導數分類討論的思路范文
時間：2024-03-27 18:02:34
導語：如何才能寫好一篇導數分類討論的思路，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。
篇1
導數作為最為重要的數學工具之一，在數學物理等學科中有非常廣泛的應用。由于含有參數的導數問題在解題過程中往往需要對參數進行求值或討論分析，因此它也是高中學生答題的難點，本文主要針對這一問題加以分析討論，以供參考。
對含有參數的導數問題中的參數進行求值。比較常見與典型的有下面幾種情況：
在含有參數的導數問題中，最為常見的一類求值問題是已知函數的極值點（有時是最值），利用函數y=f(x)在x=x0處取得極大值或極小值時，此時f′(x)=0將x=x0代入即可求出參數的值。
例1：（2012年高考（江蘇））若函數y=f(x)在x=x0處取得極大值或極小值,則稱x0為函數y=f(x)的極值點.已知a，b是實數，1和-1是函數f(x)=x3+ax2+bx的兩個極值點.求a和b的值.
解:由f(x)=x3+ax2+bx，得f′(x)=3x2+2ax+b.
1和-1是函數f(x)=x3+ax2+b的兩個極值點，
f′(x)=3+2a+b=0，f′(-1)=3-2a+b=0，解得a=0，b=-3.
另一類常見的對參數求值的問題主要研究函數f(x)=g(x)+m（其中g(x)為已知函數），在這一問題中由于g(x)是已知的，所以函數f(x)=g(x)+m的基本圖形是固定的，參數m僅僅決定函數f(x)=g(x)+m的上下位置。在此類問題中，經常根據函數f(x)=g(x)+m的最值（有時是極值），利用它與函數g(x)圖形的一致性求出參數m的值，這種問題也常常轉化為判斷函數y=f(x)與函數y=m的交點個數。
例2：（05北京卷）已知函數f(x)=-x3+3x2+9x+a，若f(x)在區間[-2，2]上的最大值為20，求它在該區間上的最小值.
解：因為f(-2)=8+12-18+a=2+a，f(2)=-8+12+18+a=22+a，
所以f(2)>f(-2).因為在（-1，3）上f′(x)>0，所以f(x)在[-1， 2]上單調遞增，又由于f(x)在[-2，-1]上單調遞減，因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區間[-2，2]上的最大值和最小值，于是有 22+a=20，解得a=-2.
故f(x)=-x3+3x2+9x-2，因此f(-1)=1+3-9-2=-7，
即函數f(x)在區間[-2，2]上的最小值為-7.
求值問題中還有一類是主要利用導數的幾何意義。特別強調下面兩點①過函數y=f(x)上的點p(x0，f(x0))在這一點切線的斜率等于在這一點的導數②p(x0，f(x0))這一點不僅是在函數y=f(x)上而且也在它的切線上。使用這二點可以列出二個方程進而列出方程組求出參數的值。有時，這一類型的問題會變形為二個不同的函數y=f(x)與y=g(x)在它們的交點有公共的切線或切線與已知的直線平行（垂直）的形式，其實質也是利用導數的幾何意義。
例3：（05福建卷）已知函數f(x)=x3+bx2+ax+d的圖象過點P（0，2），且在點M（-1，f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0.求函數的解析式.
解：由f(x)的圖象經過P（0，2），知d=2，所以f(x)=x3+bx2+cx+2，
f′(x)=3x2+2bx+c.
由M(-1，f(-1))在處的切線方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，f′(-1)=6.
3-2b+c=6，
-1+b-c+2=1，即2b-c=3，
b-c=0，解得b=c=-3.
故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.
在含有參數的導數問題中，對參數進行分析討論確定取值范圍往往比對參數進行求值更為麻煩，需要注意的事項更多。學生在處理這一方面的問題時經?？紤]得不是很周到，甚至在碰到這些題目的時候無從下手，用錯方法。因此更需要教師在課堂上把這些問題分析透徹，并給出對應的解題思路與技巧，這迫使我們必須在這一問題上進行更深的了解和研究。
其中最為常見的方法是分類討論。而常見的分類論據通常有:一根據有無極值來分，二根據駐點的大小來分，三根據最高項的系數的正負等幾種方法來進行分類討論及解題，同時必須強調指出，分類一定要先分析函數定義域，并在定義域的范圍內進行。
例4：（天津卷）已知函數f(x)=(x∈R)，其中a∈R.
（I）當a=1時，求曲線y=f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；
（II）當a≠0時，求函數f(x)的單調區間與極值.
解：（I）當a=1時，f(x)=，f(2)=.
又f′(x)==，f′(2)=-
所以，曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為
y-=-(x-2)，即6x+25y-32=0.
（II）f′(x)==-
由于a≠0以下分兩種情況討論.即a>0與a
本題中主要是使用分類討論的方法來研究函數的單調性，但學生在分類時容易認為是利用二個不同的駐點x1=-，x2=a.進行分類，而實質上應該利用最高項的系數的正負進行分類處理，這正是這一類問題的難點所在。所以在分類過程中一定要把握好分類的依據，做到不重不漏。
含有參數的導數問題除了使用分類討論的方法，另一種常見的方法是利用函數y=f(x)在一特定的區間滿足一定的條件，通?？赏ㄟ^一定的變形為g(x)>c的形式，只要利用構造的方法構造出函數g(x)并利用函數g(x)在特定區間上的最值與C進行判斷，就很容易可以給出參數的取值范圍。但這一方法有時對如何構造函數g(x)的技巧要求較高，同時有些題目甚至需要多次使用構造的方法，學生掌握起來有一定的難度。
例5.（2012年高考（天津理））已知函數f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0，其中a>0.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若對任意的x∈[0，+∞)，有f(x)≤kx2成立，求實數k的最小值;
解：（1）f(x))的定義域為(-a，+∞)
f(x)=x-ln(x+a)⇒f′(x)=1-==0⇔x=1-a>-a
f′(x)>0⇔x>1-a，f′(x)
得：x=1-a時，f(x)min=f(1-a)⇔1-a=0⇔a=1
（2）設g(x)=kx2-f(x)=kx2-x+ln(x+1)(x≥0)
則g(x)≥0在x∈[0，+∞)上恒成立⇔g(x)min≥0=g(0)(*)
g(1)=k-1+ln2≥0⇒k>0
g′(x)=2kx-1+=
①當2k-1
②當k≥時，g′(x)≥0⇒g(x)min=g(0)=0符合（*）
得：實數k的最小值為
這一類的題型有時也可使用參變量分離的方法，當參數分離出來后，一般情況下，函數可變形為a>g(x)這一形式，其后可使用與剛才相似的方法進行解題。
當導數問題中含有參數以后，題目靈活多變，要想正確解題如同在迷霧中找到一條正確的出路一般。但如果我們能抓到問題的實質，分清主次，找到正確的應對方法，加上一些必要的訓練，含有參數的導數問題也可成為得分點。
參考文獻：
篇2
（）必做1 已知a＋b0，則（ ）
A． a2
C． a2
精妙解法 法1：因a＋b0，所以b
法2：因a＋b0，所以b
法3：因a＋b0，所以不妨取a=1，b=－2，此時a2=1，b2=4，－ab=2，顯然有a2
誤點警示 不等式兩邊只有同乘以一個正數，不等式方向才不改變；若同乘以一個負數，則要改變方向；同向不等式相乘不一定正確，只有同向的正數不等式才能相乘．特殊值法解題時，必須滿足前提條件，如a＋b0，即b
極速突擊 作差比較法是比較大小的最基本的方法，作差后一般要變形定號，有時也會先平方再作差，或采用作比比較法． 涉及不等關系的選擇題，一般來說，結合題設條件尋求特殊值法比較方便．
（）必做2 對任意x∈R，若f ′（x）>f（x）且a>0，則f（a）________ea?f（0）（填大小關系）
