從中認識、判斷和推導、計算。如在歐幾里德《幾何原本》中，對于數學中概念及命題是建立數學邏輯推理的基礎，這些思想和方法更是多門學科知識廣泛采用的方法。如形象思維是激發人的創造力的有力工具，數學教學中對代數與幾何圖形的對應中，為我們的想象力創造了條件，也為更深刻的理解高等數學概念提供了基礎。數學中的猜測與想象，將直覺思維運用到數學哲學中，以復雜的數學想象和抽象的邏輯，在直覺中將數學敏銳的洞察力作為數學素養，引導學生從中完善自我認知?？梢?，在高職階段數學教學中，滲透數學教育觀首先要更新教育理念，從教育的特殊性上來全面審視數學教學，并非從單純的數學演練中來訓練，更多的是通過數學文化的邏輯思想和方法，引導學生從數學知識中發現和欣賞美。再次，借助于數學教學內容，從體現數學文化價值中整合首先內涵，讓學生從中發現數學文化，提升數學文化素質。其次，拓寬數學教學課堂中的師生互動，注重發揮師生之間、學生之間的交流與協作，能夠從倡導探究中來鼓勵學生觀察生活，聯系實踐，從問題情境中來構建數學模型，展開對數學知識及數學意識的培養。最后，注重課堂教學評價創新，特別是在體現數學文化中，要依托現有的評價方式，加大對數學思想、方法、數學精神的主動考察，讓學生從探討交流中發現問題，從良好的情感、態度、價值觀上來認識數學概念，掌握多種數學學習及評價方法，充分發揮學生的學習積極性，改進和提升學生的綜合數學素養。

參考文獻

[1] 曾艷妮.微積分教學中如何融入數學文化[J]. 湖北經濟學院學報（人文社會科學版）. 2014（12）.

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【關鍵詞】 微積分；MM教學模式；數學認知

21世紀以來，世界各國將微積分引入職業學校數學課程. 然而微積分的教學卻面臨極大挑戰. 首先，高等數學思維與數學經驗的沖突. 其次，教師教學方式與內部動機的對立. 再有，強調重中之重與學無所用的矛盾. 高職微積分教育的最高目標是：以知識為載體，提煉“極限”中的返璞歸真思想，感受導數的演繹推理觀點，掌握積分計算的一般計算方法等，并運用這些思想、觀點、方法去分析、探究、解決今后學習工作上的難題. 而此最高目標的達成需要改變教育方式，實踐證明，MM教育方式是適合微積分教學的目標達成度最高的方式.

一、選擇MM數學教育方式的必然性

（一）MM教育方式掠影

MM教育方式，即數學方法論的教育方式，取“Mathematical

methodology education pattern”前兩個詞頭，是波利亞方法論在中國數學的實踐運用，是由無錫市教科所的徐瀝泉同志在1989年提出并付諸實踐. 該方式的理論精髓：運用數學方法論的觀點指導數學教學，即應用數學的發展規律、數學的思想方法、數學中的發現、發明和創新機制設計和改革數學教學的一種數學教學方式.[4]使用MM方式在數學教學的全過程中遵循“2238”原則，充分發揮數學教育的2個功能：科學技術功能和文化教育功能；自覺遵循2條原則：教學、研究、發現同步協調原則和既教證明又教猜想原則；瞄準3項具體目標：一般科學素養、社會文化素養、數學品質；恰當操作8個變量：返璞歸真教育、數學美育、發現法教育、數學家優秀品質教育、數學史志教育、演繹推理教育、合情推理教育、一般解題方法教育. 從而全面提高學生素質.

（二）大浪淘沙始見金――MM教育方式能實現有效教學

20世紀80年代至今，各種數學教育理論、教改方案、教學方法層出不窮，有“探究性學習”理論、“情境設置”方案、“活動課”教學方法等，然而探究無度、情境無限、活動無目的造成很多方法的片面使用. 因為數學教學內容的復雜性、相關度等的不同，教條主義已不適用，需要使用組合拳. 而MM教育方式正是幾十年來碩果僅存的數學教育方式，它不光存活，還在發展.

（三）MM教育方式對微積分教學的積極意義

對高職校的學生而言，微積分理論高深，符號語言抽象，解題方法多樣. 然而徐瀝泉認為：“學習數學的困難，并不是它本身的抽象形式，而是離開了它抽象的背景，離開了用似真推理來發現它的過程，離開了在受到挫折以后對反饋信息的分析，離開了生動活潑的創造發明的活動機制. ”[4]那么要問：這些背景、過程、分析、發明從哪里來？答案就是MM教育方式. 解決微積分教學的困難不是把難講的證明刪去，把抽象度高的理論忽略，把考試難度降低，如果這樣，只會縱容學生的好逸惡勞、偷工減料和知難而退的心理，造成學生素質的下降. 教師需要MM設計，把數學的精彩內容和完美形式呈現；除了培養學生學習知識之外，教給學生從“宏觀”到“微觀”的思想，讓學生感受微積分的神奇，解決初等數學沒有辦法解決的問題，從而產生學習微積分的自豪感.

二、微積分教學中“MM設計”原則

（一）情境引入恰當原則

由于微積分基礎對象復雜的結構，教學中需要創設相應的情境引導學生進入主題學習，然而只有恰當的情境才能激發學生的求知欲. 教師要根據微積分教學內容和要求，考慮學生的認知，創設良好的教學氛圍，運用適合學生理解的情境，最終促進學生知識的遷移.

（二）符號講解詳盡原則

符號是數學的語言，是數學簡潔抽象特點的重要因素. 只有在設計中對符號的講解細致深入，配以學生的書寫練習，才能真正對微積分符號達到了然于胸的程度. 極限符號“■”的講解不光要注重與英文單詞“limit”的聯系，更要關注字母的書寫. 可以用英文三線格給出正確的示范，讓學生感受字母相應的位置和大小狀況. 不定積分符號“ ∫”可從它的發明者萊布尼茨講起，發現其是由英文單詞“sum”的首字母“s”拉長得到，這樣不光對學生進行了數學史志教育，更感受了積分的內涵是求和.

（三）學生參與廣泛原則

學生是課堂的主體，然而微積分的教學容易變成教師的獨角戲. 在MM教育方式的指引下，為了實現發現法教育，需要設計出學生能夠廣泛參與的MM課堂. 布魯納（Bruner，1966）這樣說：“我們講授某個課程并不是為了形成有關該課程的小型百科全書，而是讓學生自己去思考……像歷史學家那樣去考慮問題，去參與獲得知識的過程. ”雖然微積分概念的講解學生的參與度極低，然而教師可以通過層層推進的問題幫助學生思考，用啟發創新的方式讓學生自己嘗試定義、命名，用黑板演練的形式加強學生符號書寫能力，從而提高參與課堂的廣泛度.

三、微積分教學中MM模式的使用

下面從微積分最重要的三個部分極限、導數、積分出發，探討一下學生對這幾部分的理解和認知，并給出MM設計案例，展現MM模式的效果.

