一次函數(shù)知識點范文

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【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；函數(shù)；教學(xué)方法

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段中，函數(shù)部分主要包括了一次函數(shù)和二次函數(shù)。本文針對一次函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)和教學(xué)方法進行分析。一次函數(shù)，用公式表示就是y=kx+b（k≠0）。一次函數(shù)不僅在數(shù)學(xué)的教學(xué)中是重要的知識點，而且在日常生活中也得到了非常廣泛的運用。通過對學(xué)生進行調(diào)查，了解到大部分學(xué)生認(rèn)為一次函數(shù)知識的學(xué)習(xí)較為困難。因此，需要對一次函數(shù)的教學(xué)特點、教學(xué)方法進行分析，旨在能夠有效的提高初中數(shù)學(xué)函數(shù)的教學(xué)質(zhì)量，達到預(yù)期的教學(xué)效果。

一、注重提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要核心內(nèi)容，其思想方法涉及到方程、求極限、代數(shù)式以及幾何等方面的內(nèi)容，其對于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力具有十分重要的作用。對初中一次函數(shù)進行教學(xué)時，要注重結(jié)合生活實例，來對一次函數(shù)的知識點進行擴展，這樣有利于極大的提高學(xué)生的積極性和學(xué)習(xí)興趣，并提高一次函數(shù)教學(xué)的質(zhì)量和效果。興趣是最好的老師，因此，在教學(xué)過程中，教師通過引進生活中的實例，這樣有利于拉近函數(shù)與學(xué)生的距離，進而引起學(xué)生的好奇心和求知欲。另外，教師在引進一次函數(shù)的生活實例時，教師運用情境創(chuàng)設(shè)法，創(chuàng)造出和一次函數(shù)知識點有關(guān)的情境，提出相應(yīng)的問題，引導(dǎo)學(xué)生對問題進行分析、思考和討論，實現(xiàn)一次函數(shù)知識內(nèi)容和現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系，進而引導(dǎo)學(xué)生運用學(xué)到的一次函數(shù)知識來解決現(xiàn)實生活中的實際問題。在學(xué)生進行解決的過程中，進而提高對知識的理解掌握能力，最終實現(xiàn)一次函數(shù)的教學(xué)目的。

二、結(jié)合一次函數(shù)的知識特征

由于一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點和難點，所以，要引起對這塊知識的重視度。教師在進行初中一次函數(shù)的教學(xué)過程中，對一次函數(shù)自身的知識、特征進行了解，找到一次函數(shù)知識內(nèi)容的重點內(nèi)容，構(gòu)建全面系統(tǒng)性的教學(xué)思想體系，對一次函數(shù)知識內(nèi)容進行實踐教學(xué)，進一步提高學(xué)生對一次函數(shù)知識點的理解和掌握能力，有效的提高課堂的教學(xué)效率。

由于函數(shù)知識內(nèi)容在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中屬于基礎(chǔ)知識，并且是學(xué)生第一次接觸的知識。因此，在對初中數(shù)學(xué)的一次函數(shù)知識進行教學(xué)時，通過對學(xué)生的接受能力進行了解，設(shè)計出生動有趣的教學(xué)內(nèi)容，探尋函數(shù)教學(xué)知識的學(xué)習(xí)規(guī)律和方法，最終提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如，教師通過對一次函數(shù)概念的本質(zhì)進行分析，讓學(xué)生了解到一次函數(shù)的公式：y=kx+b（k≠0），其中k、b為常數(shù)，k≠0，x屬于自變量，b=0，一次函數(shù)公式可以作為正比例函數(shù)公式。由此，讓學(xué)生了解到，正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)，在具體的解題過程中，將探索驗證的結(jié)構(gòu)運用在解題思考的過程中。

三、運用數(shù)形結(jié)合的方法

由于函數(shù)具有抽象性的特點，單從公式來看，不能清晰的了解到公式所表達的內(nèi)容。因此，在進行一次函數(shù)的教學(xué)過程中，對一次函數(shù)的解析式與函數(shù)圖像之間的關(guān)系進行了解，運用數(shù)形結(jié)合的方式，給學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合思想，進一步開展一次函數(shù)的教學(xué)實踐。在函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)中，對一次函數(shù)公式進行表示，可以通過運用函數(shù)的解析式或者函數(shù)圖像的方式，來對函數(shù)公式、自變量的變化規(guī)律進行充分的表達，并讓學(xué)生了解到函數(shù)的解析式與函數(shù)圖像之間的關(guān)系。

在開展一次函數(shù)的教學(xué)實踐中，教師要注意加強對學(xué)生進行一次函數(shù)解析式和圖像關(guān)系的分析與探尋，在解答一次函數(shù)問題的過程中，強調(diào)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合的方式，解決一次函數(shù)問題。例如，對于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），對其函數(shù)解析式和圖像關(guān)系的分析時，由于常數(shù)k和b可以取不同的值，所以，受到常數(shù)k、b取值不同因素的影響，一次函數(shù)所列出的解析式情況也就不同。那么，將常數(shù)k和b取值上的變化給函數(shù)解析式造成的影響，代入到函數(shù)圖像的關(guān)系分析中，將常數(shù)k、b取值結(jié)果的正負(fù)情況表現(xiàn)出來。例如，當(dāng)k>0且b>0，那么函數(shù)的圖像必定經(jīng)過一、三象限，函數(shù)值y隨著x的增加而不斷發(fā)生變化，函數(shù)圖像和y軸的正半軸相交；同樣的道理，當(dāng)k

除此之外，還可以運用對比的方法，通過對一次函數(shù)和正比例函數(shù)進行對比，運用類比的方法，進行開展一次函數(shù)教學(xué)實踐。由于正比例函數(shù)是一次函數(shù)中的特殊表現(xiàn)形式，所以，在進行一次函數(shù)的教學(xué)時，對正比例函數(shù)和一次函數(shù)進行對比，讓學(xué)生掌握了解一次函數(shù)特殊形式的規(guī)律，提高其運用能力。還可以運用待定系數(shù)法進行一次函數(shù)的解題，給學(xué)生傳授解題思想。

三、結(jié)語

總而言之，函數(shù)教學(xué)知識點在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中是其中重要的內(nèi)容，因此，在教學(xué)的實踐過程中，教師要通過結(jié)合函數(shù)相關(guān)的理論教學(xué)知識，了解學(xué)生的接受能力，運用科學(xué)、合理、行之有效的教學(xué)方法，營造生動活潑的教學(xué)氛圍，有利于極大的調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的積極性，讓學(xué)生樹立學(xué)習(xí)自信心，最終有效的提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量水平、學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和成績。

參考文獻

[1]俞光賢.初中數(shù)學(xué)中函數(shù)教學(xué)方法的分析[J].數(shù)理化教學(xué)

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近幾十年來，日本借鑒吸收東西方的先進改革經(jīng)驗，形成了具有自身特色的數(shù)學(xué)課程體系，在數(shù)學(xué)課程改革方面取得了很大進展，達到了世界前列水平.目前，我國正在進行數(shù)學(xué)課程改革，所以對中日兩國的教材進行比較、分析，對我國的數(shù)學(xué)課程改革會有很大的幫助和啟發(fā).

