二次函數(shù)范文

導語：如何才能寫好一篇二次函數(shù)，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

一、從定義的角度認識二次函數(shù)

二次函數(shù)的定義：y=ax2+bx+c（a≠0），其中a稱為二次項系數(shù)，b稱為一次項系數(shù)，c稱為常數(shù)項。從定義中我們可以看出二次函數(shù)的右邊應該是關于x的二次整式，a為不等于0的實數(shù)，b、c可以等于任意實數(shù)。在關于二次函數(shù)定義的考題中學生的易錯點是：把點的坐標帶入表達式時漏帶一個x的值，如把點（2，3）帶入二次函數(shù)表達式時，學生會錯寫成3=a?22+bx+c，原因是只把其中的一個x替換成了2，這是數(shù)學成績中下的學生剛開始接觸到二次函數(shù)時常犯的錯誤。這部分學生可能是由于思維定式所造成的，因為前面所學習的一次函數(shù)和反比例函數(shù)表達式中只有一項含有x。我們教師教學時應加強函數(shù)定義的教學，讓學生找清楚二次函數(shù)中的自變量，強調(diào)點的橫坐標和自變量x是一一對應的關系。

二、從解析式的角度分析二次函數(shù)

二次函數(shù)的解析式分為三種：一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）；交點式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）；頂點式y(tǒng)=（a-h）2+k》在求二次函數(shù)的解析式時，我們應該和同學們一起總結如何選擇解析式的設法才會對我們的解題起到事半功倍的效果。

當題設中已知三個點的坐標時，我們可以把表達式設為一般式，構造出一個關于a、b、c的三元一次方程組，然后解出待定系數(shù)a、b、c即可。在求解這個三元一次方程組時，很多同學看到三個未知數(shù)就會產(chǎn)生懼怕的心理，這時我們老師應該及時幫助孩子消除恐懼，讓學生利用消元思想把三元轉(zhuǎn)化成二元，從而把陌生轉(zhuǎn)化成熟悉。

當題設中已知頂點和一個普通點的坐標時，我們可以把表達式設為頂點式。這時我們應該讓學生理解頂點式y(tǒng)=（a-h）2+k中h和k的含義，知道h是頂點的橫坐標，k是頂點的縱坐標，并注意括號中的符號是減號。

當題設中已知與x軸的兩個交點坐標時我們可以把表達式設成交點式，在這個表達式中x1、x2分別是圖像與x軸交點的橫坐標。學生在用這種方式求函數(shù)的解析式時，很容易把普通點的橫坐標當做x1、x2。幫孩子走出這個誤區(qū)時，我采用的是這樣一種方法：先舉一個利用分解因式解一元二次方程的題目，如（x-2）（x-3）=0，它的解為x1=2，x2=3。試想一下還有哪些方程的根為2和3呢？同學們思考一下會發(fā)現(xiàn)方程a（x-2）（x-3）=0的根也是2和3。再利用函數(shù)與方程的關系，聯(lián)系函數(shù)y=a（x-2）（x-3）的圖像可以發(fā)現(xiàn)x=2、x=3其實是二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標，從而學生就可以理解交點式、解析式的真正含義了。

三、從圖像的角度去剖析二次函數(shù)的本質(zhì)

在認識一個函數(shù)的時候，除了要理解函數(shù)的定義和解析式，函數(shù)的圖像也是研究的重點內(nèi)容之一，函數(shù)的一些特性在圖像中可以很清楚地被發(fā)現(xiàn)、理解和應用。

首先，我們要讓學生知道二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像是對稱軸平行于y軸（包括重合）的一條拋物線。

其次，要認識拋物線的三要素：開口方向、對稱軸和頂點。

再次，要理解拋物線y=ax2+bx+c中a、b、c的作用：

1.決定開口方向及開口大小。

2.b和a共同決定拋物線對稱軸的位置。由于拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=- ，故：

（1）b=0對稱軸為y軸。

（2） >0 （即a、b同號）對稱軸在y軸左側(cè)。

（3）

3.c的大小決定拋物線y=ax2+bx+c與y軸交點的位置。

因為當x=0時y=c，所以拋物線y=ax2+bx+c與y軸有且只有一個交點（0，c），從而有：

（1）c=0拋物線經(jīng)過原點。

（2）c>0拋物線與y軸交于正半軸。

（3）c

以上三點中，當結論和條件互換時，仍然成立。如：當拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則

最后我們應該利用圖像讓學生了解二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，是對應一元二次方程y=ax2+bx+c的兩個實數(shù)根。從而還發(fā)現(xiàn)拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：

1.有兩個交點>0拋物線與x軸相交。

2.有一個交點（頂點在x軸上）=0拋物線與x軸相切。

3.沒有交點

篇2

大綱教材二次函數(shù)是以研究拋物線的性質(zhì)為重點,它具有較強的知識性，而在新課標下卻將二次函數(shù)的“重心”移于函數(shù)知識的實際應用，因此近年中考中利用二次函數(shù)解應用題的問題明顯增多，這一新視角足以引起大家在中考復習中的關注和重視，對于這部分內(nèi)容一般以如下幾類問題出現(xiàn)：

1.最大利潤

例：1.2006年中秋前夕，某果品批發(fā)公司準備從外地進口一種水果，為了更好的指導今年對該種水果的銷售工作，該批發(fā)公司對往年同期的銷售情況進行了調(diào)查統(tǒng)計，得到了如下數(shù)據(jù)：

