一次函數范文

導語：如何才能寫好一篇一次函數，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

大部分學生在學習這段內容后，都存在不同程度的困惑，特別是受前面學習的自然數、有理數、實數等“數”的影響，對函數意義的理解感到很渺茫，會不自覺地將函數與有關的數進行聯系、歸類.從而造成了許多認識上的混亂.

一、函數不是“數”

如果說整數、分數、有理數、無理數等數我們不僅能舉出相應的數例來，而且還能在數軸上找到它們的相應的點的話，那么函數是什么呢？函數是一種關系，通俗地講，函數是指兩個變量之間的一種對應關系，那么變量又是怎么一回事呢？變量是相對于常量的.在一個事件過程中，始終保持不變的量我們稱之為常量，而那些變化的量則稱之為變量.在一次函數中有兩個變量，比如：（1）y=3x、（2）y=x+1等式子，當式子中的一個變量x的值一旦確定，那么式子中的另一個變量y的值也隨之確定了，即（1）中x的值確定3x 的值確定y的值確定，（2）式子中的x的值確定x+1 的值確定y的值確定.

二、數學模型化

任何一個二元一次方程，都可以化為用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數的形式，例如方程3x-2y+4=0，化為y=

32x+2，x是自變量，y是x的一次函數.化為x=

23y-

43，則y是自變量，x是y的一次函數.可見一次函數的一般表達式就是形如：y=kx+b，（其中k、b均為常數，且k≠0）.當b=0時，即y=kx，（k≠0），y是x的正比例函數，反之，無論y是x的正比例函數y=kx（k≠0），還是y是x的一次函數y=kx+b，（其中k、b均為常數，且k≠0），都可以化為kx-y=0、kx-y+ b=0的形式，這就是關于x、y二元一次方程.一次函數與二元一次方程在本質上是相同的，即含有未知數的等式，不同的只是函數的研究注重于因變量與自變量的那種對應關系.

三、“ 一”統到底

一次函數其基本模型是y=kx+b，（其中k、b均為常數，且k≠0），它與一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式（組）總是存在千絲萬縷的聯系，也正是一次函數的出現，才使得這四個“一次”賦予了更新的內涵.

1.透過方程看函數

我們在學習一次函數前，已經系統地掌握了二元一次方程（組）的有關知識，兩者從概念上看都是一次，說明未知數（或變量）的次數都是1，從式子的外形上看二元一次方程都可以轉化為一次函數的形式（當然一次函數也可以轉化為二元一次方程的形式）二元一次方程中的兩個未知數就是一次函數中的兩個變量.在一次函數中自變量x每取一個數值，函數y都有唯一的數值與它對應，一次函數的函數值是隨自變量的取值的確定而確定，這與二元一次方程有無數個解是完全一致的.

2.借助圖象解方程（組）

一次函數y=kx+b，（其中k、b均為常數，且k≠0），它的圖象是一條直線.直線是由無數個點組成的，其中直線上每個點的坐標都適合方程y=kx+b，因此方程y=kx+b由無數個解，在同一直角坐標系中，如果有兩條直線y=k1x+b1， y=k2x+b2不平行，那么它們必然有一個交點，而且只有一個交點，這個交點坐標既適合方程y=k1x+b1，又適合方程y=k2x+b2，這個交點坐標就是由方程y=k1x+b1，y=k2x+b2組成的方程組的解.如果直線y=k1x+b1、y=k2x+b2平行，它們沒有交點，這個方程組就無解，如果直線y=k1x+b1、y=k2x+b2是同一條直線，即兩條直線互相重合，它們有無數個公共點，這個方程組就有無數個解.實踐表明，方程組有無解以及它的解是否唯一，取決于k1、k2的關系：（1）當k1≠k2時，兩條直線有唯一公共點，原方程組有唯一解；（2）當k1=k2、且b1≠b2時，兩條直線無公共點，原方程組無解；（3）當k1=k2、且b1=b2時，兩條直線有無數公共點，原方程組有無數解.

3.利用圖象找解集

圖1

一次函數的圖象是一條直線，這條直線如果不與坐標軸平行、不經過坐標原點，則必然與兩坐標軸相交，例如一次函數y=1.5x+3，其圖象如圖1所示.

該直線與x軸、y軸分別交于點A（-2，0）、B（0，3），由此圖不難看出，當x= -2時，y=0，以點A為分界點，點A右邊的圖象處于x軸上方，點A左邊的圖象處于x軸的下方，這說明：當取x>-2時，y>0，即不等式1.5x+3>0的解集是x>-2；當取x

四、撩開面紗成雙對

1.天生的一對變量

借用教材中的話說：“如果在一個變化的過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有惟一的值與它對應，那么我們就稱y是x的函數”.可見，函數中必須有兩個變量，如果把其中一個變量規定為自變量，那么另一個變量就是這個自變量的函數.

例如：在正比例函數y=-12x中，x是自變量，y是x的正比例函數，當x每取一個確定的數值時，y都有惟一的數值與它對應，也就是說，只要x取一個確定的數值，y也就有一個確定的數值了.

2.函數圖象中點的坐標是一對有序實數

在平面直角坐標系中，可以通過列表、描點、連線等一系列過程作出函數的圖象，那么在平面直角坐標系上找出任何一點的坐標，都是用兩個實數表示的，并且表示橫坐標的數寫在前面，表示縱坐標的數寫在后面，兩個數中間用逗號隔開，前后再用小括號括起來.

例如，一次函數y=2x+2.如圖2，其圖象與x軸、y軸的交點坐標分別是（-1，0）和（0，2）.圖象上其他點的坐標也都是如此表示.

圖2圖3

3.畫一次函數圖象只需找出兩個點

一次函數的圖象是一條直線，由直線公理：兩點確定一條直線.可知：畫一次函數的圖象時，只需找出圖象上的兩個點的坐標即可.例如要作一次函數y=3x-2的圖象時，當x=0時y=-2，即點坐標是（0，-2）；當x=1時y=1，即點坐標是（1，1）；在直角坐標系中將經過點（0，-2）與（1，1）的直線作出，就是函數y=3x-2的圖象，如圖3.

在平面直角坐標系中，能作出函數y=3x-2的圖象的點很多，因為在函數y=3x -2中，x每取一個值，y都有惟一的數值與它對應，這樣的坐標點在平面直角坐標系上可以找出無數個，因此，只要從中任取兩個坐標點，就可以作出函數y=3x-2的圖象了.

4.一次函數y=kx+b （k≠0，k、b為常數）的圖象所經過的象限中，有兩個象限是由k的符號確定的

篇2

1.函數的概念

在某變化的過程中有兩個變量x和y,如果對于x的每一個值,y都有惟一確定的值與它對應,那么稱x是自變量,y是x的函數.

2.函數的表達式

用來表示函數關系的數學式子叫做函數的解析式或函數關系式,用數學式子來表示函數的方法叫做解析法.

3.自變量取值范圍的確定

必須考慮自變量的取值使解析式有意義,具體地,整式型的自變量的取值范圍是全體實數;分式型的自變量的取值范圍是使分母不為零的實數;二次根式型的自變量的取值范圍是被開方數為非負數;復合型的自變量的取值范圍由所列不等式的解集確定;應用型的自變量的取值范圍還應考慮實際意義.

4.函數值

對于自變量在取值范圍內的一個確定的值,如當x=0時,函數有惟一確定的對應值,這個對應值叫做x=0時的函數值.

