雙曲線及其標準方程范文

導(dǎo)語：如何才能寫好一篇雙曲線及其標準方程，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

主講：王曉斌

地點：學(xué)校新籃球場

時間：2012年12月6下午第一節(jié)課

學(xué)習(xí)目標：

1.知識目標

（1）掌握雙曲線的定義。

（2）體會雙曲線的標準方程求解過程中所蘊含的數(shù)學(xué)思想。

（3）掌握雙曲線的標準方程。

（4）理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體會運動變化的觀點。

2.能力目標

（1）培養(yǎng)學(xué)生的合作探究能力、發(fā)現(xiàn)問題的能力及大膽提出問題的良好習(xí)慣。

（2）訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力。

（3）掌握探究數(shù)學(xué)問題的一般方法。

3.情感目標

（1）通過雙曲線的形成過程培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)美感。

（2）培養(yǎng)學(xué)生的團結(jié)協(xié)作精神。

學(xué)習(xí)重點：

1.雙曲線的定義

2.雙曲線標準方程的探究過程

學(xué)習(xí)難點：

1.坐標系的建立及幾何特征的描述

2.標準方程的推導(dǎo)過程

學(xué)習(xí)方法：

1.動手探究法

2.小組討論法

3.發(fā)現(xiàn)總結(jié)法

課前預(yù)習(xí)：

問題1.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓及其標準方程，回憶我們是如何推導(dǎo)其方程的？

①畫圖；②建系；③取代表；④條件幾何化；⑤進一步代數(shù)化。

問題2.你能舉出與雙曲線有關(guān)的例子嗎？

教學(xué)過程：

一、觀察分析

問題3.用一平面截兩個圓錐會得到什么樣的曲線？

出示道具，觀察得出雙曲線。

問題4.橢圓的定義是什么？

平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的軌跡叫做橢圓。

問題5.如果把橢圓定義中“距離的和”改成“距離的差”，那么動點的軌跡會發(fā)生怎樣的變化？

變成雙曲線。

二、動手探究

1.分組探究畫雙曲線的過程

人員：全班分成8個小組，各小組由小組長負責(zé)。

道具：一根繩子，一個竹筒，兩個固定物，粉筆。

2.雙曲線的定義（用語言描述）

平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|，且不等于0）的點的軌跡叫做雙曲線。

問題6.竹筒的距離差與兩定點之間有什么關(guān)系？

三、推導(dǎo)雙曲線的標準方程

1.建系

使x軸經(jīng)過兩焦點F1、F2，y軸為線段F1F2的垂直平分線。

2.取代表

設(shè)M（x，y）是雙曲線上任一點，焦距為2c（c>0），那么焦點F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）

3.條件幾何化

MF1-MF2=2a

四、小組展示，學(xué)習(xí)交流

在展示過程中，其他同學(xué)可以發(fā)問，可以補充糾正，充分展示每個同學(xué)的才能，最后教師根據(jù)情況點評、及時表揚，充分發(fā)揮激勵作用，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和趣味性。

五、問題思考

問題7.這里的“標準”指的是什么？

以雙曲線的兩對稱軸為坐標軸，以中心為坐標原點。

問題8.標準方程有幾種形式？怎樣才能確定焦點在哪條軸上？

問題9.雙曲線形狀和大小與哪些量有關(guān)？

與a，b，c有關(guān)，特別是用“e”來刻畫。

問題10.雙曲線的方程中，a，b，c三者之間是什么關(guān)系？哪一個最大？它們表示什么？在圖形中能指出來嗎？

c2=a2+b2（滿足勾股定理） c最大

六、布置作業(yè)

1.完成今天的學(xué)案

2.推導(dǎo)完成另一種雙曲線的標準方程

篇2

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；圓錐曲線；性質(zhì)；推廣；應(yīng)用；解題

圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，其對于幾何問題的研究卻是利用代數(shù)的解題方法。而且，對于高中生來說，圓錐曲線的性質(zhì)掌握及其推廣應(yīng)用是目前我國高考數(shù)學(xué)的重點考查內(nèi)容。從更深層次來講，加強對于圓錐曲線分類與性質(zhì)的研究，在一定程度上可以幫助學(xué)生打開解題思路、提高解題技巧，同時培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)新能力為代表的綜合能力。

因此，為了使學(xué)生能夠更好地掌握圓錐曲線的性質(zhì)及其的推廣應(yīng)用，且進一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素質(zhì)，作為高中數(shù)學(xué)教師的我們，就要積極探討圓錐曲線在解析幾何下的分類及其性質(zhì)，注重對學(xué)生圓錐曲線性質(zhì)及其推廣應(yīng)用的教學(xué)。

一、 圓錐曲線的定義

對于圓錐曲線在解析幾何下的分類及性質(zhì)的研究前提，是對于圓錐曲線定義的了解及掌握。本文，筆者從三個方面介紹圓錐曲線的定義。

1、 從幾何的觀點出發(fā)。

我們說，如果用一個平面去截取另一個平面，然后兩個平面的交線就是我們所要研究的圓錐曲線。嚴格來講，圓錐曲線包含許多情況的退化，由于學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的局限性，對于圓錐曲線的教學(xué)，我們通常包含橢圓、雙曲線和拋物線，這三類的知識內(nèi)容。

2、 從代數(shù)的觀點出發(fā)。

在直角坐標系中，對于圓錐曲線的定義就是二元二次方程 的圖像。高中生在其的學(xué)習(xí)中，可以根據(jù)其判別式的不同，分為橢圓、雙曲線、拋物線以及其他幾種退化情形。

3、 從焦點-準線的觀點出發(fā)。

在平面中有一個點，一條確定的直線與一個正實常數(shù)e，那么所有到點與直線的距離之比都為e的點，所形成的圖像就是圓錐曲線。

學(xué)生在具體的圓錐曲線學(xué)習(xí)中可以了解到，如果e的取值不同，這些點所形成的具體的圖像也不同。

（1） 如果e的取值為1，那么那些點所形成的圓錐曲線是一條拋物線；

（2） 如果e的取值在0到1之間，那么圓錐曲線就為橢圓；

（3） 如果e的取值大于1，那么圓錐曲線就為雙曲線。

但是，嚴格來說，在數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域，這種焦點-準線的觀點是只能定義圓錐曲線的幾種的主要情形的，是不能算作為圓錐曲線的定義。但是，在對于學(xué)生的圓錐曲線教學(xué)中，這種定義被廣泛使用，并且，其也能引導(dǎo)出許多圓錐曲線中的重要的性質(zhì)、概念的。

二、 圓錐曲線的分類

1、 橢圓。

橢圓上的任意一個點到某個焦點與一條確定的直線的距離之比都是一個大于0且小于1的實常數(shù)e，而且這個點到兩個焦點的距離和為2a。一般情況下，我們稱這條確定的直線為橢圓的準線，e就是我們經(jīng)常說的橢圓的離心率。

2、 雙曲線。

雙曲線上的任意一點到其焦點與一條確定直線的距離之間為一個大于1的實常數(shù)e。同樣的，這條確定直線也是一條準線，其為雙曲線的準線，e為雙曲線的離心率。

3、 拋物線。

拋物線上的任意一點到其定點與一條確定直線的距離之比等于1。同樣地，這條確定的直線為拋物線的準線。

三、 圓錐曲線的基本性質(zhì)

1、 橢圓的基本性質(zhì)。

在高中對于圓錐曲線的學(xué)習(xí)，通常包含兩個定義和三個基本定理。

定義1 即橢圓的定義，課本上是這樣表述的：平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于實常數(shù)2a（2a>|F1F2|）的動點P的軌跡叫做橢圓。簡單地用公式來表達，就是|PF1|+|PF2|=2a。

定義2 即橢圓的第二定義，關(guān)于橢圓的準線方程及其離心率。

動點P（x，y）與定點F（-c，0），即橢圓的焦點的距離和它到確定直線 的距離的比為實常數(shù) （a>c>0）時，那么P點的軌跡即為橢圓。簡單來說，即到定點確定直線的距離的比等于定值e（0