（1）在如圖的直角坐標系中，作出各組有序數(shù)對（x，y）所對應的點，連接各點并觀察所得的圖形，判斷y與x之間的函數(shù)關系，并求出y與x之間的函數(shù)關系形式；

（2）若該種水果的進價為11元/千克，試求銷售利潤P（元）與銷售價x（元/千克）之間的函數(shù)關系式，并求出當x取向值時，P的值最大？

解：在如圖的直角坐標系中，正確的描點、連線，由圖角可知，y是x的一次函數(shù)

設解析式為y=kx+b

點（25，2000），（24，2500）在圖象上

25 k+b=200024 k+b=2000

解得： k=－5000b=14500

解析式為y=－500x+14500

（2）P=（x-11）y

=（x-11）(－500x+14500)

=－500 x■+20000x－159500

P與x的函數(shù)關系式為：P=－500 x■+20000x－159500

-500＜0

當銷售價x=-■=20時，P的值最大。

評注:本題把函數(shù)知識與經(jīng)濟生活有機地結合在一起,具有較強的現(xiàn)實性，本題其功能是對考生進行了“觀察——猜測——驗證——應用”的探究過程的考查和函數(shù)思想方法的考查。

2.最大面積

例2:（2005年，青島）在青島市開展創(chuàng)文明城活動中，某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上修建一個矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成（如圖所示），設花園的BC邊長為x（m），花園的面積為y(m2)，

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫

出自變量x的取值范圍；

（2）滿足條件的花園面積能達到200m2嗎？若不能，說明理由；

（3）根據(jù)（1）中求得的函數(shù)關系式，描述其圖象的變化趨勢；

并結合題意判斷：當x取向值時，花園的面積最大？最大面積是多少？

解：（1）由BC=xm，得AB=■=(20-■)(m)

y=AB×BC(20-■)x=■x2+20x

靠墻的一邊最長是15m，

0＜x≤15，故所求函數(shù)關系式為y=－■x2+20x（0＜x≤15)。

（2）設y=200，解方程-■x2+20x=200，得

x1= x2=20，即BC=20(m)

而0＜x≤15，故花園的面積不可能達到200m2。

（3）由y=－■x2+20x=－■(x－20)2+200，

知拋物線開口向下，對稱軸為x=20。

當0＜x≤15時，圖象位于對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，所以當x=15時，y有最大值，y最大=187.5(m2) 答：（略）

評注：本題是通過矩形面積建立了的一個二次函數(shù)模型，內(nèi)容涉及函數(shù)概念其性質(zhì)，函數(shù)式的變形，處理函數(shù)最值問題的基本方法，具有一定綜合性。

3.拱橋問題

例3：（2006年，武漢，有改動）如圖是一座下承鋼管混凝土系桿拱橋，橋的拱肋ACB視為拋物線的一部分，橋面（視為水平的）與拱肋用垂直于橋面的系桿連接，相鄰系桿之間的間距均為5米（不考慮系桿的粗細），拱助的跨度AB為280米，距離拱肋的右端70米處的系桿EF的長度為42米，以AB所在直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立如圖所示的平面直坐標系。

（1）求拋物線的解析式；

（2）正間系桿OC的長度是多少米？是否存在一根系桿的長度恰好是OC長度的一半？請說明理由。

解：（1）由題意可設拋物線的解析式為y=ax2+c

由已知得F（70，42），B（140，0）

則42=4800a+c0=49600a+c 解得a=－■,c=56

所以拋物線的解析式為：y=－■x■+56

(2)當x=0時，y=56，所以OC=56（米），

當y=28時，即－■x■+56=28，

解得x=±70■。

因為相鄰的系桿間距為5米，而70■÷5不為整數(shù)，所以不存在一根系桿的長度恰好是OC長度的一半系桿。

篇3

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A

【文章編號】 1004―0463（2017）12―0119―01

二次函數(shù)是初中升高中必考的重點內(nèi)容，也是學生學習的難點.其中涉及到五大學習目標： 會求函數(shù)解析式、會畫函數(shù)圖象、了解圖象性質(zhì)、會平移圖象、會把一般式配方成頂點式，更涉及了許多思想方法.那么，如何幫助學生學好二次函數(shù)呢？下面，筆者談談自己的看法.

一、理解二次函數(shù)的內(nèi)涵及本質(zhì)

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常數(shù)）中含有兩個變量x、y，只要先確定其中一個變量，就可利用解析式求出另一個變量，即得到一組解.而一組解就是一個點的坐標，實際上二次函數(shù)的圖象就是由無數(shù)個這樣的點構成的圖形.若圖象上某一點的橫坐標為m（字母），那縱坐標可表示成y=am2+bm+c.

例1 在同一平面直角坐標系中畫出下列函數(shù)圖象并觀察其有何變化規(guī)律？

①y=x2 ②y=x2+2 ③y=（x-3）2 ④y=（x-3）2+2

引導學生認真觀察思考，從圖象上可以很容易發(fā)現(xiàn)它們之間的變化規(guī)律：

從它們的圖象上可知其形狀大小一致都是拋物線，只是位置改變了，其變化規(guī)律其方法：就是用xx-h即設x=x-h.

y=ax2的對稱軸是y軸即直線x=0.

當x=0時，有 x=x-h=0.

即y=a（x-h）2的對稱軸是直線x=h頂點是（h，k）.