5.一次函數與正比例函數的定義

一般地,如果兩個變量x與y之間的關系,可以表示為y=kx+b(k,b為常數且k≠0)的形式,那么稱y是x的一次函數.

特別地,當b=0時, y叫做x的正比例函數.

6.如何求一次函數與正比例函數的解析式

①因為正比例函數y=kx(k≠0)中的待定系數只有一個k,因此確定正比例函數的解析式只需關于x、y的一組條件,列出一個方程,從而求出k值.

②而一次函數y=kx+b(k≠0)中的待定系數有k和b,因此要確定一次函數的解析式需關于x、y的兩組條件,列出一個方程組,從而求出k和b.

7.一次函數的圖象

一般地,正比例函數y=kx的圖象是經過原點的一條直線,一次函數y=kx+b的圖象是由正比例函數y=kx的圖象沿y軸向上(b>0)或向下(b

因為一次函數的圖象是一條直線,由直線的公理可知:兩點確定一條直線,顯然一次函數y=kx+b(k,b為常數,k≠0)的圖象是經過點(0,b)、(-■,0)的一條直線.

8.一次函數的性質

在一次函數y=kx+b中,

如果k>0,那么y隨x的增大而增大;

如果k

9.一次函數表達式的確定

(1)通過分析數量(等量)關系得出函數關系式;

(2)通過利用函數圖象,根據直線上兩點坐標列出方程組確定k,b的值,求出一次函數表達式;

(3)從已知條件出發,通過數學建模得出一次函數表達式.

10.一次函數的應用

用一次函數解決實際問題的步驟:(1)認真分析實際問題中變量之間的關系;(2)若具有一次函數關系,則建立一次函數的關系式;(3)利用一次函數的有關知識解題.

在一些具體的生活問題中,數據往往較多,反映的內容也很復雜,如何把眾多的信息組織起來是解題的核心.在實際生活問題中,應用一次函數知識解題的關鍵是建立一次函數關系式,然后根據一次函數的性質,綜合方程知識求解.

在一次函數應用的過程中,要注意結合實際,確定自變量的取值范圍,求出對應的函數值時,舍去不符合題意的部分.

11.一元一次函數與一元一次方程

對于一次函數y=kx+b(k、b為常數,k≠0),它反映了2個變量x、y之間的某種對應關系,當其中的一個量變化時,另一個量也隨著變化,并且它們之間建立的是一一對應關系,把這一對對有序實數(x,y)作為點的坐標,在平面直角坐標系中,就可以畫出一條直線,這條直線就是一次函數的圖象.

同學們知道一元一次方程都可以轉化為kx+b=0 (k、b為常數,k≠0)的形式,所以當一次函數的函數值為0時,求自變量x的值,就是解方程kx+b=0求其根. 從圖象上看,就相當于已知直線y=kx+b(k、b為常數,k≠0),求這條直線與x軸交點的橫坐標的值.

12.一元一次函數與一元一次不等式

由于任何一元一次不等式都可以轉化為kx+b>0 或kx+b0或y0 或kx+b

13.一元一次函數與二元一次方程組

一般地,一元一次函數y=kx+b圖象上任意一點的坐標都是二元一次方程kx-y+b=0的解;以二元一次方程kx-y+b=0的解為坐標的點都在一次函數y=kx+b的圖象上.

一般地,如果兩個一元一次函數的圖象有一個交點,那么交點的坐標就是相應的二元一次方程組的解,所以解二元一次方程組除了代入法和加減法外還可以用圖象法.

用圖象法解二元一次方程組的步驟如下:

①把二元一次方程化成一次函數的形式;

②在直角坐標系中畫出兩個一次函數的圖象,并標出交點;

③交點坐標就是方程組的解.

二、滲透的數學思想方法

1.數形結合思想

著名的數學家華羅庚說過:“數缺形時少直觀,形缺數時難入微;數形結合百般好,數形分離萬事休”,這句名言道出了“數形結合思想”的重要性. 函數圖形可直觀形象地表示出兩個變量之間的關系,我們知道一次函數的圖象是坐標(x,y)滿足解析式y=kx+b(k、b為常數,k≠0)的所有點的集合,這樣就將數與式的關系同點與線的位置關系緊密地融合在一起,實現了形數的完美結合.由一次函數的圖象探索其性質就是一個由“形”向“數”轉化的例證.

2.分類討論思想

研究一次函數的圖象和性質的時候,對k、b進行討論,體現了分類討論的思想.

3.化歸思想

求兩個函數圖象交點的坐標可以轉化為求方程組的解,即將函數問題轉化為方程問題,當然求方程組的解也可以將二元一次方程轉化為一次函數畫出圖象,求交點坐標即可.

4.待定系數法

待定系數法是一項重要的數學方法,要結合它在確定一次函數表達式中的應用,理解它的基本思想,并注意在以后的學習中應用.

三、典型例題展示

1.自變量的取值范圍、函數值的計算

例1(1)(2009年廣東肇慶)函數y=■的自變量x的取值范圍是( ).

A.x>2 B.x

(2)(2008年江蘇泰州)根據流程圖1中的程序,當輸入數值x為-2時,輸出數值y為( ).

A.4B.6C.8D.10

解析:(1)由于函數關系式y=■是二次根式,由算術平方根的意義可知x-2≥0,所以x≥2,故選C.

(2)因為輸入數值x為-2,符合x

點評:求自變量的取值范圍主要是觀察函數的表達式中蘊含自變量的那些運算,必須保證算式有意義,如算術平方根的被開方數必須是非負數、分式的分母不能為零等.求函數值時,一定要在自變量的取值范圍內代入相應的解析式,如本題若將x=-2代入y=0.5x+5求值,就是錯誤的.

2.由創設的實際問題情景,選擇相吻合的函數圖象

例2 (2009年黑龍江牡丹江)將一盛有部分水的圓柱形小水杯放入事先沒有水的大圓柱形容器內,現用一注水管沿大容器內壁勻速注水(如圖2所示),則小水杯內水面的高度y(cm)與注水時間x(min)之間的函數圖象大致為( ).

解析:由于起初小杯內盛有一部分水,說明當x=0 時,y≠0(y>0),這樣首先將選項A、D排除,向大容器內壁勻速注水(直到大容器內水面的高度與小水杯高度相同)的這一段時間內,小水杯內水面的高度始終沒有變化,此后,大容器內的水流入小水杯內,y隨x的增大而升高,但當小水杯內的水的高度與水杯高度相同時,再向大容器內注水,y不再發生變化,這樣排除選項C,故選B.

3.數形結合探究解析式與一次函數的圖象的對應關系

例3 (1)(2009年安微蕪湖)關于x的一次函數y=kx+k2+1的圖象可能正確的是( ).

(2)(2008年浙江寧波)如圖3,某電信公司提供了A、B兩種方案的移動通訊費用y(元)與通話時間x(分)之間的關系,則以下說法錯誤的是( ).

A.若通話時間少于120分鐘,則A方案比B方案便宜20元

B.若通話時間超過200分鐘,則B方案比A方案便宜12元

C.若通訊費用為60元,則B方案比A方案的通話時間多

D.若兩種方案通訊費用相差10元,則通話時間是145分鐘或185分鐘

解析:(1)因為k2+1>0,所以一次函數y=kx+k2+1的圖象與坐標軸只能交于y 軸的正半軸,觀察圖象只有選項C符合.

(2)觀察圖象:A方案當通話時間不超過120分時需話費30元,B方案當通話時間不超過200分時需話費50元,因此選擇項A是正確的.

