初中數學垂直的知識點范文

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想要深化學生對于知識的理解與掌握，教師要注重教學方法的合理選擇。很多內容的教學中教師都可以嘗試展開教學情境的合理創設。這首先能夠極大的活躍學生的思維，為學生的問題思考提供很好的背景。同時，在這樣的基礎下學生們對于很多知識的理解與吸收會更加順暢，很多教學難點也能夠輕松被突破。教師要善于發現一些靈活且高效的教學模式。這不僅能夠極大的豐富課堂教學形式，也能夠促進學生對于教學知識的理解與吸收。教師要注重對于學生的教學引導，可以讓學生多觀察生活中的實物。例如，可以讓學生從生活場景中找常見的垂直關系，讓大家來思考驗證垂直的方法，并且相互交流分享自己的思路心得。

這首先能夠為教師的知識教學形成良好鋪墊，當學生們對于教學內容有了主動思考后，教師再來引出垂直的定義，這樣大家接受起來也會更容易。教師還可以結合圖片中熟悉的場景，使教學內容貼近學生的生活實際，通過做垂直、找垂直、驗證垂直一系列的探究活動形成了豐富的概念表象。此教學環節能夠很好的培養學生將背景抽象成數學化的能力。由此可見，要想把握新課程的初中數學課堂特征，并沒有想象當中的那么困難，教師要善于靈活的進行教學情境的構建，并且要注重對于學生思維能力的啟發，這樣才能夠很好的提升知識教學的效率。

二、注重理論知識與生活實踐的聯系

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關鍵詞： 初中數學教學 閱讀能力 培養策略

閱讀是人類進步發展的階梯，是人類獲取成功的“鑰匙”。閱讀，作為汲取、獲得知識的重要手段，是人們分析和解決問題的首要前提。在教學活動中，聽、說、讀、寫是學生學習知識、提高素養的重要技能。閱讀能力，在一定程度上反映了學生主體的語言表達能力、思考分析能力和邏輯推理能力。數學教材及相關材料的閱讀是數學學習的基礎環節之一，教學實踐證明，閱讀能力的有效培養，有助于學生學習積極性的激發，有助于學生能動地發現問題、解決問題、獲取知識、提高能力。新實施的初中數學課程標準指出：“中學生應能通過觀察、閱讀和思考領會數學語言所表示的數學概念、原理，善于用分析、綜合、比較、歸納、演繹等邏輯思維與推理的方法描述數學問題和證明數學問題，并且語言簡約、條理清楚。”但在實際教學中，它卻常常被一些教師忽視，片面地認為，閱讀能力的培養，是語文、英語、政治等學科的任務和要求，學生只要能夠記住數學公式、性質、定理、法則即可，最終導致學生無法深入閱讀題目，不能攝取完整、正確的信息，準確讀懂題意。在新課改大背景下，數學閱讀能力培養，是提高初中生解決問題能力的重要途徑。

一、緊扣教學情境情感激勵特性，讓初中生在閱讀中激發潛能。

興趣是最好的老師。情感是學生能動積極開展學習活動的思想保障。教育心理學指出：“興趣是推動學生學習的一種最實際的內部驅動力，是學生學習積極性中最現實、最活躍的心理成分。”初中生在研究和分析新知內涵要義、問題案例策略的過程中，經常忽視“閱讀”方面的訓練，采用單一的探析方法開展學習活動。究其原因，是由于初中生忽視閱讀活動的重要性，缺少閱讀學習的自覺性。這就要求初中數學教師在教學活動中，要有意識地引導和激發初中生閱讀的積極性，通過生動典型的現實案例，讓學生感知數學閱讀的重要性。同時，根據教材特點、學生個性特性，以教材為載體，設置生動有趣的教學情境，以閱讀訓練為主要任務，讓學生保持積極的學習情感，主動地進行閱讀學習活動，從而實現從“要我讀”向“我要讀”的轉變。

如在“全等三角形的判定”教學活動中，教師抓住學生學習認知的特點，設置問題情境：“王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地部分的長為15米（水渠的寬不計），請你計算這塊等腰三角形菜地的面積。”學生在現實情境中，感知問題條件過程中，認識到掌握和解答全等三角形的判定內容的現實意義，從而帶著主動情感，認真、仔細閱讀問題案例內容，解析案例。

二、抓住數學知識點內在聯系，讓初中學生在閱讀中把準意圖。

數學知識點之間是相互獨立且深刻聯系的。學生在研析問題案例的過程中及找尋解題策略的過程中，就是要通過分析思考等活動，深刻領會和掌握問題設計的意圖，從而實現由給定的條件與或求證的結論與有關定理相結合。因此，初中數學教師在問題案例教學活動中，應該讓學生通過閱讀研析問題條件內容活動，逐步引導學生領會和把準問題案例的內涵要義，在掌握問題條件內在聯系過程中，正確、深刻地把準問題案例設計意圖及深層次的內涵要求。

問題：如圖所示，已知在ABC中，AB>AC，AD是∠BAC的平分線，P是AD上的任一點，求證：AB-AC>PB-PC。

在這一問題的教學中，教師先引導學生閱讀：“AB>AC，AD是∠BAC的平分線，你能得到什么訊息？”學生答道：“會得到這個三角形是不規則的三角形，要運用到三角形的相關內容。”“問題中要求證AB-AC>PB-PC，應通過什么方法？”“截取法，在AB上截取AE=AC，連接EP。”這樣，學生在教師的引導下，通過閱讀分析活動，得到了該問題的解答策略。同時，也領悟到該問題的解題意圖是，正確靈活運用全等三角形的判定內容，通過把一個角沿它的平分線對著，從而使兩部分重合的特點，進行等量替換，進行問題的有效解答。學生在此過程中通過思考、閱讀和聯想掌握了解題意圖，有了清晰的思路和明確的解題方向，解題時自然得心應手。

三、利用數學學科知識豐富內涵，讓初中學生在閱讀中感悟“弦外之音”。

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【關鍵詞】初中數學教學；數學思維能力；數形結合；教學方法

數學是一門專門研究空間幾何結構以及數量關系的學科，也就是說數學所學的知識主要就是“數”和“形”，“數”的知識點主要包括各種數字、數學概念以及數學定理等，“形”主要是指各種圖形，包括平面圖形和立體圖形等，初中數學學習的知識主要是與平面圖形有關的知識.在數學的教學過程，實現數形結合具有重要的意義，它可以將一些抽象的知識點具體化，使學生能夠更好的理解數學的相關定理和規律，同時也能夠培養學生抽象的數學思維.