精妙解法 由f（a）與ea?f（0）聯想e0?f（a）與ea?f（0），進而聯想新函數ex－a與f（x）的有機組合，建構：y=，則y′=>0，所以y（a）>y（0），即f（a）>ea?f（0）．
極速突擊 此類問題關注三點：（1）單調性――作為解決問題的大方向；（2）導數應用――導數是研究函數的利器，利用一階導數研究單調性能事半功倍；（3）有機組合――在解決問題過程中，如何選擇函數和建構新函數是關鍵．
金刊提醒
靈活運用不等式的性質，可以解決比大小、證明、解不等式等許多問題．
不等式的解法
（）必做3 設函數f（x）=（x+1）2，x≤－1，2x+2，－1
A． （－∞，－2）∪－，+∞
B． －，
C． （－∞，－2）∪－，1
D． －2，－∪（1，+∞）
精妙解法 由f（x）及f（a）＞1可得：a≤－1，（a+1）2>1①；或－11②；或a≥1，－1>1③；解①得a
誤點警示 每種情況之間是并集，每種情況內部是交集為兩個易錯點．
極速突擊 對每一段解不等式，同時弄清集合間的交并關系．
（）必做4 已知函數y=f（x）是R上的偶函數，且在（－∞，0］上單調遞減，且f（1）=0，若af（a）>0，則實數a的取值范圍是______．
圖1
精妙解法 作出函數y=f（x）在R上的大致圖象，由af（a）>0，可得當a>0時，f（a）>0，所以a>1；當a
極速突擊 解題時，應該盡量畫出函數圖象，使得問題具體化，避免因為抽象思維帶來的解題失誤，以求事半倍功．
金刊提醒
一元二次不等式的解法，可結合二次函數的圖象求解，重點突破三個二次問題的聯系．
線性規劃
（）必做5 動點P（a，b）在不等式組x+y－2≤0，x－y≥0，y≥0表示的平面區域內部及其邊界上運動，則w=的取值范圍是________．
精妙解法 w==1+=1+k，k為定點（1，2）與可行域上動點連線的斜率，由數形結合得斜率k的取值范圍為（－∞，－2］∪［2，+∞），所以w=的取值范圍是（－∞，－1］∪［3，+∞）．
誤點警示 不能對w=進行合理的變形，不會用數形結合進行轉化．
極速突擊 線性規劃問題一般采用數形結合，同時要化未知為已知，化生為熟．
（）必做6 設實數a，b滿足3a－2b+1≥0，3a+2b－4≥0，a≤1，則9a2+4b2的最大值是___________．
精妙解法 令x=3a，y=2b，原不等式組可化為x－y+1≥0，x+y－4≥0，x≤3，目標函數可化為z=x2+y2=（）2，可將它看做原點與可行域上動點連線的距離的平方，作出換元后的可行域，再由數形結合可得的最大值是25．
極速突擊 換元化歸，等價轉化，數形結合．
金刊提醒
在線性規劃問題的求解中，要充分運用數形結合思想，在解題中能認真領悟圖解法的實質．
基本不等式與最值運用
（）必做7 若直線ax+2by－2=0（a>0，b>0）始終平分圓x2+y2－4x－2y－8=0的周長，則+的最小值為（ ）
A． 1 B． 3+2
C． 5 D． 4
精妙解法 由已知可得直線過圓心（2，1），從而a+b=1，且a>0，b>0，+=+（a+b）=3++≥3+2，當且僅當a=－1，b=2－時取等號． 故選B．
誤點警示 此題容易錯解如下：由已知可得直線過圓心（2，1），從而a+b=1，且a>0，b>0，+≥2=≥=4，故選D． 錯誤的原因是無法取到等號． 事實上+≥2成立，當且僅當b=2a時取到等號；≥成立，當且僅當b=a時取到等號，又a>0，b>0，這樣的a，b不存在．
極速突擊 用基本不等式求最值必須驗證等號能否取到，一般當等號無法取到時，用基本不等式求最值無效，此時應改用其他變形手段設法能使其取到等號，或者利用函數單調性求最值．
（）必做8 函數f（x）=+2的最小值為_______.
精妙解法 要使f（x）=+2有意義，需x2－2x≥0且x2－5x+4≥0，所以f（x）=+2的定義域是｛xx≤0或x≥4｝． 當x≤0時， f（x）=+2是單調遞減函數，在x=0處取最小值為4；當x≥4時， f（x）=+2是單調遞增函數，在x=4處取最小值為1+2，比較得最小值為1+2．
極速突擊 從定義域上突破，利用復合函數的單調性求最值．
金刊提醒
運用基本不等式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用、活用，還要注意“添拆項”技巧和公式等號成立的條件等；基本不等式應用中一定要注意三個細節，即“一正二定三相等”，記住兩個結論：“和定積最大”與“積定和最小”．
不等式恒成立與有解
（）必做9 設函數f（x）=x3+x，x∈R，若當0≤θ≤時，f（msinθ）+f（1－m）>0恒成立，則m的取值范圍是_________．
精妙解法 函數f（x）=x3+x，x∈R，易知f（x）為奇函數，所以f（msinθ）+f（1－m）>0可化為f（msinθ）>－f（1－m）=f（m－1），且f（x）在R上是增函數，所以msinθ>m－1，m（1－sinθ）
誤點警示 f（msinθ）+f（1－m）>0可化為（msinθ）3+msinθ+（1－m）3+（1－m）>0，接下來不會因式分解化簡． 因此，我們應充分考慮函數的性質．
極速突擊 不等式恒成立問題，通常轉化為求函數的最值，求最值有時要按參數分類討論． 若采用分離變量法，再求最值，往往可避免分類討論． 一般地f（x）>a對一切x∈D都成立?圳f（x）min>a； f（x）
（）必做10 已知函數f（x）=lnx－x+－1，g（x）=x2－2bx+4.當a=時，若對任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2），則實數b的取值范圍是______．
精妙解法 因為f ′（x）=－－==－= －，又因為x∈（0，2），所以當x∈（0，1）時， f ′（x）0，函數f（x）單調遞增，所以f（x）在（0，2）上的最小值為f（1）=－． 由于“對任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2）”等價于“g（x）在［1，2］上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值－”，即存在x∈［1，2］，使g（x）=x2－2bx+4≤－，即2bx≥x2+，即2b≥x+∈，，所以2b≥，解得b≥，即實數b的取值范圍是，+∞．
誤點警示 對條件“若對任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2）”不能正確轉化是解題的誤區，如把問題轉化為“f（x1）min≥g（x2）max”．
極速突擊 解決“全稱命題”“特稱命題”相關的試題時一般可以分成下面四步走：（1）實行變量分離，轉化成求最值問題；（2）判斷求最大值還是最小值：（3）求解f（x）的最值；（4）得出結論．
篇3
關鍵詞 階梯函數 連續型隨機變量 邊緣分布
中圖分類號：O211.6 文獻標識碼：A DOI：10.16400/ki.kjdks.2016.04.026
Abstract This paper discussed some properties of the distribution function of continuous random variables and discrete random variables， and to explore the probability of the two-dimensional continuous random variable in arbitrary curve is zero and the and one dimensional continuous random variable relationship. These problems are a few concepts between contact the basic problem description， but also in teaching easy to overlook problems. For this reason， to collate， to have a more clear understanding of random variables.