（一）極限思想

極限思想貫穿微積分始終，是學習微積分的敲門磚. 柯爾尼（Cornu）指出：“極限教與學的困難不僅在于極限概念本身的豐富性和復雜性，還在于僅憑定義本身并不足以生成理解該概念所需的認知要素. ”[2]為了降低難度，課本刪去了“ε - N”精確定義，只有“描述性”定義. 然而如何幫助學生理解這種思想，需要精心設計，合理解讀，適時思考. 以“數列極限概念”為例，簡述MM設計過程：首先介紹牛頓和萊布尼茨發明了微積分以及它的用途，對學生進行數學家優秀品質教育、數學史志教育；從“生活中的極限”出發，讓學生暢所欲言，展現他們對“極限”最本真的認知，是一種返璞歸真；多媒體演示割圓術等古代極限思想，讓學生模糊感受數學當中極限這個詞的意義，初步對比與自己所想“極限”的異同；學生討論得出前面給出例子中最重要的信息：一個量變化，另一個量的變化趨勢，數學中“極限”是一個過程，這遵循了教學、研究、發現同步協調原則；使用數軸法讓學生觀察當n趨于無窮時數列an的變化趨勢，用發現法幫助學生從不同場景中抽取共性的能力；給出數列的描述性定義，強調極限的寫法、讀法和字母大小位置的分配，并提問對“無限趨近”的理解；師生共議得出無限趨近是越來越接近，且接近的過程不會停止；通過考察數列求極限的例題，讓學生說過程、寫出極限表示、適度練習. 該節課學生積極參與、熱烈討論、認真書寫，達到教學應有的效果.

（二）導數應用

研究表明，學生對簡單函數的求導運算掌握得不錯，在于能夠記得公式和運算法則. 然而關于導數的深層次的理解還相當欠缺，舉個最簡單的例子：為什么（sin x）′ = cos x？答：公式就這么給的. 這也就造成了導數記公式，應用背步驟，考試背題目，毫無探索、發現、掌握的樂趣. 用MM模式設計導數，能夠讓學生知其然更知其所以然，通過獲得知識的努力感受成功的喜悅. 下面就以（sin x）′ = cos x為例給出MM設計：首先教師根據定義證明（sin x）′ = cos x；其次，對結論剖析：涉及兩個函數，一個函數為f（x） = sin x，另一個函數為f（x） = sin x的導（函）數f′（x） = cos x；再有，從函數的觀點討論導函數如何得來的，每一個點x0，就有過x0切線的斜率值即k0，根據導數定義，k0 = f ′（x0），x0與f′（x0）形成一種對應關系，構成新的函數y1 = f′（x），我們稱為導（函）數；最后，選取定義域為[0，2π]的函數圖像（圖1），作出切線斜率變化的趨勢分析，師生共同完成表格，并觀察表格中的一、三兩行猜想得出結論：f′（x） = cos x，即（sin x）′ = cos x. 該設計既教證明又教猜想，為的是讓學生感受思維的過程，體會結論得之不易的艱辛，領悟簡單公式蘊藏的深刻聯系. 經過此番講解，學生對求某點切線斜率也就得心應手了，因為導數公式求得的就是導（函）數，有了導（函）數就能求得某點的導數值，即切線斜率值. 不光如此，在后續的導數應用的章節中學生也能夠自己分析得出很多重要的結論.

（三）原函數概念

積分與微分互為逆運算，然而貝里（Berry）和尼曼（Nyman）發現學生把積分看成是一系列的運算技巧，這也造成了如果不打破常規，尋求可行的教學方式，學生只會成為照搬結論、不會思考的公式的奴隸. 原函數是積分中一個重要的概念，下面就從原函數出發探討MM設計：從最熟悉的公式（x2）′ = 2x與d（x2） = 2xdx出發，復習導數與微分：

從圖示發現兩函數間有關系，已經知道2x稱為x2的導（函）數，如今也給x2取個名字，叫2x的原函數；給出原函數定義后，師生共同探討原函數的個數；從d（x2） = 2xdx出發，以小組接龍形式回答d（x2 + 3），d（x2 - 5），d（x2 + 2.5），d（x2 - 7850）的結果，并說出誰是誰的原函數，誰是誰的導數，讓學生更清楚原函數的概念；學生發現2x的原函數有無數多個，并舉出了不同的實例；進一步設問：你能用一個表達式表示這無數多個原函數嗎？學生思維活躍，x2 + n，x2 - n，x2 ± k，x2 ± C等答案紛紛出爐，最后得出結論x2 + C（C為常數）. 有了上述分析，學生自己很輕松地得出原函數族定理，獲得極大的成就感，覺得神圣不可侵犯的定理也可以自己思考得出.

總之，在嘗試“MM教育方式”下，高職數學的微積分教學在不斷地尋求突破、找到捷徑、取得效果. 萬里開頭難，為了學生數學素養的綜合提升，需要堅持不懈地貫徹MM的“2238”原則，將數學應有的教育功能完美呈現.

【參考文獻】

[1]羅伯特?斯萊文.教育心理學[M].北京：人民郵電出版社，2011.

[2]李士，吳穎康.數學教學心理學[M].上海：華東師范大學出版社，2011.

[3]鄭毓信.數學方法論[M].南寧：廣西教育出版社，2007.

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一、微積分在處理物理問題中的核心思維

與中學物理相比，大學物理最大的特點是所研究的物理量由原來的穩恒量和離散量變成了變量和連續量。利用微積分解決問題本質上是因為物理規律的可加型，如力的疊加原理、電場強度的疊加原理、磁感應強度等矢量的疊加原理;微積分通過微分-積分方法實現了有限向無限，近似向精確的轉化。微積分思想和方法的精髓是：對物理對象取微元后，復雜物理對象變成簡單對象，變量可看成常量，非均勻量可看成均勻量，曲面可看成平面，實現了變與不變的辯證轉換。

二、大學物理微積分教學關注點

高等數學中有大量知識點和物理問題對應，例如：多重積分可以用于求解剛體的轉動慣量;第二類曲線積分對應物理中的變力做功、靜電場中電勢的計算;第二型曲面積分則對應物理中的流量、電通量和磁通量的計算。但是數學是一門高度抽象的科學，它完全摒棄了具體的現象，具有普適性，而物理研究的是客觀物質世界的基本規律，所以解決物理問題的思維方式也并不等同于數學，物理學中的許多微元概念，他們有具體的物理含義，不能簡單等同于數學上的微元。要形成獨特的用微積分解決物理問題的思維。

（一）注重物理圖像，跳出套用公式的思維定式

電通量、磁通量流量等對應高等數學中的第二類曲面積分，數學中對這類問題通常是已知曲面的函數，化為重積分計算，學生感覺數學學會了，會計算一定量的積分題目，但是碰到具體的物理問題還是覺得束手無策，不能達到融會貫通。物理中的電通量和磁通量是由通過與勻強場垂直的平面的通量引入的。并且大學物理教學中的問題是具有某種對稱性的，所以從物理意義的角度分析問題更快捷，更有普適性。