一、初中數學教學中使用數形結合方法的意義

初中數學課程與小學的不同在于，平面圖形知識學習的增加，而借助于平面圖形又可以解決很多“數”方面的難題，比如勾股定理的驗證、一次函數的性質以及不等式的解等，借助圖形可以得到很快的解決.因此在初中的教學中應用數形結合的方法具有重要的意義，主要表現在：

（一）可以化抽象的數學概念為形象的幾何圖形

圖1數學的知識帶有很大的抽象性，尤其是一些概念、定理，學生理解起來非常的難，借助于幾何圖形，可以讓學生很容易的理解數學的相關概念以及定理.比如初中學習的勾股定理：“直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長平方和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方.”單從定義來看，學生很難理解什么是勾什么是股，但是如果借助下面這個圖形（圖1）的話，就不難理解了，直角三角形垂直的兩邊為“勾和股”，也就是AC，BC分別為“勾和股”，AB為弦，根據這個定理以及結合直觀的圖形我們可以很容易推導出數量關系：a2+b2=c2.

（二）可以將一些復雜的問題簡單化

圖2數形結合的思想常常能夠用數學的方法解決幾何的問題，同時又用幾何的方式解決數學中的問題，尤其是函數問題，常常必須要使用數形結合的方式才能夠得到有效解決.例如：一個扇形OAB的面積是1 cm2，它的周長是4 cm，求圓心角的弧度數和弦長AB.對于這個題的解決，如果不借助圖形的話，將需要很強的抽象思維能力，但是如果借助于圖形的話將很容易得到答案.解題的思路可以采取這樣的方式：根據題目的要求，可以作圖如下：

然后可以設圓的半徑為R，弧長為L，根據周長以及

扇形的面積計算公式，可以很快解決問題.

二、數形結合的教學方法應用策略探討

數形結合的教學方式只是眾多的教學方法中的一種，它的核心思想就是要將數學的問題幾何化，將幾何的問題數學化，從而降低解題的難度.在數學的教學過程中，要貫徹這樣的方法，可以采取的策略主要有：

（一）注重培養學生數形結合的思維

初中的學生由于剛接觸幾何圖形，所以對于數形結合的方法的應用能力往往比較弱.所以教師在教學的過程，能夠使用這種方法進行解題的應該盡量灌輸這樣的解題思路，引領學生在解題的過程中，有意識的采取數形結合的方法，同時能夠自由的在“數”與“形”之間轉化，鼓勵學生在解決比較復雜的數學難題的時候，可以借助直觀的圖形來解決讓學生能夠形成一種“見形思數”、“見數想形”的思維.比如，在求解一元二次方程的時候，教師就可以在ax2-b=0（其中a≠0）的解題思路的基礎上，讓學生求解復雜的二次方程式，ax2+bx +c= 0（a≠0），同時結合直觀的圖形來推導這個方程式的解題思路.

（二）數形結合的方法應該與數學史的講授相結合

我們知道，每一種定理、規律以及每一個公式的出現都是前人不斷探索的結果，而且前人在探索相關的定理、數學規律的時候，總是與生活中很多的空間結構分不開，也就是說前人在獲得這些規律定理的時候，也常常是采用數形結合的方式推導出來的，所以對于數學史的講授，很容易引導學生學習前人的這種“數形結合”的思維方式.

（三）借助于多媒體技術進行輔助教學

多媒體技術的特點在于能夠通過提供具體教學模型、生動的圖片以及視頻動畫直觀快速動態的展示幾何圖形的變化以及數形結合的過程，在教學中，不僅能夠激發學生學習的興趣，同時能夠使上課輸入的信息密度增多，提升教學的效率，對教學的氣氛也具有較強的調控作用，實現啟發學生思維的目的.

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一、在自身數學課堂教學中存在過的問題

（一）傳統的教學模式和固定的教學內容

縱觀我國的教育歷史長河，中國的教學雖然在不斷的進步和完善，但是其在這一過程中始終伴隨著一個嚴重的問題，就是守舊，固有的僵化的教育教學模式。自己也不例外，遵循了傳統的教學模式，雖然也有學生的自主學習在里面，但放手的力度還不夠大，總喜歡自己講一個例題，然后讓學生模仿練習，雖然也有效果，但成績往往未能突破。另外，在

（上接第24頁）

備課的時候，筆者很多時候都是根據書本的內容進行備課，以為把課本的例題講透講撤了，就完成了該節課的教學任務和重點。事實上，單單完成一道例題，一道練習題，那么學生的思維是固定的，不會得到發散。

（二）學生對數學基礎知識（知識點）掌握不牢固

數學基礎知識包括各種數學概念、運算、公式、法則、定理和公理等等，它是解決數學問題的關鍵，所有數學題型都是由數學知識點構成的，萬變不離其宗（即每個數學題都是根據數學知識點解答出來的）。但部分學生由于對數學基礎知識掌握不牢，在解題時出現方法模糊，硬拼硬湊，張冠李戴，經常把題做錯。如何讓學生的知識牢固呢，如何不讓學生張冠李戴？多練？好像能達到目的，但多練也只是一種題型，這既增加了學生的負擔，也增加了老師出題的負擔。這就得需要老師思考：能否就從一道題入手呢？把一道題進行變式練習，從而讓學生吃透，重質而不重量！