Key words step function； continuous random variable； marginal distribution
概率論是研究隨機現象的科學，通俗地講，就是研究某種現象或某個事件發生的可能性大小，比如投擲硬幣，出現正、反面的可能性有多大；在路上，偶遇一個孕婦，那么此孕婦生男孩和生女孩的可能性又各有多大？這個可能性就是概率論學科要研究的最主要目標――概率，那么要如何研究事件的概率問題，這就需要把隨機現象引入到一個合理有效、邏輯嚴謹的理論體系中，在這個過程中，隨機變量就像一座橋梁或基石，在理論研究中起著無可替代的作用。隨機變量從本質上看就是一個函數，或者更加清楚準確地描述為：從由隨機試驗的結果構成的樣本空間到實數上的一對一或多對一的映射。正是由于隨機變量的存在，隨機現象的研究中才將高等數學引入到了整個理論體系中，使得概率論學科獲得了巨大的進步。隨機變量在我們的教學過程中，一般只討論兩種典型情形：離散型隨機變量和連續型隨機變量。在概率論的講解過程中，可以發現離散型隨機變量的定義淺顯而直觀，易于理解和接受， 而連續型隨機變量的定義則有些抽象了。對連續型隨機變量的深層次理解，嚴重依賴于對高等數學相關內容的理解，尤其是對積分和各種函數知識的掌握。另外，無論是離散型隨機變量還是連續型隨機變量，我們的主要目標都要研究其概率的取值情況，也就是隨機變量的概率分布情況，因此在本文中我們主要討論的內容就是隨機變量的分布函數的一些特點。通過對概率分布函數的詳細分析，進一步加強對隨機變量，尤其是連續型隨機變量的認識，本文將幾個關于概率分布的基本問題進行整理和歸納，其中第一個問題分別討論了離散型隨機變量和連續型變量的分布函數的基本特點；第二個問題討論了一維、二維連續型隨機變量在什么情況下，概率的取值為零；第三個問題討論了二維連續型隨機變量與邊緣分布之間的關系。在下文中，我們將以上三個問題逐一加以討論。
第一個問題：離散型隨機變量的分布函數是階梯函數，連續型隨機變量的分布函數是連續函數。這個結論正確嗎？其逆命題成立嗎？
這里，我們首先要明確階梯函數的定義。定義在區間[]上的函數，如果存在有限個分點 = …，在每個開區間（）， 上取常數，則稱之為階梯函數。將此定義推廣到無限區間上時，只要求滿足在任意有限區間上如上定義（參見王梓坤（1996））即可。總之，無論有限情形還是無限情形，從圖像上看，階梯函數都會出現階梯形狀。 故而，當離散型隨機變量取有限個值時，容易知道其分布函數一定是階梯函數；然而當其取值為可列多個值時，則不一定是階梯函數了。
例： 定義一個取值于（0，1）中的有理數 （互質）的離散型隨機變量如下：
= ，
其中 = ， 為（0，1）上的有理數集。
顯然，此隨機變量確定的分布函數在區間（0，1）上的有理數點處都發生跳躍，其圖象無法形成階梯形狀，也就不是階梯函數。另外，更多的例子可以在朱作賓（1984）中找到。
這個問題的反向結論則顯然是成立的，即如果一個分布函數是一個單調上升且右連續的階梯函數時，則與其對應的隨機變量一定是離散型的，并且隨機變量的取值點就是跳躍間斷點。
那么連續型隨機變量的情形又是怎樣呢？ 連續型隨機變量的分布函數是一個變上限積分函數，一定是連續的，但其反向，則不然。如果一個分布函數連續且在每一點都可導，那么其導數就是對應的密度函數，也就是這個分布函數一定是連續型隨機變量的分布函數。然而，將此結論中的可導條件稍微弱化一點，改成幾乎處處可導，則結論不成立。一個例子可以參見桂春燕（2015）。這個例子是基于康托爾集構造的，其過程比較繁瑣，本文只介紹一下該例子的構造思想。其具體思路為：在非康托爾集上按特定規則定義為常數（該常數與點所在的區間有密切聯系），而在康托爾集上定義為由非康托爾集上的常數序定的上確界（極限值）以保證連續， 通過這種方法構造的函數在非康托爾集上可導且導數為零，在康托爾集上不可導，而康托爾集為零測集，也就是說，我們得到了一個幾乎處處可導且導數幾乎處處為零的分布函數，故這個分布函數不是連續型隨機變量的分布函數。
第二個問題：一維連續型隨機變量在任意一點的概率為零，這是一個顯然的事實。那么這個結論推廣到多維情形又如何呢？是否可以推廣為二維連續型隨機變量在任意曲線上的概率為零？
這個問題的本質是考慮一個二元可積函數在曲線上的二重積分問題，而在二維空間內曲線的測度一般為零，比如常見的冪函數、指數函數等初等函數確定的曲線，此時上述推廣的結論是成立的。然而，數學常常會有讓人驚訝的奇妙之處。事實上，曲線的測度不一定是零， 一個有趣的例子就是皮亞諾曲線（可參見那湯松（1965））。關于此曲線的一種經典的構造方法是通過把一個正方形分割成4個小正方形，然后將小正方形的中心點相連，此過程不斷重復遞歸，取極限后，可構造出一條曲線，該曲線可以覆蓋整個正方形。這種語言描述顯得有點不夠嚴謹，趙明方（1965）給出了一類皮亞諾曲線的解析表達式，其具體定義如下：
在閉區間[0，2]上，令
且 = ，是整數，是[0， 36]上任意的一個實數。 再令
= ， =
從而可由， 構造出一條曲線：，趙明方（1965）證明了此曲線就是正方形[0，1][0，1]上的皮亞諾曲線，可以表示正方形中的任何一個點。因此，如果在某個正方形上定義一個服從二維均勻分布的隨機變量，則其在對應的皮亞諾曲線上的概率為1。不過，這種曲線是極其特殊的，值得更進一步的研究和討論。為避開這種特殊情形，我們可以限制曲線為可由一元參數方程確定的光滑曲線，此時光滑曲線的面積（測度）一定為零，那么我們的結論在光滑曲線上就一定是成立的，也就是說二維連續型隨機變量在光滑曲線上的概率一定為零。
第三個問題：二維連續型隨機變量的邊緣分布是否一定對應連續型隨機變量？反之， 如果邊緣分布都對應連續型隨機變量，其二維隨機變量是否一定是連續型的？
這一個問題的前半部分的答案是肯定的。事實上，假設二維隨機變量的密度函數為，則的邊緣分布為
= ，
故存在一個非負函數 = 滿足連續型隨機變量的定義。然而，其反向結論則不成立，可見下面的例子。
例：假設隨機變量服從參數為1的指數分布，，則二維隨機變量的分布函數為：
此時， = 0， 從而不存在一個滿足二維連續型隨機變量的定義的非負二元函數，即不是二維連續型隨機變量。
以上幾個問題，是概率論教學過程中需要留意的幾個小問題，這些問題因為都是在非常規情形下出現，往往容易忽視，故而在學習研究概率論的過程中，要始終保持謹慎認真的態度，既要對知識有直觀的認識，又要嚴格對待理論體系的嚴密邏輯。
參考文獻
[1] 王梓坤.隨機過程通論.北京師范大學出版社，1996：73.
[2] 朱作賓.關于離散型分布函數的一個問題.安徽師大學報（自然科學版），1984：19-21.
[3] 桂春燕.連續的分布函數與連續型隨機變量的關系. 安慶師范學院學報（自然科學版），2015.21（1）：101-102.
篇4
Abstract： Since the problems do not depend on the specific areas, Genetic Algorithm as a method of strong robustness is widely used in many subjects and it is more and more discussed and tried in the decomposition of overlapping peaks. This thesis introduced processes of design, process and data analysis of Genetic Algorithm program and made several attempts in improvements of Genetic Algorithm from analyzing Lorentz overlapping peaks of computer simulation.