（二）自覺用微積分方法分析和解決問題

例如，在高斯定理一節的講解中，有一個問題是求解均勻帶電球面的電場分布，教學中發現“由于電荷分布是球對稱的，電場是由電荷產生的，可判斷出空間的電場分布必然是球對稱的，即與球心O距離相等的球面上各點電場強度大小相等，方向沿半徑呈輻射狀。”這樣的語言并不能使學生 清楚了解電場為什么是這樣的分布，學生仍然搞不清楚為什么如此。為解決這個問題，我們以球面外任意一點為例，做過這個點的和球心的直線，我們沿垂直于此直線的方向將球面分割成無數的小圓環，我們知道均勻帶點圓環在軸線上某一點的電場方向是沿軸線的，無數小圓環的電場方向都是沿軸線，所以整個球面在P點的電場方向就是沿OP軸線方向的，這樣的具體分析使學生更容易接受，同時也鍛煉了微積分分析問題的思想。

（三）辨明微分的物理意義

物理中有很多物理量，每個物理量都是為了定量描述某種現象和規律引入的，每個物理量都有明確的物理意義大學物理中的微元分成兩種：通常情況某個物理量的微分是和微小的時間段或者微小過程相關的，表示的是一個微小的變化量或微小過程量例，如：位移微元、速度微元、動量增量、元功、微小過程的吸熱、磁通量的變化量;如果微分形式是在某固定時刻或狀態的，則表示的是一個微小量，例如：計算電通量及磁通量時的dS表示的是一個有方向的面積元;計算動生電動勢中出現的dl導線的微小一段，都不涉及時間的改變。

（四）強化注意，形成用微積分解決物理問題的思維習慣

運用微積分思想解決物理問題的一般步驟是：（1）根據問題的特征將物理對象或過程適當分解，選取合適的微元;（2）建立合適坐標系，計算微元的待求物理量;（3）確定上下限，并統一變量，積分求解最終結果。

電流為I的長直載流導線近旁有一與之共面的導體ab，長為l.設導體的a端與長導線相距為d，ab延長線與長導線的夾角為θ，如圖所示.導體ab以勻速度v沿電流方向平移.試求ab上的感應電動勢。

第一步：根據問題的特征將物理對象或過程適當分解，選取合適的微元

分析：這里產生的電動勢是由與導體在磁場中運動，導體中的電子受到洛倫茲力而產生，但是，與導線不同距離處，其磁感應強度是不同的，為解決問題，將復雜的不能直接處理的問題分解為可以處理的問題。我們可以將導線分成無限小的微元dl，因為dl非常小，可認為dl上各點的磁感應強度是勻強磁場，計算其電動勢。

第二步：建立合適坐標系，計算微元的待求物理量

v×B的方向根據右手螺旋判斷為從右指向左，與dl的夾角是+θ，計算dl上的電動勢：

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作者于2013年9月至2014年1月擔任了經管類專業的微積分教學工作，總結了教學過程中出現的一些問題以及提出了相應的解決辦法。

第一，有很多學生在中學階段的知識準備難以快速適應微積分學習的要求。微積分的核心內容是極限，極限定義又是在該門課程中最難理解的內容之一。極限定義具體劃分有數列的定義和函數的定義。學生理解該定義的困難在于的任意性以及、的相對確定性。此時，教師需要用通俗易懂的語言解釋之，是表示數列項（或者函數值）與極限的接近程度，想有多少接近程度都可以，對于預先給定的接近程度，數列從某一項開始，所有的項與極限值的距離小于接近程度。對于函數極限，對給定的接近程度，總存在正數，只要，都有。此外，一個難點就是，基于直角坐標系來計算二重積分的問題。這方面，需要給學生講解兩種類型的區域：-型區域和-型區域。積分區域D稱為-型區域，如果≤≤ ≤≤，反之，積分區域D稱為-型區域，如果≤≤≤≤，還有一種積分區域是混合型的，就是通過分割后，得到若個-型區域和-型區域的并。

第二，學生作業抄襲的現象較嚴重。互聯網是把雙刃劍，在給我們工作、學習、生活帶來諸多便捷的同時，也對教學環節尤其是課后作業完成質量提出了挑戰。可以這么說，只要教材上出現的習題，都能在網上找到解題過程。這給部分學生作業抄襲提供了一個誘因。解決該問題的一個行之有效方法，布置的作業不在教材課后習題上，也不參考習題冊。而是由教師根據學生的學習狀況，自適應地布置題目。該方法有兩個明顯的益處：首先，學生找不到參考答案，只能獨立完成作業。其次，所布置的作業具有較強針對性。另外，也需要轉變作業的批改方式。一些簡單的作業，可以隨堂完成。為了進一步防堵學生之間的相互抄襲，課后作業，可先由課代表、班長等先查閱是否存在抄襲現象，這方面需要做好記錄以便給出期末總評成績部分的平時成績。

第三，提高學生積極性。由于數學具有高度的抽象性，造成許多學生感覺十分枯燥。數學本身是來自于生產實踐，學生之所以感覺到枯燥，主要是體會不到數學在實踐中的應用。為了解決這個問題，作者經常要求學生用Matlab編程實現微積分的一些定理結論、定義等。例如：積分的定義分四大塊思想：分割、近似、求和以及求極限。以上四大思想的要掌握的兩個關鍵點是：（1） 對區間的分割時任意的，也就是說，不管是等距離加分點還是隨機加分點，只要使得區間被分得越來細，當然，其中一個問題是，如何刻畫區間被細分的程度。（2）近似的方法也可以多種多樣，只要是每個小曲邊梯形的面積用一個小矩形代替即可。作者要求學生編程求函數的積分，對不同的區間分割方法和面積近似方法，當區間被充分細分時候，得到的求和值漸進相等。平面圖形的面積、旋轉體的體積計算以及最大利潤問題也是微積分中理論與實際的很好結合點。作者在針對經管類的特點，尤其注重最大利潤問題，該問題設計到的知識點有：需求與供給函數，成本、收益與利潤函數，庫存函數，區間上函數的最值求解等。

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【關鍵詞】教育要求；微積分教學；最大限度；興趣

隨著社會的發展和科學的進步，學習不單單是教師機械地講解書本知識，學生被動接受的過程，更多的是學生了解所學知識的現實意義，主動學習的過程.只有學生積極主動地參與，才能更加透徹地理解所學知識，從而更進一步與現實生活相聯系，將知識付諸實踐.以微積分的教學為例，為了能使學生更好地學習這部分知識，應在以下幾個方面做好準備.

一、發揮學生的主觀能動性，安排學生做好課前預習

學生是課堂教學的主體，可以課前給學生布置兩道思考題：變速直線運動的速度和距離兩者之間如何已知其一求另一個？曲邊梯形的面積如何計算？讓他們對將要學習的知識有一定的認識.也可以讓其通過網絡或書籍了解趙州橋的形狀及其構成，為定積分求面積做準備.有了一定的了解之后微積分的學習就會比較自然并且學生也容易接受.

二、在微積分教學中滲入數學文化

有時單純講解數學概念及習題是比較枯燥的，其實數學中的許多概念并不是憑空捏造出來的，而是經過歷史的沉淀，一代代數學家不斷的潛心研究發展而來的，若能將這部分背景按照講故事的方式呈現給學生，講解生動形象，那么學生也會喜歡聽.但由于課上時間的限制，并不能對這部分背景進行系統詳盡的介紹，而是要根據所講內容選取主要事件進行講解.

