與三角形有關(guān)的線段范文

導(dǎo)語：如何才能寫好一篇與三角形有關(guān)的線段，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

一．添輔助線有二種情況：

1按定義添輔助線：

如證明二直線垂直可延長使它們,相交后證交角為90°；證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。

2按基本圖形添輔助線：

每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補圖”，這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：

（1）平行線是個基本圖形：

當幾何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線

（2）等腰三角形是個簡單的基本圖形：

當幾何問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：

出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。

（4）直角三角形斜邊上中線基本圖形

出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。

（5）三角形中位線基本圖形

幾何問題中出現(xiàn)多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明當有中點沒有中位線時則添中位線，當有中位線三角形不完整時則需補完整三角形；當出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點是某線段的中點，則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。

（6）全等三角形：

全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點兩兩連結(jié)或過二端點添平行線

（7）相似三角形：

相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時（中點可看成比為1）可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過端點添則可以分點或另一端點的線段為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。

（8）特殊角直角三角形

當出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：√2；30度角直角三角形三邊比為1：2：√3進行證明

（9）半圓上的圓周角

出現(xiàn)直徑與半圓上的點，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對弦---直徑；平面幾何中總共只有二十多個基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。

二．基本圖形的輔助線的畫法

1.三角形問題添加輔助線方法

方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。

方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。

方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。

方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。

2.平行四邊形中常用輔助線的添法

平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：

（1）連對角線或平移對角線：

（2）過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形

（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線

（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。

（5）過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.

3.梯形中常用輔助線的添法

梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：

（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。

（2）梯形外平移一腰

（3）梯形內(nèi)平移兩腰

（4）延長兩腰

（5）過梯形上底的兩端點向下底作高

（6）平移對角線

（7）連接梯形一頂點及一腰的中點。

（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。

（9）作中位線

當然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。

4.圓中常用輔助線的添法

在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問題時，常常需要添加適當?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決。

（1）見弦作弦心距

有關(guān)弦的問題，常作其弦心距（有時還須作出相應(yīng)的半徑），通過垂徑平分定理，來溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。

（2）見直徑作圓周角

在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用"直徑所對的圓周角是直角"這一特征來證明問題。

（3）見切線作半徑

命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點的半徑，利用"切線與半徑垂直"這一性質(zhì)來證明問題。

（4）兩圓相切作公切線

對兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。

（5）兩圓相交作公共弦

篇2

一、截取(延長)線段，構(gòu)造全等三角形

例1如圖1，AD是ABC的中線，DE、DF分別是ABD、ACD的角平分線，求證：EF

分析利用角平分線的條件，分別構(gòu)造兩對全等三角形，轉(zhuǎn)移BE、CF，使三條線段構(gòu)成一個三角形.

證明在DA上截取DN=DB=DC，連結(jié)NE、NF.

由DE平分∠ADB，知∠1=∠2.

又BD=ND,ED=ED，

所以BDE≌NDE，

得BE=NE.

同理可得CF=NF.

而在EFN中，NE+NF>EF，

故BE+CF>EF，

即EF

點評當有角平分線時，截取相等線段，為解題開通道路.本例也可延長ED到N，由全等三角形得BE=CN,EF=NF.

二、截取(延長)線段，構(gòu)造等腰三角形

例2如圖2，在ABC中，∠ACB=2∠B，求證：2AC>AB.

分析本題關(guān)鍵是如何構(gòu)造出2AC.利用角的二倍關(guān)系，構(gòu)造以AC為腰的等腰三角形，該等腰三角形的底邊恰與AB相等.

證明延長BC到D，使CD=AC，連結(jié)AD.

則∠CAD=∠D.

而∠ACB=∠CAD+∠D，

所以∠ACB=2∠D.

而∠ACB=2∠B，

所以∠B=∠D，得AB=AD.

在ACD中，AC+CD>AD，

所以2AC>AB.

點評本題也可以在BC上取點E，使∠AEC=∠ACB.連結(jié)AE，可類證.

三、延長中線構(gòu)造平行四邊形

例3如圖3，AD是ABC的中線，求證：AB+AC>2AD.

分析由2AD想到延長AD至等長，構(gòu)造出平行四邊形，就可把有關(guān)線段轉(zhuǎn)移到一個三角形中.

證明延長AD到E，使DE=AD，連結(jié)BE、CE.

又DB=DC，所以四邊形ABEC是平行四邊形，得AC=BE.

在ABE中，

AB+BE>AE，

所以AB+AC>2AD.

點評如果沒學(xué)到平行四邊形，也可證明EBD≌ACD.

四、構(gòu)造中位線

例4證明：三角形任兩條中線之和大于第三條中線.

已知：如圖4，AD、BF、CE是ABC的三條中線，它們相交于N.

求證：BF+CE>AD.

分析利用三角形重心N將各中線三等分的性質(zhì)，取AN的中點M，使EMN的三邊分別是各中線的三分之一.

證明取AN的中點M，連結(jié)ME.

因為AD是中線，N是重心，

所以MN=13AD.

又E是AB中點，

則EM=12BN=13BF.

因為EM+NE>MN，

而NE=13CE，

所以13BF+13CE>13AD，

從而BF+CE>AD.

點評本題也可延長ND到G，使DG=DN，得平行四邊形BNCG，再利用BNG的三邊不等關(guān)系.

五、移動線段

例5如圖5，D是ABC的邊BC的中點，E、F分別在AC、AB上，且∠EDF=90°，求證：BF+CE>EF.

分析利用直角∠EDF，構(gòu)造等腰三角形以及全等三角形，將三條線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中.

證明延長FD到G，使DG=FD，連結(jié)EG、CG.

由∠EDF=90°，知EFG是等腰三角形，則EF=EG.

又FD=DG，BD=CD，∠1=∠2，

則BDF≌CDG，

得BF=CG.而CG+CE>EG，

所以BF+CE>EF.

點評本題的關(guān)鍵是對直角DEF條件的利用.一般有兩種方法：一是作出斜邊上的中線，二是加倍直角邊.本例采用的是后一種方法.這樣將目標式中的三條線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中.

六、截大補小

當已知條件中，一個角大于另一個角時，可采用“截大補小”法，即在大角內(nèi)作一個角等于小角，或?qū)⑿〗茄a成與大角相等的角.