關鍵詞： 遺傳算法; Lorentz重疊峰
Key words： Genetic Algorithm; Lorentz overlapping peaks
中圖分類號：O17文獻標識碼：A文章編號：1006-4311（2011）04-0208-01
1重疊峰分解曲線擬合的數學原理
1.1 光譜譜線峰形對于大多數原子或離子發射譜線，其波形是由于不均勻展寬所致，服從Gauss函數分布規律，而均勻展寬的譜線輪廓卻總具有Lorentz曲線的形式。
Lorentz型的數學描述是II，λ，σ，λ=I1-In2
I、λ、σ分別表示譜線的峰值強度、中心波長與半高半寬度。
1.2 基于最小二乘的尋優方法在重疊峰分解中的應用曲線分離的擬合計算，也即光譜曲線的退卷積計算，判斷這類擬合計算效果的優劣，最常用的一種評價準則是最小二乘法。即譜線擬合問題歸結為求使目標函數F最小時，即minfλ-I成立時的譜線參數。
2遺傳算法在Lorentz型重疊峰分解中的嘗試
2.1 遺傳算法概述及改進
2.1.1 概述遺傳算法是一種模擬自然界生物進化過程隨機搜索算法，它使用群體搜索技術，通過對當前群體施加選擇、交叉、變異等一系列遺傳操作，從而產生出新一代的群體，并逐步使群體進化到包含或接近最優解的狀態[1]。它的搜索過程與自然界生物進化過程相似，在搜索過程中不易陷入局部最優[2]。遺傳算法主要有以下幾個步驟：①初始化群體；②計算群體的適應度；③算子操作：a.選擇算子，b.交叉算子，c.變異算子，產生子代群體④反復執行②③，直到群體符合終止條件，選擇最佳個體為最優解。
2.1.2 遺傳算法的改進及最速下降法的引入遺傳算法雖然具備魯棒性好、適應性廣泛、同時搜索空間多點的并行性、找到全局最優解概率大等優點[3]，但也存在許多不足之處[4]。本文采取了遺傳算法與最速下降法相結合的混合遺傳算法。
2.2 混合遺傳算法在Lorentz型重疊峰分解中的MATLAB實現
本文首先以Lorentz峰型為例，使用計算機模擬幾個Lorentz型峰的重疊，然后再使用遺傳算法進行分解，最后比較分解到結果與初始設定的參數的差異，從而判斷遺傳算法在重疊峰分解中的優劣。
2.2.1 標準遺傳算法的主要流程
①染色體編碼，產生初始群體。采用的是浮點數編碼方式，根據變量的個數產生變異概率、最大遺傳代數、個體數目以及并行遺傳算法中用到的子種群數目，設置了遷移率和遷移個體。②目標函數。Fit（I，λ，σ）=1-In2••I-y其中I，λ，σ即為單個Lorentz峰的參數，而n為實驗數據的個數，m為初始群體的個體數目，xi與yi分別為第i個實驗數據對應的波長與強度，在分配適應度時采用倒序，即FitV=ranking（-ObjV）；③選擇算子。使用隨機遍歷抽樣方式進行選擇。按照個體在當前種群中的適應度FitV為繁殖概率性選擇個體。④交叉算子。使用離散重組方式進行交叉。此方式完成當前種群OldChrom中一對個體的離散重組，在后返回新的種群NewChrom。⑤變異算子。使用實值種群變異的方式。對實值種群OldChrom，使用給定的概率，變異每一個變量，返異后的種群。
2.2.2 最速下降算子嵌入MATLAB主程序①最速下降算子的具體運行思路。首先按照前期給出的概率對每個個體進行判斷是否需要進行最速下降搜索，如果需要，則計算該個體對應的適應度函數的梯度以及最速下降方向，繼而確定搜索步長所需要的區間界限，然后根據Wolfe準則搜索出每個個體對應的步長，從而找到了此個體最速下降的下一代，即確定了新的參數值；而對于不需要進行最速下降搜索的，則將原個體直接復制到新的種群中。②在主程序中加入一個最速下降算子的基本思路。在進入遺傳迭代之后，每進行10代迭代，都要在選擇、交叉、變異等遺傳算法標準算子之后，進行一次最速下降操作，用搜索之后的新種群取代原先種群，也可以視為一種定向的變異。
3運行結果及分析
根據前述方式進行分峰擬合，分別對帶肩雙Lorentz峰、帶肩三Lorentz峰及融合雙Lorentz峰等情況進行遺傳算法搜索。
3.1 相對誤差情況帶肩雙Lorentz峰的峰強相對誤差控制在1.02%以內，峰位相對誤差控制在0.0172%以內，半高半峰寬相對誤差控制在0.268%以內。
帶肩三高斯峰的峰強相對誤差控制在0.54%以內，峰位相對誤差控制在0.00383%以內，半高半峰寬相對誤差控制在0.230%以內。
3.2 收斂情況標準遺傳算法的最佳解收斂很快，但是其值并不很好，且平均適應度不穩定；而采用混合遺傳算法后，收斂也很快，而且收斂的結果比標準遺傳算法的結果要好，最佳解和平均適應度都很穩定。
3.3 融合雙Lorentz峰情況對于嚴重重疊的融合峰，直接使用混合遺傳算法并不能獲得良好解。這就需要在運算之前通過導數法及互相關函數進行預判，并縮小解集合的范圍，之后再進行混合遺傳算法運算，結果良好。
參考文獻：
[1]周明，孫樹棟.遺傳算法原理及其應用.國防工業出版社，1999：4~11.
[2]周向東，李通化，邊防，錢君津.高等化學學報，2000，21：216~218.
篇5
關鍵詞效用理論；多項Logit模型；最大收益；配送時間
中圖分類號 F224.7 文獻標識碼A
doi:10.3969/j.issn.1003-6970.2011.01.007
On the Real Diagnosis Analysis of Best Allocation Time for Internet Order Based on Many Items of Logit Model
ZHU Jia-rong
Guangxi National Teacher’s College,Department of Mathematics & Computer Science,P. R.China Guangxi Province, ChongZuo 532200
【Abstract 】 With the unceasing popularization and the rapid development of the Internet, shopping on the internet has become people’s one of daily expense fundamental modes, as a result, the number of sellers provide the internet shopping service is increasing day by day. However, the commodity price and the quality service are very different from one seller to another, because of this; the commodity price, the length of the order allocation time etc. are the key factors that decide whether a deal between the sellers and customers. Based on the standpoint of the sellers ,the customer s’ satisfaction for the price and service of the commodity and taking the sellers’ expectation for maximum profit as the goal ,this thesis establishes a mathematical model - - many items of Logit model to determine the best the allocation time for the customer s’ orders.
【Key words】theory of efficiency; many items of Logit model; maximum profit; the allocation time
0引言
近年來隨著網絡的普及和快速發展，網上訂貨、購物等電子商務已逐漸進入人們的日常生活，提供網上購物服務的商家網站也日益增多，如淘寶網、當當網、拍拍網、卓越網、易趣網等都是比較有名氣的網上購物網站.顧客可以在網上訂購他們需要的商品，一旦顧客選定訂貨的商家，商家一般都會按顧客指定的送貨地址直接配送商品，這種方便、快捷的上門直接配送模式，越來越受到顧客的青睞.北京正望咨詢有限公司最新的調查結果顯示，2009年我國網上購物持續高速發展，有1.3億消費者共計在網上購買了2670億元的商品，比2008年實現了90.7%的增長。預計2010年我國網絡購物市場規模將達到4900億元，到2012年我國網絡購物市場規模將超過10000億元。網絡購物正成為越來越多消費者的選擇，網絡渠道的價值也被越來越多的商家所認知.但由于提供顧客選擇的商家眾多，不同商家所提供的商品種類、價格、服務質量不盡相同，因此，對商家而言，除了需要考慮品種、價格因素外，如何為顧客提供更方便、更快捷的服務，縮短訂單配送時間也是吸引顧客的重要因素.
從數學的角度來分析，從顧客下訂單到配送入戶的實際時間是隨機的，所以若買賣雙方合約中規定的顧客訂單指定的配
送時間越短，雖然吸引顧客購買該商家商品的可能性會增加，但是商家違約的可能性也會越大.因此，商家一方面希望從顧客下訂單到配送入戶的時間周期能盡可能短，以便吸引更多的客源；另一方面，一旦商家所承諾的配送周期定得太短，商家又會有不能按時將商品配送到顧客手中的風險，從而在市場上產生不良影響，并導致失去顧客和需支付一定違約金.
現在市場上有三個商家提供顧客所需要購買的某種商品，而在影響顧客選擇購買商家的可衡量指標中，其中一個就是商家的顧客訂單指定的配送時間.考慮某一指定的商家，除了顧客對該商家的訂單指定的配送時間以外，它從每個購買其商品的顧客中所獲得的平均毛利，從顧客下訂單到配送入戶的實際時間所服從的概率分布，配送發生延誤時單位時間商家需支付顧客的延誤罰金，以及顧客購買各個商家的商品時各可衡量指標及其效用參數都是已知的，在這情況下，為該商家確定最佳的顧客訂單指定的配送時間.