早在20世紀(jì)六十年代的新數(shù)運動是以結(jié)構(gòu)化和集合、映射為基礎(chǔ)的，因此此次運動為函數(shù)的教學(xué)奠定了方法.就現(xiàn)今來說，函數(shù)是銜接中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要支柱，因此本文將對中日兩國在《一次函數(shù)》的內(nèi)容上進行比較研究，分別從教材內(nèi)容的整體結(jié)構(gòu)、具體內(nèi)容、例習(xí)題、數(shù)學(xué)活動四個方面入手.2 整體結(jié)構(gòu)比較

日本東京書籍株式會社出版的教材《新數(shù)學(xué)2》第三章的教學(xué)內(nèi)容標(biāo)題和中國人民教育出版社出版的教材《數(shù)學(xué)》八年級下冊第十九章的教學(xué)內(nèi)容標(biāo)題均為《一次函數(shù)》，具有可比性，故本文選取《一次函數(shù)》內(nèi)容進行比較.

為了說明中日兩國教材在《一次函數(shù)》內(nèi)容上的差異性，先從教學(xué)內(nèi)容的整體結(jié)構(gòu)進行比較，得到表1和圖1.

分析表6數(shù)據(jù)并結(jié)合“數(shù)學(xué)活動”的具體內(nèi)容比較，可以得出，（1）兩國教材均看重學(xué)生的動手能力及學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.分別舉例說明：人教版教材中的“信息技術(shù)應(yīng)用”，通過使用計算機畫函數(shù)圖象來幫助學(xué)生直觀感受函數(shù)的性質(zhì)，并作為將來學(xué)習(xí)知識的一種手段，日本教材中的“數(shù)學(xué)之窗”，通過讓學(xué)生做一根桿秤來培養(yǎng)學(xué)生的動手能力及探究能力；人教版教材中的“課題學(xué)習(xí)”，通過選擇最佳方案達到解決實際問題的效果，日本教材中的“生活數(shù)學(xué)”，通過調(diào)查東北山行新干線的速度解決實際問題.（2）日本教材十分看重學(xué)生思維水平的發(fā)展.例如：日本教材在得出“一次函數(shù)的增減性”之后，利用“做做看”讓學(xué)生通過圖象感受傾斜與切片的大小對圖象位置的影響.

6 結(jié)論

通過對中日兩種教材《一次函數(shù)》內(nèi)容從整體結(jié)構(gòu)、知識點、例習(xí)題、數(shù)學(xué)活動四個方面的比較，得到以下四方面的結(jié)論.6.1 整體結(jié)構(gòu)方面

從兩國教材編寫體系上看，兩國基本相同，且均運用了旁白、圖表等手段，幫助學(xué)生思考問題.而從前后章的比較上看，兩國的差異較大，人教版的本章內(nèi)容與前后章內(nèi)容并沒有聯(lián)系，而日本教材的本章內(nèi)容與前章有較大的聯(lián)系.6.2 具體內(nèi)容方面

從兩國教材的具體編排內(nèi)容上看，人教版教材將函數(shù)、正比例函數(shù)、一次函數(shù)均歸結(jié)到第十九章《一次函數(shù)》中，按照從特殊到一般的順序?qū)W習(xí)一次函數(shù)，而日本教材并沒有將這三者作為整體出現(xiàn)在教材中，而是將函數(shù)、正比例函數(shù)歸結(jié)到《數(shù)學(xué)1》的《比例和反比例》中，所以日本教材按照從一般到特殊的順序介紹一次函數(shù).

從知識點上看，日本教材的知識點內(nèi)容要比人教版教材豐富，且日本教材中存在利用關(guān)聯(lián)性問題連接的知識點，而人教版教材中則沒有出現(xiàn)，提出的問題相對獨立.6.3 例習(xí)題方面

從例習(xí)題的數(shù)量上看，人教版教材的數(shù)量較多，給學(xué)生更多的練習(xí)機會.從認(rèn)知水平上看，人教版教材的例題重視學(xué)生各類水平的發(fā)展，日本教材的例題看重學(xué)生對概念的識記、方法的操作和理解；日本教材中存在一題多解的例題，且在習(xí)題的設(shè)置上更為人性化，而人教版的例題解法相對單一，但在習(xí)題的分層上更具有代表性.6.4 教材的“數(shù)學(xué)活動”方面

日本教材中存在團隊形式的“數(shù)學(xué)活動”，有助于培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作意識和動手操作能力.人教版教材中的“數(shù)學(xué)活動”旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，以及對知識的靈活應(yīng)用，符合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).相比較而言，日本教材的“數(shù)學(xué)活動”更具有開放性.

參考文獻

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關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；教學(xué)研究

一、生活中小數(shù)學(xué)：

如圖①在一條河流的兩側(cè)，有兩個村莊，現(xiàn)在需要在河邊修建一送水站P，使得送水站到兩個村莊的距離和最短，求P點的位置？（河流寬度忽略不計）

解決辦法：如圖②連接AB兩點，交l與點P，P為所求。

此題是在學(xué)習(xí)過滬科版第4章《直線與角》中4.2線段、射線、直線后，直接利用了 “兩點之間、線段最短”這個知識點應(yīng)用到圖形中，即可得出作法。七年級學(xué)生在剛接觸線段的相關(guān)定理時也可以很輕松的完成此題。

等到八年級上冊學(xué)習(xí)過第15章《軸對稱圖形和等腰三角形》中的15.1軸對稱圖形后，可將題目變形為：

二、與函數(shù)的聯(lián)系應(yīng)用：

滬科版八年級上冊還學(xué)習(xí)了第11章《平面直角坐標(biāo)系》，第12章《一次函數(shù)》，這兩章是學(xué)生第一次接觸、學(xué)習(xí)函數(shù)，也是對數(shù)形結(jié)合能力的重要考察。將上面的問題直接應(yīng)用到平面直角坐標(biāo)系中，將圖形和函數(shù)結(jié)合，即可變形為數(shù)形結(jié)合題：

3、如圖⑤，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（0，2），B（8，8），你能在x軸上找到一點P，使得PA+PB的值最小嗎？求出點P的坐標(biāo)。

此時，可以將x軸看做是河流l，直接應(yīng)用第2題的結(jié)論，就可以通過作圖的方式找出點P：如圖⑥，點A（0，2）關(guān)于x軸的對稱點是A’（0，-2），連接A’B，與x軸的交點就是點P。