在微積分教學中對其思想萌芽的講解是必不可少的，兩千多年前的古希臘時期，地中海沿岸的奴隸們認識到搬運重東西時利用滾動要比滑動省力，于是廣泛應用裝有滑輪和圓軸的車子來運輸東西.而要精密地制造這些工件，就需要對圓形有精確的認識，在深入研究的過程中，出現了“無限細分，無限求和”的微積分思想的萌芽.我國古代也早就有了微積分思想的萌芽，西漢劉歆的“記里車”，東漢張衡的“渾天儀”，蜀漢諸葛亮的“木牛流馬”，都要設計制造圓形的物件，魏晉時期劉徽提出的“割圓術”就使問題得到了解決，他用正多邊形的面積來逼近圓的面積，“割之彌細，所失彌少；割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，包含了“無限細分，無限求和”的微積分思想方法.又如：隋代建造的趙州橋，是微積分“以直代曲”思想的生動原形，它是用一條條長方形條石砌成的，一段段直的條石卻砌成了一整條弧形曲線的拱圈.

但當時由于生產實踐水平的限制，并沒有形成完整的微積分理論.直到16世紀前后，社會生產實踐進入了一個新時期，開普勒總結出行星運動三大定律，伽利略發現了自由落體運動規律，笛卡爾及費馬提出了變數的概念.在這種背景下，微分和積分就成為必要的了，于是也就產生了.

那么微積分是解決什么問題的呢？其中最重要和比較典型的要屬速度和距離以及曲線的切線和曲線下面的面積這兩類問題.中學及之前我們學過了勻速直線運動路程及速度的計算，那么當物體做變速直線運動時又是什么樣的呢？我們也會計算三角形、矩形、梯形的面積，但如何計算曲邊三角形、曲邊梯形的面積呢？正是為了解決這兩類問題，才導致了牛頓和萊布尼茨兩人各自獨立創立了微積分.

實際上對于曲邊三角形來說，古代的“割圓術”和古代勞動人民用一塊塊石頭砌成的拱橋的橋洞給了我們啟示，整體看是曲的東西，在局部卻可以“以直代曲”.

牛頓和萊布尼茨創立的微積分由于時代的限制有些觀點并不嚴密，之后的數學家在極限理論上建立的微積分使得其完善起來，這也就是我們現在要學習的微積分.

通過對歷史的講解，可以讓學生們對這部分知識的來龍去脈有個清晰的認識，同時，古代數學家們對知識探求的精神也是值得我們當代人學習的.

三、加強數學軟件的運用，以輔助教學

隨著科學的進步，數學軟件的運用將成為一種趨勢，目前國內高校普遍運用的數學軟件主要有Matlab，Mathmatic，Maple等，這些軟件的運用很大程度地方便了教學，對于學生和老師來說都大有幫助.

其一，通過數學軟件繪圖可以更清晰地將要學習的對象展示給學生.如在學習用“微元法”計算圖形面積和體積的時候，通過圖形的三維性，能夠更清晰地理解微元如何選取以及變量是怎么變化的.如果能以動畫的形式將微元隨著變量的變化而移動的過程展示出來，那么效果更佳.

其二，通過簡單編程實現微積分的實踐應用.在微積分教學中適當使用數學軟件輔助教學，通過設計一些小程序，在講解完基礎知識之后讓學生來實踐練習，既驗證了理論知識，又提高了學生的實踐能力，當然也能夠激發學生的學習熱情.

四、通過適當的作業來鞏固教學

課堂上大部分時間是老師講，學生互動和接受的過程，作業對教學來說作用是非常重要的，通過課下作業可以鞏固學生課堂上所學的知識，加深對內容的理解，也提高了學生的動手能力.當然對于作業的布置也是有要求的，并不是老師靈機一動，信手拈來，而是需要之前認真準備，挑選最能反應課堂內容并且具有可行性的題目，由簡到繁，以培養學生分析解決問題的能力，將課上知識轉化為技能和技巧.

總之，要想上好一堂數學課，課前、課上、課后的準備都不可少，通過教師有計劃的引導，使用適當的方法和工具，要讓學生們有興趣來學習，發揮學生的主體作用，那么學生從知識的理解、接受到應用都是比較容易的，從而也就達到了目的.

【參考文獻】

［1］朱家生.數學史［M］.北京:高等教育出版社，2004.

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【關鍵詞】高職院校；微積分；問題以及解決方式

一、微積分在高職院校中的教學內容

微積分教學是高職院校學習內容的核心，為其他高等數學打下了堅實的基礎.當前高等院校微積分必修課程，第一，微積分理論與應用，學生自覺學習微積分課程基礎知識，掌握基本應用能力，以達到靈活運用；第二，要為學生學習本課程提供必需和夠用的學習工具，使學生學會靈活運用分析和計算能力.然而，高職微積分課程的教學現狀不宜樂觀，沒有體會到微積分的應用價值，學生學習微積分的興趣低下.

二、分析高職院校微積分教學存在的問題

1.學生對微積分學習過程中存在的問題

現如今學生的認知水平不夠高，學生一般都是以固化思維來思考問題，不能將有限思維上升到無限思維方式.這與學生以前的生活與學習環境有著密切的聯系，由于國內教學設備不夠齊全，既沒有無限數學模型，也沒有無限變化的實踐活動.所以學生思維的惰性與單向性阻礙了知識的遷移和應用.

2.教師在目前微積分教學中存在的問題

微積分教學緊密結合專業實際.當前的微積分教材呈現出單調和抽象等特征，學生在學習過程中難于理解，此外，部分教師的微積分教學方法也趨于陳舊化和單一化，并未表現出多樣化和靈活化的教學方式.隨著教育改革的不斷推進，在當前高職院校中，單一化的微積分教學方法，仍然是數學教學的主要表現方式，課堂上以知識灌輸型的形式為主，同時老師只是將自己定位成知識傳遞者的角色，并未注重與學生之間“教”與“學”的互動，這樣既不能使學生對課堂表現出極大的主動和熱隋，也不利于學生數學思維的延伸和發展.

3.學校教學時間安排存在不足之處

高職院校必須要保證微積分教學質量的提高和預期目標，這需要教師和所有學生的共同努力，并且還需要科學合理的安排教學課程.其中，主要是指學校管理階層對課程教學時間的安排.基于此，要求在學生完成基礎課的前提下，盡量減少課時的任務量，以此達到提高微積分課程教學質量的目標.

三、提高高職微積分教學質量的解決方法

1.微積分在高職院校中的教學內容

隨著時代不斷變化，微積分在教育教學中越來越重要，微積分的發展是一個新時代的產物，面向未來教育發展趨向.因此，微積分需要更好的方法和手段去深入探究鉆研.把微積分教學面向現代化，面向未來的工作崗位，面向世界，必須進行教學改革.

2.對微積分教學的改革方式進行分析

應用多媒體課件是教學過程中最強有力的工具，在教學上增大教學容量，拓展教學內容，拓寬學生想象空間，提高課堂教學效果和效率，是保證教學質量的一種有效手段.

3.建設“立體化教材”

立體化教材，提高學生自主學習興趣.所謂教材建設，是教師和學生用以進行教學活動的材料.