二、熟悉幾個特殊型二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

1. 通過描點，觀察y=ax2、y=ax2+k、y=a（x+h）2圖象的形狀及位置，對各自圖象的基本特征.反之，根據(jù)圖象的特征能迅速判定它是哪一種解析式.

2. 理解D象的平移口訣“括號內(nèi)加減左右移，括號外加減上下移”.y=ax2y=a（x+h）2+k “括號外加減上下移”是針對k而言的，“括號內(nèi)加減左右移”是針對h而言的.總之，如果兩個二次函數(shù)的二次項系數(shù)相同，則它們的拋物線形狀相同.由于頂點坐標不同，所以位置不同，而拋物線的平移實質(zhì)上是頂點的平移.如果拋物線是一般形式，應先化為頂點式再平移.平移時要區(qū)分清楚是在括號內(nèi)加減，還是在括號外加減.

3. 通過描點畫圖、圖象平移，理解并明確解析式的特征與圖象的特征是完全相對應的.我們在解題時要做到胸中有圖，看到函數(shù)就能在頭腦中構畫出它的圖象，并知道圖象的基本特征，這才能在真正意義上做到數(shù)形結合.

4. 在熟悉函數(shù)圖象的基礎上，通過觀察、分析拋物線的特征，來理解二次函數(shù)的增減性、極值等性質(zhì)；利用圖象來判別二次函數(shù)的系數(shù)a、b、c、？駐以及由系數(shù)組成的代數(shù)式的符號等.在遇到比較復雜的代數(shù)式的符號判斷時，可采用特殊值法處理.

三、靈活應用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是求解析式時最常規(guī)有效的方法.求解析式時往往可選擇多種方法，如已知三個一般條件，可將函數(shù)關系式設為一般式；如已知頂點的任何一個坐標，可將函數(shù)關系式設為頂點式；如已知兩交點坐標，可將函數(shù)關系式設為交點式；如頂點在坐標軸或原點時，可將函數(shù)關系式設為特殊式等.如能綜合利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，靈活應用數(shù)形結合的思想，不僅可以簡化計算，而且對進一步理解二次函數(shù)的本質(zhì)及數(shù)與形的關系大有裨益.

篇4

1、二次函數(shù)又是函數(shù)中的重要組成部分,所以我們要對它的基本概念和基本性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性)及圖像深入研究

2、次函數(shù)概念非常簡單,但它具有豐富的內(nèi)涵和外延.可以作為函數(shù)來研究,同時可以結合圖形來研究.它是最基本的初等函數(shù),我們可以以它為素材,來研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值等性質(zhì),還可建立起二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的有機聯(lián)系;結合圖形,二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,它可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間的關系.

（來源：文章屋網(wǎng) ）

篇5

關鍵詞:一次函數(shù);二次函數(shù);建模

中圖分類號:G633文獻標識碼:A文章編號:1003-2851(2010)02-0139-01

一次函數(shù)、二次函數(shù)是兩種常見的描述客觀世界的基本數(shù)學模型,根據(jù)實際應用問題提供的兩人變量的數(shù)量關系是否確定可把要構建的函數(shù)模型分為兩類:一類是確定的函數(shù)模型,即兩個變量的關系是確定的;另一類就是近似函數(shù)模型,這類應用題提供的變量關系是不確定的,只是給出了兩個變量的幾組對應值(是搜集或?qū)嶒灥玫降?,這時需結合已知數(shù)據(jù)作出散點圖選擇合適的函數(shù)模型來解答;

作為解答應用題其一般步驟為:①審題――認真讀題,確切理解題意,明確問題的實際背景,尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系;②建模――通過抽象概括,將實際問題轉(zhuǎn)化為相應的數(shù)學問題,別忘了注上符合實際意義的定義域;③解模――求解所得的數(shù)學問題;④回歸――將所解得的數(shù)學結果,回歸到實際問題中去。下面通過例題具體說明一次函數(shù)和二次函數(shù)在這方面的應用。

例1、某市一家報攤從報社買進《晚報》的價格是每價0.12元,賣出的價格是每價0.20元,賣不掉的以每價0.04元退回報社,在一個月(30天)里,有20天每天可售400份,其余10天僅售250份。但每天從報社買進的份數(shù)必須相同,他應每天從報社購多少份,才能使每月所獲利潤最大?最大利潤是多少?

思維展示:通過審題明確通過利潤等于“售報收入”減去“退報虧損”構造函數(shù)模型,在這里明確自變量的取值范圍即函數(shù)的定義域是解題的關鍵,一般情況下函數(shù)的定義域是由已知條件和實際意義二者結合決定的,在解答實際應用題忽視函數(shù)的定義域是常見的思維誤區(qū)。

解析:設每天從報社購進x份(250≤x≤400),則每月售出(20x+250×100)份,退回10×(x-250)份。故據(jù)題意可知此人每月獲利f(x)=0.08×(20x+250×100)-(0.12-0.04)×10×(x-250)=0.8x+400(250≤x≤400),因為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[250,400]上是增函數(shù),所以當x=400時,f(x)max=720元。

答:應每天從報社購400份,才能使每月獲利潤最大。最大利潤是720元。

例2、一地區(qū)95年年底沙漠面積為95萬公頃,為了了解此地區(qū)沙漠面積的變化情況,進行了連續(xù)5年的觀測,并將每年年底的觀測結果記錄于如下表中:

試根據(jù)上述信息進行預測:

(1)如果不采取任何措施,那么到2010年底,該地區(qū)的沙漠面積大約變?yōu)槎嗌偃f公頃?