在第2題的情境下，是無法得出有關(guān)點P的代數(shù)內(nèi)容，但是將情境改在平面直角坐標(biāo)系中，A’B也就可以看做是一個一次函數(shù)，只要求解出一次函數(shù)解析式，再求解出一次函數(shù)與x軸的交點既可以求出點P的坐標(biāo)。解題過程如下：

解：設(shè) ，經(jīng)過A’（0，-2），B（8，8）得：

解得：

當(dāng) 時， ，解得：

P

此題除了考察了“兩點之間、線段最短”、“軸對稱性質(zhì)”，還使用了“待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式”、“一次函數(shù)性質(zhì)”等知識點，使用了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想綜合解決問題。

三、與根與系數(shù)的關(guān)系的聯(lián)系應(yīng)用：

圓與直線的交點可以分為三種情況：兩個交點；一個交點；沒有交點，正如代數(shù)知識中的一元二次方程，可以有：兩個不相等的根；兩個相等的根；沒有實數(shù)根，所以上題可以繼續(xù)變形為：

7、如圖⑨，在線段CD上找一點P，使得點PAC和PBD相似，請問當(dāng)l，m，n滿足什么條件時，這樣的點有1個？有2個？有3個？（ ）

首先還是需要分類討論：PAC和PBD相似可以理解為：（1）PAC∽PBD；（2）PAC∽BPD；

如圖?，設(shè)CP= ，則PD= ，∠ACP=∠PDB=90°，

（1）當(dāng) 時，PAC∽PBD

即： ，

解得： （ ）

（2）當(dāng) 時，PAC∽BPD

即： ，化簡得：

當(dāng) 時，有兩個不相等的解；

當(dāng) 時，有兩個相等的解；

當(dāng) 時，無實數(shù)解；

綜合上面兩種情況，可得：

時，有3個點，使得點PAC和PBD相似；

當(dāng) 時，有2個點，使得點PAC和PBD相似；

當(dāng) 時，有1個點，使得點PAC和PBD相似；

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關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；教學(xué)有效性；一次函數(shù)；方法探究

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：B 文章編號：1672-1578（2015）10-0327-02

提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性是每一個初中教師的共同追求，在課程改革的推廣下，提高教學(xué)有效性不僅僅是為了提高學(xué)生們的數(shù)學(xué)成績，更在于培養(yǎng)學(xué)生們的學(xué)習(xí)能力，提高學(xué)生們的綜合素質(zhì)水平。在平時的教學(xué)活動中，數(shù)學(xué)老師需要充分激發(fā)學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)生的興趣和熱情，抵消掉學(xué)生對數(shù)學(xué)的畏懼，并不斷對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力進行專項鍛煉，以提高教學(xué)的有效性。以下以初中數(shù)學(xué)中的一次函數(shù)為例，對如何提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性進行了較為詳細(xì)的探究。

1.制定科學(xué)合理的教學(xué)目標(biāo)

教師們開展教學(xué)活動的第一步就是制定教學(xué)目標(biāo)，只有在確立了教學(xué)目標(biāo)之后才能依此進行有針對性的教學(xué)安排。初中數(shù)學(xué)不同于小學(xué)數(shù)學(xué)那樣簡單，對初中數(shù)學(xué)知識的教授是需要老師們多下一些功夫的。初中數(shù)學(xué)老師在制定教學(xué)目標(biāo)時必須要將教學(xué)大綱的要求、現(xiàn)實生活以及學(xué)生們的具體學(xué)習(xí)情況相結(jié)合，這樣設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)才科學(xué)合理，既能為學(xué)生傳輸專業(yè)的理論知識，又能滿足學(xué)生多方面的發(fā)展要求，提高學(xué)生的綜合能力。

例如：針對"一次函數(shù)"這樣初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點內(nèi)容，對其進行教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定時需要進行細(xì)化，將這部分的教學(xué)內(nèi)容分成三個課時。第一個課時是為學(xué)生們簡單地介紹"一次函數(shù)"的概念及其他性質(zhì)，為學(xué)生們接受全新的知識做一個基礎(chǔ)鋪墊。第二個課時是承上啟下的一個關(guān)鍵的課時，對它的目標(biāo)設(shè)定應(yīng)該更加細(xì)化，應(yīng)該充分考慮到學(xué)生們在第一課時上的反應(yīng)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，如：學(xué)生們對一次函數(shù)中的變量和常量的具體含義，一次函數(shù)和正比例函數(shù)之間有哪些區(qū)別和聯(lián)系，一次函數(shù)圖像上的特點等問題有沒有理解到位。針對學(xué)生們對這些關(guān)鍵知識點的掌握情況，再進行第三課時的目標(biāo)設(shè)定。由此可見，只有數(shù)學(xué)老師們對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況有一個比較詳細(xì)具體的了解，有針對性的進行目標(biāo)設(shè)定，并依據(jù)目標(biāo)展開教學(xué)活動，才能有效提高每堂課的教學(xué)效率，促成教學(xué)相長。

2.引導(dǎo)學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)活動

初中階段的學(xué)生們相較于小學(xué)生，他們的思維能力、學(xué)習(xí)能力和自我意識都有了很大程度上的發(fā)展，在初中教育中注重對學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)活動的引導(dǎo)，培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力，將對于學(xué)生今后的學(xué)習(xí)、工作、生活都會帶來諸多益處。通過引導(dǎo)，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生們的自主學(xué)習(xí)意識，更可以從培養(yǎng)學(xué)生能力的角度促使教學(xué)有效性的提高。因此逐步地對學(xué)生的自主學(xué)習(xí)加以引導(dǎo)成為大部分?jǐn)?shù)學(xué)老師的重要教學(xué)方法。

例如：在開始"一次函數(shù)"的具體課堂教學(xué)之前，老師就可以要求學(xué)生們在課前進行對這部分內(nèi)容的預(yù)習(xí)，并落實到具體的家庭作業(yè)上，要給學(xué)生們的預(yù)習(xí)作業(yè)進行問題布置，而問題的內(nèi)容需要以教材為主。對于積極完成預(yù)習(xí)作業(yè)、自覺投入到學(xué)習(xí)中去的學(xué)生，老師應(yīng)該在課堂上給予表揚和鼓勵。通過這種言語上的鼓勵和對學(xué)生自主學(xué)習(xí)活動的潛移默化的干預(yù)來對學(xué)生進行引導(dǎo)，可以逐步培養(yǎng)學(xué)生們的自主學(xué)生意識，漸漸地讓學(xué)生們體會到自己才是學(xué)習(xí)活動的主人，并由此產(chǎn)生濃烈的學(xué)習(xí)積極性，數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性便可再學(xué)生一次又一次的自主學(xué)習(xí)中得到提高。