注：limx+∞arctanx=π[]2；

limx+∞arctanx=-π[]2；

limx+∞arctanx不存在為了最大限度地滿足教學需要，應加強教材建設，完善書本，進一步優化整合教學內容，不斷提高多媒體課件的制作水平和教學效果，結合教學條件和學生實際，利用多媒體信息技術，盡可能提高教材建設的立體化水平，努力使紙質教材、電子教材和網絡教材有機結合，擴大教學空間，提高教學質量.借助函數圖像引導學生觀察分析函數的極限，可以更為形象和直觀地理解函數極限的定義，符合高職學生的認知過程，教學效果明顯.直觀教學法對高職學生觀察能力的培養，學習興趣與學習能力的提高，數學學習信心的增強起著重要作用.如圖所示.

四、調動學生學習積極性

1.建立師生平等的關系

老師在學生心目中是一個很神圣的人，對老師又敬又怕.一個好的老師不僅僅是教書，更重要的是育人，只有育成人才能更好地傳授知識.拉近老師與同學之間的距離感，與同學和諧相處，保持師生相互平等，相互配合，共同創造美好優質課堂.

2.加強教師道德修養

一個教師的自身素養，直接關系到優質課堂教學水平的高低，老師的素養直接影響著學生在生活中一些為人處事的舉動，在學生心中產生了潛移默化的變化，甚至是終身影響.由于教師能夠帶給學生一種最直觀形象的榜樣力量，因此在微積分的實際教學中就要求教師堅持“以身立教”的教學思想，能夠在不斷加強師德修養的同時，還能不斷提高自身修養和綜合業務能力.

五、總 結

數學具有非常明顯的邏輯性和嚴密性，強調的是科學，客觀以及邏輯思維，數學的精髓不在于知識本身，而在于與實際生活的緊密聯系.基于此，加強微積分思想方法的教學，是提高高職微積分教學質量，達到與世界全球化接軌的教學模式.把學生培養成我國的合格人才.

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關鍵詞：微積分教學 教學手段 學習積極性

中圖分類號：G424.21 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）01（c）-0174-01

微積分是理工科學校一門重要的基礎理論課，內容豐富、應用廣泛。但同時這門課又具有抽象性和嚴密的邏輯性，這就決定了這門課比較枯燥、乏味。

另一方面，學生以前在中學學的都是有限的概念。而進入大學后一開始學習微積分就遇到無限的概念，這是一個質的轉變，學習上不太習慣。

此外，中學數學的證明都比較直觀，證明過程也不太繁雜，而微積分里的定理和習題的證明方法比較抽象，技巧性較高，過程也相對復雜。

因此，學生剛開始學習這門課程時，感到難以理解和接受；另外，整個微積分的教學要持續一學年，課堂教學主要以教師講解為主，學生被動地聽教師講課，由于一次課學生都會接受大量的知識點，學生很難做到當堂課的知識當堂課理解消化，而當學生的接收出現問題時，就會出現厭學的狀態，表現就是逃課現象。

而且，就目前的學生本身來說，中學時的學習狀態一直是在家長及學校老師的嚴格監督下進行的，到了大學之后，很多學生缺乏主動學習的自覺性。

所以要想讓學生在微積分的學習過程中發揮自己的積極主動性，并且保持長久的學習熱情，教師的講課藝術在其中占有絕對的重要性，該文，我想談談以下幾點我在微積分教學過程中有關這方面的一些體會。

1 認真備課，掌握課程的精髓

教師要熟悉教材，深入鉆研教材，吃透課程的精髓，才能精心設計課堂教學。預先估計到可能出現的各種情況，并善于隨機應變地駕馭課堂教學，在課堂的舞臺上才能信手拈來，左右逢源。

2 在教學的過程中引入懸念與對比，將概念擬人化，從而加深學生的記憶

例如，當我講到一元函數的原函數存在問題時，我告訴學生，這個一元函數只要連續即可。我又反問學生為什么，并且停頓了一下，用眼睛巡視著學生們，學生們以為我要讓他們回答，一個個都趕緊低頭翻教材找答案，此時，我用很慢的語速跟他們說，先讓這個問題潛伏下來，我們將在后面的牛頓萊布尼茲公式那一節中揭曉原因。

學生們都愣了一下，然后發出會意的笑聲。后來在我講到牛頓萊布尼茲公式那一節時，又把以前留下的懸念強調了一下，從學生們的反應來看，這種講課方式是有效的，學生們對相關概念的掌握是扎實的。

另外，為了讓學生將一元函數的微積分部分的知識點與多元函數的微積分的知識點有機的連接起來，我在進行多元函數微積分的授課時，將相關知識點進行對比教學，增加學生們的印象，加強知識的內部聯系。

例如，我在講解多元函數的全微分時，領著學生們回憶了一元函數的微分的概念，然后告訴他們，多元函數的全微分實際上就是一元函數的微分概念的延伸，本質上說的是一回事，那為什么概念中多一個“全”字呢？

這是因為多元函數的自變量不止一個，所以多元函數的全微分就是對所有自變量的微分的線性組合。通過這樣的對比學習，學生們對新概念的出現就不會太陌生了，從而接受的也相對快了。

還有，在整個微積分的教學過程中，我將一些概念或性質之間的關系擬人化，從而是學生們在快樂的氣氛中學習，效果也是很好的。

比如，連續與可導這兩個函數性質，一元函數時，我告訴學生它們是有關系的，到了多元函數，它倆就分道揚鑣了，沒有任何關系，這樣就加強了學生的記憶。

3 增強與學生的互動性，從而使學生積極參與到課堂教學中

教師的講課藝術不僅體現在教上，還體現在學生如何能主動參與進來。我認為，學生如果100min，即兩節課，只是被動地聽課，那么課堂上的學習效果是極差的。一般情況下，我在教學過程中講授一至兩個知識點之后，就要舉幾個例題來具體說明一下所講知識點的應用。

一般我具體講一個例題，其他的由學生自己來做，方式有很多種，比如說我的學生們由五個班組成，我就讓每班出個代表來做題，讓他們競爭，看誰做得好，就讓全體同學為他所代表的班級鼓掌，每個學生都有集體榮譽感，所以他們在我講的時候不敢留神，來防止后面做題的時候出丑，這樣，不僅課堂氣氛活躍，而且效果出奇的好。

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摘 要：問題轉化是數學中常用的思想方法。問題轉化思想在微積分教學中的應用很多，包括極限的數學定義、微分中值定理、洛比達法則、定積分以及微分方程等。轉化的形式是將一個問題轉化為另一個問題，轉化的原則是由繁到簡，由難到易，直至問題解決。

關鍵詞：問題轉化；微積分；極限；微分中值定理；定積分

微積分是高等數學的主要內容，是一般非數學類專業大學生的重要基礎課之一。關于學生學習該課程的作用在教育部高等學校“數學與統計學教學指導委員會”的《數學學科專業發展戰略研究報告》[1]中指出了五個方面：提供必要的數學工具，學會數學方式的理性思維，領會數學文化，培養審美情操以及為終身學習打下基礎。這是在現階段對高等數學教育的指導性文件。其中的工具和基礎作用是以往一直強調的，而數學思維以及文化和審美方面在過去并未受到足夠的重視。我們認為：思維方式的培養應該以概念、理論等知識點為載體，教師在點點滴滴的教學中有意提升，使這項工作日?；?，形成習慣。至于文化和審美方面的培養則需要更高理念的支持。