超過120分鐘時,A方案的費用y與通話時間x之間的關系為:yA=■x-18.

超過200分鐘時,B方案的費用y與通話時間x之間的關系為:yB=■x-30.

故通話時間超過200分鐘時,yA-yB=12,所以選擇項B是正確的.

當通訊費用為60元時,顯然方案B通話時間長,所以選項C是正確的.

由選項B可知,當通話時間超過200分鐘時,兩種方案通訊費用相差12元,不可能是10元,觀察圖象當通話時間在120～170分鐘之間時,B方案的費用高于A方案的費用10元時,即A方案的費用為40元時,40=■x-18,解之得x=145;當通話時間在170～200分鐘之間時,A方案的費用高于B方案的費用10元,即A方案的費用為60元時,60=■x-18,解之得x=195,所以選項D是錯誤的.

四、與幾何知識牽手

例4如圖4,點A的坐標為(1,0),點B在直線y=-x上運動,當線段AB最短時,點B的坐標為( ).

A.(0,0) B.(■,-■)

C.(■,-■) D.(-■,■)

解析:過點A作ACBO于點C,根據點到直線的距離可知,點B運動到與點C重合時AB最短.由∠AOC=45°,ACOC,可知AOC是等腰直角三角形,可得點C(■, -■),故選C.

例5 (2008年江西南昌)如圖5,在平面直角坐標系中,有A(0,1),B(-1,0),C(1,0)三點坐標.

(1)若點D與A、B、C三點構成平行四邊形,請寫出所有符合條件的點D的坐標;

(2)選擇(1)中符合條件的一點D,求直線 BD的解析式.

解析:(1)根據平行四邊形的判定可知,D點與另一點所形成的線段必須與另一條線段平行,如果以AB和BC為鄰邊,則AB∥CD,AD∥BC,可得D1(2,1);如果以BC和CA為鄰邊,則AC∥BD,AD∥BC,可得D2(-2,1);如果以AB和AC為鄰邊,則AB∥CD,AC∥BD,可得D3(0,-1),故符合條件的點D的坐標分別是D1(2,1),D2(-2,1),D3(0,-1).

(2)①選擇點D1(2,1)時,設直線BD1的解析式為y=kx+b,

由題意得-k+b=0,2k+b=1,解得k=■,b=■,

直線BD1的解析式為y=■x+■.

②選擇點D2(-2,1)時,類似①的求法,可得直線BD2的解析式為y=-x-1.

③選擇點D3(0,-1)時,類似①的求法,可得直線BD3的解析式為y=-x-1.

五、一次函數與一次方程(組)、不等式(組)

例6 (2008年湖北咸寧)直線l1:y=k1x+b與直線l2:y=k2x在同一平面直角坐標系中的圖象如圖6所示,則關于x的不等式k2x>k1x+b的解集為 .

解析:觀察圖象可以發現當xk1x+b的解集為x

例7 (2009年浙江臺州)如圖7,直線l1:y=x+1與直線l2:y=mx+n相交于點P(1,b).

(1)求b的值;

(2)請直接寫出關于x,y的方程組y=x+1,y=mx+n的解.

解析:(1)因為(1,b)在直線y=x+1上, 即當x=1時,b=1+1=2,所以直線l1:y=x+1與直線 l2:y=mx+n的交點P的坐標為(1,2).

(2)根據二元一次方程組的解與兩個一次函數圖象交點坐標的關系,方程組的解是x=1,y=2.

六、利用圖象、表格信息建立一次函數模型,解決實際問題

例8 (1)(2009年吉林長春)某部隊甲、乙兩班參加植樹活動.乙班先植樹30棵,然后甲班才開始與乙班一起植樹.設甲班植樹的總量為y甲(棵),乙班植樹的總量為y乙(棵),兩班一起植樹所用的時間(從甲班開始植樹時計時)為x(時).y甲、y乙分別與x之間的部分函數圖象如圖8所示.

(1)當0≤x≤6時,分別求y甲、y乙與x之間的函數關系式.

(2)如果甲、乙兩班均保持前6個小時的工作效率,通過計算說明,當x=8時,甲、乙兩班植樹的總量之和能否超過260棵.

(3)如果6個小時后,甲班保持前6個小時的工作效率,乙班通過增加人數,提高了工作效率,這樣繼續植樹2小時,活動結束,兩班植樹的總量相差20棵,求乙班增加人數后平均每小時植樹多少棵.

解析:(1)設y甲=k1x,把(6,120)代入,得k1=20,所以y甲=20x.

當x=3時,y甲=60.

設y乙=k2 x+b,把(0,30),(3,60)代入,得b=30,3k2+b=60,

解得k2=10,b=30.

所以y乙=10x+30.

(2)當x=8時,y甲=8×20=160, y乙=8×10+30=110,因為160+110=270>260,

所以當x=8時,甲、乙兩班植樹的總量之和能超過260棵.

(3)設乙班增加人數后平均每小時植樹a棵.

當乙班比甲班多植樹20棵時,有6×10+30+2a-20×8=20,解得a=45.

當甲班比乙班多植樹20棵時,有20×8-(6×10+30+2a)=20,解得a=25.

所以乙班增加人數后平均每小時植樹45棵或25棵.

例9 (2008年湖北咸寧)“5?12”四川汶川大地震的災情牽動全國人民的心,某市A、B兩個蔬菜基地得知四川C、D兩個災民安置點分別急需蔬菜240噸和260噸的消息后,決定調運蔬菜支援災區.已知A蔬菜基地有蔬菜200噸,B蔬菜基地有蔬菜300噸,現將這些蔬菜全部調往C、D兩個災民安置點.從A地運往C、D兩處的費用分別為每噸20元和25元,從B地運往C、D兩處的費用分別為每噸15元和18元.設從B地運往C處的蔬菜為x噸.

(1)請填寫下表,并求兩個蔬菜基地調運蔬菜的運費相等時x的值;

(2)設A、B兩個蔬菜基地的總運費為w元,寫出w與x之間的函數關系式,并求總運費最少的調運方案;

(3)經過搶修,從B地到C處的路況得到改善,縮短了運輸時間,運費每噸減少 m元(m>0),其余線路的運費不變,試討論總運費最少的調運方案.

解析:(1)從表格中可以看出從B地運往C處的蔬菜為x噸,而B地共有300噸,剩余(300-x)噸必然運往D地,而C地需要240噸,故需從A地調運(240-x)噸,剩余200-(240-x)=(x-40)噸全部運往D地,填表如下:

兩個蔬菜基地調運蔬菜的運費相等時,依題意得20(240-x)+25(x-40)=15x+18(300-x).

解得x=200.

(2)w與x之間的函數關系式為:w=2x+9200.

依題意得240-x≥0,x-40≥0,x≥0,300-x≥0.

40≤x≤240.

在w=2x+9200中,w隨x的增大而增大,故當x=40時,總運費最少,此時調運方案如下表:

(3)由題意知w=(15-m)x+18(300-x)+20(240-x)+25(x-40)=(2-m)x+9200.