3.通過教學(xué)情景的設(shè)置來吸引學(xué)生

對教學(xué)情景進行設(shè)置，可以使老師們的教學(xué)方式更加生動新穎，因此也更能吸引學(xué)生們的注意力，激發(fā)學(xué)生們的參與興趣。在所設(shè)置的情景中，老師對知識點的講解也更容易被學(xué)生理解和掌握，還可以有效的活躍課堂氛圍，使整堂課變得形象、活潑、趣味十足。生活情景和疑問情景等情景的設(shè)置對于提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性的貢獻是非同一般的。數(shù)學(xué)老師可以將生活中的一些元素引用到課堂教學(xué)之中，通過設(shè)置生活情景拉近數(shù)學(xué)學(xué)科知識與學(xué)生間的距離，并通過生活化的教學(xué)提高學(xué)生將理論知識應(yīng)用于實際生活的實踐能力。老師還可以通過對疑問情景的設(shè)置來保持學(xué)生們注意力的集中。

例如：通過設(shè)置疑問情景來開展"一次函數(shù)"的課堂教學(xué)活動。

老師提問："同學(xué)們，你們知道為什么在我們對一次函數(shù)進行解答時，一定要強調(diào)常數(shù)b不等于0呢？"

學(xué)生1答："如果讓常數(shù)b等于0的話，那么一次函數(shù)就是正比例函數(shù)，我們對一次函數(shù)的解答就變成了對正比例函數(shù)的解答了。"

老師提問："那你們覺得一次函數(shù)和正比例函數(shù)有什么關(guān)聯(lián)嗎？他們是同一類型的函數(shù)嗎？"

學(xué)生2答："正比例函數(shù)也是一次函數(shù)，只不過是一次函數(shù)中的一個特殊形式。"

老師提問："現(xiàn)在同學(xué)們形成了兩種觀點，那么究竟那種觀點正確呢？一次函數(shù)和正比例函數(shù)之間到底是不是相同呢？它們的區(qū)別與聯(lián)系具體有哪些？我們接下來就一起進行一下探討。

通過老師這樣的疑問來設(shè)置情景，一步一步將學(xué)生引導(dǎo)到這堂課的內(nèi)容，即一次函數(shù)和正比例函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)與區(qū)別之中來了，而且通過學(xué)生們的回答，可以充分調(diào)動學(xué)生們的參與積極性，由此提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性。

4.小結(jié)

本文以一次函數(shù)為例對如何提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性進行了分析探討，得出設(shè)定合理化的教學(xué)目標(biāo)、引導(dǎo)學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)活動和設(shè)置教學(xué)情景來吸引學(xué)生是最有成效的三種方法，數(shù)學(xué)老師們做好這三項工作便可大大提高教學(xué)的有效性。

參考文獻：

[1] 黃廣澤.提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的幾點認(rèn)識[J].基礎(chǔ)教育研究2010年11期

篇5

一、掌握高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題方法和思路的意義

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中恒成立的問題主要出現(xiàn)在函數(shù)知識點中，即在已知的條件下，無論在題型中變量如何變化，其結(jié)果和命題都能夠成立，這就是恒成立。恒成立問題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要考查的就是學(xué)生抽象思維能力、對問題的推理能力以及對相應(yīng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用等，所以恒成立問題能夠最大限度地提高學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力。

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中主要是依靠學(xué)生的邏輯思維解答相應(yīng)的題目，這就是數(shù)學(xué)與高中其他科目不同的地方，所以學(xué)生若是想要提高數(shù)學(xué)的成績，就需要尋找有效的解題方式和思路，并在解答的過程中靈活運用相應(yīng)的公式，這樣就能解決恒成立的相關(guān)問題。

二、高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題方法和思路

1.一次函數(shù)的恒成立

下面將利用案例來解釋一次函數(shù)的恒成立問題：

問題：一次函數(shù)f（x）=（n-6）x+2n-4，在函數(shù)中對任意值x∈[-1，1]，f（x）>0恒成立，就其實數(shù)n的取值范圍。

解題分析：在f（x）=（n-6）x+2n-4的圖象中可以得知，若對x∈[-1，1]，f（x）>0恒成立，則f（-1）>0且f（1）>0，由此可以得出n> ，由此可以解得實數(shù)n的取值范圍是[ ，+∞]。

本次解題的主要思想就是利用一次函數(shù)f（x）=（n-6）x+2n-4 的圖象，這樣在不等式中，就可以直接化解為一元一次不等式組的問題，從而也為學(xué)生提供了更加便捷的思路，讓整個考題更加簡單，思路更加清晰。

2.二次函數(shù)的恒成立

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，二次函數(shù)的知識點是非常重要的，在數(shù)學(xué)考試中也占有非常大的比例，所以教師在進行二次函數(shù)的恒成立解析過程中，需要更加細(xì)致地進行講解。

問題：已知a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a。若是函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點，求a的取值范圍。

解題分析：若在題中a=0，則f（x）=2x-3，這時很明顯函數(shù) 處在[-1，1]的區(qū)間中沒有零點，所以a≠0。令Δ=0，可以解得a= 。①當(dāng)a= 的時候，函數(shù)y=f（x）正好有一個零點處在[-1，1]上。②當(dāng)f（-1）≤f（1）≤0時，解得1≤a≤5，代入兩端點，經(jīng)檢驗a=5時，有兩個零點，所以當(dāng)1≤a≤5時，函數(shù)y=f（x） 在[-1，1]之上正好也有一個零點。

③若是當(dāng)函數(shù)y=f（x）在[-1，1]區(qū)間之中有兩個零點的時候，則a>0>0-1

由此可以得出a≥5或者是a< 。

綜上所述，可以得出實數(shù)a的取值范圍是-∞， ∪ [1，+∞）∪ 。

本問題主要是以一元二次方程的根為主要的知識點考查對象，這種題型也是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇見的題型，在解這種類型題目的時候，首先需要學(xué)生能夠確認(rèn)根的數(shù)量，再對應(yīng)拋物線對稱軸的位置，最后再根據(jù)相應(yīng)的數(shù)據(jù)判斷區(qū)間端點所相對的數(shù)值函數(shù)的正負(fù)情況。

3.分離參數(shù)法

所謂的分離參數(shù)法就是指在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)過程中，若是遇見含有參數(shù)的數(shù)學(xué)習(xí)題，可以將習(xí)題中的參數(shù)不等式進行變形，將題中的參數(shù)進行分離，這樣就能夠?qū)⒑愠闪栴}的難度降低，并將整體的問題簡單化，這樣的方式也能夠讓學(xué)生在面對問題的時候更加能快速地進行解答。