數學思維方式有很多形態，如歸納、類比、轉化等等。其中問題轉化是數學中最基本最常用的一種思維方式，它的基本思想為將一種形式的問題轉化為另一種形式的問題，將較難的問題轉化為簡單的問題，從而實現問題解決。這里作者就問題轉化思想在微積分教學中的應用談談個人的想法和做法。

1 從極限的描述性定義到數學定義的轉化

眾所周知，極限是整個微積分的基礎，它的定義在微積分各部分內容中都有應用。但很多學生在學到極限的數學定義時，無法將其與形象直觀的描述性定義畫等號，從而產生排斥心理。這種情況甚至影響了他們后繼學習高等數學的興趣。在教學中如何實現從極限的描述性定義（下面簡稱為A）到數學定義（下面簡稱為B）的轉化是每個教師面臨的一大考驗。這里我們介紹一種分段轉化的教學模式[2]，即在A，B中間插入兩種過渡形式A1，A2，下面是數列極限從描述性定義到數學定義的分段轉化：

A：當n無限增大時，xn無限接近于a；

A1： 可以任意小，只要n足夠大；

A2： （ 為事先給定的一個正數，無論它多么?。?，只要n足夠大；

B：對于任意給定的一個正數 （無論它多么?。?，總存在正整數N，只要n>N，就有 。

對于函數極限的定義，可類似進行分段轉化：

A：當x無限接近于a時， 無限接近于A；

A1： 可以任意小，只要 足夠??；

A2： （ 為事先給定的一個正數，無論它多么?。?，只要 足夠??；

B：對于任意給定的一個正數 （無論它多么?。?，總存在一個正數 ，只要 ，就有 。

恰當地為難于理解的概念設置鋪墊是教師在教學中發揮作用的主要方面。李大潛院士在文[3]中指出：教師“要遵循學生的認識規律，要設身處地的站在學生的角度來思考，不應該把自己的高觀點直接加到學生身上。拔苗助長的做法只能影響學生打基礎，不利于他們今后的成長?！苯虒W實踐表明，對極限定義的分段轉化符合學生的認知規律，能夠盡快實現學生對極限數學定義的認同，進而使學生在解決問題中自覺運用極限的思想方法。這種轉化也為定性描述到定量定義提供了一種范例。

2 四個微分中值定理的轉化

作為一元函數微分學應用的基礎，中值定理是微積分的核心內容之一。從羅爾定理，到拉格朗日中值定理，再到柯西定理，最后到泰勒中值定理[4]，四個定理逐漸深入，層層遞進，充分展現了一元可微函數的性質。但這里因為定理多，理論性強，學生在學習中感到吃力。在這一部分教師的作用就是將知識條理化，幫助學生由低級到高級，由簡單到深入地理解和掌握這一塊知識。

首先看羅爾定理，它告訴我們對于閉區間上連續、開區間內可導的函數，如果還滿足兩端點函數值相等，那么在區間內必存在一點，函數在該點的導數等于零，也就是在曲線上有一點處的切線平行于x軸。其次，羅爾定理可以推廣為拉格朗日中值定理：去掉兩端點函數值相等的條件，結論就是曲線上有一點處的切線平行于兩端點的連線。而羅爾定理僅僅是拉格朗日中值定理的特殊情況。但是一般情形的導出又恰恰是通過將問題轉化為特殊情形實現的。這里蘊含了重要的方法論價值。將拉格朗日中值定理中的曲線以參數方程表示，這可以得到第三個中值定理—柯西定理。并且拉格朗日中值定理還是柯西定理的特例。在問題形式不斷轉化的過程中，知識就這樣一步步展開。最后是著名的泰勒中值定理。因為和泰勒級數的交融關系以及在工程技術中被高頻使用，泰勒中值定理實際上是微積分中的一個重量級公式，尤其是在工程師們的眼里。

這個定理因為涉及到高階導數使得我們無法像前面一樣給出直觀的解釋，但就是這個看起來十分繁瑣冗長的結果卻可以通過連續運用柯西定理推導出來。這正體現了自然界中的一個常見規律：簡單問題疊加后將不再簡單；復雜問題往往可以分解成若干簡單問題。泰勒定理之精妙所在還在于將微分表達式中的線性主部推廣到了任意次多項式，并且將高階無窮小給出了具體表達式，使人們不僅能夠對函數的近似表示有所選擇，而且可對誤差進行控制?？梢哉f泰勒公式將微分中以直代曲的思想進行得完全徹底。再回頭我們會發現，在泰勒定理中n=0時的特殊情況就轉化成了拉格朗日中值定理。從而可以將樸素的拉格朗日中值定理蘊含于泰勒定理中。

中值定理的演化猶如人類社會的演化，時而平緩，時而急劇，但一直在起作用的恰恰是最基本的規律。通過教師的有效整合，可以將該部分的各知識點有機地串聯起來，形成一個網絡。既便于學生理解掌握，又承載了一定的思想方法，收到一舉多得的效果。 轉貼于

3 洛比達法則的使用

作為微分中值定理的應用范例之一是洛比達法則[5] ，它是微積分中又一個十分經典的問題轉化的案例。洛比達法則有多種形式，但核心都是求未定式的極限。在一定條件下兩個無窮?。ɑ驘o窮大）比值的極限等于它們分別求導后的比值的極限。這里需注意的是法則并沒有告訴我們極限值是多少，只是將原來的比值極限轉化為另一種形式的比值的極限。使用洛比達法則的前提之一是后者的極限易求出。我們只是通過這種轉化將問題由繁化簡、由難化易，直至最后解決。這里如果問題朝著相反的方向轉化，那就要立即停止，另想它法。在教學中教師強調這種轉化可以提醒學生進行積極有效地思維，并有意識地訓練問題轉化思想的運用。

4 關于定積分的定義與性質

初學定積分的人會感覺其定義及其繁瑣。為減輕初學者的心理壓力，教師可以將冰冷的定義轉化為通俗的語言。事實上，定積分蘊含了重要的變量求和思想，這種思想在科學研究和工程計算中十分常見。概括地講定積分可以分為四步：①分割：將一個量分為若干個小量；②近似：對每個小量進行近似，這里的關鍵技術是用常量代替變量；③求和：將所有小量的近似值相加；④取極限：當分割無限加細時總量近似值的極限即為其精確值。

類似的事情在二重積分上發生了，僅僅是變量從一個發展到兩個，問題的形式和解決的方式可以說是完全重復。那么三重積分的情況怎樣呢？也只是再多一個變量而已。如此一來我們就通過這種升級轉化實現了一重積分到二重積分、三重積分的過渡。不僅如此，對于兩類曲線積分和兩類曲面積分也可以繼續沿用前面問題轉化的思想，順利引出相應的定義。至此，七類積分的全貌已現，而我們也可以重新歸納積分的本質，即是對可變量的求和。

除了定積分的定義，定積分還有七個著名的性質。由于這些性質的證明要用到定義，而定義形式又具有一致性，因而相應地產生了其他類型積分的性質。不過第二類曲線積分和第二類曲面積分的性質稍有不同，需加注意[6]。

5 微分方程中的問題轉化

解微分方程的目的是尋求方程的通解或特解，其中最原始的方法是積分。由于積分問題本身的難度，使得人們十分關注那些能夠積出來的方程類型，而對于其他類型的微分方程只好試圖通過問題轉化化成已解決的類型，因而在這里轉化的工作司空見慣。如齊次方程就是通過變量代換化為可分離變量的方程，甚至包括可化為齊次方程的方程類型。另外關于可化為一階方程的二階微分方程也總結了三種類型。