定理1 假設(shè)AB是橢圓的右焦點弦，準線與x軸的交點為M，則∠ABM小于 。

定理2 假設(shè)橢圓 與一過焦點的直線交于A（x1，y2），B（x2，y2）兩點，則AB就被稱為橢圓的弦，并且有|AB|的值等于 │ │。

定理3 假設(shè)橢圓 與一過焦點且垂直于長軸F1F2的直線交于A，B兩點，那么我們把AB稱為通徑，并且有|AB|的值等于 。

2、 雙曲線的基本性質(zhì)。

對于圓錐曲線中雙曲線的學(xué)習(xí)，在高中階段，學(xué)生對其需主要掌握兩個定義及基本定理。

定義1 平面內(nèi)動點P與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離差的絕對值為一個確定常數(shù)，P的運動軌跡就叫做雙曲線。即||PF1|-|PF2||=2a，標準方程為 。這兩個定點就是我們常說的，雙曲線的焦點。兩焦點之間的距離為雙曲線的焦距，通常我們把|F1F2|記為2c。

定義2 雙曲線的第二定義，也是關(guān)于其準線方程及離心率的。

動點P（x，y）與定點F（-c，0）的距離和它到確定直線 的距離的比是常數(shù) （a>c>0）時，P點的運動軌跡即為雙曲線。簡單的說，到定點與到確定直線的距離比等于一個定值e （e>1）的點的集合所形成的的圖像就是雙曲線。我們把定值 （e>1），叫做橢圓的離心率。確定直線為準線，方程是 。

定理1 漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，漸近線可以與雙曲線無限接近，但這兩者卻永不會相交，當雙曲線的焦點在x軸上時，雙曲線的漸近線方程是 ；而當雙曲線的焦點在y軸上時，雙曲線的漸近線方程是 。

定理2 當實軸長與虛軸長相等時，即2a=2b，此時雙曲線被稱為等軸雙曲線，它的漸近線方程就為 ，而標準方程是x2-y2=C，其中C≠0；離心率 。

3、 拋物線的基本性質(zhì)。

拋物線對于學(xué)生在圓錐曲線的學(xué)習(xí)過程中，其相對于橢圓與雙曲線，無論是從解題技巧，還是從思維方式，它對于學(xué)生的學(xué)習(xí)來說，還是相對較為簡單的。拋物線的性質(zhì)，在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，較為常接觸的有兩個定義、三個定理。

定義1 平面內(nèi)到一個定點P和一條確定直線l的距離都相等的點的集合所形成的的圖像叫做拋物線，而這個點P就叫做拋物線的焦點，確定的直線l就叫做拋物線準線。

定義2 定點P不在確定的直線l上時的情況，對于離心率e的比值不同時，圓錐曲線的圖像也不同。當e=1時，圓錐曲線的圖像為拋物線，而當0

拋物線的標準方程有四種形式，這一知識點較為簡單，且在高中數(shù)學(xué)的實踐教學(xué)中，學(xué)生對這一知識點也能迅速的理解、掌握，所以在這里筆者就不一一說明了。

四、 圓錐曲線的推廣應(yīng)用

對于學(xué)生高中階段的學(xué)習(xí)，上文所提到的圓錐曲線的這些基本性質(zhì)只是起到穩(wěn)固學(xué)生基礎(chǔ)的作用，要想使得學(xué)生在圓錐曲線的學(xué)習(xí)上有更加良好的進步、發(fā)展，進一步對學(xué)習(xí)的知識進行穩(wěn)固，并培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、自主學(xué)習(xí)能力等各種綜合能力，這就使得，作為高中數(shù)學(xué)教師的我們就要利用這些基本性質(zhì)，對其進行推廣，得出更進一步的推理定理，從而提高學(xué)生圓錐曲線中的解題技巧。

而筆者對于在課堂教學(xué)中對于學(xué)生提出的問題進行了積極的研究，并且對圓錐曲線的這些基本性質(zhì)也同樣進行了深入的研究，兩者相結(jié)合，得出了這么兩個推理定理。

推理定理1 F是橫向型圓錐曲線的焦點，E是與焦點F相對應(yīng)的準線和對稱軸的交點，經(jīng)過F且斜率是k的直線交圓錐曲線于A，B兩點，e 是圓錐曲線的離心率，如果< ， >=θ，則五、 總結(jié)

圓錐曲線在歷年高考中都會出現(xiàn)，其涉及的題型范圍也很廣泛，且分值都較高。但是學(xué)生在圓錐曲線上沒有太多的解題技巧，解題思路往往也會受到自身的限制。這就要求作為高中數(shù)學(xué)教師的我們，加強學(xué)生對于圓錐曲線的基本性質(zhì)的理解與掌握，而且我們要在教學(xué)之余加深對圓錐曲線的研究，利用其基本性質(zhì)進行推廣，得到多種推廣性推理定理，從而提高學(xué)生的解題技巧、擴展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

我們在對圓錐曲線的性質(zhì)進行推廣應(yīng)用時，相應(yīng)地，我們還要加強自身在教學(xué)過程中對圓錐曲線的教學(xué)內(nèi)容及重難點的掌握。而在日常生活中，我們在對學(xué)生的解題技巧進行訓(xùn)練，要嚴格把握好題目的難易程度，使得學(xué)生可以在提高解題技巧的同時，樹立自己在考試中的信心。

參考文獻：

[1]李滿春.高中課堂之變式教學(xué)[J]數(shù)理化學(xué)習(xí)

[2]楊麗.拋物線焦點弦的性質(zhì)及其應(yīng)用[J]科技信息

篇3

1.平行四邊形ABCD的一條對角線固定在A(3，-1)，C(2，-3)兩點，點D在直線3x-y+1=0上移動，則點B的軌跡方程為()

A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0

C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0

答案：A　解題思路：設(shè)AC的中點為O，即.設(shè)B(x，y)關(guān)于點O的對稱點為(x0，y0)，即D(x0，y0)，則由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.

2.由直線y=x+1上的一點向圓(x-3)2+y2=1引切線，則切線長的最小值為()

A.1 B.2

C. -2D.3

答案：C　解題思路：當該點是過圓心向直線引的垂線的交點時，切線長最小.因圓心(3,0)到直線的距離為d==2，所以切線長的最小值是l==.

3.直線y=x+b與曲線x=有且只有一個交點，則b的取值范圍是()

A.{b||b|=}

B.{b|-1

C.{b|-1≤b2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A是雙曲線漸近線上的一點，AF2F1F2，原點O到直線AF1的距離為|OF1|，則漸近線的斜率為()

A.或- B.或-

C.1或-1 D.或-

答案：D　命題立意：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)的探究，體現(xiàn)了解析幾何的數(shù)學(xué)思想方法的巧妙應(yīng)用，難度中等.

解題思路：如圖如示，不妨設(shè)點A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線y=x上的一點，由AF2F1F2，可得點A的坐標為，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，則tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得該雙曲線漸近線的斜率為或-，故應(yīng)選D.

4.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點，與直線y=b相切的F2交橢圓于點E，E恰好是直線EF1與F2的切點，則橢圓的離心率為()

A. B.

C. D.

答案：C　解題思路：由題意可得，EF1F2為直角三角形，且F1EF2=90°，

|F1F2|=2c，|EF2|=b，

由橢圓的定義知|EF1|=2a-b，

又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，

即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，

所以e2===，故e=，故選C.5.等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2=16x的準線交于A，B兩點，|AB|=4，則C的實軸長為()

A. B.2 C.4 D.8

答案：C　解題思路：由題意得，設(shè)等軸雙曲線的方程為-=1，又拋物線y2=16x的準線方程為x=-4，代入雙曲線的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以雙曲線的實軸長為2a=4，故選C.

6.拋物線y2=-12x的準線與雙曲線-=1的兩條漸近線圍成的三角形的面積等于()

A. B.3 C. D.3

答案：B　命題立意：本題主要考查拋物線與雙曲線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的運算能力.

解題思路：依題意得，拋物線y2=-12x的準線方程是x=3，雙曲線-=1的漸近線方程是y=±x，直線x=3與直線y=±x的交點坐標是(3，±)，因此所求的三角形的面積等于×2×3=3，故選B.