問題：在x∈R時，不等式-4a-sin2x-4sin x+a2>0恒成立，求a的范圍。

問題分析：在此不等式中擁有兩個變量，一個是a，一個是x，給出的條件就是x∈R的時候，求a的取值范圍。這個題型可以利用分離參數(shù)法將a和x進行分析，變形為sin2x+4sin x0恒成立，就需要a2-4a>5，得出 a5。

篇6

關(guān)鍵詞：二元一次方程 一次函數(shù) 圖象 方程組解

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）08-187-02

如果我們在教學(xué)過程中，注意引導(dǎo)學(xué)生用二元一次方程的知識和觀點來看待一次函數(shù)，往往會收到意想不到的效果。

一、用二元一次方程的解理解一次函數(shù)圖象

一個二元一次方程 （m、n都是常數(shù)，且m、n都不為0）是一個不定方程，有無數(shù)組解。如果把x看作橫坐標(biāo)、y看作縱坐標(biāo)，那么每一組解就是一個點的坐標(biāo)。以二元一次方程組 的解為坐標(biāo)的所有的點集中在一起，就構(gòu)成了直線 。也就是說，直線 的點與二元一次方程 的解是一一對應(yīng)的。這樣理解后，下面的問題就容易理解了。

求直線 與坐標(biāo)軸的交點。這問題相當(dāng)于知道x（或y）的值為0，求y（或x）的值。

例：直線 與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求A、B的坐標(biāo)。

解：當(dāng)y=0時，代入直線解析式方程 ，得 ，解得 所以A點的坐標(biāo)是 。

當(dāng)x=0時，代入直線解析式方程 ，得 ；所以B點的坐標(biāo)是 。

二、利用二元一次方程組來判斷對應(yīng)的兩個一次函數(shù)圖象的位置

設(shè)二元一次方程組的一般形式為 ，可轉(zhuǎn)化為 ，令 ，則上述形式又可以寫成 。這就對應(yīng)著兩個一次函數(shù)。

（1）當(dāng) 時，二元一次方程組 有唯一解，此時直線 和直線 相交。

（2）當(dāng) 時，方程組 無解，此時直線 和直線 平行，沒有公共點。

（3）當(dāng) 時，方程組 有無數(shù)組解，此時直線 和直線 重合，有無數(shù)個公共點。

三、二元一次方程組解決一次函數(shù)問題

在學(xué)習(xí)過程中，不少一次函數(shù)的問題可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程組的問題來解決，下面這種題型就是很好的例子。

如何求兩個一次函數(shù)圖象交點坐標(biāo)。這個交點，同時在這兩個函數(shù)圖象上，所以同時滿足這兩個函數(shù)解析式方程。我們可以通過解這兩個解析式組成的方程組來解決問題。

例：求兩個一次函數(shù) 和 圖象的交點坐標(biāo)。

解：由題意可得： ；解方程組得： ；所以交點坐標(biāo)是（1，1）。

四、二元一次方程與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用

實際問題一直是個難點，應(yīng)根據(jù)具體情況把一次函數(shù)和二元一次方程組有機地結(jié)合，靈活運用，從而順利解決問題。

例：中國移動公司開設(shè)兩種通訊業(yè)務(wù)，“全球通”使用者先繳50元月租費，每通話1分鐘再付0.4元；“神州行”不繳月租費，每通話1分鐘付話費0.6元。現(xiàn)在小明想開通其中一種通訊業(yè)務(wù)，請問他應(yīng)該開通哪一種更省錢？

分析：每月付話費的多少與小明每月通話時間有關(guān)，我們可設(shè)小明每月通話x分鐘，付的話費為y元，分別建立起兩種通訊業(yè)務(wù)方案的函數(shù)模型，然后再進行比較。

解：設(shè)小明每月通話x分鐘，付的話費為y元。

全球通每月付款為y=0.4x+50；神州行通每月付款為y=0.6x

在同一直角坐標(biāo)系中畫出這兩個函數(shù)的圖象

解方程組 ；解之得： ；所以兩圖象交于點（250，150）

由圖象易知：

當(dāng) 時， ，此時選擇神州行更省錢；

當(dāng) 時， ，此時兩種方案沒有區(qū)別；

當(dāng) 時， ，此時選擇全球通更省錢。

總之，在一次函數(shù)教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生把一次函數(shù)和二元一次方程有機聯(lián)系起來，給予學(xué)生充分的時間和空間來體驗數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程，適當(dāng)?shù)木毩?xí)來熟練應(yīng)用各知識點。這樣，相信學(xué)生學(xué)好一次函數(shù)不成問題。

參考文獻：

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關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識側(cè)重點銜接

一、問題的提出

許多剛剛升入高中的學(xué)生(新高中生)，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀，到高中之后，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一籌莫展，有的甚至失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。常聽到學(xué)生這樣說，“初中時，這些知識老師都講過，有些沒有作為重點來講，只是了解。老師說高中老師會細(xì)講的，但是現(xiàn)在老師也不講初中的知識而是拿來直接運用?！边@種現(xiàn)象的產(chǎn)生源于初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)側(cè)重點與高中的要求不吻合。

二、問題的分析

舉個例子，初中學(xué)習(xí)解一元二次方程有三種方法：一是直接開方法，二是配方法，三是求根公式法。在初中時重點掌握的是前兩種方法，在高中，由于計算量和計算速度的要求，解一元二次方程時最常使用的是十字相乘法和求根公式法。十字相乘法初中教材中沒有，初中數(shù)學(xué)課上不作重點講授或根本就不講。像這樣的問題很多，使新高中生是不能滿足高中數(shù)學(xué)課的基本要求的。高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是螺旋上升的過程，高一的學(xué)習(xí)以初中為基礎(chǔ)，哪一個環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題，都影響數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。知識側(cè)重點銜接出現(xiàn)了問題，久而久之，學(xué)不會、跟不上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也就是正?，F(xiàn)象了。

隨著高中教材改革和初中減負(fù)大刀闊斧的進行，初高中數(shù)學(xué)知識點側(cè)重銜接問題越來越明顯，已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一瓶頸。那么，在那些主要知識側(cè)重點銜接上存在問題，列舉如下：（1）解一元二次方程問題。（2）函數(shù)和函數(shù)圖像的關(guān)系理解問題。（3）畫一次函數(shù)和二次函數(shù)的草圖的問題。（4）二次函數(shù)的配方問題。

以上問題，為什么是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一瓶頸呢？分析如下：一、函數(shù)圖像是認(rèn)識函數(shù)很好的一個途徑。函數(shù)圖像是函數(shù)的具體，使函數(shù)具有形的可觸性，降低函數(shù)的抽象性。函數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系就像是人的身份證號與本人關(guān)系一樣，一個人對應(yīng)著一個身份證號，一個身份證號對應(yīng)一個人。僅僅看到一個人身份證號是不會了解這個人的，要了解這個人就了解這個人的生活、工作、學(xué)習(xí)情況，也就是看這個人的行為。什么樣的人有什么樣的行為。每個人都有特有的行為。類似的，什么樣的函數(shù)有什么樣的圖像。函數(shù)圖像的走勢、形狀、最值、自變量取值范圍直觀地反應(yīng)特定函數(shù)的性質(zhì)。特定函數(shù)具有其本身特有的圖像。