特別值得一提的是在解常系數線性微分方程時，我們引入了一個重要的代數方程—特征方程，將原問題的解的形態完全轉化為相應的特征方程的根的情況。這種轉化將微分方程問題轉化為代數方程問題，這種跨領域的轉化大大降低了問題的難度，成為問題轉化領域的又一個經典案例。

6 結束語

問題轉化作為一種重要的思想方法它蘊含于許許多多的概念、定理和公式中，需要我們在教學中不斷發現、整理，以充實教學實踐。當然還有其他的思維方式也需要教師在教學實踐中有意識地運用。大學數學作為一門公共基礎課，不僅為學生后繼課程的學習準備知識基礎，更是培養新一代青年科學思維方法的良好素材。隨著時間的流逝，具體的概念或公式可能記不清楚了，但是作為數學文化價值的科學思維方式，如果培養了，則會使學生終身受益[7]。

參考文獻

[1]教育部高等教育司.高等理工科專業發展戰略研究報告[M].北京:高等教育出版社.2006:1-11.

[2]Donald Trim.Calculus[M]. Scarborough， Ontario:Prentice-Hall Canada Inc. 1993:82-83.

[3]李大潛.關于高等數學教學改革的一些客觀思考，大學數學課程報告論壇論文集(2009).北京:高等教育出版社.2010:3-7.

[4]同濟大學數學系.高等數學(第六版)(上冊)[M].北京:高等教育出版社.2007:128-145.

[5]吳建成.高等數學[M].北京:高等教育出版社，2005:153-157.

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關鍵詞:微積分;教學方法;專業

應用數學是研究客觀世界數量關系和空間形式的科學。隨著現代科學技術和數學科學的發展，人們逐步發現數學不僅是一種工具，而且是一種思維模式;不僅是一種知識，而且是一種素養;不僅是一種科學，而且是一種文化。作為眾多教育者中普通的一員，我深深意識到了在培養高素質經濟管理人才的過程中數學教育的作用是無可替代的。那么，下面我將從自身教學經驗和所接觸到的教學現狀等方面去談一談三大數學基礎理論課之一的微積分課程在經濟管理專業中的教學教法。首先，微積分課程是經濟管理專業的學科基礎課程，也是全國碩士研究生入學考試數學科目的考查內容之一，其所占比重也是最大的。其次，在經濟管理領域微積分課程所研究的理論知識及解決問題的思想、方法有著廣泛的應用，因此這門課程的重要性自然是不言而喻。那么為了讓學生有效地學習好這門抽象的課程，下文將結合自身的課堂教學經驗和目前教學現狀，從以下幾點給出該課程的教學方法，供大家參考。

一、注重教學內容的整體性和連貫性，突出重難點

在首次課堂教學時向學生簡要地介紹微積分這門課程，要讓學生明白其所研究的主要內容，以及整個教學內容的主線———研究函數的微分、積分及相關方程等問題。因為大家在中學數學階段已經學習過函數、導數、簡單的積分等內容，所以可以從這些點入手幫助學生很輕松地打開學習的大門，并帶著強烈的好奇心和求知欲進入課堂，因為他們會想這些新的內容與以前學習過的知識點會有哪些異同?同時我還強調學生要通過應用將這門抽象的課程變得形象化，在培養學生學習興趣的同時夯實基礎，形成良好的學習習慣，并持之以恒，因為微積分這門課程教學一般會貫穿整個學年。在嚴格遵循教學大綱的基礎上，為了讓學生更快地掌握住學習的方法與技巧，我制定了與教材配套的教學順序是函數———極限與連續———導數與微分———中值定理與導數的應用———不定積分———定積分———多元函數微積分———無窮級數———微分方程與差分方程簡介。雖然每一年的微積分教學順序是保持不變的，但教學內容并不是一成不變，每一年我都會參考最新頒布的“全國碩士研究生入學統一考試數學考試大綱”和“經濟管理類本科數學基礎課程教學基本要求”來對教學內容進行更新，做到與時俱進。從函數出發引出極限與連續，通過數形結合的教學方法很容易讓學生接受理解。由導數的變形得到“微分”的內容，并進一步給出微分中值定理，最后通過應用的講解，讓學生對“微分”這一塊內容有了系統的了解。根據對導數逆運算的思考，引出不定積分，再由實例的求解給出定積分，通過牛頓———萊布尼茨公式建立二者之間的聯系，因此采用層層深入的教學方法讓學生對“積分”的內容有所認知和了解，并通過其在經濟管理中的應用案例，體會其的重要性。最后，在學生掌握微分學和積分學的基礎上，進行剩余內容的教授———其中，采用類比、啟發式的教學方法去教授多元函數微積分這一塊的內容，引導學生自主地發現并歸納出多元函數在概念、偏導數與全微分、復合函數與隱函數微分法、極值與最值、二重積分等方面與一元函數的異同，從而可以讓學生更加深入地理解掌握這部分的要點;由中學的數列知識引出“級數”的概念，然后分類介紹常數項級數、正項級數、任意項級數、冪級數等內容，并給出其在經濟應用中的經典案例，可以讓學生與自己所學的相關專業相聯系，達到強化鞏固知識點的目的;對于微分方程和差分方程來說，從概念入手，讓學生先從表象理解這類抽象方程的構成，然后重點講解一階線性微分方程和二階常系數線性微分方程，讓學生體會微分學在其中的應用，最后再補充給出方程在經濟學中的簡單應用，掌握如何用方程去建立對應數學模型的理論思想，達到學以致用的目的。整個學年的教學進程由簡入繁、層層遞進、環環相扣，這樣可以連貫流暢地突顯出這門課程內容的整體性，學生就可以很容易地突破并掌握其中的重難點，從而達到學以致用的目的。

二、多元化教學方法的應用

在課堂授課的過程中，我會在教材內容的基礎加以其他相關教學資源(比如MOOC、微課等)，使教學方法多元化、教學內容更有針對性，從而達到調動學生的學習積極性的目的，并同時培養其學習的主動性。為了培養學生的自學能力，我會向學生介紹不同的學習資源，使他們能夠接觸到一些教材以外的內容。在每次授課之前，我都會給學生下達預習通知，要求學生對將要學習的內容有所了解，讓其帶著問題走入課堂進行聽課，以便于課上快速接受;在課堂教學的進程中，我會采取多媒體和板書教學相結合的方式，穿插數學史的介紹，讓學生體會到微積分不是想象中那么枯燥無味，并在詳細講解完概念、性質、定理等之后，通過例題應用練習等方式讓學生參與進來，調動學生積極性的同時，可以提高掌握新知識的效率;在課下，我會布置多種多樣的教學任務，并且要求學生做好復習工作，這樣既可以讓學生高效地鞏固已學的知識點，又可以為下次課的學習打下基礎。因此，這種混合式教學方法的應用不僅可以使學生有效輕松地接受新內容，而且可以實現前后內容的融會貫通，輕松掌握重難點。