二、初中數學教學中變式練習的運用

由于存在以上問題，再加上聽了龐老師的課，筆者開始思考變式練習在自己數學課堂中的運用。所謂的變式練習，即是指在數學教學過程中對概念、性質、定理、公式，以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或結論的形式或內容發生變化，而本質特征卻不變。也就是所謂“萬變不離其宗”。

（一）運用改變條件或結論的方式進行變式

比如說在初中數學在九年級上冊中的一個知識點，求證：順次連結四邊形各邊的中點所得的四邊形是平行四邊形。對于這個問題教師在進行講的時候可以在引導學生證明出該結論，并且在之后可以去帶領學生繼續學習相關的知識，比如教師可以向學生提出問題，順次連結對角線相等的四邊中點得到的是什么圖形？順次連結對角線互相垂直的四邊形的四邊中點得到的是什么圖形？順次連結對角線互相垂直且相等的四邊形的四邊中點得到的是什么圖形？

又如在八年級勾股定理教學中，添加例題：

例：如圖，在ABC中，∠C=90o，AB=10，∠A=30o求BC，AC的長

變式一：在ABC中，∠C=90o，BC=10，∠A=30o求AB，AC的長

變式二：在ABC中，∠C=90o，AC=10，∠A=30o求BC，AC的長

變式三：已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則ABE的面積為（ ）

A.6cm2 B.8cm2 C.10cm2 D.12cm2

（二）用一題多解的方法進行變式

如圖，七年級課本中提到這樣一道題：

用八塊相同的長方形地磚拼成一個寬為60厘米的長方形圖案，求每塊地磚的長和寬。

在講解這個題目的時候，教師可以引導學生去尋求多種解決的方法.如果設每塊地磚的長為X，寬為Y，根據圖形可列出：

x+y=60，x=3y，也可以列出4y=60，2x=x+3y，x+y=60，當然也可以根據面積的公式列出：8xy=60×2x，x+y=60等等來進行解題，這樣有利于教師的教學和學生的學習。

變式練習的類型還可以有：多題一解式，一題多問式，一題多解式，一題多變式等等。

（三）多題一解式變式教學

經過對比會發現，現在的課本練習量沒有以前多，所以需要老師，把課本中的練習進行變式延伸，使學生更好地掌握知識，深化知識。

如九年級下中第48頁第2題中如圖：以點O為位似中心，將ABC放大為原來的3倍。

（該道題只闡述了位似中心在圖形外的情況，所以教師還應增添圖形練習）

變式練習一：以點C為位似中心，把ABC放大為原來的兩倍

變式練：以點O為位似中心，把ABC縮小為原來的一半

如此訓練，學生才知道原來位似中心可以是本身圖形的一個點，也可以是在圖形外部，也可以在圖形內部，這樣知識才能區分，才能把知識得以鞏固和深化。

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關鍵詞：初中數學；課堂小結；系統歸納；比較異同

一、歸納總結型

這是一種最常用的方法，一般在課堂結束前的短時間內把本節課的教學內容中的知識點加以濃縮概括，可以采用敘述、列表格或圖示等方法加以強調，通過系統、完整而又簡明扼要的概括便于學生對課上所學內容有一個清晰的整體印象.例如，學習特殊角的三角函數知識時，筆者編制了一個順口溜：一二三，三二一，三九二十七.其中，一二三是表示30度、45度、60度角的正弦值中分子根號內的數值，三二一是指30度、45度、60度角的余弦值中分子根號內的數值，三九二十七是用來表示30度、45度、60度角的正弦值中分子根號內的數值.通過簡單有趣的順口溜來幫助學生識記特殊角的三角函數值的記憶規律，使學生記憶深刻，教學效果很好.

二、比較異同型

比較是認知的重要方法之一.數學中，有些學生容易將新學概念與原有概念、并列概念與對立概念，或者比較近似的容易混淆，對這些概念進行分析比較就顯得尤為重要.首先找出它們各自的本質特征及不同點，再找出它們之間的內在聯系或相同點，幫助學生從事物之間的區別與聯系中掌握記憶對象.比如，在學習完菱形的性質和判定后，學生容易將菱形和矩形的性質與判定相混淆.因此，教師在進行課堂小結時，重點把兩者的概念、性質與判定進行對比，通過這樣全面系統的概括比較，從而使學生既明白了它們之間的相同點，又理解了它們之間的不同點，從而避免知識的負遷移現象，幫助學生對概念的理解掌握的更加準確深刻.

三、興趣激發型

學生對學習的興趣加上生動有趣的課堂小結可以再次激起學生的思維.比如，在講授“線段、射線、直線”這節課的課堂小結時，讓三個學生分別代表線段、射線和直線，然后讓他們自己分別向大家介紹一下自己，說說自己具體的特征.學生紛紛舉手要求回答，課堂氣氛很是活躍.下課了還有很多學生感覺意猶未盡.例如，在教“垂直”這一節課的小結時可以請學生到講臺前做一個垂直的動作，并說出動作要領.頗具新意的小結令人耳目一新.雖然一節課才區區幾十分鐘，但很多學生都不能做到在整節課堂上都保持思想集中，尤其是課堂快結束的時候，如果能在課尾設計一個耐人尋味、妙趣橫生的課堂小結，能有效調節學生疲勞，保持學習興趣.

四、學生自立型

在課前就明確在這節課的最后由哪位學生來進行小結，或是在布置預習作業時明確指出下節課由哪些小組成員對課堂內容做小結，要求他們獨立完成，有自己的見解.通過這種簡單易行的方法，學生在課后能自覺預習功課了，課上的“小動作”也變少了，后進學生也能自覺進入學習狀態了，大大調動了學生的學習積極性和學習動力.