當0

篇3

1、使學生初步理解一次函數與正比例函數的概念。

2、使學生能夠根據實際問題中的條件，確定一次函數與正比例函數的解析式。

二、內容分析

1、初中主要是通過幾種簡單的函數的初步介紹來學習函數的，前面三小節，先學習函數的概念與表示法，這是為學習后面的幾種具體的函數作準備的，從本節開始，將依次學習一次函數(包括正比例函數)、二次函數與反比例函數的有關知識，大體上，每種函數是按函數的解析式、圖象及性質這個順序講述的，通過這些具體函數的學習，學生可以加深對函數意義、函數表示法的認識，并且，結合這些內容，學生還會逐步熟悉函數的知識及有關的數學思想方法在解決實際問題中的應用。

2、舊教材在講幾個具體的函數時，是按先講正反比例函數，后講一次、二次函數順序編排的，這是適當照顧了學生在小學數學中學了正反比例關系的知識，注意了中小學的銜接，新教材則是安排先學習一次函數，并且，把正比例函數作為一次函數的特例予以介紹，而最后才學習反比例函數，為什么這樣安排呢?第一，這樣安排，比較符合學生由易到難的認識規津，從函數角度看，一次函數的解析式、圖象與性質都是比較簡單的，相對來說，反比例函數就要復雜一些了，特別是，反比例函數的圖象是由兩條曲線組成的，先學習反比例函數難度可能要大一些。第二，把正比例函數作為一次函數的特例介紹，既可以提高學習效益，又便于學生了解正比例函數與一次函數的關系，從而，可以更好地理解這兩種函數的概念、圖象與性質。

3、“函數及其圖象”這一章的重點是一次函數的概念、圖象和性質，一方面，在學生初次接觸函數的有關內容時，一定要結合具體函數進行學習，因此，全章的主要內容，是側重在具體函數的講述上的。另一方面，在大綱規定的幾種具體函數中，一次函數是最基本的，教科書對一次函數的討論也比較全面。通過一次函數的學習，學生可以對函數的研究方法有一個初步的認識與了解，從而能更好地把握學次函數、反比例函數的學習方法。

三、教學過程

復習提問：

1、什么是函數?

2、函數有哪幾種表示方法？

3、舉出幾個函數的例子。

新課講解：

可以選用提問時學生舉出的例子，也可以直接采用教科書中的四個函數的例子。然后讓學生觀察這些例子(實際上均是一次函數的解析式)，y=x，s=3t等。觀察時，可以按下列問題引導學生思考：

(1)這些式子表示的是什么關系?(在學生明確這些式子表示函數關系后，可指出，這是函數。)

(2)這些函數中的自變量是什么?函數是什么?(在學生分清后，可指出，式子中等號左邊的y與s是函數，等號右邊是一個代數式，其中的字母x與t是自變量。)

(3)在這些函數式中，表示函數的自變量的式子，分別是關于自變量的什么式呢?(這題牽扯到有關整式的基本概念，表示函數的自變量的式子也就是等號右邊的式子，都是關于自變量的一次式。)

(4)x的一次式的一般形式是什么?(結合一元一次方程的有關知識，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)

由以上的層層設問，最后給出一次函數的定義。

一般地，如果y=kx+b(k,b是常數，k≠0)那么，y叫做x的一次函數。

對這個定義，要注意：

(1)x是變量，k，b是常數；

(2)k≠0(當k＝0時，式子變形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常數函數，這點，不一定向學生講述。)

由一次函數出發，當常數b＝0時，一次函數kx+b(k≠0)就成為:y=kx(k是常數，k≠0)我們把這樣的函數叫正比例函數。

在講述正比例函數時，首先，要注意適當復習小學學過的正比例關系，小學數學是這樣陳述的：

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值(也就是商)一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。

寫成式子是(一定)

需指出，小學因為沒有學過負數，實際的例子都是k＞0的例子，對于正比例函數，k也為負數。

其次，要注意引導學生找出一次函數與正比例函數之間的關系：正比例函數是特殊的一次函數。

課堂練習：

教科書13、4節練習第1題．

一、目的要求

1、使學生初步理解一次函數與正比例函數的概念。

2、使學生能夠根據實際問題中的條件，確定一次函數與正比例函數的解析式。

二、內容分析

1、初中主要是通過幾種簡單的函數的初步介紹來學習函數的，前面三小節，先學習函數的概念與表示法，這是為學習后面的幾種具體的函數作準備的，從本節開始，將依次學習一次函數(包括正比例函數)、二次函數與反比例函數的有關知識，大體上，每種函數是按函數的解析式、圖象及性質這個順序講述的，通過這些具體函數的學習，學生可以加深對函數意義、函數表示法的認識，并且，結合這些內容，學生還會逐步熟悉函數的知識及有關的數學思想方法在解決實際問題中的應用。

2、舊教材在講幾個具體的函數時，是按先講正反比例函數，后講一次、二次函數順序編排的，這是適當照顧了學生在小學數學中學了正反比例關系的知識，注意了中小學的銜接，新教材則是安排先學習一次函數，并且，把正比例函數作為一次函數的特例予以介紹，而最后才學習反比例函數，為什么這樣安排呢?第一，這樣安排，比較符合學生由易到難的認識規津，從函數角度看，一次函數的解析式、圖象與性質都是比較簡單的，相對來說，反比例函數就要復雜一些了，特別是，反比例函數的圖象是由兩條曲線組成的，先學習反比例函數難度可能要大一些。第二，把正比例函數作為一次函數的特例介紹，既可以提高學習效益，又便于學生了解正比例函數與一次函數的關系，從而，可以更好地理解這兩種函數的概念、圖象與性質。

3、“函數及其圖象”這一章的重點是一次函數的概念、圖象和性質，一方面，在學生初次接觸函數的有關內容時，一定要結合具體函數進行學習，因此，全章的主要內容，是側重在具體函數的講述上的。另一方面，在大綱規定的幾種具體函數中，一次函數是最基本的，教科書對一次函數的討論也比較全面。通過一次函數的學習，學生可以對函數的研究方法有一個初步的認識與了解，從而能更好地把握學次函數、反比例函數的學習方法。

三、教學過程

復習提問：

1、什么是函數?

2、函數有哪幾種表示方法？

3、舉出幾個函數的例子。

新課講解：

可以選用提問時學生舉出的例子，也可以直接采用教科書中的四個函數的例子。然后讓學生觀察這些例子(實際上均是一次函數的解析式)，y=x，s=3t等。觀察時，可以按下列問題引導學生思考：

(1)這些式子表示的是什么關系?(在學生明確這些式子表示函數關系后，可指出，這是函數。)

(2)這些函數中的自變量是什么?函數是什么?(在學生分清后，可指出，式子中等號左邊的y與s是函數，等號右邊是一個代數式，其中的字母x與t是自變量。)

(3)在這些函數式中，表示函數的自變量的式子，分別是關于自變量的什么式呢?(這題牽扯到有關整式的基本概念，表示函數的自變量的式子也就是等號右邊的式子，都是關于自變量的一次式。)

(4)x的一次式的一般形式是什么?(結合一元一次方程的有關知識，可以知道，x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)

由以上的層層設問，最后給出一次函數的定義。

一般地，如果y=kx+b(k,b是常數，k≠0)那么，y叫做x的一次函數。

對這個定義，要注意：

(1)x是變量，k，b是常數；

(2)k≠0(當k＝0時，式子變形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常數函數，這點，不一定向學生講述。)

由一次函數出發，當常數b＝0時，一次函數kx+b(k≠0)就成為:y=kx(k是常數，k≠0)我們把這樣的函數叫正比例函數。

在講述正比例函數時，首先，要注意適當復習小學學過的正比例關系，小學數學是這樣陳述的：

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值(也就是商)一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。

寫成式子是(一定)

