函數(shù)概念范文

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篇1

1、函數(shù)（function）的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義，函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，而近代定義是從集合、映射的觀點(diǎn)出發(fā)。函數(shù)的近代定義是給定一個(gè)數(shù)集A，假設(shè)其中的元素為x，對(duì)A中的元素x施加對(duì)應(yīng)法則f，記作f（x），得到另一數(shù)集B，假設(shè)B中的元素為y，則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f（x）表示，函數(shù)概念含有三個(gè)要素：定義域A、值域B和對(duì)應(yīng)法則f。其中核心是對(duì)應(yīng)法則f，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。

2、函數(shù)，最早由中國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯，出于其著作《代數(shù)學(xué)》。之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，或者說一個(gè)量中包含另一個(gè)量。

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篇2

關(guān)鍵詞 函數(shù) 概念

回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展，函數(shù)概念是不斷被精煉，深化，豐富的。初中時(shí)函數(shù)的定義是一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的一種依賴關(guān)系。在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。高中時(shí)，是用集合與對(duì)應(yīng)的語言描述了函數(shù)概念。函數(shù)是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，是函數(shù)概念的近代定義。

設(shè)A，B是非空數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。函數(shù)近代定義與傳統(tǒng)定義在實(shí)質(zhì)上是一致的，兩個(gè)定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個(gè)定義中的對(duì)應(yīng)法則實(shí)際上也一樣，只不過敘述的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，近代定義的對(duì)應(yīng)法則是從集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā)。

函數(shù)的概念這一節(jié)課，內(nèi)容比較抽象，概念性強(qiáng)，思維量大，為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，教學(xué)中通過典型實(shí)例來啟發(fā)和幫助學(xué)生分析，比較，以達(dá)到建構(gòu)概念之目的。

引出函數(shù)的概念，先是舉出了生活中的三個(gè)實(shí)例。第一個(gè)實(shí)例是關(guān)于物體做斜拋運(yùn)動(dòng)的，和初中學(xué)習(xí)過的二次函數(shù)相聯(lián)系。第二個(gè)實(shí)例是關(guān)于臭氧空洞的問題，給出了函數(shù)的圖像，按照?qǐng)D中曲線，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)集合之間的一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系。第三個(gè)實(shí)例是關(guān)于恩格爾系數(shù)的經(jīng)濟(jì)實(shí)例。列表給出了恩格爾系數(shù)和時(shí)間（年）的關(guān)系。三個(gè)實(shí)例共同反映了變量之間的相互依賴的關(guān)系，同時(shí)反映出兩個(gè)非空集合之間的一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這樣，自然而然地給出了函數(shù)的概念，并且這三個(gè)實(shí)例中的函數(shù)恰好是用了三種表示方法：解析法，圖像法，列表法。

以實(shí)際問題為載體，以信息技術(shù)的作圖功能為輔助。通過三個(gè)實(shí)例的教學(xué)，師生共同發(fā)現(xiàn)了函數(shù)概念中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。教師在歸納出函數(shù)定義后，可以在全班進(jìn)行交流。結(jié)合初中函數(shù)的定義，指出兩個(gè)定義的區(qū)別和聯(lián)系。關(guān)于“y=f(x)”這一個(gè)函數(shù)符號(hào)的理解，教師可以提問：y=f(x)一定是函數(shù)的解析式嗎？回答是不一定，可以舉出實(shí)例二和實(shí)例三。函數(shù)的解析式，圖像，表格都是函數(shù)的表示方法。即：y=f(x)表示y是x的函數(shù)，但f(x)不一定是解析式。當(dāng)f(x)是一個(gè)解析式時(shí)，如果把x，y看作是并列的未知量或者點(diǎn)的坐標(biāo)，那么y=f(x)也可以看做是一個(gè)方程。

函數(shù)的核心是對(duì)應(yīng)法則，通常用記號(hào)f表示函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，在不同的函數(shù)中，f的具體含義不一樣。函數(shù)記號(hào)y=f(x)表明，對(duì)于定義域A的任意一個(gè)x在“對(duì)應(yīng)法則f”的作用下，即在B中可得唯一的y.當(dāng)x在定義域中取一個(gè)確定的a，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即為f(a).集合B中并非所有的元素在定義域A中都有元素和它對(duì)應(yīng)；值域 。教師引導(dǎo)學(xué)生歸納并總結(jié)，函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則。

然后，教師給出同學(xué)們所熟悉的三種函數(shù)，一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)，反比例函數(shù) ，以及二次函數(shù) 。教師演示動(dòng)畫，用幾何畫板顯示這三種函數(shù)的動(dòng)態(tài)圖像，啟發(fā)學(xué)生觀察，分析，并請(qǐng)學(xué)生們思考之后，填寫對(duì)應(yīng)關(guān)系，定義域和值域。通過三個(gè)熟悉的函數(shù)加深學(xué)生對(duì)函數(shù)近代定義的理解。教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出：函數(shù)的三要素是定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則。在函數(shù)的三要素中，當(dāng)其中的兩要素已確定時(shí)，則第三個(gè)要素也就隨之確定了。如果函數(shù)的定義域，對(duì)應(yīng)法則已確定，則函數(shù)的值域也就確定了。

連續(xù)的實(shí)數(shù)集合可以用集合表示，也可以用區(qū)間表示。利用多媒體課件展示怎樣用區(qū)間表示集合。區(qū)間可以分為閉區(qū)間，開區(qū)間，半開半閉區(qū)間。特別地，實(shí)數(shù)集R記作(-∞，+∞)， ∞ 讀作無窮大；-∞ 讀作負(fù)無窮大；+∞ 讀作正無窮大;“∞”不是一個(gè)數(shù)，表示無限大的變化趨勢(shì)，因此作為端點(diǎn)，不用方括號(hào)。

例1和例2的編排，是為了進(jìn)一步地加深理解函數(shù)的三要素。函數(shù)的定義域通常由問題的實(shí)際背景確定.對(duì)于用解析式表示的函數(shù)如果沒有給出定義域，那么就認(rèn)為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量取值的集合。在例1中，要注意f(a)與f(x)的聯(lián)系與區(qū)別：f(a)表示當(dāng)自變量x=a時(shí)函數(shù)f(x)的值，它是一個(gè)常量；而f(x)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下，它是一個(gè)變量。f(a)是f(x)的一個(gè)特殊值。例2是來判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等的。如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，這兩個(gè)函數(shù)就是相等的。

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石；是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ)；是提高解題能力的前提；是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)，是“雙基”教學(xué)的核心、是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，應(yīng)引起足夠重視。正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，概念不清往往是導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)成績差的最直接的原因。

篇3

17世紀(jì)初期，笛卡爾在引入變量概念之后，就有了函數(shù)的思想，把函數(shù)一詞用作數(shù)學(xué)術(shù)語的是萊布尼茲，歐拉在1734年首次用f(x)作為函數(shù)符號(hào)。關(guān)于函數(shù)概念有“變量說”、“對(duì)應(yīng)說”、“集合說”等。變量說的定義是：設(shè)x、y是兩個(gè)變量，如果當(dāng)變量x在實(shí)數(shù)的某一范圍內(nèi)變化時(shí)，變量y按一定規(guī)律隨x的變化而變化。我們稱x為自變量，變量y叫變量x的函數(shù)，記作y=f(x)。初中教材中的定義為：如果在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x、y，并且對(duì)于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，x叫自變量，x的取值范圍叫函數(shù)的定義域，和x的值對(duì)應(yīng)的y的值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域。它的優(yōu)點(diǎn)是自然、形像和直觀、通俗地描述了變化，它致命的弊端就是對(duì)函數(shù)的實(shí)質(zhì)——對(duì)應(yīng)缺少充分地刻畫，以致不能明確函數(shù)是x、y雙方變化的總體，卻把y定義成x的函數(shù)，這與函數(shù)是反映變量間的關(guān)系相悖，究竟函數(shù)是指f，還是f(x)，還是y=f(x)?使學(xué)生不易區(qū)別三者的關(guān)系。