例6在ABC中，∠C>∠B，求證：AB>AC.

證法1如圖6-1，在∠C內(nèi)部作∠BCD=∠B,CD交AB于點D，則BD=CD.

在ADC中，AD+CD>AC，

則AD+BD>AC,即AB>AC.

證法2如圖6-2，作∠CBE=∠C，BE與CA的延長線交于點E，則BE=CE.

在ABE中，AE+AB>BE，

則AE+AB>CE=AE+AC，

即AB>AC.

點評本例結(jié)論實際上是有關(guān)三角形邊角不等關(guān)系的一個重要定理.即在三角形中，大角對大邊，大邊對大角.

練習(xí)題1.在ABC中，AB>AC，M是角平分線AD上一點，求證：BM-CM

篇3

初中幾何的教學(xué)應(yīng)把解題規(guī)律的教學(xué)當作課堂教學(xué)的一個方面，尤其是在后期和復(fù)習(xí)階段，通過這可以培養(yǎng)學(xué)生注重知識的系統(tǒng)性和對知識的靈活應(yīng)用能力，而對知識的歸類、總結(jié)以及對規(guī)律的探討也能調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性并能夠從中體驗知識結(jié)構(gòu)中的美感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

學(xué)生通過幾何的學(xué)習(xí)，在具備一定的能力基礎(chǔ)上，隨著知識及題目類型的增多，在解題的過程中，若能重視解題方法及規(guī)律的探求則可達到舉一反三，觸類旁通的效果。幾何題型雖然靈活多變，但證明與計算則是主線。“事物的發(fā)展總有著一定的規(guī)律”，解題亦是如此，針對學(xué)生在學(xué)習(xí)的不同階段常遇到的一些題型及其解法要及時總結(jié)歸納，既要讓學(xué)生知其然，也要知其所以然。

比如幾何證明中線段或角的一些關(guān)系的證明是非常常見的一類問題，線段的關(guān)系通常有其不等、相等及其和差關(guān)系的證明，最基本的應(yīng)讓學(xué)生掌握好相等關(guān)系的證明，而線段相等關(guān)系的證明在不同階段的證明方法或思路一般有“三角形全等”、“等角對等邊”、“比例線段”及選取中間量過渡等。其中“三角形全等”是較常用的，也是解決該類問題的一種基本方法，這也是利用全等三角形的性質(zhì)解決具體的問題，務(wù)必讓學(xué)生牢記；線段不等關(guān)系常用證明思路一般考慮“線段公理”或“三角形三邊的關(guān)系定理”；對于線段的和差及其它（如倍、分）關(guān)系一般可通過截長、補短把它轉(zhuǎn)化成線段相等關(guān)系的證明，特殊情況下如出現(xiàn)“線段的中點”這一條件時應(yīng)重視“中位線定理”的使用，而角的類似關(guān)系的證明與線段的類似關(guān)系的證明有“異曲同工”之處。再如兩線的垂直關(guān)系的證明，雖然方法不一，但通常都要運用直角三角形的判定方法，而該法中又以證明三角形中的兩個銳角互余居多，應(yīng)讓學(xué)生認真領(lǐng)會。其它如兩線平行關(guān)系的證明，線段比例關(guān)系的證明等等也都有其一定的方法及規(guī)律，在此不一一贅述。

解題中，除要掌握常規(guī)方法、規(guī)律之外，還要注意輔助線的添加與使用。當在原題目的條件下直接解決問題有困難時，常常需要考慮添加輔助線，而適當?shù)奶砑虞o助線在解題中常能起到“柳暗花明”的效果。因此，在教學(xué)中要結(jié)合學(xué)生實際適時總結(jié)常用輔助線的添加方法。如學(xué)習(xí)了等腰三角形后，針對其“三線合一”的性質(zhì)，要讓學(xué)生知道在解與等腰三角形的有關(guān)問題時，作底邊上的高（或中線或頂角的平分線）是常用輔助線；在解決直角三角形的問題時，常作斜邊上的中線作為輔助線，尤其是在出現(xiàn)直角三角形斜邊的中點時；梯形的問題常常通過平移一腰或?qū)蔷€、作高的方法將其轉(zhuǎn)化為平行四邊形或者三角形的問題；圓中與弦相關(guān)的問題常作“弦心距”作為輔助線，而在圓中學(xué)習(xí)了“切線”后，針對切線的性質(zhì)定理要著重指出在切線存在條件下“作過切點的半徑”是常用的輔助線，既使今后學(xué)習(xí)了與切線相關(guān)其他定理之后也是不能忽視的。當然，幾何中常用輔助線還有很多，這就要求教師在平時教學(xué)中注意總結(jié)，以利于學(xué)生對知識的掌握與運用，提高解題能力。

另外，對某些特殊條件下所常用輔助線也要注意歸類總結(jié)，以系統(tǒng)的掌握相關(guān)知識。如“角的平分線”是我們在解題中經(jīng)常遇到一個條件，除在題目能給我們提供“等角”的條件外，很多情況下都需要添加輔助線，雖然具體方法不一，但歸結(jié)起來常用輔助線有如下三種形式（下圖中實線為條件，虛線為輔助線）：

圖（1）中是利用角的平分線的性質(zhì)定理得出；圖（2）中是在角兩邊上截得相等線段，構(gòu)造全等三角形；圖（3）中是在有角的一邊上的點到其平分線的垂線線段條件下延長垂線段與另一邊相交從而出現(xiàn)全等三角形。這些輔助線是角平分線條件下常用的幾種輔助線。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，這三種圖形都有一個共同點――角的平分線兩側(cè)的兩個三角形是全等的，同時也是關(guān)于角的平分線所在的直線對稱的。學(xué)生僅僅知道這些還很不夠，我們還應(yīng)該找出其中的一些本質(zhì)性的東西，為什么這樣添加輔助線呢？這與角的特點有著很大的關(guān)系，其本質(zhì)就是由于角是以角的平分線所在的直線為對稱軸的軸對稱圖形，這點要讓學(xué)生領(lǐng)會透徹，進而可把上述輔助線歸結(jié)為：當有“角的平分線”這一條件時，常構(gòu)造角平分線一側(cè)的三角形的關(guān)于角的平分線所在直線為對稱軸的對稱三角形。這樣，學(xué)生既對這一條件有一個本質(zhì)上的認識，又方便了記憶，同時也復(fù)習(xí)了全等三角形與軸對稱的相關(guān)知識。