(2)如果從2000年底開始,采取植樹造林等措施,每年改造0.6萬公頃沙漠,那么到哪一年底該地區(qū)沙漠的面積能減少到90萬公頃?

思維展示:本題需根據(jù)函數(shù)圖象或?qū)σ阎獢?shù)據(jù)特點的分析,找出模擬函數(shù)的類型,再利用已知條件去求解和驗證,解答此類問題的一般步驟是:提出問題――收集數(shù)據(jù)――描述數(shù)據(jù)――分析數(shù)據(jù)――建立模擬函數(shù)――求出函數(shù)――檢驗――解釋問題、預測變化趨勢等。

解析:(1)記1996―2000年分別為第1,2,3,4,5年,則由表可得沙漠面積年增加數(shù)y與年份之間的近似關系如圖所示:

觀察得y與年份的函數(shù)關系的圖像近似為一直線,故設y=kx+b,則由0.2=k+b0.4=2k+b解得k=0.2b=0,故y=0.2x,因原有沙漠面積為95萬公頃,則到2010年底沙漠面積將大約為萬公頃。

(2)設從2000年底算起,第年年底該地區(qū)沙漠面積能減少到90萬公頃,由題意可得:95+0.2(5+x)-0.6x=90解得x=15即到2015年底該地區(qū)沙漠面積能減少到90萬公頃。

例3、為降低人員成本,提高經(jīng)濟效益,有一家公司準備裁減人員,已知這家公司現(xiàn)有職工m(m>9)人,每人每年可創(chuàng)利n萬元,據(jù)評估,在經(jīng)營條件不變的前提下,每裁員1人,則留崗職員每人每年可創(chuàng)利0.2n萬元,但公司需付下崗職員每人每年0.8n萬元的生活費,試問為取得最大的經(jīng)濟效益,該公司應裁員多少人?

思維展示:解決本題應做到如下兩點:一是將公司獲得的經(jīng)濟效益與公司裁員人數(shù)建立關系――即建立函數(shù)模型;二是問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)最值后,要注意對題目中的含有的字母進行必要的討論才能順利解答本題。

解析:設裁員人數(shù)x人,可獲得的經(jīng)濟效益為y萬元,則y=(m-x)(n+0.2nx)-0.8nx,整理得y=-■[x2-(m-9)x]+mn,故要使公司取得最大的經(jīng)濟效益即確定函數(shù)在定義域上的最大值,由于-■

答:當m為奇數(shù)時裁員■人公司效益最大,當m為偶數(shù)時裁員■時公司效益最大。

篇6

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1。若拋物線y=x2-2x+c與y軸的交點為（0，-3），則下列說法不正確的是（ ）

A。拋物線開口向上

B。拋物線的對稱軸是x=1

C。當x=1時，y的最大值為-4

D。拋物線與x軸的交點為（-1，0），（3，0）

[TPJJ14。TIF；Z*2，Y]

2。y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖1，那么下面6個代數(shù)式：abc，b2-4ac，a-b+c，a+b+c，2a-b，9a-4b中，值小于0的有（ ）

A。1個 [WB]B。2個

C。3個[DW]D。4個

3。由二次函數(shù)y=2（x-3）2+1，可知（ ）

A。其最小值為1

B。其圖象的對稱軸為直線x=-3

C。其圖象的開口向下

D。當x

4。函數(shù)y=-a（x+a）與y=-ax2（a≠0）在同一坐標系上的圖象是（ ）

5。如圖2，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標為（[SX（]1[]2[SX）]，1），下列結論：①ac

圖2

A。1[DW]B。2

C。3[DW]D。4

6。把二次函數(shù)y=12x2+3x+52的圖象向右平移2個單位后，再向上平移3個單位，所得的函數(shù)圖象頂點是（ ）

A。（-1，1）[DW]B。（1，-5）

C。（-5，1）[DW]D。（-1，3）

[TPjj17。TIF；Z*2，Y]

圖3

7。已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖3所示，有下列結論：①abc>0；②a+b+c=2；③a>12；④b

A。①② B。②③

C。②④ D。③④

8。下列函數(shù)中，①y=-ax2（a>0）；②y=（a-1）x2（a0時，y隨x增大而減小，這兩個特征的有（ ）

A。1個[DW]B。2個

C。3個[DW]D。4個

9。已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖4，則下列結論中正確的是（ ）

[TPjj18。TIF，BP#]

圖4

A。a>0

B。當x>1時，y隨x的增大而增大

C。c

D。3是方程ax2+bx+c=0的一個根

10。如圖5，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OA=OC。則下列結論：

[TPjj18-1。TIF，BP#]

圖5

①abc0；③ac-b+1=0；④OA?OB=-[SX（]c[]a[SX）]。其中正確結論的個數(shù)是（ ）

A。4[DW]B。3

C。2[DW]D。1

二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

11。若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與拋物線y=x2-9x-60的圖象關于y軸對稱，則函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式為[CD#4]。

12。拋物線y=-x2+3x-2在y軸上的截距是[CD#4]，與x軸的交點坐標是[CD#4]。

13。把函數(shù)y=-3x2的圖象沿x軸對折，所得圖象的函數(shù)式為[CD#4]。

14。將拋物線y=x2-2x向上平移3個單位，再向右平移4個單位得到的拋物線是[CD#4]。

15。函數(shù)y=ax2與直線y=kx+1相交于兩點，其中一點的坐標為（1，4），則另一個點的坐標為[CD#4]。

16。將拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移3個單位，再向左平移4個單位得到拋物線y=-2x2-4x+5，則原拋物線的頂點坐標是[CD#4]。