1解決思路
針對上面所提出的問題我們可以分兩步解決.第一步，從顧客對各商家的可衡量指標的滿意程度以及個人偏好出發，來選擇要購買商品的商家，實際上是確定顧客購買某商家商品的概率.這是一個決策問題，由經濟學的知識知道，顧客在不確定場合下作出決策往往基于某些偏好，一般要通過效用理論來進行分析.這里所謂的效用，不僅在于具有滿足消費者某種欲望或者需求的客觀物質屬性，而且效用的有無與大小，還取決于消費者的主觀感受和消費者從購買該商品所受到的滿足.因此作為一個理性消費者，一般都會從使其獲得最大效用的商家處購買所需的商品【1】.基于這樣的經濟學原理，我們可以選用多項Logit模型作為顧客選擇商家的數學模型，并由這個模型計算顧客購買某商家的概率.
第二步，以商家收益的最大為目標建立優化模型，建模的關鍵在于分析顧客訂單指定的配送時間、顧客購買某商家商品的概率，與商家從每個購買其商品的顧客中獲得的收益之間的關系，提出合理、簡化的假設，確定目標函數.對于從顧客下訂單到配送入戶的實際時間這個隨機變量，可以在實際調查和先驗知識的基礎上，假定這個隨機變量的概率分布，從而以商家的期望收益最大為目標，來確定最佳的顧客訂單指定的配送時間.
2 模型的建立與求解
2.1顧客選擇商家的數學模型
在多元線性回歸分析中，一般都是要求響應變量的樣本觀測值必須是連續的，且與隨機誤差同分布.但在許多實際問題特別是決策問題中，由于受到條件的限制或決策的需要，響應變量的樣本觀測值或決策結果往往是離散的.這時用多元線性回歸分析就難以直接建立合適的數學模型，需要其它模型取而代之，其中多項Logit模型（譯作“評定模型”，“分類評定模型”，也譯作“邏輯回歸模型”）就是離散選擇理論中常見的一種應用模型，屬于多重變量分析范疇，是社會學、生物統計學、市場營銷等統計實證分析的常用方法，它可以為一個理性消費者在提供眾多備選方案中選擇一個最佳方案.【2】 多項Logit模型的理論框架來源于經濟學中的隨機效用理論，即以效用函數為出發點，認為消費者在理性的經濟選擇行為下，會選擇帶給他效用最大化的方案 （在我們的模型中就是商家 ）作為選擇方案.在這里，顧客的效用既可以來自顧客對商家所提供的商品的價格的滿意度，也可以來自顧客對商家所提供購物服務的滿意度和個人的特定偏好等.出于對上面提出的問題的需要，我們應該把商家的顧客訂單指定的配送時間作為刻畫顧客選擇商家的指標之一.
由于顧客在選擇商家時，需要同時考慮許多復雜的因素，其中的不確定性甚高.因此，顧客選擇商家時，商家的商品對顧客所產生的效用 一般可以用如下的數學式子表示：
, (1)
其中 為總效用 的系統項，它是可衡量效用，反映的是商家與顧客的所有可觀測的屬性；而 為總效用 的誤差項，是隨機效用，代表了顧客的特殊的偏好和無法被觀察的效用.為方便起見，我們假設 服從位置參數為0、刻度參數為 的Gumbel極值分布，且 對j是相互獨立的[3]，于是 的概率密度函數和分布函數分別為
(2)
由于顧客總是選擇帶給他效用最大的商家作為其選擇方案，故顧客選擇商家j的概率為
(3)
由于 （ 相互獨立且其分布由（2）式給出，因此
（4）
這里 和 分別是標準Gumbel分布的概率密度函數和分布函數，即
(5)
可以驗證，
若假設 即 獨立同分布，且服從標準Gumbel分布，則由（4）得出
(6)
這里的（6）式就是在經濟學中經常所說的離散選擇下的多項Logit模型.為了將上述模型更好地應用到我們的問題，可以假設可衡量效用 對可衡量指標是線性的，即
（7）
這里 表示顧客對商家 的商品的固定偏好，向量 表示所有 個會對顧客的購買產生效用且與商家 的商品相關的可衡量指標，可理解為可衡量效用 的解析變量，向量 為度量指標所產生效應的參數向量.由于市場中商家的顧客訂單指定的配送時間（記為 ）是顧客購買商品的一個重要的效應因子，也是模型中的決策變量，為方便起見，我們記可衡量效用因子向量 中的第一個分量 為由 所產生的購買效用，它是一個負效用，故可以設 ，其相應的參數 記為 ，此時 可理解為顧客對商家的訂單指定的配送時間所產生效應的響應系數（不妨設 對市場中所有商家都是一樣）.于是（7）就可以寫為
(8)
若商家 是顧客最終選擇的商家，其訂單指定的配送時間 是問題的決策變量，為了敘述的方便，我們把 直接記為 .由式（6），（8），可以得到顧客選擇商家的商品的概率為
(9)
若記
（10）
則（9）式就可簡寫為
（11）
由于，
所以顧客購買商家商品的概率是關于其訂單指定的配送時間單調遞減的.
2.2優化模型目標函數的確定
根據問題的需要，除了上面已經使用的記號和變量外，還需引入以下符號和假定：
～商家 從顧客下訂單到配送入戶的實際時間，假設為連續型隨機變量，其概率密度函數和分布函數分別為 和 ，且數學期望為 .
～商家 配送的延誤時間，即 .
～配送延誤時商家 需支付顧客的單位時間罰金.
～商家 從每個購買其商品的顧客中所獲得的平均毛利.
記 為商家 為每個購買其商品的顧客中所獲得的純收益，則
.
由 概率密度函數 可得 的數學期望為
（12）
上面我們已經得到了顧客選擇購買商家 的商品的概率為 ，于是商家從每個顧客獲得的期望收益應為
（13）
上式即為問題的目標函數.
2.3模型的求解
為了敘述簡單起見，我們將（10）的 代入（13），并略去式中 ， 和 的下標 ，得到模型目標函數為(14)
求顧客訂單指定的最佳配送時間 ，使 最大.對（14）的 求導，得到
(15)
其中 .令 ，得到(16)
將上式的左邊記為函數 ，則 關于 的導數
(17)
即 關于 為單調遞減，
且（18）
根據微積分的知識，可以得到以下兩個結論：
（1）若 ，則存在由（16）唯一確定的 使得 .將（16）代入（14）得到商家從每個顧客處獲得的最大期望收益為
（19）
（2）若，則，于是時，由（14）直接得到商家從每個顧客處獲得的最大期望收益為
（20）
3 實證分析
為了更好地說明所建立的模型在實際中的可應用性，我們將通過具體的數值例子對給出的模型及計算結果作簡要分析討論。
首先，根據經驗假設商家從顧客下訂單到配送入戶的實際時間 服從位置參數為 ，刻度參數為 的指數分布，即 的概率密度函數為
（21）
其中參數 ， 均大于0.顯然，從顧客下訂單到配送入戶的實際時間的數學期望為
設 ，將（21）代入（14）計算，得到商家從每個顧客處獲得的期望收益 為
（22）
由于
可知 關于 是嚴格單調遞減的，但當 時， 關于 是單調遞增的，而后者在實際情況中是可以實現的【4】.
按照3.1建立的模型，進一步假設目前市場上由3個商家（ ）提供顧客所需要購買的商品，顧客最終選擇的商家為 ，影響顧客選擇購買商家的可衡量指標數也是3個 ，其中 的指標就設為商家的顧客訂單指定的配送時間.除了顧客對商家 的訂單指定的配送時間所產生的效用未知外，顧客對購買各商家商品的其他效用由以下的數據來給出：
（1）顧客對商家 的產品的固定偏好為 ；
（2）顧客在購買商家 商品時，3個影響顧客選擇購買商家 （ ）的可衡量指標所產生效用分別是 和 ，其對應的參數向量為 ；
（3）商家 的下訂單到配送入戶的實際時間 分布的位置參數 ；
（4）商家 對顧客購買其商品訂單指定的配送時間延誤時需支付顧客的單位時間罰金 ；
（5）商家 從每個購買其商品的顧客中所獲得的平均毛利為 .