還有“線段的中點”這一條件在題目中也是比較常見的，當三角形中出現(xiàn)邊的中點或者在梯形中有一腰的中點時，常作其中位線以便利用其相關(guān)性質(zhì)。此外，還有一個方面是不能忽視的――線段是以中點為對稱中心的中心對稱圖形，所以此條件下的另一類常用輔助線作法是構(gòu)造以線段中點為對稱中心的兩個全等三角形。常見的輔助線作法下列圖（1）、圖（2）（其中點C是線段AB的中點）所示：

圖（1）是把以中點C為頂點的ABC繞點C旋轉(zhuǎn)180得到；圖（2）是過線段AB的兩個端點A和B作過中點C的直線的垂線而得到，圖（2）是圖（1）的特殊情況。例如當有三角形的中線存在時，常用把中線延長一倍的方法來構(gòu)造全等三角形也正是基于這一思想。

篇4

宋代歷史學(xué)家司馬光小時候砸缸救小伙伴的故事給我們啟示：在證明時，如果不能順利地從條件推出結(jié)論，不妨倒過來想.這種“讓水離開人”、“執(zhí)果索因”的推理方法稱為分析法，而“讓人離開水”，即在證明時順利地從條件推出結(jié)論，這種“由因?qū)Ч钡耐评矸椒ǚQ為綜合法.“分析法”和“綜合法”是我們常用的數(shù)學(xué)思維方法.

反證法是一種特殊的證明方法.在證明時，不是直接證明命題的結(jié)論，而是先提出與結(jié)論相反的假設(shè)，然后推導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論成立，這種方法叫反證法.

運用反證法證明問題時，結(jié)論的反面要找得準確、全面，證明的每一步要有依據(jù)，直到推出與“定義、定理、基本事實、已知條件”等相矛盾.

2. 等腰三角形

（1） 等腰三角形的主要性質(zhì)有：等邊對等角；等腰三角形的三線合一性；等邊三角形的每個內(nèi)角都等于60°；到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；等等.應(yīng)用性質(zhì)可以簡捷地證明三角形中的線段或角的相等、線段的垂直等.

（2） 判定一個三角形是等腰三角形，除了利用定義外，也可以利用等腰三角形的判定定理：等角對等邊.等邊三角形是特殊的等腰三角形，其判定方法有：三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形，這時60°的角是頂角還是底角都無妨.

（3） 關(guān)注“分類討論”的數(shù)學(xué)思想方法.因為等腰三角形中有兩邊相等，有兩角相等，所以當“邊”或“角”元素不確定時，就需要分類討論.

3. 直角三角形

直角三角形是一種特殊的三角形，因此學(xué)習(xí)時要特別注意對其特殊性質(zhì)的理解和應(yīng)用.如“直角三角形的兩個銳角互余”是一般三角形所不具備的；“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”，這個性質(zhì)反映出任何一個直角三角形斜邊上的中線把它分成兩個等腰三角形，因此，學(xué)習(xí)直角三角形時必須與等腰三角形緊密結(jié)合；“30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半”這一性質(zhì)，不是任何直角三角形所具有的.

直角三角形與等腰三角形的密切關(guān)系還表現(xiàn)在：以任意直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸，得到的軸對稱圖形，一定是一個等腰三角形.同時任意等腰三角形的底邊上的高，一定分它為兩個全等的直角三角形.這種關(guān)系使我們能更好地理解和掌握“斜邊直角邊定理”.

4. 平行四邊形、矩形、菱形、正方形

這些圖形的概念重疊交錯，容易混淆，常常出現(xiàn)“張冠李戴”的現(xiàn)象，所以它們之間的聯(lián)系和區(qū)別是本章學(xué)習(xí)的難點.分清這些四邊形的從屬關(guān)系，梳理它們的性質(zhì)和判定方法，是克服難點的關(guān)鍵.它們之間的聯(lián)系與區(qū)別可通過下圖表示：

5. 在“等腰梯形的性質(zhì)定理和判定定理”探究中運用的數(shù)學(xué)方法

等腰梯形的性質(zhì)和判定的探究是建立在等腰三角形和平行四邊形基礎(chǔ)上的，所以可通過添加輔助線的方式將等腰梯形轉(zhuǎn)化為等腰三角形和平行四邊形，常見輔助線如下：

通過“轉(zhuǎn)化”，我們得到了等腰梯形的性質(zhì)定理：等腰梯形同一底上的兩底角相等；等腰梯形的對角線相等.等腰梯形的判定定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形.

6. 三角形的中位線定理

三角形中位線定理包含兩個內(nèi)容：（1） 三角形的中位線平行于第三邊；（2） 三角形的中位線等于第三邊的一半.前者是兩條線段所在直線的位置關(guān)系，后者是線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，因此定理的作用也就不言而喻了.

篇5

一、“遇到中點連中點”，直接構(gòu)造中位線

例1已知：如圖1，在四邊形ABCD中，

AB=DC，點E、F分別是AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點.猜想：

EF與GH有怎樣的特殊的關(guān)系？試證明你的猜想.

分析：EF與GH的特殊關(guān)系，可以從兩個方面來觀察與思考：一是是否有特殊的位置關(guān)系，圖中EF與GH是相交線段，則它們是否互相垂直；二是大小關(guān)系，顯然EF與GH不會相等，但可以互相平分.

解：猜想：EF與GH互相垂直平分.

證明：連結(jié)EG、GF、FH、HE.

在ABD中，因為AE=DE，BG=DG，所以EG=

12AB.

同理GF=12CD，F(xiàn)H=12AB，HE=

12CD.

又因為AB=CD，所以EG=GF=FH=HE.

所以四邊形EGFH是菱形， 所以EF與GH互相垂直平分.

說明：“遇到中點連中點”，本題通過連結(jié)中點，由此構(gòu)造出三角形的中位線，從而利用中位線定理解決問題.

圖1圖2

二、有中位線無三角形時，添線補全三角形

例2已知：如圖2，在梯形ABCD中， M、N分別是AB、CD的中點，

NE∥DM交BC于點E，連結(jié)ME.

求證：ME=DN.