需指出，小學因為沒有學過負數，實際的例子都是k＞0的例子，對于正比例函數，k也為負數。

其次，要注意引導學生找出一次函數與正比例函數之間的關系：正比例函數是特殊的一次函數。

篇4

一、 培養學生學習一次函數的興趣

在課堂上，經常會看到個別學生活躍的身影，他們總是在教師講完甚至未講完的時候就迫不及待地將答案脫口而出。難道這些學生有學習數學的天賦嗎？難道是他們有與生俱來的才智嗎？不，都不是，是因為他們對數學學習具有熱情。他們總是充滿激情，充滿學習的樂趣，善于思考，如此，就會形成自己的思維。因此，要想教好數學，教好一次函數，首先就應該培養學生學習一次函數的興趣，調動學生參與學習的積極性，為學生營造充滿生機和活力的課堂氛圍。

二、 明確函數及一次函數的概念

要學習一種新事物，首先要明確它是什么。因此，在學習一次函數前，應該讓學生先明確函數的概念，以及所要學習的一次函數的概念。所謂函數，其實表示的是一種關系，表示每個輸入值對應唯一輸出值的一種對應關系。而一次函數是函數的一種，它表示在某一變化過程中，設有兩個變量分別為x和y，如果將其寫成y=kx+b（k為一次項系數，b為常數）這樣的表達式，那么我們就說y是x的一次函數，其中x是自變量，y是因變量。看起來似乎很復雜，那么如何來理解這個概念呢？就是說在某一個變化過程中，設有兩個變量x和y，如果可以寫成y=kx+b（k為一次項系數，b為常數），即每一個x都有唯一一個y與之對應，那么我們就說y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量，它隨x的變化而變化。當x取一個值時，y有且只有一個值與x對應。如果有2個或2個以上的值與x對應，那就不是函數。然后教師可以寫出一些表達式，讓學生來區分一下哪些是一次函數，哪些不是。比如這樣的一個習題：確定下面哪些是一次函數？哪些不是？

1. y=2x-1 2. y=x2 3. y-2=x 4y=-x

很顯然第二個是不符合一次函數定義的，而其他的幾項都符合，所以其他幾項都屬于一次函數。

三、 通過圖象理解一次函數解析式的性質特征

將數與形進行有機結合，對于理解函數來說是一種很好的方式，因此教師要讓學生熟練掌握一次函數的圖形，能夠熟練作圖以及通過圖形得出一次函數的基本性質特征。圖象的畫法一般是通過三個步驟來完成的：1.列表；2.描點；3.連線。通過分析圖，我們可以得出一次函數的基本性質：（1）在一次函數圖象上任取一點P（x，y），則都滿足等式：y=kx+b（k≠0）.（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b），與x軸總交于（-，0）.a.當 k>0，b>0， 此函數的圖象經過第一、二、三象限；b.當 k>0，b

四、加強訓練和鞏固

篇5

知識準備

一、解析式：一次函數的解析式為y=kx+b（k,b都是常數且k≠0）。當b=0時，y=kx(k≠0)叫做正比例函數。

二、圖象：一次函數和正比例函數的圖象是一條直線。

三、性質

1、當k>0時，y隨x的增大而增大；

當k

2、當b>0時，直線與y軸的正半軸相交；

當b

當b＝0時，直線經過原點

3、當k>0,b>0時，直線經過第一、二、三象限；

當k>0,b

當k0時，直線經過第一、二、四象限；

當k

4、畫一次函數的圖象只需取直線上兩個不同點即可。一般取直線y=kx+b與坐標軸的交點（- ，0）和（0,b）

5、兩直線y1=k1x+b1與y2=k2x+b2

當k1=k2 b1≠b2時，兩直線平行；

當k1≠k2 b1=b2時，兩直線交于y軸同一點（0,b）

四、一次函數的表示法有：解析法、列表法、圖象法。

方法解析

一、一次函數的判定方法

1、定義法：一次函數需同時滿足以下三個條件：

①函數的解析式是關于自變量（如x）的整式；

②函數自變量x的最高次數是1；

③函數自變量x的系數不等于0.

2、數形結合法：一次函數的圖象是一條直線（或直線上的一部分）。

二、求一次函數的解析式。

1、用待定系數法求一次函數的解析式。

①待定系數法：先設出函數的解析式，再根據已知條件確定解析式中未知的系數，從而求出函數解析式的方法，叫做待定系數法。

②一般步驟：

I：設函數關系式為y=kx+b（k≠0）

II：由已知條件得出關于k、b的方程（組）；

III：解方程（組）求出k、b的值；

IV：寫出所求的函數關系式。

③例題詳解

例1：(2007年?樂山)直線l1經過點A（-3,1），B（0,-2），將該直線向右平移2個單位得到直線l2，求直線l2的解析式。

解題導引：根據兩點確定一條直線，故只需找出l2上的兩點即可。

解：A（-3,1），B（0,-2）向右平移兩個單位后的點坐標為（-1,1）和（2,-2），即直線l2經過（-1,1）和（2,-2）。

設直線l2的解析式為y=kx+b(k≠0)

由已知得解方程組得

直線l2的解析式為y=-x。

2、用數形結合法求一次函數的解析式。

①解題思路：從題目中讀懂信息，找到兩組對應值，從而得到相應的函數解析式。利用數形結合的方法解決有關函數問題，使抽象的數形象化、直觀化，化數為形，以形思數。

②例題詳解

例2：某商店試銷售一種成本單價為100元/件的商品，規定試銷時售價不低于成本價，又不高于180元/件，經市場調查發現，銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的關系滿足一次函數y=kx+b（k≠0）其圖象如右圖所示。

（1）根據圖象求一次函數的解析式；

（2）若銷售量y不低于80件，求銷售價

x的范圍。

解題導引：由函數圖象可知直線y=kx+b

經過點（120,120），（140,100），從而可求其解

析式。

解：（1）由圖象可得：

解這個方程組得

所求的一次函數的解析式為：y=-x+240（100≤x≤180）

（2）由題意得：

即

100≤x≤160

3、運用一次函數的性質求解析式

例3：已知一次函數y=kx+b（k,b為常數且k≠0）中自變量的取值范圍是-2≤x≤6，相應的函數值的取值范圍是-10≤y≤6，求此函數的解析式。

解題導引：欲求函數的解析式，只需求出函數的兩組對應值。但本題中沒有指出函數值隨自變量的變化情況，故應分兩種情況：

①y隨x的增大而增大和②y隨x的增大而減小考慮。

解：（1）當y隨x的增大而增大時

則由已知得x=-2時,y=-10,x=6時,y=6

解這個方程組得

所求的函數解析式為y=2x-6

（2）當y隨x的增大而減小時，

則由已知得，x=-2時y＝6,x=6時,y＝-10

解這個方程組得

所求的函數解析式為y=-2x+2

由（1）（2）得所求函數的解析式為y=2x-6或y=-2x+2

4、由函數與坐標軸圍成的三角形面積求解析式。

例4：若直線y=2x+b與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4,求此一次函數的解析式。

解題導引：此題得解的關鍵是求b，于是需由已知條件建立一個關于b的方程。

解：在y=2x+b中

當x=0時y=b，當y=0時，x=-

直線y=2x+b與x,y軸的交點分別是

(- ,0) 和（0,b）

由已知條件得： ｜b|?|- |=4

所求的一次函數的解析式為y=2x+4或y=2x-4。

5、由對稱性求一次函數的解析式。

例5：已知直線l1：y=x-2與直線l2關于x軸對稱，求直線l2的解析式。

解題導引：求直線l2的解析式，關鍵要找出l2上兩個點，因為l2與l1關于x軸對稱，則l1上的每個點關于x軸的對稱點都在l2上，故只需在l1上任取兩點，再求出它關于x軸的對稱點即可。

解：在y=x-2中

當x=0時，y=-2，當y=0時，x＝2

（0,-2）和（2,0）關于x軸的對稱點分別是（0,2）和（2,0）

設l2的解析式為y=kx+b

篇6

例1 (2009吉林)A,B兩地相距45千米,圖中折線表示某騎車人離A地的距離y與時間x的函數關系.有一輛客車9點從B地出發,以45千米/時的速度勻速行駛,并往返于A,B兩地之間.(乘客上、下車停留時間忽略不計)

(1)從折線圖可以看出,騎車人一共休息次,共休息 小時;

(2)請在圖中畫出9點至15點之間客車與A地距離y隨時間x變化的函數圖象;

(3)通過計算說明,何時騎車人與客車第二次相遇.