[TS（][JZ]T5"H]圖6

17。若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖6，則直線y=abx+c不經(jīng)過[CD#4]象限。

18。若A（-4，y1），B（-3，y2），C（1，y3）為二次函數(shù)y=x2+4x-5的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關系是[CD#4]。

19。已知y=2x2的圖象是拋物線，若拋物線不動，把x軸，y軸分別向上、向右平移2個單位，那么在新坐標系下拋物線的解析式是[CD#4]。

20。請選擇一組你喜歡的a，b，c的值，使二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象同時滿足下列條件：①開口向下，②當x5時，y隨x的增大而減小。這樣的二次函數(shù)的解析式可以是[CD#4]。

三。解答題（本大題共60分）

21。（9分）已知拋物線y=[SX（]1[]2[SX）]x2+x+c與x軸有兩個不同的交點。

（1）求c的取值范圍；

（2）拋物線y=[SX（]1[]2[SX）]x2+x+c與x軸兩交點的距離為2，求c的值。

22。（9分）如圖7，平行四邊形ABCD中，AB=4，點D的坐標是（0，8），以點C為頂點的拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過x軸上的點A，B。

圖7

（1）求點A，B，C的坐標；

（2）若拋物線向上平移后恰好經(jīng)過點D，求平移后拋物線的解析式。

23。（9分）已知：二次函數(shù)y=x2+bx-3的圖象經(jīng)過點P（-2，5）。

（1）求b的值，并寫出當1

（2）設點P1（m，y1），P2（m+1，y2），P3（m+2，y3）在這個二次函數(shù)的圖象上。

①當m=4時，y1，y2，y3能否作為同一個三角形的三邊的長？請說明理由。

②當m取不小于5的任意實數(shù)時，y1，y2，y3一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明理由。

24。（10分）某商業(yè)公司為指導某種應季商品的生產(chǎn)和銷售，對三月份至七月份該商品的售價和成本進行了調(diào)研，結果如下：一件商品的售價M（元）與時間t（月）的關系可用一條線段上的點來表示（如圖8），一件商品的成本Q（元）與時間t（月）的關系可用一條拋物線的一部分上的點來表示，其中6月份成本最高（如圖9）。

根據(jù)圖象提供的信息解答下面問題：

（1）一件商品在3月份出售時的利潤是多少元？（利潤=售價-成本）

（2）求出圖9中表示的一件商品的成本Q（元）與時間t（月）之間的函數(shù)關系式；

（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利潤W（元）與時間t（月）之間的函數(shù)關系式嗎？若該公司能在一個月內(nèi)售出此種商品30 000件，請你計算該公司在一個月內(nèi)最少獲利多少元？

25。（11分）如圖10，直線y=3x+3交x軸于A點，交y軸于B點，過A，B兩點的拋物線交x軸于另一點C（3，0）。

圖10

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由。

圖11

26。（12分）如圖11，已知拋物線y=x2+kx+b經(jīng)過點P（2，-3），Q（-1，0）。

篇7

一、二次函數(shù)在給定范圍上的最值

例1 求二次函數(shù)y=x2-2x-5在0≤x≤3上的最值.

解：在函數(shù)中頂點坐標（1，-6）.注意函數(shù)頂點處于自變量的范圍.函數(shù)在頂點與端點處的函數(shù)值作比較，當x=1時y的值是-6，當x=0時，y的值是-5，當x=3時，y的值是-2.得到y(tǒng)=x2-2x-5在0≤x≤3中最小值與最大值分別是-6和-2.

二次函數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)是連續(xù)的，在任意的閉區(qū)間上，它都是存在最大值和最小值，其注意點就是首先確定二次函數(shù)的頂點存在的范圍.如果在頂點的一側(cè)是給定的范圍（包括兩個端點），則最值就是端點處的函數(shù)值.如y=x2-2x-5在2≤x≤5內(nèi)，x=2時存在最小值y=-5，x=5時存在最大值y=10，這時2≤x≤5處于頂點的右面，函數(shù)在2≤x≤5上面則為單調(diào)遞增.

二、有字母系數(shù)的二次函數(shù)的最值

如果在二次函數(shù)中y=ax2+bx+c （a≠0）的系數(shù)a，b，c中至少有一個變動的系數(shù)，稱之為含字母系數(shù)的二次函數(shù).這時，y不僅僅是自變量x的函數(shù)，與此同時跟著變系數(shù)的取值不同而發(fā)生變化.含字母系數(shù)二次函數(shù)所表達的曲線是一條拋物線，解答這種二次函數(shù)的最值問題，一般基本的步驟都是先將字母系數(shù)作為一個普通的常數(shù)看待，用以求出頂點坐標的表達公式，接下來根據(jù)頂點處于自變量中的不同地方，進行分類解答.

例2

求y=-x（x-a）在-1≤x≤1在下面三種情形的最大值.（1）a2.

在本題中，給出了帶有字母系數(shù)a的二次函數(shù)，題目條件已經(jīng)明確設定了它不同的取值范圍.由此，當求解最大值時，可以針對a的限制范圍來分別求得端點與頂點處函數(shù)值的大小.當然，為了使直觀性增強，可以畫圖，憑借圖形進行討論.