7.若雙曲線-=1與橢圓+=1(m>b>0)的離心率之積大于1，則以a，b，m為邊長的三角形一定是()

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.銳角三角形 D.鈍角三角形

答案：D　解題思路：雙曲線的離心率為e1=，橢圓的離心率e2=，由題意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形為鈍角三角形，故選D.

8. F1，F(xiàn)2分別是雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點.若ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()

A.2 B. C. D.

答案：B　命題立意：本題主要考查了雙曲線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)以及基本量的計算等基礎(chǔ)知識，考查了考生的推理論證能力以及運算求解能力.

解題思路：如圖，由雙曲線定義得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因為ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故選B.

9.已知直線l1：4x-3y+6=0和直線l2：x=-1，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()

A.2 B.3

C. D.

答案：A　解題思路：設(shè)拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離分別為d1，d2，根據(jù)拋物線的定義可知直線l2：x=-1恰為拋物線的準線，拋物線的焦點為F(1,0)，則d2=|PF|，由數(shù)形結(jié)合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值時，即為點F到l1的距離，利用點到直線的距離公式得最小值為=2，故選A.

10.已知雙曲線-=1(a>0，b>0)，A，B是雙曲線的兩個頂點，P是雙曲線上的一點，且與點B在雙曲線的同一支上，P關(guān)于y軸的對稱點是Q.若直線AP，BQ的斜率分別是k1，k2，且k1·k2=-，則雙曲線的離心率是()

A. B. C. D.

答案：C　命題立意：本題考查雙曲線方程及其離心率的求解，考查化簡及變形能力，難度中等.

解題思路：設(shè)A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于點P在雙曲線上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故選C.

二、填空題

11.已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點P(2,0)的直線交拋物線于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點，則(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面積的最小值是________.

答案：(1)-8　(2)2　命題立意：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，難度中等.

解題思路：設(shè)直線AB的方程為x-2=m(y-0)，即x=my+2，聯(lián)立得y2-4my-8=0.(1)由根與系數(shù)的關(guān)系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面積為S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.

知識拓展：將ABF分割后進行求解，能有效減少計算量.

12. B1，B2是橢圓短軸的兩端點，O為橢圓中心，過左焦點F1作長軸的垂線交橢圓于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項，則的值是________.

答案：　命題立意：本題考查橢圓的基本性質(zhì)及等比中項的性質(zhì)，難度中等.

解題思路：設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.

13.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的準線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B.若=，則p=________.

答案：2　解題思路：過B作BE垂直于準線l于E，

=， M為AB的中點，

|BM|=|AB|，又斜率為，

BAE=30°， |BE|=|AB|，

|BM|=|BE|， M為拋物線的焦點，

p=2.

14.

篇4

一、教師要更新觀念

教師的觀念決定教師的意識和課堂行為，目前江蘇高考模式，數(shù)學(xué)權(quán)重太大，所以教師都放不開手腳，大量的習(xí)題、訓(xùn)練、講授，功利性教學(xué)把學(xué)生和自己都累垮了.

筆者時常回憶自己的高中生活，數(shù)學(xué)老師挺悠閑，課堂上常與我們互動，課后的課業(yè)負擔(dān)也不是很重，感覺很輕松地消化了數(shù)學(xué)知識，課外輔導(dǎo)資料幾乎沒有.現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課卻變成了高考的演練場，考什么講什么、練什么，學(xué)生也不敢開小差，課堂很緊湊，更嚴重的是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本問題沒有講透，提出高難度的數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生練，學(xué)生難以應(yīng)付，對自己的學(xué)習(xí)能力產(chǎn)生了懷疑.這一做法無疑扭曲了數(shù)學(xué)教學(xué)的價值取向，感覺數(shù)學(xué)教學(xué)是學(xué)生通向高考的手段.

為了提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效果，首先要改變教師的這種功利性教學(xué)觀念，數(shù)學(xué)教學(xué)是為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，是為了讓學(xué)生親近數(shù)學(xué)，是為了讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中感受數(shù)學(xué)符號的美麗，是為了讓學(xué)生自然生成一種研究數(shù)學(xué)、勇攀高峰的毅力與精神.為此，教學(xué)內(nèi)容的設(shè)置要拾級而上，要重視基礎(chǔ)，要關(guān)注學(xué)生的興趣度.

二、樹立正確的數(shù)學(xué)教學(xué)的價值取向

數(shù)學(xué)教學(xué)的價值有兩個：數(shù)學(xué)的實用性；思維訓(xùn)練功能.數(shù)學(xué)教學(xué)必須同時兼顧教育價值的兩個方面，目前的教學(xué)過于偏重于后者，導(dǎo)致在數(shù)學(xué)課程與生活脫離，課堂充滿了密不透風(fēng)的演繹與推理，數(shù)學(xué)讓學(xué)生感受到的只有“冷冰冰”的一面，感受到的只有數(shù)學(xué)對考分的貢獻，學(xué)生對數(shù)學(xué)的認識自然就有偏差，誤以為學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)解數(shù)學(xué)題.當然，過于強調(diào)應(yīng)用而忽視思維也是不行的，這是另一個極端.數(shù)學(xué)是一門自然科學(xué)，直覺思維和邏輯思維同等重要，而且思維訓(xùn)練是推進數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展不可或缺的.

要樹立正確的價值取向，教師就要理清楚高中數(shù)學(xué)教育的出發(fā)點.高中數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點在于培養(yǎng)高中學(xué)生基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這是與其價值取向高度相關(guān)的.（1）給學(xué)生提供最基本的思維訓(xùn)練平臺，通過高中數(shù)學(xué)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會以數(shù)學(xué)的眼光去認識世界、思考問題.（2）從學(xué)生的生活實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界有機地聯(lián)系在一起，讓學(xué)生在處理實際問題時，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的社會價值，從中學(xué)會處理數(shù)學(xué)問題的方法，提升解決問題的能力.

三、教學(xué)案例分析：雙曲線及其標準方程

1.導(dǎo)入新課

在抗美援朝戰(zhàn)爭的早期，我志愿軍某炮兵團偵察出美軍陣地后當機立斷炮擊美軍陣地.可是在此不久，美軍也較為準確地將炮彈打到了我軍的陣地，大家想一想為什么美軍會如此準確呢？提出這一歷史性的問題，有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.是什么原因呢？大家都想一探究竟，這個時候教師初步進行解釋，

而解釋的最佳方式就是配上圖形來理解：如圖，美軍在其陣地旁建筑了三個固定觀測點A、B、C，假設(shè)我方陣地的位置在D點（任意位置），美軍從我方的打炮聲到達這幾個點的時間差，再借助于聲速就能較為準確地判斷我方陣地的位置，這是數(shù)學(xué)在軍事上的應(yīng)用.

這樣的解釋，學(xué)生能夠理解，但是玄機究竟在哪里呢？這就是今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，如此導(dǎo)入，學(xué)生的精氣神都調(diào)動起來了.

2.開放探究，合作學(xué)習(xí)

（1）提供雙曲線形狀的建筑物、實物、圖片，讓學(xué)生能夠直觀地感受到雙曲線的形狀，對知識學(xué)習(xí)有一個美好的第一印象，感性地認識雙曲線，感受其美麗.

（2）從學(xué)生原有的認知出發(fā)，類比“橢圓”來理性地剖析雙曲線，將前面學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想方法遷移到雙曲線的定義和標準方程的學(xué)習(xí)中來.這個過程是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過程，沒有附加習(xí)題訓(xùn)練，而是將大量的時間和思維空間留給了學(xué)生，學(xué)生從“橢圓標準方程”的推導(dǎo)過程和推導(dǎo)經(jīng)驗出發(fā)推導(dǎo)雙曲線的標準方程，雖然有些學(xué)生的思維過程比較慢，但是自己經(jīng)歷了數(shù)學(xué)思維過程，總是能夠歸納出一些結(jié)論.