分析：由M、N分別是AB、CD的中點，知

DN=12DC.因此，欲證

ME=DN，只需要證ME=12DC，聯(lián)想三角形中位線定理，考慮延長

DM交CB的延長線于點P，構(gòu)造出三角形中位線基本圖形，由三角形中位線定理，問題便可得證.

證明：延長DM交CB的延長線于點P.

因為AD∥BC，所以∠ADM=∠ BPM.

因為∠AMD=∠BMP，AM=BM.所以AMD≌BMP.

因為DN=CN，NE∥DP，所以CE=PE，所以ME=12DC=DN.

說明：在證明四邊形中有關(guān)邊、角相等的問題時，常常是把邊、角構(gòu)造為三角形中的邊、角來解決.若題設(shè)中有中點條件、線段的兩倍或一半關(guān)系，則可考慮中位線，當條件不完備時，可以作輔助線構(gòu)造中位線，為使用中位線定理創(chuàng)造條件.

三、有中點無中位線時，取中點連中位線

圖3

例3已知：如圖3，在四邊形ABCD中， AC、BD相交于點 O、E、F分別是

AD、BC的中點，EF交AC、BD于點M、N.求證： OM=ON.

分析：要OM=ON，只需要證

∠OMN=∠ONM，由E、F分別是AD、BC的中點，聯(lián)想三角形中位線定理，考慮取AB中點P，并連結(jié)EP、FP，構(gòu)造出三角形中位線基本圖形，易證

PE=PF，再由平行線的性質(zhì)，便可證得結(jié)論.

證明：取AB中點P，連結(jié)

EP、FP，則EP、FP分別是ABD、ABC的中位線，

所以PE=12BD，PF=12AC，

因為AC=BD，所以PE=PF，所以∠PEF=∠PFE，

又因為PE∥BD，PF∥AC，

所以∠OMN=∠PFE，∠ONM=∠PEF，所以∠OMN=∠ONM，所以O(shè)M=ON.

說明：在三角形（或梯形）中，如果已知一邊（或一腰）的中點，常常取另一邊（或另一腰）的中點，以構(gòu)造出中位線定理的基本圖形來解決有關(guān)問題.

四、僅有中點時，先構(gòu)造三角形，再構(gòu)造中位線

圖4

例4已知：如圖4，在四邊形ABCD中， AB=CD， E、F分別是BC、AD的中點，連結(jié)EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N.

求證：∠BME=∠CNE.

分析：先連結(jié)BD構(gòu)造出三角形，再取BD中點H，連結(jié)

HE、HF，構(gòu)造出三角形中位線基本圖形，易證

HE=HF，從而∠1=∠2，再由平行線的性質(zhì)，便可證得

∠BME=∠CNE.

證明：連結(jié)BD，取BD中點H，連結(jié)HE、HF，

因為F是AD的中點，

所以HF∥AB，HF=12 AB，

所以∠1=∠BME，

同理：HE∥CD.HE =12CD，

所以∠2=∠CNE.

因為AB=CD，所以HF=HE，∠1=∠2，所以∠BME=∠CNE.

篇6

一、旋轉(zhuǎn)變換的知識

1.定義：在平面內(nèi)，將一個圖形繞著一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度形成新的圖形，這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角.

2. 旋轉(zhuǎn)的三個基本要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角.

3. 基本特征：

一是圖形上的每個點都按照相同的方式轉(zhuǎn)動了相同的角度，即任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的夾角都是旋轉(zhuǎn)角，圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度.

二是旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)的過程中始終保持不動，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.

三是旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀（即旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形是全等圖形），只是位置發(fā)生了變化.

二、旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用技巧

有關(guān)旋轉(zhuǎn)變換的常見題型有填空題、選擇題、作圖題、證明題等.常結(jié)合平移、軸對稱、三角形相似（全等）、勾股定理、方程、函數(shù)等知識進行綜合考查.解答這類試題，要求同學(xué)們具備扎實的數(shù)學(xué)基本功，較強的觀察力，豐富的想象力及綜合分析問題的能力.解題時，要切實把握幾何圖形的整體運動過程和圖形變換前后的形狀，并注意運動過程中圖形的特殊位置， 弄清圖形旋轉(zhuǎn)前后哪些是不變的量、哪些是變化的量，在“動”中求“靜”，在“靜”中探求“動”的一般規(guī)律，尋找到問題中相等的角和線段，使問題得以解決.

三、應(yīng)用舉例

例1 （2011年安徽省中考題）在ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為？茲（0°

（1）如圖1，當AB∥CB′時，設(shè)A′B′與CB相交于點D.證明：A′CD是等邊三角形；

（2）如圖2，連接A′A、B′B，設(shè)ACA′ 和BCB′ 的面積分別為SACA′ 和SBCB′. 求證：

SACA′ ∶ SBCB′ =1∶3.

（3）如圖3，設(shè)AC的中點為E，A′B′的中點為P，AC=a，連接EP，當 ？茲= °時，EP長度最長，最大值為 .

分析：（1）由題知，∠A′=60°，故要證A′CD是等邊三角形，可考慮證它是等腰三角形或再證它有一個角為60°.利用AB∥CB′，可得∠BCB′=∠B=30°，則∠A′CD=60°，可得A′CD

是等邊三角形.

（2）由于∠BCB′=∠ACA′，且AC=A′C，BC=B′C，可知ACA′和BCB′是兩個相似的等腰三角形，故SACA′ 和SBCB′之比可轉(zhuǎn)化為ACA′和BCB′對應(yīng)邊AC與BC平方之比.

在三角形中，要判斷線段的長短，可利用三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊的定理，故考慮連接CP，在ECP中，EP

說明：旋轉(zhuǎn)變換具有如下性質(zhì)：（1）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等；（2）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離

相等（旋轉(zhuǎn)中心在對應(yīng)點連線的垂直平分線上）；（3）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.中考對圖形的旋轉(zhuǎn)的基本要求是：（1）通過具體實例認識旋轉(zhuǎn)，理解對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；（2）能夠按要求作出簡面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形；（3）靈活運用軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)幾種圖形變換進行圖案設(shè)計.本題正是充分利用了旋轉(zhuǎn)角相等和旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)線段相等的性質(zhì)來解決問題的.

例2 （2011年江蘇南通市中考題）已知：如圖4，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA到點F，OD到點E，使OF=2OA，OE=2OD，連接EF，將FOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角得到F′OE′（如圖5）.