解：二次函數(shù)的頂點坐標為（a/2，a2/4）.

（1）a

（2）-2≤a≤2.這時-1≤a/2≤1，即頂點的范圍在-1≤x≤1中，所以，y的最大值在頂點處.所以x=a/2時，y得到最大值a2/4.

（3）a2.這時a/2>1，所以給定了范圍（-1≤x≤1）的位置在拋物線的頂點左面，y=-x（x-a）在-1≤x≤1上面是單調(diào)遞增的.所以，當x=1時，y得到最大值a-1.

由上面的例子的解答方法可以得知，一個有最大值的二次函數(shù)當其中含有字母時，頂點不在給定范圍中（包括兩側(cè)的端點），最大值是兩端點中的一個數(shù)；頂點處于給定范圍中，頂點處于的位置，就是取得的最大值.

三、函數(shù)最值的應用

實際生活中，多多少少會遇到一些如怎樣使用材料最省，怎樣花銷最小，怎樣利潤最高等等問題.這種問題，歸納與二次函數(shù)的最值問題，在中考，運用二次函數(shù)的方法解決實際問題是重點考點，此類試題經(jīng)常結合于實際將社會熱點問題為背景，考查是否能夠靈活運用所學知識解決現(xiàn)實生活問題.

例3

客房部將60個房間供應游客居住，每個房間為每天200元的定價時，房間將被住滿.每個間房間的定價每提高10元時，將會空閑出一間房，賓館要對每個房間支出各種費用設施20元，每個房間的定價提高x元，求解：

（1）房間每天的入住量y（間）與x（元）的函數(shù)關系式；

（2）每天房間的收費z（元）與x（元）的函數(shù)關系式；

（3）客房部利潤w（元）與x（元）的函數(shù)關系式；當w有最大的值，每個房間的定價是多少？最大值為多少？

這種問題解決關鍵就是得到定價提高，該賓館每天的入住量，此類型試題都能轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)畫圖、性質(zhì)便于這種問題快速解決.

解：（1）y=60-x/10.

（2）z=（200+x）（60-x/10）=（-1/10）x2+40x=12000.

（3）w=（200+x-20）（60-x/10）=（-1/10）x2+42x+10800=（-1/10）（x-210）2+15210；當x=210時，w存在最大值.這時x+210=410，w要有最大值15210，每個房間定價410元.

篇8

關鍵詞 高中數(shù)學 二次函數(shù) 無可取代

中圖分類號：G633.62 文獻標識碼：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2017.03.017

Abstract The quadratic function is one of the most important functions of middle school mathematics. It is in the whole stage of high school mathematics. Quadratic function can be seen everywhere， it is more important to image plays a very intuitive role in solving the problem， can be some complex mathematical problems into intuitive mathematics paper map， is the concrete application of a class of high school mathematics with thought. Quadratic function of the omnipresent and can not be replaced in （1） required a monotonicity parity in the domain of the functions and the values inside the embodiment， the roots of the equation and function of zero （2） required five series in arithmetic n series before and in one of the two inequalities and its solution in the dripping in （3） combined with comprehensive problems everywhere in elective in conic and the derivative of the more exciting.

Keywords high school mathematics； quadratic function； no substitution

我來介紹下二次函數(shù)在各部分的精彩表現(xiàn)。

首先我們先來看下中學階段二次函數(shù)（）=++（≠0）的主要知識點：①二次函數(shù)圖像的對稱軸：直線=；② 二次函數(shù)圖像的開口方向：a>0時開口向上：a0兩個交點（1，0），（2，0）；當=0時有一個交點（0，0）；當

通過多年的高中數(shù)學教學，遇到應用二次函數(shù)解題的一些題型，有的題目如果不用二次函數(shù)圖像學生很少會解出來，若用二次函數(shù)圖像求解，問題不僅直觀，而且顯得很簡單。

二次函數(shù)的圖像如圖1（下面是>0，

接下來我們看看二次函數(shù)在我們高中階段是如何無處不在的。

1 二次函數(shù)在函數(shù)性質(zhì)里面的體現(xiàn)

在函數(shù)單調(diào)性、最值以及奇偶性中的體現(xiàn)：

人教版必修一在講函數(shù)單調(diào)性的新課時候首先是讓學生觀察二次函（）=圖像（圖2）。

圖像在y軸左側(cè)“下降”，也就是說，在區(qū)間（∞，0]上（）隨著的增大而減小；圖像在y軸的右側(cè)“上升”，也就是說，在區(qū)間[0，+∞）上（）隨著的增大而減大。從而引出本節(jié)課的重點（也是高中階段函數(shù)性質(zhì)的重點之一）――函數(shù)的單調(diào)性。

也就是說學生需要對函數(shù)（）=的熟知情況下才能順利的往下學這節(jié)課。

（2）如圖3所示，動物園要建造一面靠墻的2間面積相同的矩形熊貓居室，如果可供建造圍墻的材料總長是30m，那么寬x（單位：m）為多少才能使所建造的每間熊貓居室面積最大？每間熊貓居室的最大面積是多少？

二次函數(shù)的重要性，我們通過教材的編寫就可以很直接的體會。

2二次函數(shù)在數(shù)列中的體現(xiàn)

等差數(shù)列{}的前項和的公式：=+=+（）也就是說等差數(shù)列的前n項和是一個關于n的二次函數(shù)

必修5課本第44頁例3：已知數(shù)列{}的前n項和為=+，求這個數(shù)列的通項公式。這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是它的首項和公差分別是什么？