篇5

年 級

高二

科目

數(shù)學(xué)

模塊名稱

選擇性必修第一冊

任課教師

教學(xué)目標與要求

1、 掌握空間向量的相關(guān)知識點，會用向量的方法解決立體幾何問題。

2、 掌握直線的方程求法，會求解圓的標準方程，能解決直線與圓的相關(guān)問題，總結(jié)其中的解題方法。

3、 能會求橢圓的標準方程、會利用橢圓的簡單幾何性質(zhì)，解決相關(guān)問題，為解決橢圓的綜合問題。

4、 可以類比橢圓的求解方法，求解雙曲線的標準方程，能夠利用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)解決相關(guān)問題。

5、 會求拋物線的標準方程，并且根據(jù)拋物線的簡單幾何性質(zhì)解決相關(guān)問題，總結(jié)圓錐曲線的解題方法。

6、 理解數(shù)列特征，會求等差等比數(shù)列，以及求和公式、等差等比數(shù)列求和的綜合應(yīng)用。

教學(xué)重點

與難點

1、會用向量方法解決空間幾何問題，求對應(yīng)的線面角及二面角，以及空間距離。

2、圓的標準方程，橢圓雙曲線拋物線的標準方程，及其簡單應(yīng)用。

3、等差等比數(shù)列以及求和公式的應(yīng)用。

學(xué)情

學(xué)生基礎(chǔ)差，要抓基礎(chǔ)重落實，圓錐曲線部分知識較難，可以稍作刪減。重點在于標準方程的求解以及離心率的應(yīng)用，能夠會做相應(yīng)的選擇選擇題及填空題。本章第一你們兩個出去，節(jié)與上學(xué)期平面向量聯(lián)系密切，要注意回顧復(fù)習(xí)，注意它們的區(qū)別和聯(lián)系，讓學(xué)生能夠融會貫通，盡最大努力可以使他們得到掌握。

教

學(xué)

策略

1、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。由數(shù)學(xué)活動、故事、吸引人的課、合理的要求、師生談話等途徑樹立學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，提高學(xué)習(xí)興趣，在主觀作用下上升和進步。

2、注意從實例出發(fā)，從感性提高到理性；注意運用對比的方法，反復(fù)比較相近的概念；注意結(jié)合直觀圖形，說明抽象的知識；注意從已有的知識出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生思考。

3、加強培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力就解決實際問題的能力，以及培養(yǎng)提高學(xué)生的自學(xué)能力，養(yǎng)成善于分析問題的習(xí)慣，進行辨證唯物主義教育。

4、抓住公式的推導(dǎo)和內(nèi)在聯(lián)系；加強復(fù)習(xí)檢查工作；抓住典型例題的分析，講清解題的關(guān)鍵和基本方法，注重提高學(xué)生分析問題的能力。

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關(guān)鍵詞：拋物線；翻轉(zhuǎn)課堂；教學(xué)設(shè)計

一、研究背景及意義

圓錐曲線是高中課程的重要內(nèi)容，拋物線是圓錐曲線之一，與之前學(xué)習(xí)的橢圓與雙曲線相比相對比較復(fù)雜。此外，拋物線在初中階段學(xué)習(xí)一元二次函數(shù)的時候接觸過，學(xué)習(xí)者很可能將拋物線錯誤地定義為“二次函數(shù)的圖像”。因此，如何更好地講解《拋物線及其標準方程》顯得尤為重要。

總結(jié)前人[1][2][3]所做的研究可以發(fā)現(xiàn)對于拋物線的教學(xué)設(shè)計研究者大都是在傳統(tǒng)課堂的基礎(chǔ)上進行的。《拋物線及其標準方程》這一節(jié)內(nèi)容難度較大，整節(jié)內(nèi)容需要學(xué)生充分理解和掌握的知識點比較多。因此，僅利用課堂上45分鐘時間，學(xué)生很難真正掌握這部分內(nèi)容。

翻轉(zhuǎn)課堂是教學(xué)流程變革所帶來的，教學(xué)環(huán)節(jié)包括課前、課中、課后三個主要教學(xué)環(huán)節(jié)以及評價、診斷兩個輔助教學(xué)環(huán)節(jié)[4]。利用“翻轉(zhuǎn)課堂”進行《拋物線及其標準方程》教學(xué)。

通過課前，課中，課后這三階段的教學(xué)，學(xué)生可以分步驟掌握這部分內(nèi)容；另外，可以反復(fù)觀看視頻加深對內(nèi)容的理解程度。這樣可以達到分解知識內(nèi)化的難度，增加知識內(nèi)化的次數(shù)，從而有利于促進學(xué)習(xí)者更好的獲得知識。因此，在翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)模式下研究拋物線及其標準方程是具有一定意義的。

二、教學(xué)案例

（一）教材分析

《拋物線及其標準方程》是選修2-1的第二章《圓錐曲線與方程》。教材內(nèi)容的順序是：曲線與方程-橢圓―雙曲線―拋物線。可以減少了學(xué)生的認知障礙。

（二）學(xué)情分析

學(xué)生對拋物線的幾何圖形已經(jīng)有了直觀的認識。并且對圓錐曲線的研究過程和研究方法有了一定的了解和認識。

（三）教學(xué)目標

（1）動手實踐，體驗拋物線的形成過程從中抽象出拋物線的幾何特征；（2）掌握拋物線的定義和標準方程；（3）進一步感受類比，數(shù)形結(jié)合的重要思想方法；（4）感受拋物線的廣泛應(yīng)用與文化價值，體會數(shù)學(xué)美。

（四）教學(xué)重難點

教學(xué)重點：1.掌握拋物線的定義與相關(guān)概念；2.掌握拋物線的標準方程。

教學(xué)難點：1.從拋物線的畫法中抽象概括出拋物線的定義；2.建立合適的坐標軸求解拋物線的解析式。

（五）教學(xué)過程

1.課前教學(xué)過程的設(shè)計（問題引導(dǎo)，觀看視頻）

（1）問題引人，溫故知新。

教師活動1：思考以下幾個問題：？做出函數(shù) 的圖象。？求到點F（0，2）與直線l： 距離相等的點的軌跡方程，并作出其圖象。

設(shè)計意圖：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

教師活動2：根據(jù)學(xué)生的回答，對以上問題進行總結(jié)，并且提出新問題：我們可不可以把拋物線定義為二次函數(shù)的圖像呢？為什么？

設(shè)計意圖：糾正學(xué)生頭腦中“拋物線就是二次函數(shù)的圖像”這一錯誤觀念。

（2）動手操作，探究新知。

教師活動3：提問：那么拋物線到底是如何形成的呢？播放微視頻（首先呈現(xiàn)生活中的拋物線，接著演示拋物線的形成過程，并給出操作步驟）。

設(shè)計意圖：調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的動手實踐能力。

教師活動4：提出問題：1.在作圖過程中，直尺，三角板，筆尖，點F中，哪些沒有動？哪些動了？2.在作圖過程中，繩長，|AP|，|PF|，|CP|中，哪些量沒有變？哪些量變了？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)拋物線的幾何特征。

教師活動6：提出問題：試著給拋物線下個定義。

2.課中教學(xué)設(shè)計：（繼續(xù)探究，小組討論，觀看視頻）

（1）類比遷移，自主探究。

教師活動1：給出拋物線的定義。提問：類比之前學(xué)過的橢圓以及雙曲線，試著選擇合適的坐標系并求解拋物線的方程？

學(xué)生活動1：學(xué)生自己選擇建系方式，并求出對應(yīng)的拋物線方程，然后小組討論，選出最佳建系方式，并求出其相應(yīng)的拋物線方程。

教師活動2：播放微視頻（總結(jié)學(xué)生可能會想到的三種建系策略，并用以前學(xué)習(xí)的二元一次函數(shù)圖像的平移來解釋選擇坐標系的原因。）

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生用類比法解決問題的能力；體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。