將以上數值代入（10），得到 ，
故根據式（11），顧客選擇商家 購買商品的概率為
（23）
而由（22），商家從每個顧客處獲得的期望收益（即目標函數）為
（24）
由于該商家從顧客下訂單到配送入戶的實際時間的期望為 ，因此，由上面從微積分知識推出的結論得，當 時，存在唯一的 滿足
（25）
使得 .這時該商家從每個顧客處獲得的最大期望收益為（26）
這樣，我們在用模型（14）求解決策變量――顧客訂單指定的配送時間以及相應的目標函數――商家從每個顧客處獲得的期望收益時，還有2個未知量:顧客對商家的訂單指定的配送時間所產生效應的響應系數 和商家從顧客下單到配送入戶的實際時間所服從的指數分布的刻度參數 .因此我們就把 看做兩個可變參數，在他們允許變化的范圍內取值后代入式（25）就可以求出商家從每個顧客處獲得最大期望收益時對應的配送時間 ，再將所求出的配送時間 及2個可變參數 的值代入（26）即可求出商家從每個顧客處獲得的最大收益 .例如我們取（ 的值分別對應如下5組值：（1.00，0.30），（1.00，0.60），（1.00，1.00）；（2.00，1.00），（3.00，1.00），按上面的具體求法通過計算機運行數學工具軟件就可以求出他們對應（ , ）的值分別是（5.90，0.71），（2.83，16.28），（2.01，27.11），（1.79，31.65），（1.71，37.11）.從所得的結果不難看出 的取值變化對 , 的值影響是比較顯著的，特別地參數 越大， 就越小，而 越大.
4結論及建議
本文基于多項Logit模型下給出這個模型為商家確定最佳的顧客訂單指定的配送時間提供了一個有效的方法.眾所周知，顧客訂單指定的配送時間越短，顧客購買該商家的商品的可能性就越大，但此時商家違約的可能性也越大.模型在假設顧客的購買概率由多項Logit模型給出的前提下，通過極大化商家的期望利潤，可以得到最佳配送時間存在的條件，并求得這一最佳值.
由于在我們的模型中，假設了顧客商品的概率是由多項Logit模型給出的，而以多項Logit模型進行實際分析時，可能會產生無法觀測的效用函數誤差、效用函數型態及解釋變量的指定問題.因此，作為改進的想法，可以考慮更進一步的模型，如巢式Logit模型，這樣更能符合顧客選擇行為的真正意向.但在使用巢式Logit模型時，需要處理好巢層數的給定等問題【5】.如果假設商家在顧客訂單指定的配送時間之前已經將顧客訂購的商品配送入戶，還能獲得額外的利潤的話，那么，這種情形下的最佳配送時間應該如何確定呢？ 這也是一個值得考慮的問題.
參考文獻
[1]龍 迪．效用理論回顧[J]．科技信息（科學教研），2007（36）．
[2]王濟川，郭志剛．Logistic 回歸模型――方法與應用[M]．北京：高等教育出版社，2001．
[3] 德格魯特，舍維什（美國）．概率統計[M]．第3版．葉中行，王蓉華，徐曉嶺等譯．北京：人民郵電出版社，2007．
[4] 官振中，史本山．基于顧客選擇模型易逝性產品收益管理訂購和定價策略[J]．系統工程理論與實踐，2007（09）．
[5]王濟川，謝海義，姜寶法．多層統計分析模型――方法與應用[M]．北京：高等教育出版社，2008．
篇6
關鍵詞 非比例再保險定價；倒向隨機微分方程；It微分公式；時間序列預測；ARIMA模型
中圖分類號 F842.6；O29 文獻標識碼 A
The Predictive Pricing Research of Reinsurance of China Based on Investment
ZHENG Lu-jie
(Renmin University of China School of Information,Beijing 100872)
Abstract Combining the payment of insurance companies and investment income, this paper builds an improved model on the linear forward-backward stochastic differential equations in the context of investment with a class of weak conditions based on non-proportional reinsurance. According to the explicit solution of a special class of linear backward stochastic differential equations, and taking into account time series forecasting methods, this paper gives the insurance pricing formula based on investment and provides a new feasible method of the non-proportional reinsurance pricing for insurance companies.
Key words non-proportional reinsurance pricing; backward stochastic differential equations; ；It differential formula; the prediction of time series; the model of ARIMA
1 引 言
隨著市場快速發展以及后金融危機對中國的潛在影響，人們對于風險的規避需求愈來愈強烈，我國保險業得到了長足的發展.在國外，保險資金的風險投資理論相當成熟［1,2］，在實際操作中也有深入的應用［3］.作為新興市場經濟體國家，我國保險市場發展速度非常迅速，到2009年末保險業總資產額高達40 634.75億元，而2005年末保險也總資本額僅為15 298.69億元，同比增長165.6%，2009年末全國保費收入更是突破萬億，11 137億元，這在2005年末僅為4 930億元，同比增長125.9%［4］.無論按照國際保險業償付能力標準還是我國保險法規定的風險承受能力比例，基于我國再保險業薄弱的基礎［5,6］，不難發現保險業整體償付能力有很大的風險.
再保險也稱分保，是針對保險人所承擔的危險賠償責任的保險，也就是對原保險的再次保險，以保證自身業務的穩定性［7］.所以再保險的主要功能就是風險分散.非比例再保險是再保險的一種，以賠款為基礎來確定再保險當事人雙方的責任的分保方式.相對與傳統的比例分保，非比例再保險不僅能解決因數量多、保額小、責任積累和賠款多帶來的風險問題，而且簡化了分保手續.同時比例分保無法徹底分散巨災風險，非比例再保險則在易于發生風險積累和巨災風險的保險業務中逐漸占據重要地位.最近幾年我國自然災害和意外事故頻發，巨災風險存在和蔓延導致的償付壓力挑戰我國再保險機制［8］.而且再保險周期性波動的價格使得再保險人只能在不同的時期采用不同的定價策略，以維持穩定的業績.這就需要高超的定價技術和不斷改進的財務安排.
本文是以非比例再保險定價為切入點展開.保險定價是保險工作的核心.傳統的再保險定價往往重與公司經營風險的賠付情況而未注意到它的投資收益情況［9］, 因此按此方法厘訂的保險費往往不能反映公司的自身的實際情況.所以，研究如何優化再保險公司利用再保險費收取與保險賠償之間的時滯對收取的該再保險費的風險投資是一個值得深入研究的領域.
倒向隨機微分方程（BSDE）已比較成熟的應用于期權定價和證券組合當中，成為很好的風險投資工具［10］.目前，BSDE在保險定價方面的應用逐漸受到重視，由于倒向隨機微分方程是在給定了隨機終值的情況下, 來確定現在應作的投資, 非常類似于期權價格的制定. 因此, 可借助于倒向隨機微分方程對再保險進行定價，這對保險公司提高在市場上的競爭力大有益處.
本文旨在從系統的觀點［11］出發，把保險公司的賠付情況與投資收益結合，對非比例再保險建立在一定條件的投資背景下的線性正倒向隨機微分方程.根據一類特殊線性BSDE的顯式解，引入時間序列預測，給出了基于投資的比例分保定價公式，為再保險公司厘定非比例再保險的保費提供新的可行性方法.
2 預備知識
設(Ω，F，P）是一概率空間，w(t),t≥0是概率空間(Ω，F，P）上的d－維Wiener過程；Ft=σ［w(s),s≤t］是由Wiener過程w(t),t≥0產生的σ域族{Ft}，任一個σ域Ft都是完備化的.如果對任一個t∈［0,∞),x(t)是關于Ft可測的隨機變量，那么稱隨機過程x(t)=x(w,t)為Ft－適應的.若E∫T0|x(t)|2dt＜∞,其中|x(t)|=(∑ni=1|xi(t)|2)12表示Euchlid范數，則稱
x(t)=x(w,t)為平方可積隨機過程.Ft－適應的平方可積隨機過程全體記為M(0,T,Rn).