很多新高中生沒有將函數(shù)與函數(shù)圖像建立聯(lián)系，割裂了函數(shù)和圖像的關(guān)系，脫離函數(shù)圖像，僅僅是從函數(shù)式上來學(xué)習(xí)函數(shù)，而函數(shù)解析式本身是非常抽象的，這樣對于初學(xué)者來說學(xué)會并掌握是不可能的。在高中要在初中的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)。這些函數(shù)的許多性質(zhì)都是通過圖像學(xué)習(xí)的，通過圖像來區(qū)分它們的不同，如果割裂函數(shù)與圖像關(guān)系學(xué)習(xí)函數(shù)將是寸步難行。而在初中的學(xué)習(xí)，沒有很好的建立函數(shù)與圖像聯(lián)系。二、畫好一次函數(shù)圖像和二次函數(shù)圖像是掌握函數(shù)的基礎(chǔ)。 新高中生只知道這兩種函數(shù)的圖像是什么，具體到畫圖時總是畫不準(zhǔn)確，不能掌握基本要點。對于一次函數(shù)圖像新高中生知道一次函數(shù)圖像是直線，畫直線時總是列出很多的點，將這些點都描在直角坐標(biāo)系中，再利用這些點畫出直線。不知道由兩點確定一條直線，不會快速選出確定直線的兩個點。在畫二次函數(shù)圖像時，先利用頂點坐標(biāo)公式求出頂點坐標(biāo)，然后根據(jù)開口方向在直角坐標(biāo)系中描出定點，之后隨意勾畫出拋物線，不注意拋物線的開口的大小、函數(shù)圖像是否關(guān)于對稱軸對稱。這樣畫出的圖像速度慢、質(zhì)量難以保證，不僅影響對函數(shù)的認(rèn)識，將影響以后的學(xué)習(xí)。在學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)時，首先通過一次函數(shù)、二次函數(shù)圖像學(xué)習(xí)函數(shù)的值域、單調(diào)性、奇偶性等。必修5中第三章將學(xué)習(xí)不等式時，利用二次函數(shù)圖像學(xué)習(xí)一元二次不等式的解法，如果對二次函數(shù)圖像沒有深刻的認(rèn)識，學(xué)習(xí)一元二次不等式就會有困難，在許多含有參數(shù)一元二次不等式的求解過程中借助二次函數(shù)圖像解答。在學(xué)習(xí)線性規(guī)劃問題時要求快速畫出約束條件對應(yīng)的可行域，準(zhǔn)確快速畫出直線是基礎(chǔ)。對于這兩種函數(shù)圖像，初中要求不高，但是高中繼續(xù)深入學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。而在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中不包含如何快速準(zhǔn)確畫出一次、二次函數(shù)的圖像。

三、問題的解決方法

一、教師認(rèn)真學(xué)習(xí)研究初中教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)大綱和課程標(biāo)準(zhǔn)，掌握初中數(shù)學(xué)教學(xué)側(cè)重點，找出初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與高中數(shù)學(xué)要求的差距。二、對剛剛升入高中的心高中生進行知識測試，測查他們知識掌握的情況，找出他們知識的薄弱點、欠缺點。三、結(jié)合學(xué)生的實際情況和教學(xué)要求，制定相應(yīng)的教學(xué)計劃。四、教學(xué)計劃實施時，應(yīng)注意一下幾點：(1)騰出足夠的時間。（2）

知識點的深入，不是把知識點羅列下去，應(yīng)對相應(yīng)的知識點多加練習(xí)。（3）補充的內(nèi)容不能過深，否則會打消學(xué)生的積極性，影響學(xué)習(xí)效果。五、加強對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方法。初中的學(xué)習(xí)方法不適應(yīng)高中的學(xué)習(xí)，如果再像初中那樣學(xué)習(xí)的話，會影響高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。良好的學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣，對高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)非常有幫助，提高學(xué)習(xí)效率。六、經(jīng)常和學(xué)生溝通，了解學(xué)生時時的學(xué)習(xí)情況，以便及時調(diào)整不適合教學(xué)計劃和內(nèi)容。七、將每個班級的學(xué)生分成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組，選出組長。在課下遇到不會的問題可以互相討論解決，即使在討論的過程中問題沒有解決，學(xué)生也得到了思維上的訓(xùn)練。進一步養(yǎng)成好的數(shù)學(xué)習(xí)慣。

參考文獻

【1】初中數(shù)學(xué)教學(xué)《大綱》

【2】初中數(shù)學(xué)《課程標(biāo)準(zhǔn)》

篇8

通過統(tǒng)計可以發(fā)現(xiàn)：試卷中有關(guān)函數(shù)的題目少則4題，多則達7題，分值占總分20%以上，重點為一次函數(shù)和二次函數(shù). 由于此部分試題具有一定的綜合性，對同學(xué)們數(shù)形結(jié)合和函數(shù)方程等重要數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)、解題思路的拓寬以及綜合能力的提升具有十分重要的意義，因而備受命題者的青睞. 同學(xué)們要總結(jié)解題規(guī)律，掌握函數(shù)的基本技能和方法，強化數(shù)形結(jié)合意識、分類討論思想、滲透模型思想以及配方法、公式法、待定系數(shù)法等重要方法的應(yīng)用，注意觀察、歸納、分析、比較，把重點放在落實基礎(chǔ)知識和基本技能及通性、通法的掌握上，從而提高復(fù)習(xí)效率和效果.

函數(shù)?？贾R點

一、 平面直角坐標(biāo)系

1. 坐標(biāo)平面內(nèi)點的對稱性、點所在的象限、坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特點等. 坐標(biāo)平面內(nèi)點的對稱性，主要以填空題、選擇題形式出現(xiàn).

2. 自變量的取值范圍的確定：

①當(dāng)函數(shù)關(guān)系式為分式形式時，其自變量的取值范圍必須使分母不為零；

②函數(shù)關(guān)系式為二次根式形式時，其自變量的取值范圍必須使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；

③函數(shù)關(guān)系式為整式形式時，其自變量的取值范圍為任意實數(shù)；

④還應(yīng)注意要使實際問題有意義. 自變量的取值范圍主要以填空題、選擇題形式出現(xiàn).