教師活動3：思考：橢圓與雙曲線各有兩種標準方程，拋物線有幾種呢？并思考原因。

學(xué)生活動3：小組討論。并匯報各小組探究的結(jié)果。

教師活動4：思考拋物線的標準方程與其焦點坐標與準線方程的關(guān)系。

設(shè)計意圖：加快解題速度。

（2）課堂作業(yè)，學(xué)以致用。

教師活動5：例1：？拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標與準線方程；

？一直拋物線的焦點是F（0，-2），求它的標準方程。

（3）學(xué)生總結(jié)，教師提煉。

教師活動6：要求學(xué)生回憶本節(jié)課的教學(xué)，鼓勵學(xué)生進行總結(jié)。對學(xué)生的小結(jié)進行補充。

3.課后教學(xué)設(shè)計（問題探究，拓展知識）

拓展作業(yè)：

初中我們已經(jīng)知道對于一元二次方程y=ax2+bx+c的圖像是拋物線，a影響其開口方向和開口大小，類比a對一元二次方程y=ax2+bx+c的圖像的影響試著研究對于拋物線y2=2px，p對拋物線的影響。

設(shè)計意圖：將課堂的數(shù)學(xué)探究活動延伸到課外，使學(xué)生進一步體會類比思想方法對于數(shù)學(xué)研究中的意義。

三、小結(jié)

《拋物線及其標準方程》整節(jié)內(nèi)容需要學(xué)生充分理解和掌握的知識點比較多。傳統(tǒng)課堂的45分鐘顯然不能使學(xué)生完全理解掌握全部知識點。因此，本節(jié)課筆者采用翻轉(zhuǎn)課堂。課前，學(xué)生通過反復(fù)觀看微視頻進行深入的思考，并在老師的引導(dǎo)下，體會拋物線的基本特征，最后給拋物線下定義；課中，討論與交流建系策略以及標準方程，通過觀點的相互碰撞深化學(xué)生的認知。課后，布置相應(yīng)的探究題，拓寬學(xué)生的思維。這樣學(xué)生可以分階段分步驟掌握這部分內(nèi)容；另外，可以反復(fù)觀看視頻加深對內(nèi)容的理解程度。這樣可以達到分解知識內(nèi)化的難度，增加知識內(nèi)化的次數(shù)，從而有利于促進學(xué)習(xí)者更好的獲得知識。

參考文獻：

[1]劉為宏，趙瑜.《拋物線及其標準方程》教學(xué)新設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2013（5）：27-32

[2]武湛.《拋物線及其標準方程》教學(xué)實錄與反思[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（12）：26-18

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關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；主動；創(chuàng)新探究式；課堂教學(xué)

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）06-359-01

數(shù)學(xué)探究在培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力。探究性學(xué)習(xí)，是一種在好奇心驅(qū)使下、以問題為導(dǎo)向、學(xué)生有高度智力投入且內(nèi)容和形式都十分豐富的學(xué)習(xí)活動。是根據(jù)青少年身心特點提出的學(xué)習(xí)方法；是培養(yǎng)創(chuàng)新人才的需要；是數(shù)學(xué)教學(xué)改革和研究的重要課題；是探索性學(xué)習(xí)和研究性學(xué)習(xí)的整合。下面筆者就高中數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)談?wù)勔幌聜€人看法。

一、設(shè)境激趣，讓學(xué)生想探究

興趣在學(xué)習(xí)過程中起著極大的推動作用，在高中教學(xué)中要激發(fā)學(xué)生的興趣，增強學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，把數(shù)學(xué)教學(xué)和實際生活密切聯(lián)系起來，讓學(xué)生從現(xiàn)實生活中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并應(yīng)用到現(xiàn)實中去。

如橢圓及其標準方程的教學(xué)：師：我們的日常生活中，橢圓隨處可見。你能舉出橢圓形的例子嗎？生1：斜著切出來的四色卷是橢圓的。生2：教室前的花圃是橢圓的。生3：嫦娥二號繞月球運行的軌道是橢圓形的。

創(chuàng)設(shè)情境：請拿出預(yù)先準備的圓形紙片（圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)異于圓心的一點），將圓紙片翻折，使翻折上去的圓弧通過F點，將折痕用筆畫上顏色，繼續(xù)上述過程，繞圓心一周，觀察所得到的圖形。

探究1：多媒體演示。讓我們回到折紙活動中，看看得到的橢圓究竟是怎樣形成的。我們不妨來分析其中的一個折疊過程。此時圓周上的點A與點F重合，連接OA，交折痕BC于點M，那么點M的軌跡是什么？

探究2：取一條定長的細線，把它的兩端都固定在圖板的兩個點處，套上鉛筆，拉緊細線，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？

情境：用“幾何畫板”進行動畫演示，進一步使學(xué)生從視覺上感受橢圓的形成過程及其幾何關(guān)系。

在這個案例中，教師充分發(fā)揮主動性和創(chuàng)造性，從學(xué)生的年齡特征出發(fā)，對教材內(nèi)容做不同程度的處理，根據(jù)學(xué)生的知識經(jīng)驗創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活情境，把學(xué)生引入一種迫切探究的狀態(tài)，誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望。教師發(fā)揮主導(dǎo)性，努力為學(xué)生創(chuàng)造學(xué)習(xí)的自由環(huán)境，誘發(fā)學(xué)生探究的主動性，把學(xué)生推到主動位置，放手讓學(xué)生自己學(xué)習(xí)。

二、鼓勵學(xué)生大膽探究，讓學(xué)生真正“動”起來

解決問題是每個學(xué)生在學(xué)習(xí)中必須要經(jīng)歷的，在課堂教學(xué)中教師不但要精心選擇問題，更要鼓勵學(xué)生大膽進行合理、科學(xué)的探究，使他們在探究與想象中找到解決問題的辦法，享受成功的喜悅，增強他們解決問題的能力和自信心。

由于高中數(shù)學(xué)的高度抽象性、邏輯思維的嚴密性，如何才能更好地讓學(xué)生成為課堂中的主人，如何讓學(xué)生真正“動”起來，我們應(yīng)積極探創(chuàng)設(shè)問題情境，誘發(fā)學(xué)生“動”起來。

以“雙曲線及其標準方程例題”的教學(xué)為例：

已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線上兩點P1、P2的坐標分別為、（，5），求雙曲線的標準方程.

可讓學(xué)生先思考該問題的解題方法，自己去動手嘗試一下，再讓學(xué)生對照課本的解法和其他同學(xué)的解法，比較一下誰的解法好，再由學(xué)生總結(jié)此題的解題思路.大多數(shù)學(xué)生會運用待定系數(shù)法去求解，并且花較大的精力用在解方程組上，當用換元法圓滿解出時，都認為此題已圓滿解決.這時，教師可啟發(fā)學(xué)生質(zhì)疑：“此題是否有條件過剩？”有學(xué)生會說：“條件全用到了，怎么會有多余的條件呢？”，這真是“一石激起千層浪”，于是全體學(xué)生又都積極主動地去探究、去思考、去討論了，最后，再由學(xué)生得出可刪去“雙曲線的焦點在y軸上”這個條件，創(chuàng)造性地得出設(shè)此雙曲線標準方程。學(xué)生自己評價說還是這方法簡單，易掌握，計算量小。

如果只是用待定系數(shù)法求解，重知識傳授，輕知識體驗，學(xué)生感受不到數(shù)學(xué)源于生活，抓不住數(shù)學(xué)的本質(zhì).創(chuàng)設(shè)學(xué)生欲知、欲究、欲得、欲進的各種良好的問題情境來激發(fā)學(xué)生的求知和探究欲望，為課堂教學(xué)創(chuàng)造一個良好氛圍.讓學(xué)生一開始就能進入一種主動、活躍的能動狀態(tài)。同學(xué)們的參與及思考的熱情如此之高，主要是他們感受到數(shù)學(xué)就在身邊，以及參與實踐、小組合作、自主探究的樂趣.這里學(xué)生是課堂的主人，學(xué)生“動”了，課堂也就“活”了。