引理1 （It公式微分形式）［12］
假設dxi(t)=bi(t)dt+σi(t)dwi(t) （i=1,2,…,m)，函數G(x1,…,xm,t)以及它對t的一階導數、對x的二階導數關于(x,t)連續，這里
x=(x1,…xm)∈Rm,t≥0,wi(t)(i=1,2,…,m)是相互獨立的Wiener過程.那么函數G(x1,…,xm,t)滿足下隨機微分方程（SDE）
dG(x(t),t)=［Gt(x(t),t)+∑mi=1Gxi(x(t),t)bi(t)
+12∑mi,j=1Gxixj(x(t),t)σi(t)σj(t)］dt
+∑mi=1Gxi(x(t),t)σi(t)dwi(t),（1）
其中G的下標表示對相應變量的偏導數.
考慮BSDE
－dy(t)=g(t,y(t),z(t))dt－z(t)dw(t),y(T)=ξ.（2）
其中(y(t),z(t))分別是取值Rm和Rm×d平方可積的適應過程，即
(y(t),z(t))∈M(0,T,Rm×Rm×d)，0≤t≤T
引理2
假設
g(t,y(t),z(t))=f(t)+a(t)y(t)+b(t)z(t)，其中f(t),a(t)∈M(0,T,R)，
b(t)∈M(0,T,Rd)，且a(t),b(t)均有界.再假設x(s)是如下It公式的解
dx(S)=x(s)［a(s)ds+a(s)dw(s), s∈［t,T］
x(t)=1,（3）
則對任何ξ∈L2(Ω,P,FT,R)，下面的BSDE
－dy(t)=［a(t)y(t)+b(t)z(t)+f(t)］dt
－z(t)dw(t),y(T)=ξ（4）
有唯一解，且解的形式為［14-15］
y(t)=E［(ξx(T)+∫Ttf(s)x(s)ds|Ft］.（5）
3 非比例再保險定價模型
鄧志民、張潤楚［16］在這方面進行了一定的深入研究，但是也存在很大的改進空間：1）非比例保險定價中期末t=T時索賠率與自留額度的計算基本上通過求過去平均值得到，有一定的合理性，但是定價僅依賴于單一的求往期平均值的方法使得定價風險很大.在時間序列預測日趨成熟的條件下數據采集可以得到改進.2)關于對非比例再保險索賠率的定性問題，索賠率不再看作是一隨機變量.從隨機變量的嚴格定義［17］出發，把索賠率作為隨機變量等于期末t=T時的非函數值是不合適的.而且在實際情況下是無法找出對應精確的密度函數與具體情形匹配，用歷史數據來求其相應的數學期望是非常明顯的錯誤，在此基礎上對非比例再保險定價公式的推導也必然會出現偏差.鑒于此種情形，引入時間序列預測是完全有必要的，因為非比例再保險價格在一定程度上是保費的投資收益對未來風險的一種補償差.通過對歷史數據（即一列時間序列）的預測求出未來的索賠率，進而導出非比例再保險定價公式.對歷史數據的收集，主要針對要定價的保險產品的期限而定，如產品期限是一年，搜集對應保險產品的每年索賠率即可.（3）到目前幾乎所有的相關研究給出的算例假設條件過于苛刻，無法說明并解決實際問題，下面將基于一般性模型基礎上推導出新的結論，給出具有可操作性的定價模型實證分析.
考慮在風險投資下的非比例再保險定價數學模型.基本思路為：
1）假設金融市場有且僅有兩類資產，即無風險資產和風險資產.不考慮交易費用，稅收和紅利，有方程：
dx0(t)=r0x0(t)dtdx1(t)=r1x1(t)dt+σx1(t)dw(t).（6）
x0(t)，x1(t)分別表示無風險資產和風險資產價格，r0，r1分別表示無風險資產收益率和風險資產預期收益率，σ表示風險資產波動率，σw(t)表示在時刻t風險投資回報中不確定的部分.
2）設原保人承保期限為T、索賠率為ξ、投保者的保險額為Q的保險.注意，這里它不是隨機變量.在非比例再保險合同下，原保險產品的價格為P，再保險價格為P1，原保險人承擔自留額度為m的風險min (ξ,m)，再保險人承擔剩余的風險max (0,ξ－m).在期初t=0時刻，出經營費用和再保險保費外，公司剩余資金為［(1－h)P－P1］Q，在期末,公司面臨損失為y(T)=min (mQ,ξQ).為了彌補這些損失，公司必須將期初的剩余資金投資于風險市場，以最大限度轉移風險，確保正常的經營.
3）在t=0時刻，(1－h)P－P1投資于風險市場，總資產額將隨時間變化而變化，記作y(t)，則有y(0)=(1－h)P－P1.設公司在t時刻總資產額y(t)分為兩部分：一部分y(t)π(t)投資于有風險資產，另一部分y(t)［1－π(t)］投資于無風險資產，其中π(t)∈［0,1］表示t時刻投資于風險資產上的比例.在不考慮交易費用、稅收和紅利的情況下，由前面的It微分公式，可根據如題假設將其代入式（6），得總資產額y(t)滿足微分方程：
dy(t)=［r0+(r1－r2)π(t)］y(t)dt
+σπ(t)y(t)dw(t),y(0)=［(1－h)P－P1］Q.（7）
令z(t)=σπ(t)y(t), r=r1－r0，則式（7）變成
dy(t)=［r0y(t)+rσz(t)］dt
+z(t)dw(t)，y(0)=［(1－h)P－P1］Q.
當P1變化時，相同投資方式下y(T)也隨之變化從而在期末有y(T)=min (mQ,ξQ)
綜上所述可得新的非比例再保險定價的正倒向隨機微分方程：
dx(t)=x(t)［r1dt+σdw(t)］,dy(t)=［r0y(t)+rσz(t)］dt+z(t)dw(t).
x(0)=［(1－h)P－P1］Qπ(0),
y(T)=min (mQ,ξQ).（8）
在總資產額y(t)滿足方程(8)的基礎上，推導非比例再保險的價格P，它還要滿足y(0)=［(1－h)P－P1］Q.
4 非比例再保險定價公式的推導
與原保險一樣，同樣假設保險公司是風險中性的，在上述保單規定下，若其資產所滿足的倒向隨機微分方程為
dy(t)=［r0y(t)+rσz(t)］dt+z(t)dw(t),y(T)=min (mQ,ξQ), ξ∈(0,1］,（9）
其中w(t),t≥0是標準Wiener過程，r0,r,σ＞0如前所述.則非比例再保險定價公式為：
P1=(1－h)P－min (m,ξ)exp (－r0T).
證明 假設x(s)是如下隨機微分方程的解：
dx(s)=x(s)［－r0ds－rσdw(s)］,
s∈［t,T］x(t)=1
由引理2，從式（8）中可以看出a(t)=－r0,b(t)=－rσ,f(t)=0.所以由式（9）有
y(t)=E［min (mQ,ξQ)x(T)|Ft］,
可以看出當t=0時，
y(0)=min (m,ξ)QE［x(T)］.（10）
在這里ξ和Q一樣被看作是常量，且
y(0)=［(1－h)P－P1］Q,（11）
所以，式(10)與式（11）聯立有：
P1=(1－h)P－min (m,ξ)E［x(T)］.
接下來只需證明E(x(T)］=exp (－r0T)即可，具體推導可參見參考文獻［18］.
5 預測估計
時間序列是指一個依照時間順序組成的觀察數據的集合.進行時間序列預測分析［19］需要大量的歷史數據，而我國再保險業的發展與國外比較還是非常短的.為了能保證數據量，僅對期限為一年的產品進行分析預測.本文先后采用了指數平滑模型和ARIMA模型進行對ξ時間序列的分析和預測.在這里說明一下，整體看來ξ先作為估計量通過時間序列預測獲取相應的值，在此基礎上在前面的理論推導當中ξ作為常量，直接得出非比例再保險的定價公式.