迪里赫萊（P.G.Dirichlet）注意到了“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，于1837年提出：對(duì)于在某一區(qū)間上的每一確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么y叫x的一個(gè)函數(shù)。19世紀(jì)70年代集合論問世后，明確把集合到集合的單值對(duì)應(yīng)稱為映射，并把：“一切非空集合到數(shù)集的映射稱為函數(shù)”，函數(shù)是映射概念的推廣。對(duì)應(yīng)說的優(yōu)點(diǎn)有：①它抓住了函數(shù)的實(shí)質(zhì)——對(duì)應(yīng)，是一種對(duì)應(yīng)法則。②它以集合為基礎(chǔ)，更具普遍性。③它將抽像的知識(shí)以模型并賦予生活化，比如：某班每一位同學(xué)與身高（實(shí)數(shù)）的對(duì)應(yīng)；某班同學(xué)在某次測(cè)試的成績的對(duì)應(yīng)；全校學(xué)生與某天早上吃的饅頭數(shù)的對(duì)應(yīng)等都是函數(shù)。函數(shù)由定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則共同刻劃，它們相互獨(dú)立，缺一不可。這樣很明確的指出了函數(shù)的實(shí)質(zhì)。

對(duì)于集合說是考慮到集合是數(shù)學(xué)中一個(gè)最原始的概念，而函數(shù)的定義里的“對(duì)應(yīng)”卻是一個(gè)外加的形式似乎不是集合語言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了純集合論形式的定義：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且滿足條件，對(duì)于每一個(gè)x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，則y1=y2，這時(shí)就稱集合f為A到B的一個(gè)函數(shù)。這里f為直積A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一個(gè)特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定義的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定義過于形式化，它舍棄了函數(shù)關(guān)系生動(dòng)的直觀，既看不出對(duì)應(yīng)法則的形式，更沒有解析式，不但不易為中學(xué)生理解，而且在推導(dǎo)中也不便使用，如此完全化的數(shù)學(xué)語言只能在計(jì)算機(jī)中應(yīng)用。

2加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽像概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。在7—12年級(jí)所研究的函數(shù)主要是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，對(duì)每一類函數(shù)都是利用其圖像來研究其性質(zhì)的，作圖在教學(xué)中顯得無比重要。我認(rèn)為這一部分的教學(xué)要做到學(xué)生心中有形，函數(shù)圖像就相當(dāng)于佛教教徒心中各種各樣的佛像，只要心中有形，函數(shù)性質(zhì)就比較直觀，處理問題時(shí)就會(huì)得心應(yīng)手。函數(shù)觀念和數(shù)形結(jié)合在數(shù)列及平面幾何中也有廣泛的應(yīng)用。如函數(shù)y=log0.5|x2-x-12|單調(diào)區(qū)間，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0時(shí)，x=-3或x=4，知t函數(shù)的圖像是變形后的拋物線，其對(duì)稱軸為x=?與x軸的交點(diǎn)是x=-3或x=4并開口向上，其x∈(-3，4)的部分由x軸下方翻轉(zhuǎn)到x軸上方，再考慮對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，該方程實(shí)根個(gè)數(shù)就是兩個(gè)函數(shù)y=3x2+6x與y=1／x圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)便一目了然。

3將映射概念下放

就前面三種函數(shù)概念而言，能提示函數(shù)實(shí)質(zhì)的只有“對(duì)應(yīng)說”，如果在初中階段把“變量說”的定義替換成“對(duì)應(yīng)說”的定義，可有以下優(yōu)點(diǎn)：⑴體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性，也顯示出時(shí)代信息，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備。⑵凸顯數(shù)學(xué)內(nèi)容的生活化和現(xiàn)實(shí)性，函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。⑶變抽像內(nèi)容形像化，替換后學(xué)生會(huì)感到函數(shù)概念不再那么抽像難懂，好像伸手會(huì)觸摸到一樣，身邊到處都有函數(shù)。學(xué)生就會(huì)感到函數(shù)不再那么可怕，它無非是一種映射。只需將集合論的初步知識(shí)下放一些即可，學(xué)生完全能夠接受，因?yàn)閺男W(xué)第一學(xué)段就已接觸到集合的表示方法，第二學(xué)段已接觸到集合的運(yùn)算，沒有必要作過多擔(dān)心。以前有人提出將概率知識(shí)下放的觀點(diǎn)，當(dāng)時(shí)不也有人得出反對(duì)意見嗎？可現(xiàn)在不也下放到了小學(xué)嗎？如果能下放到初中，就使得知識(shí)體系更完備，銜接更自然，學(xué)生易于接受，學(xué)生就不會(huì)提出“到底什么是函數(shù)？”這樣的問題。

篇4

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一，而函數(shù)概念貫穿在中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，概念性強(qiáng)是函數(shù)理論的一個(gè)顯著特點(diǎn)，只有對(duì)概念作到深刻理解，才能正確靈活地加以應(yīng)用。本課中學(xué)生對(duì)函數(shù)概念理解的程度會(huì)直接影響數(shù)學(xué)其它知識(shí)的學(xué)習(xí)，所以函數(shù)的第一課時(shí)非常的重要。

2、教學(xué)目標(biāo)及確立的依據(jù)：

教學(xué)目標(biāo)：

（1）教學(xué)知識(shí)目標(biāo)：了解對(duì)應(yīng)和映射概念、理解函數(shù)的近代定義、函數(shù)三要素，以及對(duì)函數(shù)抽象符號(hào)的理解。

（2）能力訓(xùn)練目標(biāo)：通過教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯思維能力。

（3）德育滲透目標(biāo)：使學(xué)生懂得一切事物都是在不斷變化、相互聯(lián)系和相互制約的辯證唯物主義觀點(diǎn)。

教學(xué)目標(biāo)確立的依據(jù)：

函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一，而函數(shù)概念貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)，如：數(shù)、式、方程、函數(shù)、排列組合、數(shù)列極限等都是以函數(shù)為中心的代數(shù)。加強(qiáng)函數(shù)教學(xué)可幫助學(xué)生學(xué)好其他的數(shù)學(xué)內(nèi)容。而掌握好函數(shù)的概念是學(xué)好函數(shù)的基石。

3、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)及確立的依據(jù)：

教學(xué)重點(diǎn)：映射的概念，函數(shù)的近代概念、函數(shù)的三要素及函數(shù)符號(hào)的理解。

教學(xué)難點(diǎn)：映射的概念，函數(shù)近代概念，及函數(shù)符號(hào)的理解。

重點(diǎn)難點(diǎn)確立的依據(jù)：

映射的概念和函數(shù)的近代定義抽象性都比較強(qiáng)，要求學(xué)生的理性認(rèn)識(shí)的能力也比較高，對(duì)于剛剛升入高中不久的學(xué)生來說不易理解。而且由于函數(shù)在高考中可以以低、中、高擋題出現(xiàn)，所以近年來高考有一種“函數(shù)熱”的趨勢(shì)，所以本節(jié)的重點(diǎn)難點(diǎn)必然落在映射的概念和函數(shù)的近代定義及函數(shù)符號(hào)的理解與運(yùn)用上。