三、轉(zhuǎn)換思維，讓學(xué)生能探究

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常常發(fā)現(xiàn)，一個題目，只從一個角度看，有時會找不到解題方法，或雖能解這一道題，但計算量大。許多知識是相互關(guān)聯(lián)的，如果使用知識間的聯(lián)系，換一個角度去分析，往往可以化繁為簡。如：函數(shù)y=ex-e-x2的反函數(shù)。A。是偶函數(shù)，在（0，∞）上是增函數(shù)B。是奇函數(shù)，在（0，∞）上是減函數(shù)C。是奇函數(shù)，在（0，∞）上是增函數(shù)D。是偶函數(shù)，在（0，∞）上是減函數(shù)。

篇8

一、分類討論思想的概念

由于在研究問題過程中出現(xiàn)了不同情況，從而對不同情況進行分類研究的思想，我們稱之為分類討論思想，其實質(zhì)是一種邏輯劃分的思想。做到正確的分類，必須遵循一定的原則，以保證分類科學(xué)、統(tǒng)一，不重復(fù)、不遺漏。

二、典型例題

例：解關(guān)于x的不等式：ax2-（a+1）x+1

分析：這是一個含參數(shù)a的不等式，它不一定是二次不等式，故首先應(yīng)對二次項系數(shù)a進行分類，a=0和a≠0。當a≠0時，不等式是一元二次不等式，不等式的解集可能是兩根之外，也可能處于兩根之間，故又須分a>0和a

（1）當a=0時，原不等式化為-x+11

（2）當a≠0時，原不等式化為a（x-1）（x-）

①若a0?x>1或x

②若a>0，則化為（x-1）（x-）

A、a>1時，

B、a=1時，=1?解是空集

C、01?1

三、分類討論的步驟

（1）確定討論的對象以及討論對象的取值范圍；（2）正確選擇分類標準，合理分類；（3）逐類、逐段分類討論；（4）歸納并做出結(jié)論。

下面從一個具體的例子出發(fā)來分析分類討論的四個步驟。

例：設(shè)k∈R，問方程（8-k）x2+（k-4）y2=（8-k）（k-4）表示什么曲線？

分析：第一步，確定討論對象及其范圍。因為方程系數(shù)中含有參數(shù)k，所以將k視為研究對象，k的取值范圍是全體實數(shù)R。

第二步，選擇正確分類標準，合理分類。當k≠4且k≠8時，方程可變形為+=1，（k-4）與（8-k）的正負會引起曲線有不同的類型，故“4”和“8”是一個分界點，而k-4=8-k與k-4>0，8-k>0，但k-4≠8-k所表示的曲線也是不一樣的。因此，“6”也是一個分界點，所以對k進行正確的分類應(yīng)為：（-∞，4），4，（4，6），6，（6，8），8，（8，+∞）

第三步，逐類、逐段分類討論

（1）k=4時，方程變?yōu)?x2=0，即x=0，表示直線

（2）k=8時，方程變?yōu)?y2=0，即y=0，表示直線

（3）k≠4且k≠8時，原方程化為+=1

①當k

②當4

③當k=6時：表示圓；

④當6

⑤當k>8時：表示雙曲線。

第四步，歸納并做出結(jié)論

當k8時，方程表示雙曲線；當4

篇9

關(guān)鍵詞：多媒體教學(xué)：課堂教學(xué)：數(shù)學(xué)

教學(xué)手段是傳遞教學(xué)信息的媒體和教學(xué)的輔助用具，它包括在教學(xué)中一直采用的黑板、粉筆等傳統(tǒng)的教學(xué)手段，另外也包括近幾年來在教學(xué)中運用的多媒體教學(xué)軟件，現(xiàn)代化的多媒體教學(xué)手段對于當前的教育、教改具有重要的意義，一方面，計算機、投影儀進入數(shù)學(xué)課堂輔助教學(xué)，給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了勃勃生氣，它通過文本、圖像、聲音等方式，創(chuàng)設(shè)情境，激趣，增大容量，突出重點，突破難點，不但發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)了學(xué)生的能力。還打破了傳統(tǒng)、單一、枯燥的教學(xué)模式，大大提高了課堂教學(xué)效率，另一方面，教師勞動中非創(chuàng)造性的工作及部分創(chuàng)造性的工作都將由計算機完成或者輔助完成，教師單純傳授知識的職能減弱，而判斷學(xué)習(xí)者的需要以及管理、指導(dǎo)、激勵、咨詢、評價、幫助學(xué)生的職能得以加強，未來的教師既要教書育人，又要研究教育本身的科學(xué)，在這里，本人從高中數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，談一下對多媒體教學(xué)在實現(xiàn)課堂教學(xué)整體優(yōu)化中的認識。

掌握多媒體教學(xué)的特點

數(shù)學(xué)是以思維為主的抽象學(xué)科，和初中數(shù)學(xué)相比，高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容多，抽象性、理論性強，代數(shù)里首先遇到的是理論性很強的函數(shù)，再加上平面向量、立體幾何，空間概念、空間想象能力又不可能一下子就建立起來，如果只利用單一的傳統(tǒng)教學(xué)模式，很難激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教學(xué)效果不可能達到最理想的狀態(tài)，只有將傳統(tǒng)的教學(xué)手段與多媒體有機整合，才能達到最佳教學(xué)效果，在多媒體教學(xué)中，運用媒體“傳遞信息”實現(xiàn)教學(xué)最優(yōu)化才是多媒體教學(xué)的出發(fā)點和歸宿，因此，多媒體教學(xué)中的“多媒體”只是它的外殼，“應(yīng)用”才是它的實質(zhì)，“教學(xué)”是它的目的和價值由此可見，多媒體教學(xué)在實施教學(xué)的過程中，主要體現(xiàn)在現(xiàn)代化手段的應(yīng)用上，所以，要探討多媒體教學(xué)如何實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)化，就必須掌握多媒體在應(yīng)用中的規(guī)律。

多媒體教學(xué)的理論告訴我們：多媒體教學(xué)的主要特征就是現(xiàn)代教學(xué)媒體在教學(xué)中的應(yīng)用，但是，多媒體教學(xué)又是傳統(tǒng)教學(xué)媒體與現(xiàn)代教學(xué)媒體的恰當結(jié)合，綜合運用，這才是多媒體教學(xué)的存在形態(tài)，就多媒體本身固有的功能來說，它在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用具有如下特點：它利用計算機作平臺。把文本、圖形、聲音和視頻圖像等多種信息交流手段有機地結(jié)合起來，使人和計算機之間的關(guān)系更融洽，達到自然的對話，形成文本、圖形、圖像、聲音并存于一體的人機界面，擴大了計算機的應(yīng)用領(lǐng)域，它可以起到幻燈、錄音機、投影儀、放像機的綜合作用，比如，在教正余弦函數(shù)圖象這一課時，可以利用計算機展現(xiàn)正余弦函數(shù)圖象的形成過程，形象生動，便于學(xué)生理解；再比如，在學(xué)習(xí)正多面體這一課時，也可以利用計算機作為平臺，給學(xué)生展示五種多面體模型，及各種多面體展開動畫，幫助學(xué)生理解認識，給以更多的想象空間，因此，掌握多媒體教學(xué)的特點，是利用多媒體實現(xiàn)課堂教學(xué)優(yōu)化的前提。

設(shè)計豐富的感性材料

1、在新知的生長處，設(shè)計感知材料

本人在教橢圓及其標準方程時，由于這是全新的東西，在一開始，就給出了大量實際生活中與橢圓有關(guān)的實例，又利用幾何畫板制作了太陽系各大行星繞太陽公轉(zhuǎn)形成橢圓軌跡的動畫，給學(xué)生以耳目一新的感覺，一下就把學(xué)生的注意力集中到課堂上來，接著利用計算機演示橢圓的形成過程，用計算機將形成橢圓的幾個關(guān)鍵條件重點突出，并一邊演示，一邊給予提示(由于是利用計算機操作，還可以反復(fù)演示)，讓學(xué)生通過觀察，歸納出橢圓的定義，再將橢圓的定義，標準方程及推導(dǎo)繪制成一框復(fù)合幻燈片，課堂上邊演示邊講授，層次分明，詳略有別，重點突出，由分到合，形成一個嚴謹有序的教學(xué)過程，在這個過程中，學(xué)生觀察層次清楚，思維方向明確，概括條理分明，多媒體的應(yīng)用為學(xué)生的認知發(fā)展和能力發(fā)展都創(chuàng)造了有利條件。