（1）探究AE′與BF′的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

（2）當α=30°時，求證：AOE′為直角三角形.

分析：（1）要證AE′=BF′，可證明線段AE′和BF′所在的OAE′與OBF′全等，利用已知易知OA=OB，OE′=OF′，利用旋轉(zhuǎn)知∠AOE′=∠BOF′，故OAE′≌OBF′，得到AE′=BF′.

（2）由于旋轉(zhuǎn)角α=30°，可知∠AOE′=60°，且OE′=2OA，可考慮取OE′的中點M，得到AOM為等邊三角形，AME′為等腰三角形且外角∠AMO等于60°，即得到∠E′AM=30°.從而∠E′AO=∠E′AM+∠MAO=30°+60°=90°，證得AOE′為直角三角形.

解：（1）AE′=BF′.

證明如下，如圖5，在正方形ABCD中， ACBD，

∠F′OE′=∠AOD=∠AOB=90°，

即∠AOE′+∠AOF′=∠BOF′+∠AOF′，

∠AOE′=∠BOF′.

又OA=OB=OD，OE′=2OD，OF′=2OA，

OE′=OF′，

OAE′≌OBF′（SAS），

AE′=BF′.

（2）作AOE′的中線AM，如圖6.

則OE′=2OM=2OD=2OA=2E′M，

OA=OM，

α=30°，

∠AOM=60°，

AOM為等邊三角形，

MA=MO=ME′，∠AMO=60°.

又∠AE′M+∠E′AM=∠AMO，

即2∠AE′M=60°，∠AE′M=30°，

∠AE′M+∠AOE′=30°+60°=90°.

在AOE′中，由三角形內(nèi)角和可得

∠E′AO=180°-（∠AE′M+∠AOE′）=90°，

篇7

一、線、角

1.直線沒有端點，沒有長度，可以無限延伸。

2.射線只有一個端點，沒有長度，射線可以無限延伸，并且射線有方向。

3.在一條直線上的一個點可以引出兩條射線。

4.線段有兩個端點，可以測量長度。圓的半徑、直徑都是線段。

5.角的兩邊是射線，角的大小與射線的長度沒有關(guān)系，而是跟角的兩邊叉開的大小有關(guān)，叉得越大角就越大。

6.幾個易錯的角邊關(guān)系：

（1）平角的兩邊是射線，平角不是直線。

（2）三角形、四邊形中的角的兩邊是線段。

（3）圓心角的兩邊是線段。

7.兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。

8.從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段的長度叫做點到直線的距離。

9.在同一個平面上不相交的兩條直線叫做平行線。

二、三角形

1.任何三角形內(nèi)角和都是180度。

2.三角形具有穩(wěn)定的特性，三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊。

3.任何三角形都有三條高。

4.直角三角形兩個銳角的和是90度。

5.兩個三角形等底等高，則它們面積相等。

6.面積相等的兩個三角形，形狀不一定相同。

三、正方形面積

1.正方形面積：邊長×邊長

2.正方形面積：兩條對角線長度的積÷2

四、三角形、四邊形的關(guān)系

1.兩個完全一樣的三角形能組成一個平行四邊形。

2.兩個完全一樣的直角三角形能組成一個長方形。

3.兩個完全一樣的等腰直角三角形能組成一個正方形。

4.兩個完全一樣的梯形能組成一個平行四邊形。

五、圓

1.把一個圓割成一個近似的長方形，割拼成的長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑。則長方形的面積等于圓的面積，長方形的周長比圓的周長增加r×2。

2.一個環(huán)形，外圓的半徑是R，內(nèi)圓的半徑是r，它的面積是

3.半圓的周長等于圓的周長的一半加直徑。

六、半圓的周長公式：C=d？2+d或C=pr+2r

4.半圓面積=圓的面積/2

5.在同一個圓里，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數(shù)。而面積擴大或縮小以上倍數(shù)的平方倍。

七、圓柱、圓錐

1.把圓柱的側(cè)面展開，得到一個長方形，這個長方形的長等于圓柱的底面的周長，寬等于圓柱的高。

2.如果把圓柱的側(cè)面展開，得到一個正方形，那么圓柱的底面周長和高相等。

3.把一個圓柱沿著半徑切開，拼成一個近似的長方體，體積不變，表面積增加了兩個面，增加的面積是r×h×2。

4.把一個圓柱沿著底面直徑劈開，得到兩個半圓柱體，表面積和比原來增加了兩個長方形的面，增加的面積和是d×h×2。

篇8

重點省市中考數(shù)學(xué)試卷統(tǒng)計：

從上面的統(tǒng)計來看，三角形的相關(guān)概念及其全等在中考中的考查涉及內(nèi)容豐富，知識點較多，題型涉及選擇題、填空題和解答題.由于該部分內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)的重點知識，等腰三角形、全等三角形的性質(zhì)與判定更是中考必考內(nèi)容，所以所占的分值較多，一般在8分至17分之間，也有部分地區(qū)超過20分，如在2008年上海市中考試卷中就達到了25分之多．

一、解讀基礎(chǔ)――三角形基礎(chǔ)知識

通過研究和分析2008年各地中考試題，不難發(fā)現(xiàn)，在考查三角形相關(guān)概念及其全等的基礎(chǔ)知識與重點知識方面所占比重較大，試題注重對基本概念、公理、定理及應(yīng)用的考查.這部分內(nèi)容應(yīng)掌握的基礎(chǔ)有：

1.三角形基本概念

（1）三角形按邊分為：不等邊三角形和等腰三角形；按角分為銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形．

（2）三角形的性質(zhì)有：

①三角形內(nèi)角和為180°；

②三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系；

③三角形的三邊關(guān)系定理；

④三角形的穩(wěn)定性．

2. 等腰三角形和直角三角形

（1）了解等腰三角形和等邊三角形的概念.

（2）等腰三角形的性質(zhì)和判定，尤其是等腰三角形三線合一．

（3）掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定方法．

（4）了解線段的垂直平分線、角的平分線的性質(zhì)和判定．

（5）掌握軸對稱的性質(zhì)，了解軸對稱的判定.

（6）掌握直角三角形的性質(zhì)和判定：

①直角三角形的兩銳角互余，反之亦成立；

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，反之亦成立；

③直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；

④勾股定理及其逆定理.