點撥:①休息的次數就是折線中平行于x軸的線段的條數,休息的時間就是這些的線段長度之和.

②A,B兩地相距45千米,而客車正好以45千米/時的速度勻速行駛,可知客車在A,B兩地間的行進時間為1小時,據此不難作出如圖所示的由6條線段組成的端點分別是(9,45),(10,0)(11,45),(12,0),(13,45),(14,0)(15,45)的折線.

③騎車人與客車相遇在圖象上的體現,就是相應的函數圖象相交.觀察函數圖象,從左至右的第二個交點,是直線EF與直線y=30的交點.先求出線段EF的解析式,再把y=30(10≤x≤11)代入,即可求出騎車人與客車第二次相遇的時間.

解:(1)兩.兩.

(2)

(3)設直線EF所表示的函數解析式為y=kx+b.

把E(10,0),F(11,45)分別代入y=kx+b,得

解得

直線EF所表示的函數解析式為y=45x-450.

把y=30代入y=45x-450,得45x-450=30,x=10.

答:10點40分騎車人與客車第二次相遇.

二、工程類應用題

例2(2009南寧)南寧市獅山公園計劃在健身區鋪設廣場磚.現有甲、乙兩個工程隊參加競標,甲工程隊鋪設廣場磚的造價y甲(元)與鋪設面積x(m2)的函數關系如圖所示;乙工程隊鋪設廣場磚的造價y乙(元)與鋪設面積x(m2)滿足函數關系式:y乙=kx.

(1)根據圖象寫出甲工程隊鋪設廣場磚的造價y甲(元)與鋪設面積x(m2)的函數關系式;

(2)如果獅山公園鋪設廣場磚的面積為1600m2,那么公園應選擇哪個工程隊施工更合算?

點撥:①函數圖象由一條線段和一條射線組成可知,故需分別求出0≤x≤500和x≥500時的函數解析式,再合成為分段函數解析式.

②由已知鋪設廣場磚的面積為1600m2,可求得甲工程隊的造價.因為乙工程隊鋪設廣場磚的造價y乙(元)與鋪設面積x(m2)滿足函數關系式為y乙=kx,所以公園應選擇哪個工程隊施工更合算,就取決于k值.分類建立不等式,求出相應的k值,即可作出正確的判斷.

解:(1)當0≤x≤500時,設y甲=k1x,把(500,28000)代入上式得:

28000=500k1,k1==56.y甲=56x.

當x≥500時,設y甲=k2x+b,把(500,28000)、(1000,48000)代入上式得:

解得:y甲=40x+8000.

y甲=

(2)當x=1600時,y甲=40600+8000=72000,y乙=1600k.

當y甲

當y甲>y乙時,即72000>1600k,解得0

當y甲=y乙時,即72000=1600k,k=45.

答:當k>45時,選擇甲工程隊更合算,當0

三、銷售類應用題

例3(2008荊州)“5•12”汶川大地震后,某健身器材銷售公司通過當地“紅十字會”向災區獻愛心,捐出了五月份全部銷售利潤.已知該公司五月份只售出甲、乙、丙三種型號器材若干臺,每種型號器材不少于8臺,五月份支出包括這批器材進貨款64萬元和其他各項支出(含人員工資和雜項開支)3.8萬元.這三種器材的進價和售價如下表,人員工資y1(萬元)和雜項支出y2(萬元)分別與總銷售量x(臺)成一次函數關系(如圖).

(1)求y1與x的函數解析式;

(2)求五月份該公司的總銷售量;

(3)設公司五月份售出甲種型號器材t臺,五月份總銷售利潤為W(萬元),求W與t的函數關系式;(銷售利潤=銷售額-進價-其他各項支出)

(4)請推測該公司這次向災區捐款金額的最大值.

點撥:①依圖象所提供的信息,用待定系數法求y1與x的函數解析式.

②已知人員工資和雜項開支為3.8萬元,而人員工資和雜項開支與銷售總量的關系分別為y=0.05x+0.2,y2=0.005+0.3,據此建立方程即可求得五月份該公司的總銷售量.

③已知五月份售出甲種型號器材t臺,再設五月份售出乙種型號器材p臺,則售出丙種型號器材(60-t-p)臺. 由五月份這批器材進貨款為64萬元可列出方程,化簡方程即可得到p與t的關系式. 由“銷售利潤=銷售額-進價-其他各項支出”列出函數解析式,再化簡即可得到W與t的函數關系式.

④由“每種型號器材不少于8臺”列出不等式組,解不等式組就得到t的取值范圍,再利用一次函數的增減性,即可推測該公司這次向災區捐款金額的最大值.

解:(1)設y1=kx+b(x>0),則解得

y1與x的函數關系式為y=0.05x+0.2.

(2)依題意得y1+y2=0.05x+0.2+0.005x+0.3=3.8.解得x=60.

五月份該公司的總銷售量為60臺.

(3)設五月份售出乙種型號器材p臺,則售出丙種型號器材(60-t-p)臺.

依題意得0.9t+1.2p+1.1(60-t-p)=64.p=2t-20.

W=1.2t+1.6(2t-20)+1.3(60-t-2t+20)-64-3.8.

即W與t的函數關系式為W=0.5t+4.2.

(4)依題意有解得14≤t≤24.

W是關于t的一次函數,由(3)W隨t的增大而增大,

篇7

關鍵詞：一次函數；現實背景；模型探究

作者簡介：周占鋒（1963-），男，福建省龍巖市武平縣，本科，高級教師，武平縣教師進修學校中學教研室主任.數學建模是數學學科六個核心素養之一，而模型思想是初中數學的重要數學思想.數學課程標準（2011年版）指出：數學與人類發展和社會進步息息相關，隨著現代信息技術的飛速發展，數學更加廣泛應用于社會生產和日常生活的各個方面. 課標把模型思想作為十個核心概念之一，認為模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.一次函數是初中學生學習和理解函數的重要素材，其中自變量與函數的對應關系是初學者理解兩個變量間對應關系的難點，探究一次函數現實背景模型，有利于學生理解一次函數中兩個變量間的對應關系及其圖象和性質，并利用一次函數的圖象和性質解決實際問題.以下是幾種一次函數的現實背景模型探究.

一、行程問題的一次函數現實背景模型

設路程為s，速度為v，時間為t，則s=vt . 當速度v為常量，如v=30km/s，s=30t是正比例函數；而正比例函數是最特殊的一次函數. 若行程問題中出現兩個或兩個以上對象，不同時間段有不同的位置狀態，就構成一次函數的分段函數模型.