五、拓展延伸型

生活中處處有數學，在教學中教師應該把課本上的知識延伸到實際生活中，把數學和生活體驗結合起來，使課堂內容更加生動、深刻.在進行課堂小結時，教師如果能夠根據具體的學情進行恰當巧妙的結合，不僅體現了數學教育的人文性，　而且增強了學生用數學知識解決實際問題的意識.比如，學習“反比例函數”定義后，讓學生舉例說明反比例函數在日常生活中的實例.學生踴躍舉手，其所舉例子都是生活中最為熟悉、常見的數學問題，如，總人數一定時，排隊的行數和每行的人數成反比例函數；如，學校到家里的路程一定，路上所需時間與騎車速度成反比例函數；用一定金額購買一樣物品的數量與單價成反比例函數等.通過這些回答讓學生明白數學知識來源于生活，并且又能服務于生活.

總之，小結作為數學課堂教學中的最后環節，是教師幫助學生對所學知識進行的歸納回顧，它不僅有利于學生加深對所學知識的記憶，培養學生的概括總結能力，而且有利于活躍學生的思維，培養學生自主探索的求知欲望和激發學生學習的興趣.所以教師要精心設計好每節課的小結，讓它充分發揮畫龍點睛、承上啟下的作用，而且能產生余味無窮，啟迪智慧的效果.

參考文獻：

［1］王華明.數學課堂的點睛之筆：課堂小結［J］.數學教學與研究，2009，29：82-83.

［2］趙繼安.數學課堂小結的藝術［J］.中學教學參考，2010（8）：23.

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關鍵詞：高中生 數學概念 認知特點 認知策略

隨著新課程改革的不斷深入，“減負”聲浪日益增大，對高中數學課堂教學質量提出了更高要求。面對“高考”重壓之下的廣大高中生們，如何有效減輕學生的學習負擔，提高學生的學習質量與效率，成為當前教育工作者們亟待解決的問題。然而，在整個高中學習階段，數學學科由于具有內容多、題量大、難度高以及靈活性強等特點，使得多數學生存在數學學習耗時長、學習效率不高以及數學學習負擔較重等諸多問題，學生數學學習負擔較重。究其原因，主要是因為學生對數學概念不夠熟悉，無法良好掌握數學概念的本質。而作為數學邏輯推理的出發點和起點，數學概念是構建數學知識體系的最基本元素，對于數學知識的鞏固與數學能力的形成具有十分重要的意義。為了顯著提升高中數學課堂教學質量，幫助學生成功實現數學學習“減負”，數學教師應有效引導學生深刻理解數學概念，善于抓住概念本質，從而提高數學學習的實效性。因此在高中數學教學中，展開有關高中生數學概念認知特點的分析，對于提升高中數學概念教學質量，提高學生解題能力與思維能力具有重要的現實意義。

一、數學概念概敘

作為思維的基本形式，概念是判斷與推理一切事物的基礎。普通高中數學課程標準中明確指出：“高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質。數學課程運用邏輯推理的方式，通過對具體案例的分析，并加以講道理的方法讓學生主動去探討”。也就是說，教師在實際課堂教學中，應向學生展示一個數學概念的詳細形成過程，激發學生的學習熱情，促進學生知識構建能力的逐步養成。

從心理學角度來看，數學概念主要具有抽象性、多元性、層次性、系統性等特征，具體闡述如表一所示。

一般認為，概念形成過程是一種采用邏輯思維去理解或者借助抽象方式去發現事物本質特征的綜合過程。高中數學概念形成的一般過程如圖一所示。

二、高中生的數學概念認知特點

對于正處于青春期的高中生而言，他們思維靈活、思想活躍、逐漸由不成熟向成熟轉變，但同時也存在很大的不確定性。為了全面掌握學生的心理特點，提高高中數學概念教學的實效性，充分掌握高中生的數學概念認知特點是關鍵。

所謂認知能力，實際上就是指人們在實踐活動中觀察、分析、綜合以及歸納客觀事物的綜合能力。通常認為，認知能力主要由“感知”、“記憶”、“思維”以及“想象”等四部分組成，而高中生的數學概念認知特點也正是通過這四部分所體現，具體分析如表一所示。

三、高中生的數學概念認知策略

在簡要分析和充分了解高中生的數學概念認知特點后，廣大數學教師們應積極采取相應策略，來有效增強高中生的數學概念認知能力，從而顯著提高高中生對于數學概念的理解度、掌握度，不斷促進自身數學能力的不斷提升。

1.高中數學概念感知策略

基于高中生的感知特點，在高中數學概念教學過程中，數學教師們應首先明確數學概念的感知目的，讓學生能夠真切感知概念的形成過程。同時，充分展示數學教學內容的本質特征，讓學生將所觀察對象與相對應的教學內容本質特征有機聯系起來，促進學生邏輯知覺的良好發展。

以函數為例，作為高中學習的四大核心內容之一，函數歷來是學生們學習的難點，要想學好函數，必須先充分理解函數概念。為了感知目的，讓學生真切感知概念的形成過程，筆者在展開函數概念的教學前，先簡要介紹了函數的發展歷史，不同時期函數的定義有什么不同，如表一所示。對照表一，結合教師介紹，學生們能夠對函數一些重要概念的發展歷程有一個清晰的認識，體會數學概念的變化性、運動性與辯證性。

表一 函數概念的發展簡史

通過上表，學生們函數概念經歷了由幾何、代數、對應直至集合的發展歷程，在每個發展時期中都被數學家們賦予了新的思想。緊接著，筆者讓學生回憶在初中學習過的有關函數概念的定義，然后結合高中階段給出的函數概念進行相互比較，讓學生們自主分析各自的意義與價值。最后，讓學生們總結歸納出初中與高中函數概念之間的相互關系，得到表二。

表二 初中與高中函數概念的關系

通過這樣一種表格式的清洗對比，學生深切體會到“對應定義”與“變量定義”二者間的相互不可取代性，對于函數概念有了更為深刻的認識，為后續學習打下良好基礎。

又如，在引入“概率”這一概念時，筆者首先接受了“概率”的由來。法國賭徒梅勒和皮特賭博玩骰子游戲，最后因金幣分配而產生糾紛、爭論不休，引起著名數學家帕斯卡與費爾馬的關注，而引發了概率的研究。借助同概率概念存在緊密聯系的歷史實例，能夠幫助學生在對體驗具體問題的過程中感知概念，進一步深化對于概率本質的理解。