3.全等三角形

（1）全等三角形的性質(zhì)有：

①全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等；

②全等三角形的對應(yīng)線段（角平分線、中線、高）相等、周長相等、面積相等．

（2）掌握全等三角形的5種判定方法．

（3）掌握基本的尺規(guī)作圖．

例題精選（2008哈爾濱考題）如圖1，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，則線段CN的長是（）．

A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm

解析：設(shè)CN=xcm ,則EN=DN=8-x ,在RtCEN中由勾股定理可求得 x=3，故選B.

中考題型總結(jié)與預(yù)測 在2008年各地中考試題中，對三角形的相關(guān)概念及判定三角形全等的考查，一般所涉及的是選擇題或填空題.此部分內(nèi)容仍將是2009年各省市中考數(shù)學(xué)試題的考查對象，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值一般為3分．

二、提升能力――三角形知識的應(yīng)用

三角形相關(guān)的概念及其全等這部分內(nèi)容，由于概念、性質(zhì)較多，因此對其理解能力和應(yīng)用能力的要求相對要高一些．在掌握好基礎(chǔ)知識的情況下，要注意比較、分類和聯(lián)系，切實掌握基本方法，積極嘗試這些知識在新的問題情景中的應(yīng)用，還應(yīng)注重與相關(guān)知識的聯(lián)系. 對其要求掌握的知識點總結(jié)如下：

1. 三角形的三邊關(guān)系定理.這是我們比較線段長短的一個重要工具.使用該定理判定圍三角形問題時常出現(xiàn)如下思維誤區(qū)：①判斷三條線段能否組成三角形時，誤認為只要有兩邊之和大于第三邊就可以；②求邊長、周長或解與等腰三角形有關(guān)的問題時，易丟解．

2. 三角形的角平分線、中線和高線的應(yīng)用方法.三角形角平分線的應(yīng)用方法主要有：①直接用角平分線分得的兩個角相等；②在角的兩邊截取相等的線段；③向角的兩邊作垂線；④向角的一邊作平行線．

三角形中線的應(yīng)用方法主要有：①用中點證中點；②利用中點作全等；③利用中點作中位線．

三角形高的應(yīng)用方法主要有：①直接運用高的定義；②利用定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”轉(zhuǎn)化問題．

3.與三角形相關(guān)的角.三角形內(nèi)角和等于180°是三角形本身固有的性質(zhì)，它作為一個隱含條件，在有關(guān)角的計算中經(jīng)常用到.定理的證明是通過轉(zhuǎn)化思想，借助輔助線完成的，這種方法在其它問題中經(jīng)常用到.三角形的外角及其性質(zhì)除了和內(nèi)角和相結(jié)合，用于求角度的計算外，也用于求說明角的不等關(guān)系，有時利用外角的性質(zhì)求角的度數(shù)比利用內(nèi)角和求要簡單．

4.全等三角形.關(guān)于全等三角形的性質(zhì)，要注意從全等三角形的概念出發(fā)，認真觀察圖形，找出對應(yīng)角和對應(yīng)邊，總結(jié)出尋找兩個全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的規(guī)律，進而掌握確定對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法.關(guān)于全等三角形的判定，要注意兩個三角形全等時應(yīng)認真分析已知條件，仔細觀察圖形，弄清已具備了哪些條件，從中找出已知條件和所要證明結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，從而選擇最適當?shù)姆椒?有時，直接證兩個三角形全等的條件不具備，就要通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形，“創(chuàng)造”條件，來達到證明的目的．

例題精選（2008北京市考題）如圖2， C為 BE上一點，點A、D 分別在BE 兩側(cè)．AB∥ED ， AB=CE，BC=ED ．求證：AC=CD ．

解析：AB∥ED ，∠B=∠ E．

在 ABC和CDE 中，AB=CE，∠B=∠E，BC=DE.

ABC≌CDE，

AC=CD.

中考題型總結(jié)與預(yù)測 三角形相關(guān)概念及其全等在2009年的中考題中將會更多地貼近生活，試卷中仍將把理解能力和應(yīng)用能力作為中檔題目，形式一般以解答題為主，分值約在6~10分之間.

三、注重歸納――解三角形的思想方法

數(shù)學(xué)思想方法一直是中考考查的重點內(nèi)容之一，所以在復(fù)習(xí)這部分知識時，一定要注意數(shù)學(xué)思想方法的運用.這部分內(nèi)容的常見思想方法有方程思想、轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想等．

1.方程思想：三角形的角、邊及全等三角形的對應(yīng)角、對應(yīng)邊，已知其中的部分量計算其他量，可用方程來求解．

2.轉(zhuǎn)化思想：在解決三角形相關(guān)概念及其全等的問題時，需要通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，借助某些性質(zhì)、公式或已知條件將問題通過變換進行轉(zhuǎn)化，并選擇運用恰當?shù)臄?shù)學(xué)方法進行變換，從而達到化復(fù)雜為簡單，化未知為已知，化抽象為具體來解決．

3.分類討論思想： 三角形的角、邊及全等三角形的對應(yīng)角、對應(yīng)邊均須討論對應(yīng)關(guān)系，如已知等腰三角形一個角求其他兩個角的度數(shù)，就須確認已知角是頂角還是底角來才能解決．

例題精選 （2008長沙市考題）如圖3，在四邊形ABCD中，BC=2AB=4，點E、F分別是BC、AD的中點.

（1）求證：ABE≌CDF；

（2）當四邊形AECF為菱形時，求出該菱形的面積.

解析：（1）證明略；

（2）當四邊形AECF為菱形時，可轉(zhuǎn)化為ABE為等邊三角形，且邊長為2.求ABE的高為，可知菱形AECF的高為，

菱形AECF的面積為2．

中考題型總結(jié)與預(yù)測 在2008年各地中考試題中，針對這部分知識運用數(shù)學(xué)思想方法的考題，出現(xiàn)頻率較多，但難度適中.在2009年的數(shù)學(xué)中考試題中，針對這部分知識運用數(shù)學(xué)思想方法的考題仍會是各地重點關(guān)注的對象，一般會以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn)，分值在3~10分之間.