二、教材的處理：

將映射的定義及類比手法的運(yùn)用作為本課突破難點(diǎn)的關(guān)鍵。函數(shù)的定義，是以集合、映射的觀點(diǎn)給出，這與初中教材變量值與對(duì)應(yīng)觀點(diǎn)給出不一樣了，從而給本身就很抽象的函數(shù)概念的理解帶來更大的困難。為解決這難點(diǎn)，主要是從實(shí)際出發(fā)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與參與意識(shí)，運(yùn)用引導(dǎo)對(duì)比的手法，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有目的的反復(fù)比較幾個(gè)概念的異同，使學(xué)生真正對(duì)函數(shù)的概念有很準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)。

三、教學(xué)方法和學(xué)法

教學(xué)方法：講授為主，學(xué)生自主預(yù)習(xí)為輔。

依據(jù)是：因?yàn)橐孕碌挠^點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)概念及函數(shù)符號(hào)與運(yùn)用時(shí)，更重要的是必須給學(xué)生講清楚概念及注意事項(xiàng)，并通過師生的共同討論來幫助學(xué)生深刻理解，這樣才能使函數(shù)的概念及符號(hào)的運(yùn)用在學(xué)生的思想和知識(shí)結(jié)構(gòu)中打上深刻的烙印，為學(xué)生能學(xué)好后面的知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

學(xué)法：四、教學(xué)程序

一、課程導(dǎo)入

通過舉以下一個(gè)通俗的例子引出通過某個(gè)對(duì)應(yīng)法則可以將兩個(gè)非空集合聯(lián)系在一起。

例1：把高一（12）班和高一（11）全體同學(xué)分別看成是兩個(gè)集合，問，通過“找好朋友”這個(gè)對(duì)應(yīng)法則是否能將這兩個(gè)集合的某些元素聯(lián)系在一起？

二.新課講授：

（1）接著再通過幻燈片給出六組學(xué)生熟悉的數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納它們的共同性質(zhì)（一對(duì)一，多對(duì)一），進(jìn)而給出映射的概念，表示符號(hào)f：ab，及原像和像的定義。強(qiáng)調(diào)指出非空集合a到非空集合b的映射包括三部分即非空集合a、b和a到b的對(duì)應(yīng)法則f。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)判斷一個(gè)從a到b的對(duì)應(yīng)是否為映射的關(guān)鍵是看a中的任意一個(gè)元素通過對(duì)應(yīng)法則f在b中是否有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)。

（2）鞏固練習(xí)課本52頁第八題。

此練習(xí)能讓學(xué)生更深刻的認(rèn)識(shí)到映射可以“一對(duì)多，多對(duì)一”但不能是“一對(duì)多”。

例1.給出學(xué)生初中學(xué)過的函數(shù)的傳統(tǒng)定義和幾個(gè)簡單的一次、二次函數(shù)，通過畫圖表示這些函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們是特殊的映射進(jìn)而給出函數(shù)的近代定義（設(shè)a、b是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，使得a中的任何一個(gè)元素在集合b中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)則這樣的對(duì)應(yīng)叫做集合a到集合b的映射，它包括非空集合a和b以及從a到b的對(duì)應(yīng)法則f），并說明把函f：ab記為y=f（x），其中自變量x的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y（或f（x））值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）：x∈a}叫做函數(shù)的值域。

并把函數(shù)的近代定義與映射定義比較使學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系。（函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射）。

再以讓學(xué)生判斷的方式給出以下關(guān)于函數(shù)近代定義的注意事項(xiàng)：

2.函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射。

3.f表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣。

4.f（x）是一個(gè)符號(hào)，不表示f與x的乘積，而表示x經(jīng)過f作用后的結(jié)果。

5.集合a中的數(shù)的任意性，集合b中數(shù)的唯一性。

6.“f：ab”表示一個(gè)函數(shù)有三要素：法則f（是核心），定義域a（要優(yōu)先），值域c（上函數(shù)值的集合且c∈b）。

三.講解例題

例1.問y=1（x∈a）是不是函數(shù)？

解：y=1可以化為y=0*x+1

畫圖可以知道從x的取值范圍到y(tǒng)的取值范圍的對(duì)應(yīng)是“多對(duì)一”是從非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射，所以它是函數(shù)。

[注]：引導(dǎo)學(xué)生從集合，映射的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)的定義。

四.課時(shí)小結(jié)：

1.映射的定義。

2.函數(shù)的近代定義。

3.函數(shù)的三要素及符號(hào)的正確理解和應(yīng)用。

4.函數(shù)近代定義的五大注意點(diǎn)。

五.課后作業(yè)及板書設(shè)計(jì)

書本p51習(xí)題2.1的1、2寫在書上3、4、5上交。

預(yù)習(xí)函數(shù)三要素的定義域，并能求簡單函數(shù)的定義域。

函數(shù)（一）

一、映射：2.函數(shù)近代定義：例題練習(xí)

篇5

筆者主要從以下幾點(diǎn)作好函數(shù)概念的教學(xué)：

一、深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)歷的三個(gè)階段

第一階段：在初中初步討論函數(shù)概念、函數(shù)的表示方法以及函數(shù)圖像的繪制等等，并具體地討論正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等最簡單的函數(shù)。研究這些函數(shù)的概念、性質(zhì)，用描點(diǎn)法作相應(yīng)圖像。

第二階段：新教材第二章“函數(shù)”和第四章“三角函數(shù)”的內(nèi)容的教學(xué)。也就是函數(shù)概念的再認(rèn)識(shí)階段即用集合、映射的思想理解函數(shù)的一般定義，加深對(duì)函數(shù)概念的理解，并進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)，從而使學(xué)生獲得較系統(tǒng)的函數(shù)知識(shí)，同時(shí)進(jìn)一步加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)函數(shù)的應(yīng)用意識(shí)。

第三階段：高中三年級(jí)數(shù)學(xué)選修Ⅰ中的極限、導(dǎo)數(shù)或選修Ⅱ中的極限、導(dǎo)數(shù)、積分，這些內(nèi)容是函數(shù)及其應(yīng)用研究的深化和提高，為大學(xué)學(xué)習(xí)做好預(yù)備。

二、采用適當(dāng)?shù)姆椒ぐl(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

教學(xué)中，筆者首先從學(xué)生熟悉的函數(shù)入手，引出函數(shù)傳統(tǒng)定義，然后引導(dǎo)學(xué)生利用映射給出函數(shù)現(xiàn)代定義。盡量不讓學(xué)生由于陌生而產(chǎn)生對(duì)新概念的恐懼。接著在進(jìn)行兩個(gè)概念的比較的時(shí)候又依托具體例子，化抽象為具體，較好地解決了這一問題。

教學(xué)過程是教師和學(xué)生共同參與的過程，啟發(fā)學(xué)生自主性學(xué)習(xí),充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、主動(dòng)性；有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生素質(zhì)。根據(jù)這樣的原則和所要完成的教學(xué)目標(biāo)，并為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，筆者采用如下的教學(xué)方法：

（1）比較法：通過初中的函數(shù)的概念和高中階段的函數(shù)的概念進(jìn)行比較，初中的概念是強(qiáng)調(diào)了兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而高中的概念強(qiáng)調(diào)了函數(shù)的三要素構(gòu)成了函數(shù)這個(gè)整體，深入地理解函數(shù)概念的本質(zhì)；其次是比較映射的概念和函數(shù)的概念，其中的區(qū)別：函數(shù)強(qiáng)調(diào)“變量的值”。映射中的A與B在集合中被強(qiáng)調(diào)是數(shù)集，其中的聯(lián)系：“對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)”與“對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的一個(gè)值與它對(duì)應(yīng)”具有類似的結(jié)構(gòu)。比較f(x)與f(a)之間的區(qū)別，f(x)是變量，而f(a)是常量。