例1甲乙兩人勻速從同一地點到1500米處的體檢中心體檢，甲出發5分鐘后，乙以50米/分的速度沿同一路線行走，s關于t的函數圖象的一部分如圖1所示.設甲乙兩人相距s（米），甲行走的時間為t（分）.

（1）求甲行走的速度；

（2）在坐標系中，補畫s關于t函數圖象的其余部分；

（3）問甲、乙兩人何時相距360米？

分析此現實背景中出現甲、乙兩人為兩個不同對象，出發時間不同使各個時間段兩人的相對位置不同，構成距離s與時間t在不同時間段有各自不同的一次函數對應關系，其中題設信息以文字信息和圖象信息相結合的形式出現，從圖象信息發現背景涉及四種不同情形：

①t=5分鐘時甲走了150米；

②甲出發5分鐘后，乙開始出發，t=12.5分鐘時，甲追上乙，s=0；

③t=35分鐘時，甲走了1050米；乙用時30分鐘走了1500米，到達體檢中心，s=450米；

④t>35分鐘時，乙已到達體檢中心，甲還要用15分鐘走完450米的路程，t=50分鐘時甲也到達體檢中心，s=0.

根據以上分析s與t的函數關系式是：

s=30t（0≤t≤5）

-20t+250（5

20t-250（125

-30t+1500（35

試題設計要點：

1.基礎題設置：從圖象信息中發現甲5分鐘走的路程為150米，可求甲行走的速度為30米/分.

2.對實際問題的再現：t=35分鐘時，乙實際用時30分鐘，乙已經到達圖書館，此時s=450米，甲用時t=15分鐘才能到達圖書館，此時s=0. 在坐標系中，補畫s關于t函數圖象的其余部分是連接（35，450），（50，0）的一條線段.

3.設甲、乙兩人t分鐘后相距360米，此處的難點是乙實際用時為（t-5）分鐘，而不是t分鐘，根據圖象信息時間應在12.5

二、收費問題的一次函數現實背景模型

收費問題通常與兩種或兩種以上的收費方式相關，收費金額有的與時間建立一次函數關系，有的與用量建立一次函數關系.

例2（2014龍巖中考第23題）隨著地球上的水資源日益枯竭，各級政府越來越重視倡導節約用水.某市對居民生活用水按“階梯水價”方式進行收費，人均月生活用水收費標準如圖2所示.圖中x表示人均月生活用水的噸數，y表示收取的人均月生活用水費（元）.請根據圖象信息，回答下列問題：

（1）該市人均月生活用水的收費標準是：不超過5噸，每噸按元收取；超過5噸的部分，每噸按元收取；

（2）請寫出y與x的函數關系式；

（3）若某個家庭有5人，五月份的生活用水費共76元，則該家庭這個月用了多少噸生活用水？

水費問題通常采用“階梯水價”方式進行收費，水費與用水量建立一次函數的分段函數現實背景模型，考查學生從現實生活中抽象出一次函數模型的數學思考，并用數學思考進行問題解決的考量.

三、銷售問題的一次函數現實背景模型

銷售問題通常以何種銷售、銷售單價與銷售量為現實背景模型出現，多數是利潤與銷售量建立一次函數關系的模型，關注利潤的合理區間. 有時通過圖象信息提供已知條件，考查學生的讀圖能力.

例3（2016龍巖中考第23題）某廠家在甲、乙兩家商場銷售同一商品所獲利潤分別為y甲、y乙（單位：元），y甲、y乙與銷售數量x（單位：件）的函數關系如圖3所示，試根據圖象解決下列問題：

（1）分別求出y甲、y乙關于x的函數關系式；

（2）現廠家分配該商品800件給甲商場，400件給乙商場，當甲、乙商場售完這批商品后，廠家可獲得總利潤是多少元？

該題以圖象信息顯示問題背景，突現從實際生活中抽象出一次函數模型解決實際問題的能力，考查用解析法求解一次函數解析式.

四、圖形運動的一次函數現實背景模型

圖形運動通常有點動、線動和面動等，其構成的軌跡、距離、面積等可以用函數來刻畫，初中數學常有用一次函數刻畫圖形運動的情況.

例4已知如圖4，在矩形ABCD中，動點P從點B出發，沿BC，CD，DA運動至點A停止.設點P運動的路程為x，ABP的面積為y，如果y關于x的函數圖象如圖5所示，則ABC的面積是（）

A.10B.16C.18D.20

篇8

關鍵詞：二元一次方程 一次函數 圖象 方程組解

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）08-187-02

如果我們在教學過程中，注意引導學生用二元一次方程的知識和觀點來看待一次函數，往往會收到意想不到的效果。

一、用二元一次方程的解理解一次函數圖象

一個二元一次方程 （m、n都是常數，且m、n都不為0）是一個不定方程，有無數組解。如果把x看作橫坐標、y看作縱坐標，那么每一組解就是一個點的坐標。以二元一次方程組 的解為坐標的所有的點集中在一起，就構成了直線 。也就是說，直線 的點與二元一次方程 的解是一一對應的。這樣理解后，下面的問題就容易理解了。

求直線 與坐標軸的交點。這問題相當于知道x（或y）的值為0，求y（或x）的值。

例：直線 與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求A、B的坐標。

解：當y=0時，代入直線解析式方程 ，得 ，解得 所以A點的坐標是 。

當x=0時，代入直線解析式方程 ，得 ；所以B點的坐標是 。

二、利用二元一次方程組來判斷對應的兩個一次函數圖象的位置

設二元一次方程組的一般形式為 ，可轉化為 ，令 ，則上述形式又可以寫成 。這就對應著兩個一次函數。

（1）當 時，二元一次方程組 有唯一解，此時直線 和直線 相交。

（2）當 時，方程組 無解，此時直線 和直線 平行，沒有公共點。

（3）當 時，方程組 有無數組解，此時直線 和直線 重合，有無數個公共點。

三、二元一次方程組解決一次函數問題

在學習過程中，不少一次函數的問題可以轉化成二元一次方程組的問題來解決，下面這種題型就是很好的例子。

如何求兩個一次函數圖象交點坐標。這個交點，同時在這兩個函數圖象上，所以同時滿足這兩個函數解析式方程。我們可以通過解這兩個解析式組成的方程組來解決問題。

例：求兩個一次函數 和 圖象的交點坐標。

解：由題意可得： ；解方程組得： ；所以交點坐標是（1，1）。

四、二元一次方程與一次函數的綜合應用

實際問題一直是個難點，應根據具體情況把一次函數和二元一次方程組有機地結合，靈活運用，從而順利解決問題。

例：中國移動公司開設兩種通訊業務，“全球通”使用者先繳50元月租費，每通話1分鐘再付0.4元；“神州行”不繳月租費，每通話1分鐘付話費0.6元。現在小明想開通其中一種通訊業務，請問他應該開通哪一種更省錢？

分析：每月付話費的多少與小明每月通話時間有關，我們可設小明每月通話x分鐘，付的話費為y元，分別建立起兩種通訊業務方案的函數模型，然后再進行比較。

解：設小明每月通話x分鐘，付的話費為y元。

全球通每月付款為y=0.4x+50；神州行通每月付款為y=0.6x

在同一直角坐標系中畫出這兩個函數的圖象

解方程組 ；解之得： ；所以兩圖象交于點（250，150）

由圖象易知：

當 時， ，此時選擇神州行更省錢；

當 時， ，此時兩種方案沒有區別；

當 時， ，此時選擇全球通更省錢。

總之，在一次函數教學過程中，教師要引導學生把一次函數和二元一次方程有機聯系起來，給予學生充分的時間和空間來體驗數學知識的學習過程，適當的練習來熟練應用各知識點。這樣，相信學生學好一次函數不成問題。