2.高中數學概念記憶策略

在整個高中階段，基于理解記憶是學生最為主要的記憶方法。倘若不求甚解、一味死記硬背，不僅耗時耗力，而且記憶效果不甚理想。而倘若學生能夠充分理解數學概念，則能顯著提升數學概念記憶的牢固性與長久性，使其真正為我所用。因此，在進行概念教學之前，數學教師應認真備課，精心設計出能充分反映事物本質、緊密聯系且相互依存的教學過程，進而幫助學生更快、更好地理解記憶數學概念。

例如，在學習三角函數時，基于三角函數涉及有諸多公式與變式，需要學生理解記憶。為此，筆者在講授三角函數概念時，先引導學生聯系已有概念，深入挖掘三角函數概念內涵。在開始任意角三角函數概念的學習之前，首先讓學生們回憶已學過的銳角三角函數概念，回憶銳角三角函數用直角三角形邊長的比刻畫到用點的坐標表示的概念生成過程。然后，在對三角函數概念內涵有一個初步了解后，筆者適時總結出由三角函數概念而衍生出的各個象限中三角函數的符號、圖像和性質，同角三角函數基本關系式以及三角函數誘導公式等一系列知識點，將原先看似復雜、繁瑣的三角函數公式有效串聯在一起。通過這樣的教學過程，能夠將三角函數概念與三角相關的各部分知識緊密聯系在一起，不僅使學生充分認識并深刻理解三角函數概念，同時還便于學生牢固、長久記憶相關公式與變式，靈活運用于解題中。

3.高中數學概念思維策略

對于高中生而言，其思維具有很強的抽象概括性，由最初的經驗型逐漸向理論型過渡，且獨立性思維與批判性思維也取得了明顯發展。然而，高中生思維存在一定的局限性，學生往往看問題只看表面，未能深入思考問題，考慮問題不夠周全。這樣一來，在學習數學時，學生常常毛毛躁躁、顧此失彼。基于學生的這樣一種思維特點，在進行高中數學概念教學時，教師應將數學概念與學生熟悉的生活場景聯系起來，讓數學概念更為貼近學生生活，不再那么抽象化，變成看得見、摸得著的具體事例，讓學生更容易接受。

例如，在學習直線與平面垂直的定義時，筆者引導學生觀察現象并回答以下問題：

（1）教室內地面與直立的墻角線之間的位置關系是怎樣？

（2）地面與直立的旗桿之間的位置關系、旗桿與其地面上影子之間的夾角是多少？

（3）打開書本，將其直立與桌面上，此時書脊與桌面任意直線之間的位置關系是怎樣？

通過列舉學生們觸手可及的生活實例，原本抽象、難懂的數學概念變得更為直觀、生活化，學生能夠輕易將地線面垂直的定義歸納、概括出來，將學生的數學學習過程由感性認識提升至理性認識的高度。因此，遵照“發現規律---用數學方法表現規律---形成線面垂直概念”的教學過程，讓學生深刻領會到數學與實際生活間的密不可分。

4.高中數學概念想象策略

基于高中生已經具備一定水平的想象能力，只需教師稍加引導，學生就能順利進入將學內容中。

例如，在引入三視圖概念前，筆者首先提出這樣兩個問題：

問題1：將一個圓柱形的木塊，投影至互相垂直的三面墻，其陰影分別是什么圖形呢？

問題2：一個不規則物體，分別從正面、上面和左面觀察，你能做出相應的平面圖嗎？

在引導學生解決上述兩個問題后，初步得出有關“正視圖”“側視圖”、“俯視圖”以及“三視圖”的概念。然后借助多媒體PPT，向學生們展示長方體的三視圖（如圖三），總結、歸納出三視圖的本質特征，歸納得出表三。

通過這樣的一個教學過程，學生借助自身具備的想象優勢，能夠更好的理解三視圖的概念及繪畫重點，順利完成本節課的教學目標。

結語

總而言之，在高中數學學習過程中，數學概念作為數學知識體系的基礎，對于高中生學好數學具有重要作用。廣大高中數學教師們應在認真遵循學生認知特點的基礎上，不斷完善和優化概念教學，讓抽象、復雜、難懂的數學概念變得直觀、形象、通俗以及生活化，幫助學生有效理解、充分掌握和靈活運用數學概念，從而顯著提高數學教學的質量和效率，實現真正意義上的“減負”。

參考文獻

[1]李翠玲.基于高中生心理的數學概念教學設計[D]，大連：遼寧師范大學，2012.

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[3]黎揮宇.數學概念的探究教學法[J]，讀寫算（教育教學研究），2012（22）.

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關鍵詞： 初中數學 精講巧練策略 教學效果

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）05（C）-0000-00

當前，不少數學教師仍迷戀知識灌輸和題海戰術。這種繁重而枯燥的教學常常使學生興趣索然，也使教師的教學陷于低效狀態。要改變這種狀態，筆者認為精講巧練是一種行之有效的策略，能極大地激發學生的數學興趣，推動學生在理解、領悟數學知識技能的基礎上開展高效練習，培養學生優良的解題能力，收到事半功倍的教學效果。

1 精心備課 奠定精講巧練的堅實基礎

精心備課是精講巧練的前提。為此，教師須在精心備課上下功夫：⑴要全面熟悉學生，了解學生現有的數學水平，才能切入學生的最近發展區，準確抓住重難點，增強備課的針對性；⑵要吃透新課標，深入鉆研教材，在充分考慮學生已有知識技能的基礎上，善于利用現代教學手段對教學內容精加工，優化教學方案，設計出具有淺顯易懂性和典型代表性的知識范例，精選出學生易接受的或易出錯的習題，才能為教學中的精講奠定堅實基礎，引導學生在較少的時間里能夠主動領會知識，在巧練中發展良好的認知能力，取得優良的學習效果。