（2）列舉法：對(duì)函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是初中函數(shù)內(nèi)容的深化和延伸．深化首先體現(xiàn)在函數(shù)的定義更具一般性。故教學(xué)中可以讓學(xué)生舉出自己熟悉的函數(shù)例子，并用變量觀點(diǎn)加以解釋，如給出： 是不是函數(shù)的問題，用變量定義解釋顯得很勉強(qiáng)，而如果從集合與映射的觀點(diǎn)來解釋就十分自然，所以有重新認(rèn)識(shí)函數(shù)的必要。

三、把握好函數(shù)的教學(xué)要求避免難偏怪

學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷深化的過程，作為高一上期學(xué)習(xí)的內(nèi)容，函數(shù)的概念要理解透徹并非一朝一夕的事，要充分考慮到學(xué)生從初中進(jìn)入高中不久的事實(shí)，設(shè)計(jì)函數(shù)課的教學(xué)過程必須由淺入深，學(xué)生在不斷地學(xué)習(xí)中加深對(duì)函數(shù)概念的理解，跨度不能太大，應(yīng)著力于打好基礎(chǔ)，并進(jìn)行逐步的綜合訓(xùn)練，在后繼學(xué)習(xí)中，通過對(duì)函數(shù)的應(yīng)用來獲得鞏固和提高，逐步提高數(shù)學(xué)能力。知識(shí)可以一步到位，能力是逐步到位。

例如：在引進(jìn)集合和映射等概念后，我們就可明確給學(xué)生定義什么是函數(shù)了。并由此定義函數(shù)的定義域、值域等概念，其中定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域是函數(shù)三大要素。如何求函數(shù)定義域（重點(diǎn)）？如何求函數(shù)值域（難點(diǎn)、非重點(diǎn)）？如何判定兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)（重點(diǎn)）？等大量問題對(duì)學(xué)生是一新的問題。如果這里多講、重講如何求函數(shù)值域，就是偏難。這就需要我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中把握一個(gè)“度”。

函數(shù)通常用符號(hào)y=f(x)表示，由于這個(gè)符號(hào)較為抽象，在初中講函數(shù)時(shí)未出現(xiàn)這個(gè)符號(hào)，在講函數(shù)的符號(hào)表示時(shí)，應(yīng)說明幾點(diǎn)：

y=f(x)是表示y是x的函數(shù)，不是表示y等于f與x的乘積；

f(x)不一定是一個(gè)解析式；

f(x)與f(a)是不同的。

篇6

函數(shù)y等于tanx，x屬于負(fù)二分之π到二分之一π之間，其反函數(shù)記作y等于arctanx，叫做反正切函數(shù)。

1、反正切函數(shù)是反三角函數(shù)的一種。

2、由于正切函數(shù)y=tanx在定義域上不具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以不存在反函數(shù)。

（來源：文章屋網(wǎng) ）

篇7

【關(guān)鍵詞】變量 函數(shù)概念 概念內(nèi)涵 對(duì)應(yīng)法則

【中圖分類號(hào)】 G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A

【文章編號(hào)】0450-9889（2015）03B-0109-02

要提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，必須加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能的教學(xué)，而概念教學(xué)是這“三基”教學(xué)的核心。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，與中學(xué)數(shù)學(xué)的大部分內(nèi)容都有密切的聯(lián)系。鑒于此，函數(shù)概念最早出現(xiàn)在初二下學(xué)期的課本，而且在此之前的幼兒園、小學(xué)階段都已經(jīng)滲透了有關(guān)函數(shù)概念的集合和對(duì)應(yīng)的方法。到了高中，進(jìn)一步深化函數(shù)概念，成為貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一條主線。因此，歷屆數(shù)學(xué)教育家想方設(shè)法編出了循序漸進(jìn)、螺旋上升、科學(xué)合理的函數(shù)內(nèi)容教材，努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化知識(shí)?？墒?，教學(xué)效果仍然不盡人意，特別是在普通中學(xué)，許多學(xué)生讀到了高三，還說不清楚什么是函數(shù)。在此，筆者想與同行們共同探討如何進(jìn)行初、高中數(shù)學(xué)函數(shù)概念的教學(xué)。

一、如何進(jìn)行初中函數(shù)概念的教學(xué)

學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，一般是從感性開始的。采取從感性到理性，又從理性到實(shí)踐的過程進(jìn)行教學(xué)，是符合學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律的。課本準(zhǔn)備了一些感性材料，讓學(xué)生經(jīng)歷從典型、豐富的具體事例中概括概念本質(zhì)的活動(dòng)。初中課本準(zhǔn)備了4個(gè)不同類型的實(shí)際問題：（1）畫出了表示某地某天內(nèi)的氣溫隨時(shí)間變化而變化的圖形曲線。（2）繪出了2006年8月中國人民銀行公布的“整存整取”年利率表，表中顯示了年利率 y 隨著存期 x 的增長而增高。（3）給出了收音機(jī)刻度盤上的波長 λ（m）和頻率 f（kHZ） 的對(duì)應(yīng)值表。（4）讓學(xué)生根據(jù)圓面積公式 S=πr2，填圓半徑 r 與面積 S 的對(duì)應(yīng)值表。在上面的每一個(gè)問題中，先后出現(xiàn)了兩個(gè)相互依賴、相互制約、相互影響大小的變量，不妨分別用字母 x 和 y 來表示，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：先出現(xiàn)的變量 x ，在允許的范圍內(nèi)每取一個(gè)值，都會(huì)得出另一個(gè)變量 y 的一個(gè)值，或者說另一個(gè)變量 y 隨之就會(huì)只有一個(gè)值和它對(duì)應(yīng)。由此概括抽象出初中函數(shù)定義：如果在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量，例如 x 和 y ，對(duì)于 x 的每一個(gè)值， y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，我們就說 x 是自變量， y 是因變量，此時(shí)也稱 y 是 x 的函數(shù)?？梢姡瘮?shù) y 是一個(gè)變量，但它不是獨(dú)立變化的變量，而是由自變量自變引起因變量因變的這樣一個(gè)變量，于是，把因變量 y 稱作是自變量 x 的函數(shù)。學(xué)生學(xué)習(xí)了定義之后，還要讓學(xué)生回到實(shí)踐，知道在客觀世界中，廣泛存在著函數(shù)的事例。比如，正方形的面積 S 是邊長 a 的函數(shù)；物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程 S 是時(shí)間 t 的函數(shù)等事例。當(dāng)學(xué)生知道函數(shù)自變量 x 可以表示時(shí)間、長度、路程、電流等變量，知道因變量 y 可以表示溫度、利率、頻率、面積、電壓等變量。知道函數(shù)研究的對(duì)象是兩個(gè)有著主從依賴、互相制約的確定關(guān)系的變量，這兩個(gè)變量的值存在著一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，學(xué)生就理解了初中的函數(shù)概念。至于兩個(gè)變量之間的主導(dǎo)與從屬關(guān)系，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，只能放在高中學(xué)習(xí)反函數(shù)時(shí)再去研究。

二、如何進(jìn)行高中函數(shù)概念的教學(xué)

高中階段函數(shù)的教學(xué)是初中階段函數(shù)教學(xué)的延續(xù)，要求學(xué)生在集合與對(duì)應(yīng)等思想的基礎(chǔ)上深刻理解函數(shù)概念。現(xiàn)行的高中教材類似于初中教材的設(shè)計(jì)，從函數(shù)具有豐富的實(shí)際背景出發(fā)，準(zhǔn)備了三個(gè)不同類型的實(shí)際問題。問題（1）給出了炮彈距地面的高度 h（m） 隨時(shí)間 t （S）變化的規(guī)律 h=130t―5t2。問題（2）中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞面積從1979～2001年的變化情況。問題（3）給出了“八五”計(jì)劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況表。每個(gè)問題都給出了兩個(gè)變量各自的變化范圍，教材的意圖是要讓學(xué)生知道或發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的共同點(diǎn)，于是讓學(xué)生先回答課本 P16 的思考題：分析、歸納以上三個(gè)實(shí)例，變量之間的關(guān)系有什么共同點(diǎn)？