指數平滑法用序列過去值加權均屬來預測將來值，并且給序列中近期的數據以較大的權重，遠期數據給以較小的權重.該方法的主要優點之一是比較直觀，另外還有一個重要的優點是在時刻t，只需要知道實際數值和本期預測值就可以預測下一個時間的數值，即t+1=αzt+(1－α)t，其中α為平滑參數.但是，指數平滑法也存在問題：它適用于隨時間消逝呈水平發展的序列.ARIMA模型是一族自回歸滑動平均時間序列模型模型，ARMA模型有分為AR(p)模型、MA(q)模型和ARMA(p,q).一般的建模分四步：1)序列的平穩化處理；2)模型識別,主要通過讀ACF,PACF圖形把握模型的大致方向，為目標定階；3)參數估計和診斷，主要是討論模型的擬合優度統計量和殘差分析結果；4)預測部分，得到最終的預測結果［20］.
6 實證分析
目前，大部分相關研究給出的例子假設條件太強，沒有貼合實際的實例分析，不利于相關理論的深入展開和應用.由于保險公司的相關數據作為商業機密不對外公開，所以下面盡可能采用相關數據，進行實證分析.
根據證券公司的“重點關注的無風險金融產品”的數據，取國債收益率1997~2003年的平均值為無風險收益率，取r0=3.1%.T=1，h=10%，賠款額自留M為200萬元.某保險公司的保險產品歷年賠款額和保險金額的數據見表1［21］：
先對索賠率源數據進行分析并生成序列圖進行觀察.從圖1可以看出：1)有線性趨勢.2)時間段較短，曲線平穩趨勢還不是很清晰.以上結果顯然不滿足序列平穩的條件，所以要把不平穩的時間序列轉換成平穩的時間序列，去除趨勢，對其分別進行差分處理和加入自然對數轉換處理，由統計軟件顯示加入自然對數后從波動范圍（坐標尺度）和平穩度上是優良的.
年份/年圖1 索賠率源數據的序列圖
那么根據上面分析，先對索賠率ξ源數據列采用指數平滑模型進行時間序列預測，由軟件運行結果顯示最優預測值為ξ=4.06‰.但顯著性Sig＞0.5數據顯示擬合效果不理想，下面采用ARIMA模型.
用統計軟件生成如下關于索賠率ξ源數據列的自相關系數圖，由于前面對原始數據進行了平穩化，所以在求相關系數是已加入自然對數轉換，從圖2可以看出時間序列的自相關函數（ACF）圖在延遲數=2時呈遞減.圖3中偏自相關函數（PACF）在p=0時就在上下限之內小幅波動遞減，這是平穩序列的特點.由于數據序列較短，談論不同模型下的擬合優度統計量的普遍偏大，經多次反復嘗試后， ARIMA模型取值P=2，d=0,p=0時的Akike準則下和Schwarz下的貝葉斯準則相對最小.
圖2 自相關圖
又由于沒有季節性，所以該模型的最后參數確定后為ARIMA(2,0,0)，確定模型后運算得出的結果4.11%，并生成擬合預測圖進行觀察,在該模型下，ξ最佳預測值為4.11‰.
圖3 偏自相關圖
軟件生成的非線性擬圖顯示用該模型進行預測擬合效果非常好.進一步殘差檢驗，從圖4可以看出殘差處于正常波動范圍，滿足ARIMA模型要的白噪聲條件，又有前面的相關系數分析，說明預測估計取得了較佳的結果.根據上述預測結果推斷，第8年該保險的索賠率呈下降趨勢.
圖4
根據原保險定價公式［22］給出原保險價格，計算得:P=4.98‰.同樣對第8年的保險金額按上述預測方法進行預測，使用最優模型為ARIMA(2,1,0)，最佳預測值為103 756萬元，則m=1.93‰.所以min(m,ξ)=1.93‰，由本文推導的非比例再保險有：P1=2.94‰
以上價格數據是基于賣方最優原則進行的再保險定價，為保險公司提供理論上的非比例再保險價格，決策者可在此基礎上根據宏觀經濟形勢、買方市場需求和相關市場條件等外在因素進行綜合定價.
7 結 論
從實證分析得出的預測數據表明該套算法具有理論支持和較強的操作性，本文給出了新的定價理論推導，嚴格驗證了通過時間序列預測的不同方法和模型更好地服務于再保險定價當中，而不必過于處理索賠率作為隨機變量的分布密度函數問題而陷于復雜設計情形，這也體現了效率最優原則.
另外我國保險業發展時間較短，測算需要的各種基礎數據的時間序列較短，加之保險數據的搜集困難和整理不完整，符合測算要求的時間序列的基礎數據容易出現偏差，直接增大了保險定價的風險［23］.所以保險公司應加大對保險精算的投資，建立專門的人才研發隊伍，加強數據的搜集和整理的完善，對不同情況下的保險定價問題進一步深入研究是當務之急.本文從新的角度出發，不強制要求索賠率服從某一特殊分布，給出較弱的市場假設條件盡可能符合實際情形，給出進行風險投資的一般的非比例再保險定價公式模型，并提出一種結合了時間序列預測與倒向隨機微分方程的新的定價方法，同時通過實證分析論證該定價方法可行性，僅供行業內參考.參考文獻
［1］ R MICHAEL.Theory of risk,return and solvency［J］. Insurance:Mathematics and Econmic,1995,17（2）:102-110.
［2］ K A HANSEN. A life insurance investment that may be too good to be true［J］.Journal of Financial Service Professionals ,1999 ,53 (2) :68-74.
［3］ B L WEBB.Investment income in insurance rate making［J］.Journal of insurance Regulation,1982,1(1):46-76.
［4］ 中國保險年鑒編委會，中國保險年鑒(2010)［J］.北京:中國保險年鑒社,2010:20,23.
［5］ 龍文,楊海珍,李晶等.從國際比較的視角看中國再保險市場發展前景》［J］.統計與決策,2011,25(13）：111.
［6］ 孫驍,徐建培,周尚坤,等.淺析我國再保險市場發展現狀及對策［J］.中國證券期貨,2010,17(2):42-43.
［7］ 張洪濤,鄭功成.保險學［M］.北京：中國人民大學出版社，2008.
［8］ 邱波.金融化趨勢下的中國再保險產品發展研究［M］.北京：經濟科學出版社,2010.
［9］ M KALUSZKA.Optimal reinsurance under mean-variance premium principles［J］.Insurance: Mathematics and Economics,2001,28（1）: 61-67.
［10］D DUFFIE, P Y GEOFFARD,C Sk IADAS.Efficient and equilibrium allocations with stochastic differential utility［J］.Math. Economy,1994,23（2）: 133-146.
［11］閆東玲.中國保險市場與資本市場互動理論研究［M］.天津：天津大學出版社，2010.
［12］黃志遠.隨機分析學基礎［M］.2版.北京:科學出版社,2001.
［13］A FRIEDMAN.著、吳讓泉譯. 隨機微分方程及其應用［M］.北京:科學出版社,1983.
［14］E PARDOUX,S PENG.Dapted solution of a backward stochastic differential equation［J］Systems and Control Letters，1990，14（1）:55-61.
［15］約翰?赫爾.期權、期貨和其它衍生產品［M］.3版. 北京：華夏出版社, 2000.
［16］鄧志民,張潤楚.基于投資的再保險定價公式［J］.高校應用數學學報A輯,2006,21(1):9-14.
［17］A.帕普里斯,S.U.佩萊.概率、隨機變量與隨機過程［M］.陜西西安：西安交通大學出版社,2004.
［18］龔光魯.隨機微分方程及其應用概要［M］.北京：清華大學出版社,2008.
［19］D JAMES.HAMILTON.HAMILTON.Time series analysis［M］北京：中國 社會科學出版社1999.
［20］易丹輝.時間序列分析方法與應用［M］.北京：中國人民大學出版社，2011.
［21］云連英.統計學在保險業中的應用［J］.焦作師范高等?？茖W校學報,2003,(3):57.