二、 一次函數(shù)

一次函數(shù)考點包括一次函數(shù)、正比例函數(shù)表達式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)（一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與x軸交于-

，0，與y軸交于（0，b）），一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)（當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)k

三、 反比例函數(shù)

反比例函數(shù)考點包括反比例函數(shù)的表達形式和性質(zhì)（當(dāng)k>0時，圖像的兩個分支分別在第一、三象限內(nèi)，且在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划?dāng)k

四、 二次函數(shù)

二次函數(shù)主要考查表達式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），頂點式：y=a（x-h）2+k（a≠0），交點式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）（a≠0））、頂點坐標(biāo)、開口方向、對稱軸、最大（?。┲狄约坝枚魏瘮?shù)模型解決生活實際問題. 其中頂點坐標(biāo)、開口方向、對稱軸、最大（?。┲?、圖像與坐標(biāo)軸的交點等主要以填空題、選擇題形式出現(xiàn). 有關(guān)二次函數(shù)的解答題主要有三種類型：一類是有關(guān)二次函數(shù)圖像及性質(zhì)的純數(shù)學(xué)問題，如2012年徐州中考第24題；一類是利用二次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合其他知識解決實際問題的題目，如2011年徐州中考第25題 ；再一類是二次函數(shù)與幾何知識結(jié)合的綜合題，如2013年徐州中考第28題、2012年徐州中考第27題、2011年徐州中考第28題.

如何將中考壓軸題化難為易，在有限的時間內(nèi)取得更高的分值是同學(xué)們關(guān)心的問題，下面以2013年徐州中考壓軸題為例，說明解決此類問題的方法、思路及對策.

如圖1，二次函數(shù)y=x2+bx-的圖像與x軸交于點A（-3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E.

（1） 請直接寫出點D的坐標(biāo)：_______；

（2） 當(dāng)點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；

（3） 是否存在這樣的點P，使PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)及此時PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由.

【解析】（1） 要求D點的坐標(biāo)，知A、D兩點的橫坐標(biāo)相同為-3，關(guān)鍵是求點D的縱坐標(biāo)，也就是求出AB的長度，就可確定點D的坐標(biāo)了. 根據(jù)點A（-3，0）在二次函數(shù)y=x2+bx-的圖像上，可求出b=1，繼而求出點B的坐標(biāo)為（1，0），從而可求出AB=4，所以點D（-3，4）.

（2） 當(dāng)點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動時，說明0

-2+，t=，即P為OA的中點時，OE有最大值，最大值為.

（3） 要使PED是等腰三角形，由于∠DPE=90°，只能是PD=PE. 同學(xué)們遇到此類題目不妨動手操作一下，這樣可以幫助我們?nèi)婵紤]問題. 如用兩支筆垂直放置且一支筆始終過點D進行旋轉(zhuǎn)，便可得出下面的兩種符合條件的圖形.

①如圖2，點P點在y軸左側(cè)時，由于PD=PE，再抓住∠PAD=∠POE=90°，便可想到三角形全等. 即PAD≌EOP，所以PO=AD=4，也可以由三角函數(shù)的定義求PO的長度，即cos∠PDA=cos∠EPO，=，且PD=PE，PO=4，PA=OE=4-3=1，由tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，重疊部分的面積SDAG=×4×=.

②如圖3，當(dāng)P點在y軸右側(cè)時，由于PD=PE，仍抓住∠PAD=∠POE=90°，PAD≌EOP，所以PO=AD=4，PA=OE=4+3=7，tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，同理tan∠DFC=tan∠PFB，即=，CF=，重疊部分的面積S四邊形DGBF=4×4-××4-××4=.

篇9

已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（2，1），（-1，-3），

（1）求此一次函數(shù)的解析式；

（2）求此一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸的交點坐標(biāo)。

這是一道基礎(chǔ)題，是在學(xué)生了解平面直角坐標(biāo)系特征和一次函數(shù)的基礎(chǔ)知識后的簡單應(yīng)用，其中有一位喜愛數(shù)學(xué)的學(xué)生交給我如下答案。

（1）解：設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為：y=kx+b，將點A（2，1），B（-1，-3）代入，可得

1=2k+b，-3=-k+b，解得

所以一次函數(shù)的關(guān)系式為：。

（2）與x軸、y軸交點的坐標(biāo)為。

看完他的作業(yè)后，我分析：他對一次函數(shù)的知識有一定了解，但也存在一些理解誤區(qū)，便叫他來辦公室詳談。

師：你覺得這題容易嗎？

生：挺容易的，都是基礎(chǔ)知識。

師：做題時，你畫過的圖像嗎？

生搖頭。

師：我覺得你已完成第一問，但沒有正確理解第二問的含義。

生：那怎樣才能正確理解呢？

師：很容易，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，我們可以借助圖形理解，老師畫圖后，我們一起觀察。

生（指著圖像）：老師，我應(yīng)該是對的啊，從圖中可以看出函數(shù)圖像與x軸、y軸的交點坐標(biāo)是。

師：真的嗎？請回憶老師講課時關(guān)于點在x軸和點在y軸上坐標(biāo)的特征。

生：x軸上點的特征？

師：在平面直角坐標(biāo)系中，任意一點都可以用一對有序?qū)崝?shù)表示，這一對有序?qū)崝?shù)分別表示該點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。

生：是的。

師：那函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點坐標(biāo)難道只能用單個數(shù)表示嗎？

生：不能夠吧！

師：這下你明白了嗎？在圖中，函數(shù)圖像與x軸的交點坐標(biāo)是一對有序?qū)崝?shù)，只是此時它對應(yīng)的縱坐標(biāo)為零，也就是函數(shù)圖像與x軸的交點坐標(biāo)是。同時，你也混淆了“與x軸的交點”和“與x軸交點的坐標(biāo)”的概念。

生：原來是這樣啊，我明白了，與x軸的交點是一個點，而與x軸的交點坐標(biāo)則是一對有序?qū)崝?shù)。

師：那你知道函數(shù)圖像與y軸的交點坐標(biāo)嗎？

生：知道，函數(shù)圖像與y軸的交點坐標(biāo)是。

師：很好，你弄清楚了“交點”與“交點坐標(biāo)”后，以后要注意區(qū)分。同時，第二問是“與x軸、y軸的交點坐標(biāo)”，你應(yīng)該分別回答，而不是混作一團來答題。

生：知道了，謝謝老師……

雖然該生理解了，但是，我們需要反思：為什么會出現(xiàn)這種錯誤呢？以后的教學(xué)中如何避免呢？

其一，學(xué)習(xí)時背景知識讓學(xué)生產(chǎn)生了錯誤認(rèn)識。本章對平面直角坐標(biāo)系的定義是：在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系。在前面的學(xué)習(xí)中我們知道，在數(shù)軸上的點是一個數(shù)值，而不是一對有序?qū)崝?shù)，教師在講述時只是借用數(shù)軸直觀明了的結(jié)構(gòu)，而忽視了數(shù)軸上的點與直角坐標(biāo)系中的點有不同之處。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也往往犯先入為主的錯誤，把數(shù)軸上的點的概念嫁接到平面直角坐標(biāo)系中，這就必然導(dǎo)致平面直角坐標(biāo)系中的點是一個數(shù)值的錯誤概念。