三、習題練習的層層深入

微積分身為一門數學類課程，與之配套的習題是不可或缺的。我采用以下形式給出不同類型難度的習題:一是當堂練習和課后作業，這部分習題全是定義和定理的直接應用，沒有太大的難度，與期末考試內容相近，可以保證每一個學生都能獨立完成，達到及時鞏固課堂教學內容的目的。布置之后采取抽查的形式及時批改作業，對于作業中出現的問題，會在下次課上進行講解。二是自選習題作業，因為整個教授學生群體的個人數學水平都參差不齊，所以我會布置一些有難度的習題，供學生選擇性去作答。對于這種做法，肯定有人會有一個疑問———是不是只有數學基礎好的學生才會去做題?其實不然，與此同時我建立了相關的獎勵制度，并建議各班成立學習小組，使得每一位同學都加入到了難題的思考中，因此學生的參與度較高。這樣不僅進一步地調動了學生的學習積極性，而且養成了團結合作的精神。當然對于這些題目，我會在線下通過如微信或QQ等平臺對有問題的習題向學生進行講解。三是考研題目，在結束每章內容授課之后，我都會進行一次復習，和學生一起歸納出主要知識點的框架圖，進而引入相關考研真題。這些題目大多較難，在講解之前，我會留給學生思考的時間，讓其自行嘗試完成。這樣既能鍛煉數學能力，又能發散思維，并且讓學生提前與考研數學內容接觸，深受學生的歡迎，營造了良好的學習氛圍，大大地提高了學習的效率。如果學生解答出來，那么大家彼此交流做題思路方法，尋求確定一個最優解;如果學生沒有解答出來，那么我會給予一定的提示，引導做題，讓其在求索結果的過程中意識到自己的不足之處。

四、強調知識在經濟管理類中的實際應用

如果光有枯燥的理論教學，卻沒有與之相關的應用舉例很顯然是遠遠不行的。因此，在講透微積分理論知識的同時，通過數學建模的方法舉例給出與經管專業相聯系的實際應用，以提高學生學習微積分的興趣和應用微積分知識解決專業實際問題的意識和能力。比如，利用導數可以解決“邊際”和“彈性”問題;無窮級數應用于“商業銀行通過存貸款業務創造貨幣”和“勞資合同問題”等案例;微分方程和差分方程在價格調整模型、多馬經濟增長模型、索洛經濟增長模型、存款模型等當中的應用。最后，學生不僅會發現微積分在經管專業有著廣泛的應用，而且更加意識到微積分不是孤立存在的，從而可以提高學習的興趣，為將來專業課的學習打下基礎。

篇10

【關鍵詞】分層次教學 因材施教 個體差異

一、實施分層教學的緊迫性

我校作為一所教學型民辦本科院校，以培養適應社會經濟發展需要，具有良好的思想品德、較扎實的專業基礎、較強的實踐能力和較高英語應用能力的高素質應用型人才為目標，在明確的辦學定位指導下，堅持“以生為本”，以應用型人才培養模式改革為主線，以促進人的全面發展和適應社會需要作為衡量人才培養的根本標準，始終將提高教育質量、教學水平放在首位，在辦學規模迅速擴大的同時，辦學質量穩步提高，2012年5月順利地迎來了由教育部組織的本科教學工作合格評估。在本次評估中，《微積分》作為我校本科教學十分重要的基礎課程，受到了評估組專家的高度重視。評估組專家通過聽課、座談、抽查試卷等途徑，在對我?！段⒎e分》教學工作充分肯定的基礎上，也指出了其中存在的問題和不足。突出表現在課堂氣氛不活躍，學生學習積極性不高，考試及格率低。

究其原因，主要是因為在教學過程中沒有考慮到民辦本科院校所招收的學生在學習習慣、學習自覺性、數學素養等各個方面存在較大的個性化差異，忽視了學生對教學方法、教學內容的不同需求，只強調統一，不能隨著客觀情況的改變而改變，而是按照傳統的一刀切模式來組織教學而形成的。

因此，兼顧學生的個體差異及專業需求，實施微積分的分層教學已迫在眉睫。

二、實施分層教學的意義

“分層次教學”思想，最早源于孔子提出的“因材施教”，所謂分層次教學，是指學校根據大部分學生的個體差異，將學生分為若干個群體，制定不同的教學目標，因材施教，實行分級教學，使各個層面的學生都能學有所得、學有所用，最終適應社會對不同層次人才的需求，達到良好地培養目標。

微積分分層次教學是一種符合因材施教原則的教學方法，在教學過程中實施分層教學具有重大的意義：首先，分層教學適應于各層次學生的學習心理，不但能發展學生的智力因素，而且能培養學生的非智力因素，能有效地調動學生的學習積極性，減少甚至杜絕厭學現象的產生。其次，分層教學能面向全體學生，為學生的全面發展創造條件，有利于學生數學素質的普遍提高。再次，分層教學能消除或者緩解學生的厭學情緒，培養學習興趣，增進課堂的互動，有利于促進和諧校園與的建設。最后，開展分層教學，能夠尊重學生的個性差異，促進學生健康成長，存同求異，為社會培養創造性人才。

三、實施分層教學的具體措施

按照不同專業對微積分知識需求的不同，結合學生的數學基礎在自愿的基礎上分成三個層次。每個層次分別制定教學大綱、培養目標等。

第一層次（A班）：每個學期都設立兩個A班（每班50人左右），第一學期，主要參考高考成績。以后每個學期都參考上學期考試成績，讓學生自愿報名組成。A班在完成常規教學任務的基礎上，適當補充較多的課本以外的知識，主要包括大學生數學競賽和考研數學中典型題型的講解、基本數學方法的歸納總結和相關知識在解決實際專業問題中的應用等，課堂容量和知識難度都相對較大。以滿足數學素養高、對數學有興趣，有志于考研的同學的需要。

第二層次（B班）：B班為微積分教學的主題部分，第一學期除A班外，以后每個學期除A班和C班外，其余學生全部編為B班。B班教學難度適中，教學內容符合各專業需要，教學過程中弱化對偏難的理論的證明，注重基礎計算和邏輯思維的培養，講課速度和手法適合大部分學生。

第三層次（C班）：第一學期不設C班，從第二個學期起根據上學期考試結果，把成績較差（低于30分）的一少部分學生編入C班。C班在降低教學目標和難度的基礎上，通過放慢教學速度，查漏補缺。更多地對新舊知識進行比較、歸納，吸引學生注意力，引導學生學會發現問題及找到解決問題的方法。在不斷的鼓勵中，使學生對數學逐步產生興趣。

分層次教學的A班、B班和C班的同學，可以在每學期期末考試結束以后，根據考試成績和平時的表現，在不同層次之間實行動態流動，讓第二、第三層次中學習表現突出的同學有機會進入上一層次班級學習，讓那些跟不上本層次的進度，學習上感覺吃力甚至難以畢業的學生進人第三層次學習。

合理的分層和動態流動，將會增加學生的學習緊迫感，充分調動學習積極性，避免層次劃分的“一劃定終身”弊端；同時這也非常有助于學生間的良性學習競爭的形成，從而提高教學效果和學習效率。

參考文獻：

[1]施寶林.分層教學方法研究[J].唐山職業技術學院學院學學報，2004，（2）.

[2]楊江霞.分層教學在數學中的應用[J].教育教學研究，2012，（3）.