2 精妙導入 激發學習興趣

“良好的開端是成功的一半”。教學中一個精妙的導入如同一把開啟學生興趣大門的鑰匙，能讓學生輕松融入課堂，營造濃郁的學習氛圍，提高數學教學效率。通常，教師可借助三種精妙導入來激發學生的學習興趣：⑴懸念導入。教師有意識地創造懸念，能讓學生感受到數學趣味橫生，吸引他們積極思考。比如教學一元二次方程根與系數關系時，我讓學生思考這樣的題目：“已知方程5x2+6x-8=0的一個根為X=-2，不解方程求另一個根X=？”，我先給出X=（- ）-（-2）=__，說：“請同學們算出結果，再進行驗算。”當學生算出結果X= ，且驗算答案正確時，他們非常驚奇，急于想知道“為什么？”此時我便說：“其實這是今天學的內容，一元二次方程根與系數之間存在著一種特殊關系，通過前面的運算，你能找出來嗎？”簡單幾句話，即刻讓學生懸念頓生，激發了他們強烈的求知興趣。⑵故事導入。比如教學“有理數的加法法則”時，我引入故事：“兩只小猴在森林里游玩時發現一棵結了很多桃子的大桃樹，便立即爬上去，其中一只猴子先爬3.5米，又爬了1.5米摘到桃子；另一只猴子一口氣爬了4米后，不小心滑下1.5米，真可惜！請同學們計算一下此時兩只猴子各爬了多少米？另一只猴子還應爬多少米才能摘到桃子？”當學生被故事深深吸引時，我引出了學習課題，把故事中需解決的問題與學生所學知識聯系起來，使學生在想知道答案的前提下饒有興趣地投入到了探究新知的情境中。⑶聯系生活實例導入。比如教學等腰三角形判定時，我帶學生實地估測學校門前一條東西流向河流的寬度，對學生說：“不過河，也能測出河面的寬。”在我的指導下，學生選擇河流北岸上一棵樹為B點，接著在這棵樹的正南方的岸邊A點插上小旗作標志，然后沿南偏東60°方向走一段距離到C處時，測得∠ACB=30°。這時我說：“測量AC的長度就可知河流寬度了。”學生們又好奇又興奮，主動思考這樣估測河流寬度的根據是什么？之后他們在合作討論中得到猜想結果是AB=AC。此時我及時引導學生利用等腰三角形的性質和三角形外角知識展開探究，得出前面的結論是正確的。緊接著，我在課堂上導入了“如何判定一個三角形是等腰三角形”的學習，有效激發了學生探求新知的興趣。

3 精講原理 構建新的認知結構

講授新知識是課堂精講的重點和關鍵。在教學新知識時，教師須緊緊圍繞數學概念、公式、定理、法則等知識點進行精講，力求做到淺顯易懂、清晰、透徹，便于學生借助已有知識掌握原理，構建新的認知結構。譬如，就數學概念教學而言，為形成學生對概念的認知，要求：⑴教師應圍繞概念的本質屬性即從概念的內涵和外延兩個方面進行精講，而且精講得越詳細、越具體，學生就越容易抓住概念的本質屬性，幫助他們形成新的認知結構。⑵教師應緊扣概念，在范例教學中精講怎樣深挖隱蔽條件，以完善學生對概念的認知。比如：已知關于x的一元二次方程（a-2）x2+x+a2-4=0，x=0是方程的根，則a的值為 ，解題時，學生容易忽略“一元二次方程”這個前提條件，把答案填成“±2”，而正確答案是“-2”。因此，我在解題過程中重點提示學生答案正確與否，還須驗證答案是否滿足“一元二次方程”的題意要求，從而使學生明確認識到解題時應密切注意題目的條件和結論，必須找出已知條件中的關鍵詞語，才能發現隱蔽條件，完善有關概念的整體認知。

4 精益求精 注重巧練

“眼過千遍，不如手過一遍”，練習是學生在掌握知識技能上達到精益求精境界的保證。因此，教師注重巧練，在巧練上精心策劃，精選好課堂習題和課外作業，能促進學生把知識技能順利轉化為具有快速性、準確性、簡潔性、靈活性的解題能力。一般，巧練要求有：（1）教師應根據學生當前的知識能力水平設置好練習題，進行邊講邊練、小組練、集中練。對于基本概念和運算，必須抓住重點，有目的地練穩、練熟。如在一元一次方程、一元二次方程、一次函數、二次函數等概念教學中，就應抓住有關的指數或系數，提供變式題型加以訓練，使學生在練習中吃透原理。（2）循序漸進，逐步深入。比如在教學三角形全等的證明題型，我先讓學生探討相關的性質定理，然后引導學生認識三角形全等的證明類型有三大類型（已知兩角、已知兩邊、已知一邊一角），它們又可分成七個小類型。然后發掘課本的例題、習題，引導學生概括有關證明線段相等、互相垂直的思路，逐步深入引出數形結合的函數題型。這樣，既能培養學生的求知興趣，又能訓練學生的發散思維能力。（3）讓學生動手操作解答。在學生分析練習題意、明確解題方法與步驟的基礎上，教師應啟發學生動手操作，比如新授課后的課堂鞏固練習，操作解答可讓幾名學生到黑板演練，其余的在臺下演練，接著由教師糾正板演；操作解答也可通過小測驗的形式加以巧練，測驗后由教師點評。這樣，教師才能及時發現問題，指導學生形成正確的認知和規范表達，有效提升學生的解題能力。

參考文獻：

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深入開展解題活動的前提保證.教學實踐證明，創設貼近教學內容的問題情境，能夠顯著推進培養學生創新思維的進程，提高教學質量.可見，創設豐富、生動、典型的問題情境，是培養學生良好的創新思維、能動意識和情感的有效手段和重要途徑.設計理想的問題情境，引發、推動學生深入開展創新思維活動，成為教師課堂有效教學的重要任務之一.筆者現圍繞學生創新思維能力的培養這一主題，對設計理想問題情境，開展創新思維教學進行簡要論述.