其二，沒有完全理解平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對之間的一一對應(yīng)關(guān)系。在教學(xué)中，教師能夠把第一象限至第四象限內(nèi)的點是一對有序?qū)崝?shù)說得很明了，可以從橫、縱坐標(biāo)軸作垂線而得一個交點。但是在坐標(biāo)軸上的點只能形象地作出其中一條坐標(biāo)軸的垂線，而另一個坐標(biāo)軸的垂線必然是它本身，此時必然得到的數(shù)為零。如點A在橫坐標(biāo)軸上，它的坐標(biāo)是A（2，0），如果按照捕捉點的坐標(biāo)的方法，我們可以作出與橫坐標(biāo)軸垂直的直線，再作與縱坐標(biāo)軸垂直的直線，得到的數(shù)為零。該直線也與橫坐標(biāo)軸融合成一條直線。學(xué)生不能直觀地學(xué)習(xí)這個知識點，而教師也可能只是一筆帶過，不會講得更詳細(xì)，就直接給出了定義：x軸上的點的縱坐標(biāo)為零，y軸上的點的橫坐標(biāo)為零。這樣必然會造成學(xué)生認(rèn)識上的誤區(qū)。

其三，“交點”還是“交點坐標(biāo)”？本試題是求此一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸的交點坐標(biāo)，學(xué)生在審題時由于各種原因會看成“交點”而忽視“坐標(biāo)”，這是大多數(shù)做錯題的學(xué)生的通病。這也給學(xué)生提出了更高的要求，要提高解題能力，必須認(rèn)真、仔細(xì)地審題才能正確解答。

篇10

例6.已知函數(shù)y=2/3x+1.（滬教版數(shù)學(xué)八年級第二學(xué)期P10）

（1）當(dāng)x取何值時，函數(shù)值y=5？

（2）當(dāng)x取何值時，函數(shù)值y>5？

（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，在直線y=2/3x+1上且位于x軸下方的所有點，它們的橫坐標(biāo)的取值范圍是什么？

下面筆者從三個角度進行關(guān)注：

1.以學(xué)定教，把握更精準(zhǔn)的例題目標(biāo)

《中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中所提出的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，是指各學(xué)段終結(jié)時的目標(biāo)；在教學(xué)過程中，還要確定每個教學(xué)階段的具體目標(biāo)，直至每節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，由此構(gòu)成形成性的學(xué)習(xí)目標(biāo).我們再將每節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)細(xì)化到每道題的教學(xué)目標(biāo)，評價先行，以學(xué)定教.

從整個初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)體系來看本例題所涉及的知識點，其在不同層面的目標(biāo)分別是：

《課標(biāo)》目標(biāo)：建立一次函數(shù)、二元一次方程、直線之間的聯(lián)系.

單元目標(biāo)：能借助一次函數(shù)的圖像認(rèn)識一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，理解一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

課時目標(biāo)：知道一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)之間的聯(lián)系，能以函數(shù)的觀點認(rèn)識一元一次方程的解與一元一次不等式的解集；通過研究一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)之間的聯(lián)系，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，初步領(lǐng)略用函數(shù)知識分析問題的方法.

通過研讀目標(biāo)，我們將這道例題的目標(biāo)和功能進一步細(xì)化：

A層目標(biāo)：

（1）會從代數(shù)的角度思考問題，用式的代換和運算解決；

（2）通過觀察函數(shù)圖像、求方程的解和不等式的解集，體會一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)的聯(lián)系；

（3）會用圖像法解一元一次不等式；

（4）能利用一次函數(shù)與一元一次不等式的內(nèi)在關(guān)系，解決實際問題.

B層目標(biāo)：

（1）會從代數(shù)的角度思考問題，用式的代換和運算解決（達標(biāo)率100%）；

（2）通過觀察函數(shù)圖像、求方程的解和不等式的解集，體會一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)的聯(lián)系（達標(biāo)率75%以上）；

（3）會用圖像法解一元一次不等式（達標(biāo)率75%以上）.

2.因材施教，深入更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕滩慕虒W(xué)

本節(jié)課的知識要點是新教材中后添加的內(nèi)容，不僅是應(yīng)試的重點考察對象，而且是幫助學(xué)生進一步感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想重要途徑之一.本節(jié)課也是在學(xué)生已有對一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程組等的認(rèn)識之后，從變化和對應(yīng)關(guān)系的角度，對一元一次不等式的運算進行更深入的討論，是站在更高起點上的動態(tài)分析.通過討論一次函數(shù)與方程（組）及不等式的關(guān)系，用函數(shù)的觀點加深對這些已經(jīng)學(xué)習(xí)過的內(nèi)容的認(rèn)識，加強知識間的橫向和縱向聯(lián)系，發(fā)揮函數(shù)的統(tǒng)領(lǐng)作用，構(gòu)建和發(fā)展相互聯(lián)系的知識體系.

于是，我們備課組設(shè)計一道檢測拓展：

已知一次函數(shù)y=k1x+b1和y=k2x+b2的圖像分別是直線l1和l2，根據(jù)圖像填空：

（1）方程k1x+b1=0的根是______________；

不等式k1x+b1

（2）不等式k2x+b2>0的解集是______________；

方程k2x+b2=-2的根是______________.

這道檢測題目的設(shè)計源于拓展依據(jù)的綜合處理，檢測題目的難度要求要高于例6，它可以從數(shù)和形兩方面進行檢測對代數(shù)方法和圖像直觀法的理解.

3.以學(xué)促教，理解更貼切的實際學(xué)情

例6是在一次函數(shù)與一元一次方程的基礎(chǔ)上展開的，學(xué)生理解了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，進一步體會數(shù)形結(jié)合的基本思想，并初步有了用函數(shù)的觀點考查教學(xué)問題、解決教學(xué)問題的思想.函數(shù)、方程、不等式都是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間變化規(guī)律的重要模型.本節(jié)的目的就是通過具體例子滲透三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生從整體上認(rèn)識不等式，感受函數(shù)、方程、不等式的作用.在教學(xué)過程中注意引導(dǎo)學(xué)生初步體會從整體中把握部分的思維方法，滲透函數(shù)、方程、不等式思想和數(shù)形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想，拓寬學(xué)生視野，相信學(xué)生并為學(xué)生提供充分展示自己的機會.

回歸本源，張奠宙教授早就提出“教什么永遠(yuǎn)比怎么教重要”.數(shù)學(xué)教育面臨兩大問題：

（1）教什么――教學(xué)內(nèi)容