共同點(diǎn)：（1）兩個(gè)變量都有各自所屬于的非空數(shù)集；（2）這兩個(gè)非空數(shù)集之間的元素都有一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f ，使對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) x ，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) y 和它對(duì)應(yīng)。

不同點(diǎn)：兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系表現(xiàn)形式不相同，實(shí)例（1）是解析式，實(shí)例（2）是一條曲線，實(shí)例（3）是數(shù)據(jù)表格。

于是，每個(gè)實(shí)例中的兩個(gè)變量之間的關(guān)系都可以描述為：對(duì)于數(shù)集 A 中的每一個(gè) x ，按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系 f ，在數(shù)集 B中都有唯一確定的 y 和它對(duì)應(yīng)，并且把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系記作 f：AB，從而得到了突出“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的高中函數(shù)定義：

設(shè) A ， B 是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f ，使對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) x ，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) y 和它對(duì)應(yīng)，那么就稱 f：AB為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)，記作 y=f（x）， x∈A。其中， x 叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與 x 的值相對(duì)應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）│x∈A} 叫做函數(shù)的值域。這樣引入函數(shù)概念雖然自然，但是，學(xué)生知其然而不知其所以然。過去學(xué)習(xí)了“因變量 y叫做自變量 x 的函數(shù)”，現(xiàn)在為什么要把“數(shù)集 A 與 B 之間元素的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系 f：AB叫做從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)呢？”過去講的函數(shù)是一個(gè)變量，現(xiàn)在講的函數(shù)是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)生誤以為有兩個(gè)完全不同的函數(shù)定義。

任何一個(gè)概念都反映事物的一定范圍（即事物的集合）和這個(gè)范圍內(nèi)的事物的共同本質(zhì)。概念所反映事物的范圍（或集合）叫做這個(gè)概念的外延，這些事物的本質(zhì)屬性的總和（或集合）叫做這個(gè)概念的內(nèi)涵。概念的外延和內(nèi)涵分別描述了事物集合的量和質(zhì)。定義概念就是準(zhǔn)確地揭示它的內(nèi)涵和外延。在中學(xué)進(jìn)行新概念教學(xué)時(shí)，既要從學(xué)生接觸過的具體內(nèi)容引入，也要從數(shù)學(xué)內(nèi)部問題提出，這是比較好的一種教學(xué)方法。

既然學(xué)生過去學(xué)習(xí)了“ y 是 x 的函數(shù)”定義，就要從學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平出發(fā)，只要把初中函數(shù)定義進(jìn)一步抽象一點(diǎn)點(diǎn)，把不是最基本的本質(zhì)屬性“變化過程”和“變量”棄掉，只保留最基本的本質(zhì)屬性，就會(huì)得出高中的函數(shù)定義。

現(xiàn)行高中教材準(zhǔn)備的三個(gè)實(shí)際問題，仍然可以作為引入函數(shù)概念的具體事例。不過，先要根據(jù)這些具體事例，引導(dǎo)學(xué)生回憶、回答出初中的函數(shù)定義“y是 x 的函數(shù)”之后，提問：

一個(gè)函數(shù)的自變量 x 總有取值范圍嗎？因變量即函數(shù) y 總有變化范圍嗎？

答：都有。

把自變量 x 的取值范圍記作 A ，因變量 y 的變化范圍記作 B 。再提問：

初中函數(shù)的最基本的特征是什么？

答：v1w自變量 x 有一個(gè)取值范圍 A ，因變量 y 有一個(gè)變化范圍 B 。

（2）對(duì)于數(shù)集 A 中的每一個(gè)數(shù) x ，按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則 f ，都對(duì)應(yīng)著數(shù)集 B 中唯一確定的數(shù) y （把這個(gè) y 記作 f（x））。我們把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱之為從數(shù)集 A 到數(shù)集 B 的單值對(duì)應(yīng)，記作f：AB。

我們把從數(shù)集 A 到數(shù)集 B 的單值對(duì)應(yīng) f：AB，叫做從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)，記作 y= f（x），x∈A。其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域，與 x 的值相對(duì)應(yīng)的 y 值（f（x））叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）│x∈A}叫做函數(shù)的值域。

這樣，只保留初中函數(shù)最基本的兩個(gè)特征，就輕松地得出了高中函數(shù)定義。

三、初、高中函數(shù)定義的實(shí)質(zhì)是一樣的

通過保留初中函數(shù)最基本的兩個(gè)特征，得出高中函數(shù)定義，學(xué)生容易知道初、高中函數(shù)定義的實(shí)質(zhì)一樣：都是指兩個(gè)數(shù)集之間的元素單值對(duì)應(yīng)，只不過初中函數(shù)定義側(cè)重于表達(dá)變量變化的結(jié)果，而高中函數(shù)定義側(cè)重于整體表達(dá)變量之間的全部對(duì)應(yīng)和變化。初、高中函數(shù)定義的這種相同本質(zhì)，可以用如下的簡易圖形示意：

四、解決初中函數(shù)不能解決的一些問題

通過減少初中函數(shù)概念的內(nèi)涵，得到的高中函數(shù)概念的外延就會(huì)擴(kuò)大，所以初中函數(shù)定義中的每一個(gè)函數(shù)，即初中講的“ y 是 x 的函數(shù)”，都是高中函數(shù)定義中的函數(shù)，都可以寫成“從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)”，但是，反之不成立。這樣，高中函數(shù)研究的范圍已經(jīng)擴(kuò)大，就能解決初中函數(shù)不能解決的一些問題，這就是發(fā)展概念的動(dòng)機(jī)和原因。例如：

（1）y=sin2x+cos2x=1（x∈R）是函數(shù)嗎？

（2）y=與 y=x 是同一個(gè)函數(shù)嗎？等等，這些問題如果用初中函數(shù)定義就無法回答，但是，用高中函數(shù)定義就很容易解決。

五、反思高中函數(shù)定義

講授完高中函數(shù)定義之后，可讓學(xué)生反思：（1）定義中的“……，稱 f：AB為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)”。難道從集合 A 到集合 B 還會(huì)有另一個(gè)函數(shù)？比如，已知y=sin x，x∈[0，]是從集合[0，]到集合[0，1]的一個(gè)函數(shù)，讓學(xué)生找一找從集合[0，]到集合[0，1]的另一個(gè)函數(shù)，有y=cos x，x∈[0，]，等等。（2）除了高中學(xué)的函數(shù)之外，還會(huì)有別的函數(shù)嗎？

例如，設(shè)立方體長、寬、高、體積分別為x，y，z，V，則V=xyz，其中x，y，z都是自變量，這是一個(gè)有三個(gè)自變量的多元函數(shù)，不是中學(xué)的一元函數(shù)。

再如，y=±是函數(shù)嗎？

因?yàn)樗环现袑W(xué)函數(shù)定義的“單值對(duì)應(yīng)”，所以不是中學(xué)的函數(shù)，而是中學(xué)函數(shù)之外的多值函數(shù)。

通過反思高中函數(shù)定義，就不會(huì)書云亦云，師云亦云了。

六、鞏固、發(fā)展函數(shù)概念

函數(shù)概念的形成，不是一二節(jié)課就能完成的，學(xué)生學(xué)習(xí)了概念之后，還需要采取一些鞏固、發(fā)展概念的措施，羅列一些似是而非、容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的對(duì)象讓學(xué)生辨析，來促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)，確定概念外延的有效手段。例如（選自2011年湖北黃石必修1檢測(cè)題）：