一、情景交融，設計生動性問題情境，激發學生的創新思維情感

眾所周知，創新思維活動不是簡單的思考、分析活動，而是對知識點的要義、內涵進行創新、加工、綜合的復雜過程.如果缺乏學習情感的支撐，學生的創新思維活動就不能進行深入細致的開展和推進.教育學認為，適宜的問題情境，能夠激起學生學習探知的興趣，增強其主動學習的欲望，同時，還能激活學生的思維，調動其主動性和積極性，從而培養學生主動創新的意識.新版初中數學教材內容更豐富、案例更生動、趣味性更顯著、編排更科學.這些情感資源，為教師設置生動性、趣味性問題情境提供了條件，同時也成為促發學生創新思維情感的有效抓手.如在“一元二次方程的應用”案例教學活動中，教師利用該節課的教學內容歷史悠久和現實應用的特點，選取我國古代的數學著作《孫子算經》中的一道題目，為學生創設“一百馬，一百瓦，大馬一拖三，小馬三拖一.問多少大馬，多少小馬”的趣味性問題情境，展示出數學知識的深厚歷史底蘊和豐富的趣味特性，使學生在生動的問題情境中，帶著積極的情感主動參與創新思維活動.

二、求特創新，設計開放性問題情境，鍛煉學生的創新思維能力

數學是一門知識點眾多，內在關聯緊密的基礎學科.這就為培養學生求特創新的思維能力提供了載體和平臺.在案例教學活動中，教師可以通過抓住知識點的內在聯系、問題案例的發散特性，設置出具有思維活動靈活性、解題方法多樣性的開放性問題案例，鍛煉和培養學生的創新思維能力.因此，教師應將開放性問題情境的設置，作為鍛煉學生創新思維的有效抓手，利用開放性問題形式表現的多樣性、解題思路的靈活性、內在條件的緊密性等特點，指導學生思考、探尋解題思路和方法，促進學生認知結構的形成，培養學生自主探索、勇于挑戰的學習精神，促進學生形成探索性的學習方式，從而培養學生的創新意識.如在“全等三角形的判定”案例講解中，教師設置了這樣一個問題案例情境：

“如右圖，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB，CDEF是正方形，此時連結AF和BD.如果現在將正方形CDEF繞點C按順時針方向旋轉，使正方形CDEF的一邊落在ABC的內部，請你畫出一個變換后的圖形，并對照已知圖形標記字母.AF與BD之間成什么關系，請說明理由.”引導學生開展探尋解題思路和歸納解題策略的活動.學生在探析問題條件及要求的思考、分析過程中，認識到：該問題的解答方法是“線段關系主要有數量關系和位置關系；該問題中AF與DB是相等且垂直的關系；證明時，可以利用等腰直角三角形的性質和正方形的性質構造全等條件，證明ACF與BCD全等，然后借助于全等三角形的性質內容進行解決等”.此時，教師引導學生對解題思路進行評析，讓學生通過教師的講解，感知該問題所具有的靈活性，從而鍛煉了創新思維能力.

三、注重實踐，設計應用性問題情境，提高學生的創新思維能力

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【關鍵詞】小學數學；建模；應用實踐

近年來數學教學領域在社會發展的大趨勢下得到了長足的進步，與之前相比也產生了巨大變化，其中較為顯著地變化是數學教學實際中建模思想的建立。在實際教學中，建模思想越發重要。這是由于建模思想可以提高學生的實際應用能力。因此，本文著重探究建模思想的應用及實踐。

一、利用模型，感知表象

在小學階段，數學建模教學最基本的要求是要幫助學生了解模型的建。在教學中，教師應當采取多種手段、多種方式，從多維度講解模型類型，從而引導學生自主感知數學建模思想。例如，在教學“認識圖形”時，教師應當引導學生將“長方形”“圓形”等圖案與實際生活有機地聯系在一起，將抽象事物具體化，從而講解新的知識點。教師也可以借助其他事物，加深學生對于圖形的直觀印象，以提高學生對于模型關系的認知水平。

我給學生布置過習題：“書桌和兩個板凳哪個更長”“人的小臂長約16分米”，這兩種說法對不對？如果不對，那什么是正確說法？

從這樣建立簡單的數學模型開始，加強學生對長度概念的理解，而教師則應該靈活運用模型，來適應學生對抽象知識的感知程度變化。

二、利用建模優化新知學習

（一）應用建模抓住知識內容聯系

對于學生的數學學習而言，建模主要是對客觀事物的體驗觀察，發現其內在聯系。而教師的教學首先要側重于為學生提供建模環境，引導學生的觀察力、洞察力，增加學生的概括能力。其次要注意知識點與模型之間的聯系，例如，圓形切分互動等，利用不同的形式來幫助學生理解知識點的共性并記憶，從而構建數學模型。

（二）運用建模抓住知識本質

教師在構建教學模型時，要注意學生對于概念的具體理解，強調建模的學習作用及聯系。建模是幫助學生掌握、理解數學理念的工具，不可能獨立存在，同時也是解決學習難題的有效輔助。

教師在把教學實際與實踐環節相聯系，充分利用建模工具，增強自身專業素養，提高教學能力。例如在垂直線教學中，如果教師單一地使用標尺、直尺工具教學，那么學生很難對實際事物進行類比理解。故此，教師應當在具體實踐中，讓學生進行實際觀察和動手操作來理解知識，這樣的情景下，學生也自然而然地完成了垂直線建模體系的建立，充分理解垂直的基本性質和定義，從而積累數學知識。

三、優化模型構建，輔助知識教學

在數學模型的構建過程中，教師應當善于利用模擬教學的方式來調動學生在課堂上的參與度，提高數學課堂的教學效率。作為教師，必須要不斷探求新的模型構建模式，并同時充分利用課本的例題，挖掘這部分資源的教學作用，發揮模型對數學的輔助教學和輔助學習作用。例如，教師在教授“數數”時，就可以利用課本的圖畫和文本練習題，讓學生仿照此模式進行相關練習，使得學生對此部分的基礎知識記憶得到更好的梳理和記憶，更好地提升數學學習效率。