參考文獻：

篇9

下面是我從《一次函數》這節課的教學反思中得到的幾點體會。

一、備課要關注學生差異，重視基礎知識

新課程指出，課堂教學要面向全體學生，目的是促進學生的全面發展。心理學表明，學生的發展是存在差異的。教師要關注學生的差異，在備課的時候根據學生的認知水平，要有針對性。

在引入一次函數的時候，我展示了一個學生熟悉的生活實例，讓學生更好地找出兩個變量的關系。比如，某彈簧的自然長度是3厘米。在彈性限度內，所掛物體的質量x每增加1千克，彈簧長度y增加0.5厘米。（1）計算所掛物體的質量分別為1千克、2千克、3千克、4千克、5千克時彈簧的長度。（2）你能寫出x與y之間的關系式嗎？對于問題（1），學生已有比較豐富的生活經驗，很快就可以得出結果；對于問題（2），學生因為比較陌生，要求學生先思考，再與其他同學討論，我也參與了學生的討論，適當引導。教師不能一味追求結論，而忽略學生的差異，對接受能力較差的學生要適當進行引導，降低難度，幫助學生找出兩個變量的關系式。同時，為了讓學生找出一次函數中兩個變量的特點，我在教學中展示了幾個與生活聯系緊密的實例。讓學生分析從幾個實例得到的關系式的共同點，再引導學生歸納出一次函數的定義。這樣既滿足了學生的求知欲，提高了學生分析的能力，又大大提高了課堂的教學質量。

在學習了一次函數的定義后，為了加深學生對一次函數的理解，我讓學生完成了以下的練習。判斷下列函數哪些是一次函數？哪些是正比例函數？（1）y=2x；（2）y=3x+1；（3）y=2x-3；（4）y=■x。在這一教學環節中，其實還可以添加一些形如（5）y=■和（6）y=x2+1類型的函數。在學生完成這幾道練習題后，再讓學生分析一次函數與其他函數的不同之處，明確一次函數的特點。這里要給學生充足的時間思考和討論，因為這是學生形成知識的重要環節。新課程指出，學生是學習的主體，所有的新知識只有通過學生自身的“再創造”活動，才能納入其認知結構中，才能成為有效的知識。

二、創設問題情境，激發學生學習的積極性

第一，打破沉悶的課堂氣氛，讓課堂教學變得更有生機

美國心理學家布魯納指出：“學習的刺激乃是對所學材料的興趣，要想使學生上好課，就得千方百計點燃學生心靈上的興趣之火。”所以在教學時，不一定要完全按照課本的引入去設計教學環節。在引入兩個變量的關系的時候，我們可以設計一個學生在生活中遇到的問題情境，讓數學與生活聯系，學生就會認識到數學就在我們身邊，萌發探究數學問題的好奇心。例如，小明現有5元，他想存錢買一本價值30元的數學興趣書，假如他每月存5元。（1）請你幫他算算1個月、2個月、3個月、4個月后一共有多少錢？（2）經過x個月后，小明一共有多少錢？這樣設計可以激發學生學習的積極性，促使學生主動參與教學活動。實踐表明，學生的主動學習是獲得知識的最有效的方法。

第二，引導學生主動地參與課堂教學

新課程指出，好的教學能夠促進學生進行有效地學習。而教師的主要作用在于組織教學活動，激發學生主動從事數學活動。有時候，教師的一個微笑，可以給學生很大的鼓舞，讓學生主動去學習。如上面小明買數學興趣書的問題中，在提問一個學生的時候，他可能還沒想出來，有點著急，我笑了笑說：“別急，慢慢想，你可以做得到的。”這位學生感受到老師對他的信任，更加積極地去思考問題，雖然他花了很長時間才回答出來，但是我覺得這是值得的。我們在教學時還可以通過設計一些有趣的問題情境，引導學生主動參與課堂教學了。例如，果農李大叔養的一只猴子幫李大叔摘了8個桃子，假如它從現在開始每分鐘摘2個，求x分鐘后這只猴子一共摘的桃子數y與時間x的關系式？在這里如果能用上多媒體的動畫設計就更能吸引學生的注意力，讓學生在輕松愉快的課堂氣氛中學習、掌握新知識，這樣他們對新知識更加樂于接受。

第三，多給學生創造機會，讓學生得到更好地發展

每個學生都有分析問題、解決問題和創造的潛能，關鍵是如何為學生提供機會，讓學生發掘自己的潛能。學生總是喜歡把自己當成探索者、研究者、發現者，并且往往是當自己的觀點與其他人的觀點不一致的時候，會產生要證實自己思想的欲望。這里要注意，讓學生挑戰自己，不是要難倒學生。不要出太難的習題，否則會挫傷學生學習的積極性。從而激勵學生在學習的過程中不斷獲得成功的體驗，提高自主學習的能力。如，寫出下列各題中y與x之間的關系式，并判斷y是否為x的一次函數？是否為正比例函數？（1）汽車以60千米/時的速度勻速行駛，行駛路程y（千米）與行駛時間x（時）之間的關系；（2）圓的面積y（平方厘米）與它的半徑x（厘米）之間的關系；（3）一棵樹現在高50厘米，每個月長高2厘米，x月后這棵樹的高度為y（厘米）。在教學中，我特意讓幾個基礎不太好的學生上黑板演練，這幾個題目的背景都是和生活聯系比較緊密的，只要給學生足夠的時間，他們基本能自己解決。所以，在教學中教師不要一味地追求教學進度，抹殺了學生體驗成功的機會。特別是基礎比較差的學生，更應該給他們一些這樣的機會去提高他們學習的積極性和學習的自信心，進一步減少差距，讓他們學得更有動力。

三、學有所用，培養學生掌握、運用知識的能力

篇10

我們小組的觀察點是教師是否關注學生，是否根據學生的認知基礎引導學生自主構建知識體系。觀察維度是教學環節設計如何提高學生的數形結合能力和解決實際問題的能力。總的來說，這節課教學環節時間分配較合理，教師引導及時恰當。教師教學思路清晰，教學重點突出，教師由淺入深、輕松愉悅地完成了教學目標。教師親切的表情、流暢的語言、課件的精心準備等等方面都為學生的引領提供了一個輕松和諧的學習環境。課堂環節設計，教師仔細引導學生通過圖象識圖辯圖，掌握信息，體會分析自變量和因變量的潛在規律，根據了解到的信息，解決提出的問題，提高了學生的數形結合能力。

具體教學過程中，有以下幾個環節值得商議：

（1）在教學過程中，學生的主體地位沒有充分展示出來，對于問題的生成，最好是教師引導學生去發現問題，提出問題，給每個學生充分的講話機會，讓他們大膽講出自己的問題，大膽地參與探索和交流，彼此分享各自的觀點和靈感，這樣才可以調動學生的自主學習積極性。而不是教師牽著學生走，扼殺了學生的思維。

（2）缺少對學生動手能力的培養。缺少鼓勵性評價性語言。通過交流，讓學生之間互評，可以充分交流、碰撞，提高學習的主動性，積極性，參與性和創造性，是一種體驗式的學習。

（3）小組合作探究再增加一個問題環節效果更好。對于例2的講解，教師應更加強小組合作的模式，通過小組內探討發現，找到問題，培養學生數形結合的能力和語言表達能力。