在下列從集合 A 到集合 B 的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，不能確定 y 是 x 的函數(shù)是（ ）

（1）A={x│x∈Z}，B={y│y∈Z}，對(duì)應(yīng)法則 f：xy=；

（2）A={x│x>0，x∈R}，B={y│y∈R}，對(duì)應(yīng)法則 f：xy2=3x；

（3）A={x│x∈R}，B={y│y∈R}，對(duì)應(yīng)法則 f：xy：x2+y2=25；

（4）A=R，B=R，對(duì)應(yīng)法則 f：xy=x2；

（5）A={（x，y）│x∈R，y∈R}，B=R，對(duì)應(yīng)法則f：（x，y）S=x+y；

（6）A={x│-1≤x≤1，x∈R}，B={0}，對(duì)應(yīng)法則 f：xy=0。

解析：在對(duì)應(yīng)法則 f 下，（1）A 中不能被 3 整除的數(shù)在 B 中沒有象。（2）A 中的數(shù)在 B 中有兩個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)。（3）A 中的數(shù)（除去±5）在 B 中有兩個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)。（5） A 不是數(shù)集。所以（1）（2）（3）（5）都不能確定 y 是 x 的函數(shù)。（4）（6）顯然滿足函數(shù)的特征， y 是 x 的函數(shù)。

一個(gè)概念即是對(duì)前面知識(shí)的總結(jié)，又是新知識(shí)的出發(fā)點(diǎn)，函數(shù)研究的是變量間的依賴關(guān)系，對(duì)應(yīng)關(guān)系，因而討論函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，還是要突出一個(gè)“變”字，圍繞自變量，因變量的變化特征來界定。比如，當(dāng)自變量 x 在定義域 A 中由小變大時(shí)，根據(jù) y=f（x） 的變化特點(diǎn)，提出了函數(shù)的“增減性”“奇偶性”和“周期性”等概念。用這樣的思路來進(jìn)行函數(shù)概念和性質(zhì)的教學(xué)，能把概念教活，使學(xué)生獲取的知識(shí)成為一個(gè)有機(jī)的整體。

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳森林.中學(xué)代數(shù)教學(xué)法[M].武漢：湖北人民出版社，1981.8

[2]蘇天輔.形式邏輯學(xué)[M].成都：四川人民出版社，1981

篇8

    ,性質(zhì)

    首先是初等函數(shù)相關(guān)問題分析:

    1.絕對(duì)值函數(shù)的概念及性質(zhì)

    絕對(duì)值函數(shù)是個(gè)很廣的概念,可分為兩大部分,一部分是絕對(duì)值施加在X上的,另一部分是絕對(duì)值號(hào)施加在Y上的,如y=|x| |y|=x 就記住絕對(duì)值號(hào)在誰上頭就把原圖像根據(jù)哪一個(gè)軸做軸對(duì)稱變換,記住這一點(diǎn),不管多復(fù)雜的解析式都可以照此辦理.絕對(duì)值函數(shù)可以看作初等函數(shù)。

    1.1絕對(duì)值函數(shù)的定義域,值域,單調(diào)性

    例如f(x)=a|x|+b是

    定義域:即x的取值集合,為全體實(shí)數(shù);

    值域: 不小于b的全體實(shí)數(shù)

    單調(diào)性:當(dāng)x<0,a>0時(shí),單調(diào)減函數(shù);

    > > 增 ;

    < < 增 ;

    < < 減 ;

    1.2絕對(duì)值函數(shù)圖象規(guī)律:

    |f(x)|將f(x)在y軸負(fù)半軸的圖像關(guān)于x軸翻折一下即可,在y軸正半軸的圖像不變。

    f(|x|)將f(x)在x軸負(fù)半軸的圖像關(guān)于y軸翻折一下即可,在x軸正半軸的圖像不變。。

    1.3帶絕對(duì)值的函數(shù)求導(dǎo),即將函數(shù)分段。

    2.取整函數(shù)的概念與性質(zhì)

    2.1取整函數(shù)是:設(shè)x∈R , 用 [x]或int(x)表示不超過x 的最大整數(shù),并用"{x}"表示x的非負(fù)純小數(shù),則 y= [x] 稱為取整函數(shù),也叫高斯函數(shù)。任意一個(gè)實(shí)數(shù)都能寫成整數(shù)與非負(fù)純小數(shù)之和,即:x= [x] + {x},其中{x}∈[0,+∞)稱為小數(shù)部分函數(shù)。

    2.2取整函數(shù)的性質(zhì):a 對(duì)任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.b對(duì)任意x∈R,函數(shù)y={x}的值域?yàn)閇0,1).c 取整函數(shù)(高斯函數(shù))是一個(gè)不減函數(shù),即對(duì)任意x1,x2∈R,若x1≤x2,則[x1]≤[x2].d 若n∈Z,x∈R,則有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一個(gè)以1為周期的函數(shù).e若x,y∈R,則[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f 若n∈N+,x∈R,則[nx]≥n[x]. g 若n∈N+,x∈R+,則在區(qū)間[1,x]內(nèi),恰好有[x/n]個(gè)整數(shù)是n的倍數(shù).h 設(shè)p為質(zhì)數(shù),n∈N+,則p在n!的質(zhì)因數(shù)分解式中的冪次為p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+…

    3.導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì)

    3.1導(dǎo)數(shù),是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí),因變量的增量與自變量的增量之商的極限。。在一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí),稱這個(gè)函數(shù)可導(dǎo)或者可微分。可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)。。不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)求極限的過程,導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則來源于極限的四則運(yùn)算法則。導(dǎo)數(shù)另一個(gè)定義:當(dāng)x=x0時(shí),f‘(x0)是一個(gè)確定的數(shù)。這樣,當(dāng)x變化時(shí),f'(x)便是x的一個(gè)函數(shù),我們稱他為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))。

    3.2求導(dǎo)數(shù)的方法

    (1)求函數(shù)y=f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟:① 求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);② 求平均變化率;③ 取極限,得導(dǎo)數(shù).

    (2)幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: ① C'=0(C為常數(shù)函數(shù));② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q); ③ (sinx)' = cosx;④ (cosx)' = - sinx;⑤ (e^x)' = e^x;⑥ (a^x)' = a^xlna (ln為自然對(duì)數(shù));⑦ (Inx)' = 1/x(ln為自然對(duì)數(shù);⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1).

    補(bǔ)充:上面的公式是不可以代常數(shù)進(jìn)去的,只能代函數(shù),新學(xué)導(dǎo)數(shù)的人往往忽略這一點(diǎn),造成歧義,要多加注意。

    (3)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則: ①(u±v)'=u'±v'; ②(uv)'=u'v+uv'; ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.