四、綜合運用――與三角形相關(guān)知識的融匯貫通

三角形相關(guān)概念及其全等作為后續(xù)學(xué)習(xí)四邊形和相似的一個平臺，在考查這部分知識時，一定會將其與函數(shù)、圖形相結(jié)合，引申出內(nèi)容復(fù)雜、形式多樣的考題，尤其是該部分內(nèi)容的開放性、探究性試題，有利于考查學(xué)生的思維能力與創(chuàng)新意識.因此，中考中增加其創(chuàng)新題型，突出試題的開放性、探究性，將是今后中考數(shù)學(xué)命題的方向，同時也將是學(xué)生們所面對的難點.

例題精選（2008天津市考題）已知RtABC中，CA=CB ，∠ACB=90°，有一個圓心角為45°，半徑的長等于CA 的扇形CEF 繞點C旋轉(zhuǎn)，且直線CE、CF分別與直線交于點M、N．

（1）當扇形CEF 繞點C在∠ACB 的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，如圖4，求證：MN2=AM2+BN2；

（2）當扇形CEF繞點C旋轉(zhuǎn)至圖5的位置時，關(guān)系式MN2=AM2+BN2 是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

解析：（1）如圖5，將ACM 沿直線CE 對折，得DCM ，連DN、DM，則DCM ≌ACM ．

CD=CA ，AM=DM ，∠DCM=∠ACM ，

∠CDM=∠A.

又由CA=CB ，得CD=CB．

由∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM ，

∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM

=90°-45°-∠ACM，

得 ∠DCN=∠BCN．

又 CN=CN，CDN ≌CBN ．

DN=BN，∠CDN=∠B ．

∠MDN=∠CBM+∠CDN=∠A+∠B= 90°．

在RtMDN 中，由勾股定理得MN2=DM2+DN2， 即 MN2=AM2+BN2．

（2）關(guān)系式MN2=AM2+BN2 仍然成立.證明略．

篇9

1角平分線加等線段模型

當已知條件或結(jié)論中有角平分線和相等的線段出現(xiàn)時，往往采取兩種作輔助線的方法：

1.從角平分線上一點向兩邊作垂線，從而構(gòu)造全等三角形；

2.利用角的軸對稱性，采用截長或補短的方法構(gòu)造全等三角形.

下面以例1為例對這兩種作輔助線的方法做以說明.

圖1例1已知：如圖1，在四邊形ABCD中，AB>AD，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°.求證：BC=CD.

分析題目中的已知條件共三個.考慮角平分線，容易想到向兩邊作垂線；考慮線段的長短，容易想到用“截長補短”的方法構(gòu)造全等三角形；考慮對角互補的條件，可用四點共圓.

解法1有角平分線出現(xiàn)時，容易想到角平分線的性質(zhì)――即角平分線上的點到角兩邊的距離相等.如圖11，過點C作CEAB于點E、CFAD交AD的延長線于點F，從而得到CE=CF，再利用AAS證得CEB≌CFD，所以BC=CD.

圖11圖12解法2利用角的軸對稱性，構(gòu)造全等三角形.如圖12，采取“截長”的方法，在AB上截取AE=AD，連接CE.根據(jù)SAS可以證得AEC≌ADC，從而證得CE=CD，∠D=∠AEC，由此∠B=∠CEB，所以CE=CB，命題得證.

解法3利用角的軸對稱性，構(gòu)造全等三角形.如圖13，采取“補短”的方法，延長AD到F，使AF=AB，連接CF.根據(jù)SAS可以證得AFC≌ABC，從而證得CF=CB，∠F=∠B，因此可證得∠B=∠CDF，由此∠F=∠CDF，所以CF=CD，命題得證.

圖13圖14解法4題目中出現(xiàn)對角互a條件時，聯(lián)想到四點共圓.作經(jīng)過點A、B、C、D的圓，如圖14，由于AC平分∠BAD，所以∠BAC=∠DAC，所以BC=CD，所以BC=CD.

我們把例1的題設(shè)和結(jié)論交換位置，可以得到如下的變式練習(xí)，請讀者嘗試以上作輔助線的方法.

變式練習(xí)1已知：如圖1，在四邊形ABCD中，（AB>AD），AC平分∠BAD，BC=CD.求證：∠B+∠D=180°.

變式練習(xí)2已知：如圖1，在四邊形ABCD中，（AB>AD），BC=CD，∠B+∠D=180°.求證：AC平分∠BAD.

2角平分線加平行線模型

1.當一個三角形中有角平分線和平行線出現(xiàn)時，一定能尋找到等腰三角形

一個三角形中有角平分線和平行線時，常見模型有以下幾種：

如圖2①中，AD平分∠BAC，DE∥AC，則ADE為等腰三角形；

如圖2②中，AD平分∠BAC，CE∥AD，則ACE為等腰三角形；

如圖2③中，AD平分∠BAC，EF∥AD，則AEG為等腰三角形；

如圖2④中，AD平分∠BAC，CE∥AB，則ACE為等腰三角形；

圖2例2如圖3，在ABC中，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，過點D作線段EF∥BC，交AB于E、交AC于點F，請你猜想線段EF，BE，CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

分析猜想：EF=BE+CF.

由于BD平分∠ABC，所以∠1=∠2，又EF∥BC，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以BE=DE.同理DF=FC.因此，EF=BE+CF.

圖3圖4此例題還可以變成以圓為背景的題目，我們來看下面的變式練習(xí).

變式練習(xí)如圖4所示，點O為ABC的內(nèi)心，過點O作EF∥AB，與AC，BC分別交與點E，F(xiàn).請你猜想EF，AE，BF的大小關(guān)系并加以證明.

分析：點O為ABC的內(nèi)心，也就是說如果連接AO、BO，則AO、BO分別為∠A、∠B的角平分線，而又有EF∥AB，即可得到結(jié)論：EF=AE+BF.

2.有角平分線出現(xiàn)時，過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形.

例3已知：在ABC中，AC=BC，∠C=100°，AD平分∠CAB.求證：AB=AD+CD.

分析有角平分線出現(xiàn)時，過角平分線上一點作角的一邊的平行線；有線段的和或差出現(xiàn)時，往往采取“截長補短”的辦法.如圖5，過點D作DE∥AB，交AC于點E，在AB上截取AF=AD，連接DF.

圖5圖6容易證得AE=DE.根據(jù)DE∥AB容易得到AE=DB，從而DE=DB，因此可證得CED≌FDB，所以CD=FB.又AD=AF，命題得證.