進入21世紀以來，多媒體教學也步入小學課堂，對教師而言，應當充分利用這一教學資源，使用PPT演示文檔、Flas等多種表現形式，展示新的數學模型，并在課堂上帶動學生參與優化數學模型的構架和演變。在這樣的情景下可以幫助學生建立對于數學建模思想的直觀印象，并得以了解數學建模思想的實際運用，還有利于學生和教師在課堂上進行有效地互動，加深對數學建模思想的研究，從而提高學生的數學成績。

四、自主進行模型構建

小學生具有愿意動手、動手能力強的特性，數學教師應充分利用這一特性，將模型構建和動手實踐活動納入教學實踐活動之中，以探究的形式，以朋友的身份參與進學生的學習活動之中，以此來減弱師生之間的距離感，幫助學生解決關于建模學習的疑惑。教師可以將學生分為不同的小組，讓小組之間互動進行模型的構建，每個小組分擔不同的模型構建任務，使學生的積極性得到充分的調動，將具體的、理論性極強的知識簡化，并可培養學生實際操作數學模型的能力。

五、結語

經過多年的數學教學產業化的發展，數學建模思想得以轉化為實際的教學成果，在實際的實踐過程中，有效地利用數學的建模思想可以豐富實踐教學模式，有助于學生的知識掌握和學習。教師也應該考慮到新課改的實際標準要求和學生的實際學習情況，加強對數學建模思想的實際運用。并根據學生的實際需求，積極創新模型和應用途徑，通過細點滲透的方式，來培養學生的數學建模思想，并促進學生的實際運用能力。

【參考文獻】

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思維情境，積極有興趣的導入就顯得十分重要。從教二十多年，從自己的教學實踐和教學經驗來談一下自己的作法：

一、用燦爛輝煌的數學史，來創設情境激發興趣

我們傳統數學課堂教學就是教師將本節課的知識點耐心地講，學生認真地聽。這種課堂不利于學生思維的發展、能力的培養，更不利于學生視野的開闊與學習興趣的培養。這種教學模式，會扼殺一部分學生的學習積極性，導致學生厭煩數學課，認為數學課就是一些枯燥的概念以及繁瑣的計算、證明。新課程要求以學生為本，注重知識體系的形成，情感的體驗。所以我們在課堂中滲透數學史，來改善我們的課堂教學。例如“勾股定理”是初中數學中的一個重要內容，具有悠久的歷史和豐富的文化內涵。教師可先向學生介紹其有關背景知識，然后在證明定理時可向學生講解趙爽的數形結合證法、總統證法等等。

二、用師生親手實驗，來創設情境激發興趣

在教學中通過教師與學生共同實驗來驗證定理，學生積極性高，教學效果好。

例如，在學習球的體積公式，教材上是采用祖日恒原理推證的，如果采用實驗的方法，將會給學生留下深刻的印象，實驗可用如下方法進行：用半徑為R的半球裝滿砂子，又用高和半徑都為R的圓錐也裝滿砂子，并把這些砂子同時倒入高和半徑都為R的圓柱中。多次實驗表明，此時砂子剛好裝滿，于是，學生紛紛感到好奇，然后再進行下面的運算，便可導出球的體積公式：

V圓柱=V半球+V圓錐

V半球= V圓柱-V圓錐= R3 - R3= R3，

即 V球=2V半球= R3。

又例如在講三角形內角和為180度時，讓學生將三角形的三個內角剪下拼在一起。從而從實踐中總結出三角形內角和為180度，使學生享受到發現真理的快樂。

三、用精彩的故事，來創設情境激發興趣

在教學中若利用用精彩的故事創設情境，可以活躍課堂氣氛，而且能集中學生的注意力，達到意想不到的效果。如在方程組教學中講《雞兔同籠》的故事，這是我國古代著名趣題之一。大約在1500年前，《孫子算經》就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？ 你會解答這個問題嗎？你想知道《孫子算經》中是如何解答這個問題的嗎？ 解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨角雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”。這樣，（1）雞和兔的腳的總數就由94只變成了47只；（2）如果籠子里有一只兔子，則腳的總數就比頭的總數多1。因此，腳的總只數47與總頭數35的差，就是兔子的只數，即47-35=12（只）。顯然，雞的只數就是35-12=23（只）了。 這一思路新穎而奇特，其“砍足法”也令古今中外數學家贊嘆不已。

四、 用生活中具體形象的事物，來創設情境激發興趣

在教學中若利用具體形象的事物創設情境，可以把抽象的命題、定理形象化、直觀化，從而激發學生的學習興趣。例如在講等式的基本性質時，教師可拿一臺托盤天平來形象講解等式性質。又例如，在學習直線與平面垂直的性質定理時，可以以旗桿為例進行提問：“旗桿只要垂直地面，則不論太陽在何處，旗桿的影子總是與旗桿保持垂直，為什么？”

五、用數學知識其它學科知識的緊密聯系，來創設情境激發興趣

《數學課程標準》也明確提出：“數學不應是一門孤立的學科，應融入各學科組成的大知識之中，所以要關注數學與其他學科的綜合，要讓學生善于應用數學、會學數學和喜歡數學。” 數學與語文的關系可以幫助學生的識字能力和閱讀能力大大提高，這就為數學教學做了很好的鋪墊工作。在教學“觀察物體”一課時，我引用了蘇軾的詩《題西林壁》：“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中。”讓同學們來分析：為什么同樣一座山

從各個方向看為什 么會有不同的景致？

又例如，如圖所示電路，電流的電動勢為ε，內阻為r， R1為固定電阻，求可變電阻R2調至何值時，它所消耗 的電功率最大？其最大電功率是多少？ 這是一道物理題，也是一道不等式題。寫出這道題后，學生就會感到驚訝：數學課怎么變成了物理課，數學老師也懂得物理知識。在不知不覺中，就起到了教學的藝術效果。

六、用課堂游戲，來創設情境激發興趣