在這里數(shù)列的前n項和是一個關于n的二次函數(shù)。

接下來就45頁的探究：一般地，如果一個數(shù)列{}的前項和=++，其中，，為常數(shù)，且≠0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？

經(jīng)過研究我們發(fā)現(xiàn)，當r=0時數(shù)列{}是首項=+公差的等差數(shù)列。當≠0時，數(shù)列從第二項起是等差數(shù)列

例 已知等差數(shù)列5，4，3的前項和，求使得最大的序號的值。

分析：等差數(shù)列的前項和公式可以寫成=+（），所以可以看成函數(shù)=+（）（∈N*）當=時的函數(shù)值，另一方面，容易知道是的圖像是一條拋物線上的一些點。因此，我們可以利用二次函數(shù)來求的值。

我們可以畫出的圖像（圖4），驗證上述的結論

3應用二次函數(shù)圖像及其方程解決一元二次不等式

一元二次不等式++>0或++0）的解集。我們可以有函數(shù)的零點與相應一元二次方程的根的關系，先求出一元二次方程的根，再根據(jù)函數(shù)圖像與軸相關位置確定一元二次不等式的解集。我們可分三種情況來討論對應的一元二次不等式++>0或++0）的解集。

二次函數(shù)在高中必修課本里面真所謂無處不在，以上舉出的例題及其原理都必須掌握可見其重要性無可替代。接下來筆者繼續(xù)介紹二次函數(shù)在選修中又是如何體現(xiàn)其的重要性。

4 二次函數(shù)在圓錐曲線中的地位

眾所周知，圓錐曲線是高考的重點考查對象，那么它考查跟我們二次函數(shù)的知識點又有什么聯(lián)系呢？

分析：這題的第二步聯(lián)立直線與曲線的方程消元化簡后得到一個關于的一元二次方程。接下來根據(jù)二次函數(shù)方程++=0（≠0）根與系數(shù)的關系：+=I6=得到+=，I6=，這一步起到至關重要的作用，若是沒有這個接下來題目也就沒法往下解答。縱觀近幾年高考，不管是全國卷還是各省自己命題的試卷只要有考直線與圓錐曲線都離不開應用二次函數(shù)根與系數(shù)的關系來解答。也就是說，二次函數(shù)在平面解析幾何中也起到了至關重要的作用。

5 二次函數(shù)在導數(shù)中的體現(xiàn)

二次函數(shù)在導數(shù)的題目里面出現(xiàn)也是不容小覷的，無論是應用導數(shù)求單調(diào)性還是最值的題目里二次函數(shù)隨可見。可以說二次函數(shù)就是橋梁，它把新的知識和舊知識聯(lián)系在一起。

篇9

學習函數(shù)知識，概念是最基礎的，首先要理解一個函數(shù)的定義和概念，才能夠從根本上深入了解二次函數(shù)就是只含有一個未知量，并且這個未知量的最高次冪是2．通常學生會認為，二次函數(shù)的表達式為“y=ax2+bx+c”．這樣的表達式，真的能夠完全代表二次函數(shù)嗎?教師可以讓學生根據(jù)二次函數(shù)的概念進行深入的分析和討論，要重點強調(diào)“二次函數(shù)”這一特征，讓學生能夠和學過的知識有所區(qū)分，根據(jù)對公式的理解和觀察，學生能夠舉出反例，當表達式中的系數(shù)a等于0的時候，那么函數(shù)表達式就變成了“y=bx+c”，這并不符合二次函數(shù)的概念．所以說，對于上面的公式還要加上約束條件才能夠成立．y=ax2+bx+c，當其中的a≠0的時候，才能夠滿足二次函數(shù)的定義．通過對概念的分析和理解，學生能夠更加清楚地了解二次函數(shù)．當學生出現(xiàn)理解錯誤的時候，教師要及時進行正確的指導，幫助學生改正錯誤，要讓學生對未知量的系數(shù)以及未知量的存在有更加清楚的認識，考慮問題的時候更加全面和細致，這對學生的學習和發(fā)展也是有幫助的．

二、采用數(shù)形結合法，幫助學生理解

數(shù)形結合法是數(shù)學教學中比較常用的一種教學方法，其目的就是幫助學生理解數(shù)學知識，將抽象的數(shù)學概念轉(zhuǎn)化成可見的圖形形式．圖象和數(shù)學分析運算結合在一起來解決問題，給學生建立一個更加清晰的數(shù)學模型．在二次函數(shù)的學習過程中，對于圖象的認識和學習也是非常關鍵的．圖象能夠清晰地反映出函數(shù)的基本性質(zhì)以及特點，教師不能忽視圖象對于學生學習的重要性，在教學過程中通過繪制圖形的形式幫助學生理解和學次函數(shù)知識．在觀察圖形的過程中，學生能夠了解到函數(shù)的具體性質(zhì)．采用數(shù)形結合的思想，能夠幫助學生仔細地研究和分析，從圖形的變化中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)規(guī)律．例如，在已知條件中給出二次函數(shù)拋物線的表達式y(tǒng)=x2+bx+c的對稱軸是x=2，A、B兩點都在拋物線上，并且這兩點連成的線與x軸是平行的，其中A點的坐標是(0，3)，那么B點的坐標是什么?對這道題目而言，如果只是單從xyx=2ABO題目本身來看，學生很難計算出B點的坐標．這道題目就是典型的應用數(shù)形結合思想的．首先應該根據(jù)題目的要求繪制出二次函數(shù)的圖形，如圖，根據(jù)圖形上顯示的信息，學生可以判斷出A、B兩點的縱坐標應該是相同的，現(xiàn)在已知的是A點的坐標，根據(jù)圖象的顯示，B點在第一象限內(nèi)，所以說B點的橫坐標應該是位于x軸的正半軸上．由于點A在拋物線上，根據(jù)A點的坐標(0，3)可以知道，C=3，根據(jù)對稱軸是x=2，可以求出b=－4，所以x=0或x=4兩個結果，x=0的時候就與點A重合了，所以說不可能，那么正確的答案就是x=4，所以說B點的坐標就應該是(4，3)．