    (4)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

    復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)--稱為鏈?zhǔn)椒▌t。

    4.高等函數(shù)的概念以及含義問題

    4.1一元微分

    1)一元微分是設(shè)函數(shù)y = f(x)在x.的鄰域內(nèi)有定義,x0及x0 + Δx在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量Δy = f(x0 + Δx) ?f(x0)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依賴于Δx的常數(shù)),而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小,那么稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0是可微的,且AΔx稱作函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分,記作dy,即dy = AΔx。

    通常把自變量x的增量 Δ

    x稱為自變量的微分,記作dx,即dx = x。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此,導(dǎo)數(shù)也叫做微商。 當(dāng)自變量X改變?yōu)閄+X時(shí),相應(yīng)地函數(shù)值由f(X)改變?yōu)閒(X+X),如果存在一個(gè)與X無關(guān)的常數(shù)A,使f(X+X)-f(X)和AX之差是X0關(guān)于X

    的高階無窮小量,則稱A·X是f(X)在X的微分,記為dy,并稱f(X)在X可微。一元微積分中,可微可導(dǎo)等價(jià)。記A·X=dy,則dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。

    2)其幾何意義為:設(shè)Δx是曲線y = f(x)上的點(diǎn)M的在橫坐標(biāo)上的增量,Δy是曲線在點(diǎn)M對(duì)應(yīng)Δx在縱坐標(biāo)上的增量,dy是曲線在點(diǎn)M的切線對(duì)應(yīng)Δx在縱坐標(biāo)上的增量。當(dāng)|Δx|很小時(shí),|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高階無窮小),因此在點(diǎn)M附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段。

    4.2多元微分

    1)多元微分的概念:與一元微分同理,當(dāng)自變量為多個(gè)時(shí),可得出多元微分的定義。

    2)多元微分的運(yùn)算法則

    dy=f'(x)dx

    d(u+v)=du+dv

    d(u-v)=du-dv

    d(uv)=du·v+dv·u

    d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2

    3)微分表

    d(x^3/3)=x^2dx

    d(-1/x)=1/x^2dx

    d(lnx)=1/xdx

    d(-cosx)=sinxdx

    d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx

    高等函數(shù)中還有值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定積分、定積分、平面曲線的弧長、、可降階的高階微分方程、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程、向量代數(shù)與空間解析幾何、重積分及曲線積分以及無窮級(jí)數(shù)等,本文就簡單的函數(shù)問題做一總結(jié)。

    【參考資料】

    1.復(fù)變函數(shù)論.高等教育出版社,2004,01.

    2.實(shí)變函數(shù)簡明教程.高等教育出版社 2005,5,.

篇9

關(guān)鍵詞： 反函數(shù) 概念 教學(xué)設(shè)計(jì)

學(xué)生普遍對(duì)反函數(shù)一節(jié)的理解和靈活運(yùn)用上存在一定困難，根據(jù)學(xué)生反映出的情況，我對(duì)反函數(shù)一節(jié)中的教學(xué)內(nèi)容提出一些建議.

我認(rèn)為教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該放在：反函數(shù)概念、求法、圖像關(guān)系，并基于圖像來理解.教學(xué)難點(diǎn)主要有：①f（a）=b?圳f（b）=a的應(yīng)用；②復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題.

一、定義的內(nèi)涵

1.定義講完后，提出問題“任何函數(shù)都存在反函數(shù)嗎？”進(jìn)而啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生得出反函數(shù)存在的條件：確定函數(shù)的映射f:AB是從定義域A到值域B的一一映射，則函數(shù)f（x）存在反函數(shù).

逆映射：f:AB所確定的函數(shù)y=f（x），x∈B，y∈A，叫y=f（x）的反函數(shù)，f（a）=b?圳f（b）=a.

2.進(jìn)一步提供了反函數(shù)存在性的判斷方法：

①代數(shù)法：x≠x?圯y≠y即≠0（x≠x）.

②幾何法：圖像上任兩點(diǎn)連線不平行于x軸，也不與x軸重合.

例如：y=，y=，y=x+，y=+x等.

（反函數(shù)的常規(guī)解法及步驟，重要條件在此不述了.）

二、互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)y=f（x）與y=f（x）的關(guān)系

在這里要讓學(xué)生搞清x=f（x），y=f（x），y=f（x）三者之間函數(shù)圖像關(guān)系.

三、特例

反函數(shù)圖像自身關(guān)于直線y=x對(duì)稱，函數(shù)自身定義域等于值域，在解一些有關(guān)此類函數(shù)題時(shí)，可以應(yīng)用.（如下表）

例1.若函數(shù)y=（a≠）的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則a=?搖?搖?搖?搖.

解：依題意，y=（a≠）的反函數(shù)是其本身，則定義域A與值域C相同.

A={x|x≠-}，C={y|y≠}且A=C,

-=,得a=-5.

四、復(fù)合函數(shù)的反函數(shù)

y=f（ax+b）的反函數(shù)y=；

y=f（ax+b）的反函數(shù)y=.

例3.設(shè)函數(shù)f（x）=，函數(shù)g（x）的圖像與y=f（x+1）的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則g（1）=?搖?搖?搖?搖.

五、常用結(jié)論

1.一個(gè)函數(shù)y=f（x）在定義域A上存在反函數(shù)是這個(gè)函數(shù)在A上單調(diào)的必要非充分條件.

2.若函數(shù)y=f（x）在定義域A上單調(diào)，則y=f（x）一定存在反函數(shù)y=f（x），且y=f（x）在其定義域B上具有相同單調(diào)性.（A、B不一定相同）

3.f［f（x）］=x（x∈C）； f［f（x）］=x（x∈A）.

4.若一個(gè)奇函數(shù)存在反函數(shù)，則反函數(shù)也是奇函數(shù).（若補(bǔ)充了“奇偶性”，可講此點(diǎn).）

5.若函數(shù)y=f（x）與其反函數(shù)y=f（x）的公共點(diǎn)不一定都在y=x直線上.

六、補(bǔ)充練習(xí)

1.函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f（x）的圖像與y軸交點(diǎn)于P（0,2），則方程f（x）=0在［1，4］上的根是x=?搖?搖?搖?搖.

2．函數(shù)f（x）=log（x+b）（a＞1,a≠1）的圖像過點(diǎn)（2,1），其反函數(shù)的圖像過點(diǎn)（2,8），則a+b等于?搖?搖?搖?搖.

3.函數(shù)f（x）=x-2ax-3在區(qū)間［1，2］上存在反函數(shù)的充分必要條件是（）

A.a∈（-∞，1］B.a∈（2,+∞）

C.a∈［1，2］ D.a∈（-∞,1］∪［2,+∞）

4.已知函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0，f（x）=3-1，設(shè)f（x）的反函數(shù)是y=g（x），則g（-8）=?搖?搖?搖?搖.

5.f（x）是函數(shù)f（x）=（a-a）（a＞1）的反函數(shù)，則使f（x）＞1成立的x的取值范圍是（）

A.,+∞ B.-∞,C.,aD.［a,+∞）

補(bǔ)充練習(xí)答案：

1.x=2

2.a+b=4

3.D

4.x=-2

5.A

參考文獻(xiàn)：

［1］喬治.波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn).科學(xué)出版社，2006.7，第一版.

［2］張雄等.數(shù)學(xué)方法論與解題學(xué)研究.高等教育出版社，2003.8，第一版.

［3］余元希等.初等代數(shù)研究.高等教育出版社,1988年版1999年12次印刷.