當然，本題也可以根據(jù)角的軸對稱性構(gòu)造全等三角形和等腰三角形來解決.如圖6，在AB上截取AE=AC，連接DE，在AB上截取AF=AD，連接DF，根據(jù)SAS可得ACD≌AED，因此CD=ED.同時可以證明DEF、DFB都為等腰三角形，所以BF=DF=DE=CD，所以AB=AF+FB=AD+CD.

3.有角平分線出現(xiàn)時，過角的一邊上的點作另一邊的平行線或過角的一邊（或延長線）上的點作角平分線的平行線與另外一邊相交，從而構(gòu)造等腰三角形.

例4已知：過ABC的邊BC的中點D作∠BAC的平分線AG的平行線，交AB、BC及CA的延長線于點E、D、F.求證：BE=CF.

分析點F為CA延長線上的點，且FD∥AG（AG為∠BAC的角平分線），可以得到等腰AEF.

如圖7，過點C作CH∥AB，交ED的延長線于點H.

由CH∥AB，可得∠H=∠3，又由已知DF∥AG，可得∠3=∠1，∠F=∠2，又因為AG是∠BAC的角平分線，所以∠1=∠2，因此∠F=∠H，所以CF=CH.由ASA或AAS容易證得BDE≌CDH，所以BE=CH，由此命題得證.

圖7圖8當然，本題還可以過點B作AC的平行線，構(gòu)造全等和等腰三角形.如圖8，過點B作BI∥AC，交ED的延長線于點I.證法類似，不再贅述.

3角平分線加垂線模型

從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形.因此，當題目中有角平分線以及垂直于角平線的線段出現(xiàn)時，往往是延長該垂線段，使它與角的另一邊相交，從而構(gòu)造等腰三角形.

例5如圖9，已知ABC中，CE平分∠ACB，且AECE，∠AED+∠CAE=180°，求證：DE∥BC.

分析已知條件中有角平分線以及與角平分線垂直的線段，因此，延長垂線段AE交BC于點F，容易證得AEC≌CEF，所以CA=CF，所以∠CAE=∠EFC畝可證得∠CAE=∠DEF，所以∠DEF=∠EFC，命題得證（即逆用等腰三角形三線合一這一性質(zhì)）.

此例題在已知條件不變的情況下，可以改為：求證：DE=12（BC-AC），作輔助線的方法同上，再在此例題的基礎(chǔ)上證出DE為ABF的中位線即可.當然，如果已知BC、AC的長，我們還可以進而求出DE的長度.

圖9圖10例6已知：如圖10，在ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD為∠ABC的平分線，CEBD，交BD的延長線于點E.求證：BD=2CE.

分析BD為∠ABC的平分線，而CEBD.因此，延長垂線段CE與角的另一邊相交，構(gòu)造等腰三角形.延長CE交BA的延長線于點F.根據(jù)AAS證得BEC≌BEF，因此有CE=EF，即CF=2CE.只需證得BD=CF即可.而根據(jù)AAS或ASA可以證得ABD≌ACF，從而得到結(jié)論.

以上解題規(guī)律和添加輔助線的方法可以概括為下面的順口溜：

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線；

也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn).

角平分線平行線，等腰三角形來添；

角平分線加垂線，三線合一試試看.

篇10

知識結(jié)構(gòu)

重點、難點分析

相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用是本節(jié)的重點也是難點．

它是本章的主要內(nèi)容之一，是在學(xué)完相似三角形判斷的基礎(chǔ)上，進一步研究相似三角形的性質(zhì)，以完成對相似三角形的定義、判定和性質(zhì)的全面研究．相似三角形的性質(zhì)還是研究相似多邊形性質(zhì)的基礎(chǔ)，是今后研究圓中線段關(guān)系的工具．

它的難度較大，是因為前面所學(xué)的知識主要用來證明兩條線段相等，兩個角相等，兩條直線平行、垂直等．借助于圖形的直觀可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究線段之間的比例關(guān)系，借助于圖形進行觀察比較困難，主要是借助于邏輯的體系進行分析、探求，難度較大．

教法建議

1.教師在知識的引入中可考慮從生活實例引入，例如照片的放大、模型的設(shè)計等等

2.教師在知識的引入中還可以考慮問題式引入，設(shè)計一個具體問題由學(xué)生參與解答

3.在知識的鞏固中要注意與全等三角形的對比

（第1課時）

一、教學(xué)目標

1．使學(xué)生進一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性質(zhì)定理1．

2．學(xué)生掌握綜合運用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理1來解決問題．

3．進一步培養(yǎng)學(xué)生類比的教學(xué)思想．

4．通過相似性質(zhì)的學(xué)習(xí)，感受圖形和語言的和諧美

二、教法引導(dǎo)

先學(xué)后教，達標導(dǎo)學(xué)

三、重點及難點

1．教學(xué)重點：是性質(zhì)定理1的應(yīng)用．

2．教學(xué)難點：是相似三角形的判定1與性質(zhì)等有關(guān)知識的綜合運用．

四、課時安排

1課時

五、教具學(xué)具準備

投影儀、膠片、常用畫圖工具．

六、教學(xué)步驟

［復(fù)習(xí)提問］

1．三角形中三種主要線段是什么？

2．到目前為止，我們學(xué)習(xí)了相似三角形的哪些性質(zhì)？

3．什么叫相似比？

［講解新課］

根據(jù)相似三角形的定義，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．

下面我們研究相似三角形的其他性質(zhì)（見圖）．

建議讓學(xué)生類比“全等三角形的對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線相等”來得出性質(zhì)定理1．

性質(zhì)定理1：相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分的比都等于相似比

∽，

，

教師啟發(fā)學(xué)生自己寫出“已知、求證”，然后教師分析證題思路，這里需要指出的是在尋找判定兩三角形相似所欠缺的條件時，是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到的，這種綜合運用相似三角形判定與性質(zhì)的思維方法要向?qū)W生講清楚，而證明過程可由學(xué)生自己完成．

分析示意圖：結(jié)論∽（欠缺條件）∽（已知）

∽，

BM=MC，

∽，

以上兩種情況的證明可由學(xué)生完成．

［小結(jié)］

本節(jié)主要學(xué)習(xí)了性質(zhì)定理1的證明，重點掌握綜合運用相似三角形的判定與性質(zhì)的思維方法．