2、在知識的障礙處，設(shè)計感知材料

在學(xué)生的認知過程中，正遷移能夠促進學(xué)生對新知的理解，負遷移則往往會使思維產(chǎn)生障礙，為此，本人應(yīng)用幻燈片變靜為動的特點，用計算機制作出恰到好處的教學(xué)課件，引導(dǎo)學(xué)生的思維朝著正確的方向深入發(fā)展，例如，兩條異面直線所成的角，這是一個比較抽象的概念，學(xué)生在學(xué)習(xí)這個概念時，可以利用課件用動畫展示出兩條異面直線所成角的定義，以動帶靜，引導(dǎo)學(xué)生理解。

3、在知識的延展處，設(shè)計感知材料

雙曲線及其標準方程是在學(xué)會橢圓及其標準方程基礎(chǔ)上延伸的教學(xué)內(nèi)容，處理好橢圓與雙曲線的轉(zhuǎn)化關(guān)系，就能使學(xué)生運用遷移規(guī)律，順利地掌握好雙曲線，如何設(shè)計好這個教學(xué)環(huán)節(jié)呢?本人利用計算機設(shè)計了一組動畫幻燈片，先看橢圓是“平面內(nèi)到兩定點的距離之和(大于兩定點的距離)等于定長的點的軌跡”，把定義中的“距離之和”改成“距離之差”，提問這時又是什么軌跡呢?然后再用計算機設(shè)計了雙曲線軌跡的形成過程，讓學(xué)生觀察分析，最后得出雙曲線的定義。在與橢圓的對比學(xué)習(xí)中，得出雙曲線的標準方程，從而順利實現(xiàn)知識的“同化”。

4、在知識的歸納完善處，設(shè)計感知材料

在學(xué)習(xí)完橢圓，雙曲線和拋物線的定義及標準方程后，可以利用第二定義，將三種曲線聯(lián)系起來，對比認識，加深學(xué)生的理解，這時可以利用幾何畫板，制作三種曲線形成的動畫：即平面內(nèi)，到定點的距離與定直線的距離的比為定值的點的軌跡，改變數(shù)值，使比值分別小于1，等于1，大于1，得到相應(yīng)三種曲線，這樣的對比之下，學(xué)生對這些曲線的本質(zhì)又有了進一步認識。

豐富的感知材料，寓知識于形象之中，滿足了學(xué)生認知的需要，同時，在運用這些感知材料時，始終離不開對感知對象的觀察思考、分析綜合、歸納概括等，因此我們說，設(shè)計豐富的感知材料，既構(gòu)建了抽象思維的支柱，也提供了各種能力發(fā)展的基礎(chǔ)，形成知識與能力同步增長的良好教學(xué)趨勢。

設(shè)計多種形式的練習(xí)

練習(xí)是課堂教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，是消化鞏固知識，完善認知結(jié)構(gòu)的重要手段，是形成能力、發(fā)展能力的重要措施，在課堂教學(xué)設(shè)計中，從教學(xué)過程的優(yōu)化出發(fā)，靈活運用多媒體教學(xué)手段。精心設(shè)計多種形式的練習(xí)，將促進知識的形成，強化能力的訓(xùn)練，比如，在學(xué)習(xí)排列的應(yīng)用問題時，對于3個女生和4個男生排成一列，設(shè)計各種不同的條件，計算在各種條件下，不同的排法有多少種，本人就是利用幻燈片將這個問題活了起來，先找來3個女生、4個男生的動畫，根據(jù)不同的要求形成不同的排列，課堂上，學(xué)生看著一個個有趣的畫面，思考著其中所蘊涵的數(shù)學(xué)問題，思維更加活躍。

數(shù)學(xué)知識具有抽象性的特點，要求練習(xí)應(yīng)避免形式的單調(diào)重復(fù)，多媒體教學(xué)設(shè)計能根據(jù)不同的練習(xí)要求，設(shè)計出靈活的練習(xí)形式和題型，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，訓(xùn)練學(xué)生的判斷、推理能力。

實現(xiàn)課堂教學(xué)的整體優(yōu)化

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關(guān)鍵詞： 高路堤；沉降預(yù)測；原理；應(yīng)用

Abstract: On the basis of analyzes the high embankment settlement characteristics, settlement prediction methods are discussed, studied the curve fitting, the legal gray system method, artificial neural network, genetic algorithm, the inverse analysis method, based on genetic algorithms and neural networks prediction methods, as well as Pierre - genetic neural network method and other high embankment settlement prediction method and its application, to provide a theoretical reference for the accurate prediction of high embankment settlement.Key words: high embankment; settlement prediction; principle; application

中圖分類號：F272.1文獻標識碼： A 文章編號：

1引言

隨著我國公路建設(shè)的快速發(fā)展，高速公路逐步向山區(qū)延伸，出現(xiàn)了越來越多的高路堤。與一般路基相比，高路堤沉降量大，沉降穩(wěn)定時間長。然而，高路堤的沉降是一個很復(fù)雜的過程，環(huán)境條件、地基土的應(yīng)力歷史、路堤填料的工程性質(zhì)、路堤填筑高度和施工工藝等因素都不同程度地影響和制約著高路堤沉降。目前，國內(nèi)外針對軟基沉降的預(yù)測開展了大量的研究，取得了較豐富的的研究成果[1]，但對于高路堤沉降預(yù)測尚缺乏系統(tǒng)、全面的研究。因此，對現(xiàn)有高路堤沉降預(yù)測方法進行系統(tǒng)的總結(jié)分析，并提出改進措施，以期找到一種較適宜的高路堤沉降預(yù)測方法具有較為重要的工程。

2現(xiàn)有沉降預(yù)測方法分類

路基沉降預(yù)測方法可以分為三類：以經(jīng)典土力學(xué)為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)預(yù)測方法、以本構(gòu)理論為基礎(chǔ)的數(shù)值計算法和根據(jù)實測沉降資料預(yù)測法。

2.1 傳統(tǒng)預(yù)測方法

傳統(tǒng)的沉降預(yù)測方法是建立在太沙基等人創(chuàng)立的經(jīng)典土力學(xué)基礎(chǔ)之上。傳統(tǒng)預(yù)測方法包括：一維沉降計算法、司開普頓和比倫法、三維計算法和應(yīng)力路徑法[2]。

2.2 數(shù)值分析方法

數(shù)值分析方法包括有限元法和有限差分法。

(1)有限元法[3]：有限元法將地基和路堤作為一個整體來進行分析，將其劃分網(wǎng)絡(luò)，形成離散體結(jié)構(gòu)，在荷載作用下求得任一時刻路堤和地基各點的位移和應(yīng)力。

(2)有限差分法[4]：有限差分法是用差分公式將地基沉降問題的控制方程轉(zhuǎn)化為差分方程，然后結(jié)合初始條件和邊界條件，求解線性代數(shù)方程組，得到所求問題的數(shù)值解。

2.3 根據(jù)實測資料的沉降預(yù)測方法

根據(jù)實測資料進行沉降預(yù)測的方法主要有雙曲線法、指數(shù)曲線法、泊松曲線法、Asaoka法、三點法、星野法、皮爾曲線法、龔帕斯曲線法、灰色預(yù)測法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測法、模糊綜合評判法、反分析法等[5]。

2.3.1 曲線擬合法

曲線擬合法假定地基沉降歷程符合某一種已知函數(shù)曲線，利用實測沉降數(shù)據(jù)擬合曲線的參數(shù)，然后利用確定后的曲線公式預(yù)測地基在任一時間的沉降值。包括雙曲線法、指數(shù)曲線法、時間對數(shù)擬合法、泊松曲線法、Asaoka法、三點法、星野法等。其中最常見的有雙曲線法、指數(shù)曲線法、時間對數(shù)擬合法、泊松曲線法、Asaoka法。