篇10

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；函數(shù)概念；三種關(guān)系

初中階段的函數(shù)教學(xué)具有承上啟下的作用，是高中函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，如果教學(xué)失敗，直接對(duì)學(xué)生今后在高中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)頁影響，甚至影響到今后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)。所以，初中階段的函數(shù)教學(xué)不可松懈，一定要慎重對(duì)待。就實(shí)際教學(xué)而言，初中階段的函數(shù)教學(xué)一定要處理好幾個(gè)概念關(guān)系，具體如下。

一、具體與抽象的關(guān)系

人認(rèn)識(shí)事物都是從感性認(rèn)知開始的，然后逐步升華到理性認(rèn)知，理性的認(rèn)知過程才是把握事物本質(zhì)的過程。數(shù)學(xué)概念就是人們長期以來對(duì)事物現(xiàn)象形成的高度抽象認(rèn)知的結(jié)果，函數(shù)更是如此。所以，函數(shù)的學(xué)習(xí)需要高度抽象的理性邏輯思維，這對(duì)理性思維尚不很發(fā)達(dá)的初中生來說，的確是有一些難度的。但一般而言，初中階段的函數(shù)是基礎(chǔ)性的，并不太難，并且考慮了與小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接，所以，只要教師稍加引導(dǎo)，就會(huì)使問題迎刃而解的。

根據(jù)初中教材的一般編排規(guī)律，在引入函數(shù)知識(shí)前，已經(jīng)作了許多函數(shù)知識(shí)鋪墊，比如關(guān)于量與量之間的依存關(guān)系，學(xué)習(xí)函數(shù)前學(xué)生應(yīng)當(dāng)已有所認(rèn)知并且可能很熟悉。初中數(shù)學(xué)教師完全可以在學(xué)生已有的有關(guān)量的知識(shí)基礎(chǔ)之上，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)關(guān)于函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生在已有的數(shù)量關(guān)系知識(shí)基礎(chǔ)上理解新的函數(shù)知識(shí)。

一般而言，在具體教學(xué)中，教師不宜直接向?qū)W生拋出抽象的函數(shù)定義，而要從具體的函數(shù)實(shí)例說起，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)實(shí)例中抽象離析出變量、常量等，進(jìn)而尋找各變量常量之間存在的數(shù)學(xué)關(guān)系，再根據(jù)關(guān)系建立數(shù)學(xué)表達(dá)式，進(jìn)而使學(xué)生理解相關(guān)概念。最終學(xué)生會(huì)理解，對(duì)于一個(gè)變量X，含有X的代數(shù)式，如3X就是關(guān)于X的函數(shù)。

一切抽象的知識(shí)都是從具體的直觀的感性經(jīng)驗(yàn)開始的，因此，初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)抽象的函數(shù)概念時(shí)，也要盡可能引導(dǎo)學(xué)生從感性經(jīng)驗(yàn)入手，從具體的實(shí)例如下，引導(dǎo)其一步步深入理解，最終完全掌握抽象的函數(shù)概念。

二、準(zhǔn)確性與通俗性的關(guān)系

函數(shù)本來是高度抽象的概念，其定義應(yīng)當(dāng)時(shí)具有嚴(yán)密邏輯性的表達(dá)。但考慮到初中學(xué)生本身的認(rèn)知水平，一般初中教材都采取描述法來界定，也主張教師用描述性的表達(dá)來界定函數(shù)之類的抽象概念。描述法界定的好處是通俗易懂，但也容易失去準(zhǔn)確性。這就要求初中數(shù)學(xué)教師在界定概念時(shí)，必須力圖做到通俗性的同時(shí)確保準(zhǔn)確性。現(xiàn)行九年義務(wù)教育初中階段某數(shù)學(xué)教材中這樣定義函數(shù)：“設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，Y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。”該定義突出了“對(duì)應(yīng)”二字，體現(xiàn)了準(zhǔn)確性；不把對(duì)應(yīng)關(guān)系看作函數(shù)，而把變量y看成一個(gè)函數(shù)，這恰好是為了便于學(xué)生理解而所作的處理，因?yàn)樽兪莥是具體的，而對(duì)應(yīng)關(guān)系是抽象的，前者易理解，后者難消化。

有的老師在教學(xué)函數(shù)概念時(shí)，過于強(qiáng)調(diào)函數(shù)三要素，即“定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域”三要素。不過事實(shí)上，這三要素雖然是函數(shù)確實(shí)該具備的，但并不能揭示函數(shù)的本質(zhì)。要想使學(xué)生準(zhǔn)確理解，還必須揭示其本質(zhì)屬性。這需要從定義中析取。“在一個(gè)變化過程中”，強(qiáng)調(diào)函數(shù)的動(dòng)態(tài)存在性；“有兩個(gè)變量”強(qiáng)調(diào)函數(shù)體現(xiàn)的是兩個(gè)變量之間的依存關(guān)系；“對(duì)于x的每一個(gè)值，Y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)”強(qiáng)調(diào)兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。從這三個(gè)方面的分析來看，函數(shù)本質(zhì)上不是什么具體的變量，而是變量之間存在的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。這樣的抽象性的概念，要想理解準(zhǔn)確，還真得從通俗性入手。

三、歷史性與邏輯性的關(guān)系

一般而言，概念教學(xué)都有必要講清概念的來龍去脈，這是歷史性的體現(xiàn)。函數(shù)概念教學(xué)也如此，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生了解函數(shù)概念的產(chǎn)生和發(fā)展的大致過程，使知識(shí)具有歷史感，并有助于學(xué)生深化理解。邏輯性主要指共時(shí)平面上對(duì)函數(shù)概念的抽象界定，這樣的邏輯性界定很直接地拋出概念定義，很省事兒，但不省力。因?yàn)橹苯用鎸?duì)抽象的函數(shù)概念，學(xué)生一時(shí)半會(huì)兒并不能理解。如果從此前的代數(shù)知識(shí)講起，引導(dǎo)學(xué)生步步深入，體驗(yàn)函數(shù)關(guān)系如何從代數(shù)中生成并發(fā)展起來，體驗(yàn)完畢后，對(duì)函數(shù)就會(huì)有一個(gè)較為深刻的認(rèn)知體會(huì)。這樣以舊知識(shí)促進(jìn)新知識(shí)的理解消化，也很符合建構(gòu)主義理論。建構(gòu)主義認(rèn)為，人的大腦是建構(gòu)性的，而不是直接的接收器或刺激反應(yīng)器。人在接受信息過程中，會(huì)有主觀能動(dòng)性的參與，即人會(huì)對(duì)所接收到的信息進(jìn)行加工，進(jìn)而創(chuàng)造出新的信息體系。這個(gè)加工過程是復(fù)雜的，往往是新信息和舊信息均有涉及的一種建構(gòu)性處理，經(jīng)過這種加工，大腦中會(huì)建構(gòu)起新的認(rèn)知體系來。所以，人的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是建構(gòu)的，而不是接受的。函數(shù)概念教學(xué)中，教師也不能忽略大腦認(rèn)知上的這種特點(diǎn)，所以也要根據(jù)建構(gòu)的特性來組織教學(xué)。因此，邏輯性的函數(shù)定義固然省事兒，可以直截了當(dāng)?shù)馗嬖V學(xué)生所學(xué)的內(nèi)容，但由于缺乏既有知識(shí)作為基礎(chǔ)，大腦中很難真正建構(gòu)。只有從代數(shù)開始，以代數(shù)的知識(shí)作為基礎(chǔ)，逐步引入函數(shù)，學(xué)生才可能在代數(shù)知識(shí)基礎(chǔ)之上建構(gòu)函數(shù)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)概念的準(zhǔn)確理解。

綜上，初中函數(shù)概念教學(xué)要處理好三種關(guān)系，一是抽象與具體的關(guān)系，即要從具體實(shí)例出發(fā)而理解抽象概念；二是準(zhǔn)確性與通俗性的關(guān)系，即要以通俗的語言引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解高度抽象的概念；三是歷史性與邏輯性的關(guān)系，即要盡可能以歷史的方法，講明函數(shù)的來龍去脈，使學(xué)生建構(gòu)性地理解邏輯層面的函數(shù)概念。處理好了這三種關(guān)系，初中函數(shù)教學(xué)就能化難為易，化繁為簡，使學(xué)生學(xué)得有味，教師教得有勁。函數(shù)問題概念如能迎刃而解，其他數(shù)學(xué)問題的解決也就不再是什么難題。因此，初中數(shù)學(xué)教師一定要在函數(shù)概念教學(xué)上多下功夫，多結(jié)合實(shí)際認(rèn)真探索，積極大膽地創(chuàng)新，在處理好以上三個(gè)關(guān)系的前提下，尋找最適切的教學(xué)方法，推動(dòng)教學(xué)的良性發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

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