三、提出問題，讓學生進行討論探究

數(shù)學具有探究性以及實踐性．在學習過程中，教師要培養(yǎng)學生的探究意識，在二次函數(shù)知識學習的過程中也是一樣．教師可以根據(jù)生活中的實際現(xiàn)象向?qū)W生提出問題，讓學生探究討論．學生通過討論分析解決問題后，會對這部分的知識印象特別深刻．要想讓學生掌握函數(shù)知識，就需要將這些知識點進行展開探究，才能夠深入挖掘其中的內(nèi)涵．在課堂開始的階段，教師可以采取提出問題的方式吸引學生的注意力．例如，教師可以在課堂的開始階段，提問:在生活中有沒有看見過拱橋?這樣貼近生活的話題，會引發(fā)學生的共鳴．當學生回想拱橋的形狀之后，教師可以接著提問:現(xiàn)在有一座拱橋要跨過一條寬8m的河流，河中央支撐橋體的柱子為4m高，現(xiàn)在想要在距離河岸各2m的地方分別支撐一根柱子，那么這根柱子的高度因該是多少?這是一個涉及到實際生活的問題，學生可以根據(jù)教師的描述在腦海中形成畫面，然后積極探討和研究解決問題的方法．教師可以適當?shù)貙W生向二次函數(shù)的方向來引導．通過分析研究，學生發(fā)現(xiàn)可以將拱橋看成是二次函數(shù)，將河中央的柱子看成是對稱軸，以河為x軸，柱子為y軸建立直角坐標系，那么可以首先求出二次函數(shù)的表達式，然后根據(jù)要求的柱子的橫坐標求出柱子的高度．

四、總結

篇10

一、提高二次函數(shù)認識

相對于初中數(shù)學其他知識而言，二次函數(shù)研究的是自變量與因變量之間的關系，比較抽象，學生理解難度大．研究發(fā)現(xiàn)，部分學生不注重二次函數(shù)基礎概念的學習與理解，因此，解答二次函數(shù)相關題目時常常出現(xiàn)一些不該出現(xiàn)的問題．因此，初中數(shù)學教學實踐中，教師應提高課堂教學效率，加深學生對二次函數(shù)基礎知識的認識與理解，防止在解答二次函數(shù)題目時因考慮不全而得出錯誤結論．因此，二次函數(shù)教學實踐中，教師應提高學生對二次函數(shù)的認識，提醒學生二次函數(shù)滿足的條件是a≠0．但初中數(shù)學題型復雜多變，僅僅記住a≠0并不一定正確的解答出題目，正如文中的例子．這就要求學生在加深二次函數(shù)基礎知識深刻理解的同時，應注重分析問題的全面性，不應因?qū)W習了二次函數(shù)，導致思維定勢而得出錯誤結論．

二、注重經(jīng)典題型講解

初中階段有關二次函數(shù)的經(jīng)典題型很多，考查學生掌握二次函數(shù)知識較為全面，因此，教師應注重講解一些經(jīng)典題型，提高學生對二次函數(shù)的理解能力，使學生掌握二次函數(shù)精髓．另外，在講解一些經(jīng)典題型時應注重多角度地對經(jīng)典題型進行分析，使學生理解經(jīng)典題型經(jīng)典在何處，即，題目考查了哪些知識，在此題目基礎上還能進行怎么變換等，使學生觸類旁通，做到講解一道題，學生會一類題，如此才能達到事半功倍的教學效果．

1．二次函數(shù)圖象平移

二次函數(shù)圖象平移題目在初中各階段測試中出現(xiàn)頻率較高，部分學生因未掌握相關的解題技巧，導致無法正確解答出相關題目．另外，為方便解答該類型的題目，部分教師總結了二次函數(shù)平移的一些規(guī)律，如“上加下減，左加右減”，但在解答題目過程中，部分學生未充分理解導致解題出錯．

2．二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點

初中數(shù)學二次函數(shù)教學實踐中，另一經(jīng)典題型則是二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象交點問題．由于該類題型具有一定綜合性，難度較大，學生得分率較低，因此，教師應將其當做教學的重點加以講解，使學生徹底掌握該類題型的解法．

三、鼓勵二次函數(shù)應用

二次函數(shù)與生活密切相關，因此，為提高學生利用二次函數(shù)解決實際問題的能力，教學實踐中教師應注重二次函數(shù)知識應用的講解，使學生學有所用，體會到學次函數(shù)的成就感，樹立學次函數(shù)的積極性與自信心．研究發(fā)現(xiàn)，部分學生在利用二次函數(shù)解決實際問題時，因無法建立實際問題與二次函數(shù)之間的關系，而無法解答出相關題目．為此，教學實踐中，教師應多進行引導．

四、強調(diào)反思與總結