（1）雙曲線法[6]假定沉降平均速度隨時間按雙曲線變化，其基本方程式為：

（2）指數(shù)曲線法[7]假定沉降平均速度隨時間按指數(shù)曲線變化，其基本方程式為：

（3）時間對數(shù)擬合法[8]假定沉降平均速度隨時間按對數(shù)曲線變化，其基本方程式為：

利用這些曲線方程可以計算任一時刻t（）的沉降量。同時，對分別求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)可以求得沉降速率及沉降速率變化率。當時，利用極限方程可以推算出最終的地基沉降量。其中為荷載穩(wěn)定之后的某一時刻。

（4）泊松曲線就是邏輯斯蒂成長曲線[9]，也稱皮爾曲線，其表達式為：

其中a、b、c均為待定參數(shù)，t為時間，為t時刻的沉降值。

（5）Asaoka[10]法是一種從一定時間過程所得的沉降觀測資料來預(yù)計最終沉降量和沉降速率的方法，其基本表達式為：

為時間時的沉降量，，，且為常數(shù)。根據(jù)實測沉降資料，作圖確定待定參數(shù)、和最終沉降量。

2.3.2 灰色預(yù)測法[11,13]

GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)理論中最基本也是最常用的模型，它是通過對已知的單位時段內(nèi)的沉降量的研究來獲得沉降的變形規(guī)律，從而預(yù)測它在未來時間內(nèi)的變化量。其基本思想是對無規(guī)則的數(shù)據(jù)序列做一定變換使其變得有規(guī)則。

GM(1,1)常用的微分方程式為：

對原始數(shù)列做累加生成：（=1,2,3…n）

得到GM(1,1)灰色微分方程的時間響應(yīng)序列解為：

=1,2,…，n

還原值 =1,2,…，n

根據(jù)上列各式，便可對觀測數(shù)列的后序值進行預(yù)測。

2.3.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測法

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中目前比較成熟且應(yīng)用最為廣泛的是誤差逆?zhèn)鞑ゾW(wǎng)絡(luò)，簡稱BP網(wǎng)絡(luò)。它一般由輸入層、隱含層及輸出層組成，同層節(jié)點間沒有任何聯(lián)系，不同層節(jié)點均采用前向連接方式。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型實現(xiàn)特定的輸入與輸出的映射分為學(xué)習(xí)過程和運用過程兩部分。其學(xué)習(xí)過程可歸納為“信號正向傳播、誤差逆向傳播、記憶訓(xùn)練、學(xué)習(xí)收斂”。具體學(xué)習(xí)算法可歸納如下[14]：

(1) 網(wǎng)絡(luò)初始化：隨機給全部權(quán)值及神經(jīng)元的閾值賦以初始值，給定輸入模式和輸出模式；

(2) 用輸入模式計算中間層各單元的輸入，然后利用計算中間層各單元的輸出；

(3) 利用計算輸出層各單元的輸入，然后利用計算各單元的響應(yīng)；

(4) 計算各單元的一般化誤差并修正連接權(quán)，通過修正各權(quán)值使誤差最小；

(5) 選擇下一個學(xué)習(xí)模式對從第3步開始，直至全部模式對訓(xùn)練完畢；

(6) 達到誤差精度和循環(huán)次數(shù)后輸出結(jié)果，否則返回第3步。

2.3.4 遺傳算法[15]

遺傳算法模擬了自然選擇和遺傳過程中發(fā)生的繁殖、雜交和變異現(xiàn)象。在利用遺傳算法求解問題時，每個可能的解都被編碼成一個“染色體”，即個體，若干個體構(gòu)成了群體，即所有可能解。選擇、交叉、變異這3個操作算子構(gòu)成遺傳算法的遺傳操作。使用遺傳算法時，首先要隨機地產(chǎn)生一些初始解，同時給出一個目標函數(shù)和適應(yīng)度值，然后根據(jù)預(yù)定的目標函數(shù)對初始解進行評價，根據(jù)適應(yīng)度值按“優(yōu)勝劣汰”的原理選擇復(fù)制下一代。在這個過程當中，因為選擇來復(fù)制的是好的個體，因此，選擇出來的個體經(jīng)過雜交和變異算子進行再組合生成的新的一代就繼承了上一代的優(yōu)良性狀，這樣一來，就可以使得遺傳過程朝著更優(yōu)解的方向進行。

2.3.5反分析法

反分析法是利用施工過程中實測的地基沉降資料反演確定地基土的物理力學(xué)模型參數(shù)，再將反演得到的參數(shù)代回到正分析模型中計算地基沉降量。進行反分析的方法有很多種，其中直接反分析是比較有效、穩(wěn)定且應(yīng)用較多的一種方法，其具體步驟如下[16]：

(1) 建模。這個模型是一個描述實際巖土工程結(jié)構(gòu)問題或理論數(shù)學(xué)的模型，其中含有一組待定的材料性質(zhì)參數(shù)，用列陣P表示。

(2) 待定參數(shù)的選取。用理論模型在外部條件下產(chǎn)生的響應(yīng)作為待定參數(shù)的函數(shù)。

(3) 建立目標函數(shù)并確定參數(shù)的約束條件。目標函數(shù)的通用表達式為：

其中，J為目標函數(shù)，為觀測值向量， X為有限元計算值。

(4) 選擇優(yōu)化策略，使。式中，是最終反分析結(jié)果。

2.3.6 基于遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測方法[17]

基于遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測方法是遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法兩種方法的結(jié)合。它是指在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)用遺傳算法對神經(jīng)元連接權(quán)值進行編碼，并隨機生成初始群體，進行交叉、變異，同時計算能量函數(shù)，調(diào)整交叉、變異概率，迭代，直至神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練完成。這種新算法能夠改變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法收斂時間長、搜索能力較差的弱點。

2.3.7 皮爾-遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法

皮爾-遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法是在總結(jié)分析皮爾曲線法、遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法三種方法的基礎(chǔ)上提出來的，它結(jié)合了此三種方法的優(yōu)點。研究表明[18]，皮爾曲線可以較準確地描述高路堤沉降趨勢，但是趨勢項的偏移量是一個復(fù)雜的非線性序列，使用皮爾曲線計算時誤差較大，因而采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進行外推。然而人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程又有收斂時間過長、易陷入局部最小以及搜索能力較差等缺點，故采用遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法來進行研究。這種方法與上述的基于遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測方法的唯一不同就是先采用皮爾曲線建模，然后對趨勢偏移量用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法建模，其后的算法同遺傳-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法。

3結(jié)語

通過對沉降預(yù)測方法的分析，可以看出各種沉降預(yù)測方法既有其優(yōu)越性也有其缺陷，沒有一種方法是萬能的。因此，如何充分利用各方法的優(yōu)點，改正其缺點是探求一種精確預(yù)測方法時必須考慮的問題。

(1) 在曲線擬合法中，目前還沒有一種方法能夠精確的擬合實測沉降曲線。比如，運用雙曲線法預(yù)測最終沉降量有時偏大，指數(shù)法有時偏小，同時雙曲線和指數(shù)曲線更適合于施工前期預(yù)測，對于后期預(yù)測誤差比較大，而皮爾曲線則更適合長期預(yù)測。因此，分析各種曲線的優(yōu)缺點及其適用條件以找到一種能夠精確擬合實測沉降的曲線方法顯得很有必要。

(2) 運用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法進行預(yù)測時存在收斂時間過長，易陷入局部最小，以及搜索能力較差等缺點。針對這個問題，有人提出了遺傳-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法，將遺傳算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法結(jié)合，用遺傳算法來改變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法收斂時間長、搜索能力差的弱點。同時也有人提出了皮爾-遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法，用皮爾曲線提取趨勢線，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法對偏移量進行外推，用遺傳算法進行計算。這為我們指出了一個研究的方向，那就是如何使各種方法優(yōu)勢互補，以找到一種能準確預(yù)測沉降量的方法。

(3) 目前已有的沉降預(yù)測方法雖然較多，但是相對來說還是比較籠統(tǒng)，對于不同的地質(zhì)情況使用什么樣的預(yù)測方法還沒有系統(tǒng)的研究。比如，對于填土、填石、土石混填以及不同性質(zhì)的土料分別填筑路基時選用何種預(yù)測方法有待于進一步研究。

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