立體幾何范文10篇

數學學科主要是研究數量和圖形之間的內在關系，而圖形數學是數學中很重要的組成部分。數學學科中的立體幾何就是研究空間圖形和數量關系的實際應用。學生學習立體幾何能夠開發發散性思維，提高學生的空間想象力。立體幾何雖然抽象，但如果老師們能夠運用正確的方法來引導學生學習立體幾何，或許對于學生們來說就不會那么吃力了。立體幾何是空間圖形的重要因素，也是研究一般空間圖形性質的重要依據。對于初次學習立體幾何的人來說，在學習的時候想要畫出一張平面圖可能比較吃力，但是對于高中生來說，他們已經有了一點立體幾何的基礎，所以高中生應該更深入地學習立體幾何，嘗試著畫出三維的立體圖形。下面，筆者結合工作實踐談幾點自己的看法。

一、電子白板下的立體幾何教學

立體幾何是一門枯燥的數學學科，學生們在學習時，如果提不起興趣，那么學習立體幾何的目標也就不會達到，很難去通過學習立體幾何來培養學生的想象力和推理能力。但是現在這個時代，白板教學基本上普及到每個學校，白板教學有著許多豐富的資源，老師們應該好好地利用白板帶來的好處、資源，來提高學生學習立體幾何的興趣。白板上帶有許多的輔助教學工具，例如白板上的畫圖工具，可以用來引起學生的興趣，然后讓學生嘗試在白板上畫圖，學生在親自體驗的過程中也能夠提起他們的學習興趣，而且白板上能夠放映視頻，老師們可采用以課件為主、視頻為輔的教學方式，讓課堂變得輕松愉快，從而激發學生的學習興趣。

二、電子白板在立體幾何教學中的應用策略

立體幾何是一種抽象難懂的知識，學生們之所以覺得立體幾何難懂，是因為他們的空間立體感不強，那么，如何才能讓學生更好地理解，這也是教師在教學過程中面對的一大難題。以前，老師在教學時，會帶上立體模型到課堂上給學生們展示，但是學生們看模型也只能夠看到表面，不能夠真正地理解一個立體模型的內在組成和模型中點面線之間的關系，不清楚這個模型是如何由點面線組成的。白板技術的普及很好地解決了這個問題，白板系統有圖像處理功能，老師在網上找到立體模型，然后進行剖析，通過白板展示出來。白板的圖像處理功能，不僅能夠讓學生直觀地看到模型的表面，也能夠對模型進行深層次的分析，然后將模型中內在的點面線的關系也直觀地展示出來；電子白板也可以將模型進行平面和立體的轉換，這樣學生就會看得更直觀。例如，教授長方體時，白板可以通過圖像處理技術，將長方體轉換成平面型，然后再將平面型的長方體一步步地折疊成立體的長方體，這樣學生在觀看這個轉換的過程中，就能夠清楚地知道長方體要如何做才能展開，平面型的長方體要先做哪一步才能夠折疊成長方體。在這個學習過程中，學生們不知不覺就學會了一種學習立體幾何的方法。立體幾何需要很強的空間感，電子白板不僅有著圖像處理功能，也有著動態演示功能，老師在講課時就可以不用一直說要如何做，只需要用白板的動態演示功能，就能夠將一個立體圖形如何拆分成平面圖形的過程給演示出來，在學生觀看演示的過程中，學生的大腦也在想象著怎么做，這樣不僅培養了學生的空間想象力，也讓學生學習到了知識。在學習立體幾何的過程中，求不規則的立體幾何的體積對于學生們來說是個難題，但是通過白板技術教學，白板可以將一個不規則的立體圖形通過分割、拼湊成一個規則的立體圖形，然后再求其的體積。在白板進行切割拼湊的過程中，學生的大腦也在進行著思考，這樣學生們的空間想象力就得到了提高，而且學生也可以通過白板進行自主操作，自主操作的過程中學生們也提高了學習的興趣。

總之，教師在教學過程中應用白板技術時，首先要明確自己的教學目標，在上課之前，應該預設一下如何使用電子白板才能夠達到教學的最大效率。白板教學節省了老師在課堂上的畫圖時間，但是老師們不能夠因此就加快自己的教學進度，這樣會讓許多學生跟不上教學進度，很容易導致差生更差的結果。所以，老師在教學的時候應該全面考慮一下是不是要進行下一階段的教學，對于課堂上節省下來的時間，也可以讓學生們進行復習和練習。

空間圖形的位置關系是立體幾何的重要內容，解決立體幾何問題的關鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計算，其中定性是定位、定量的基礎，而宣則是定位、定性的深化，在面面關系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，可是，從以往的教學中發現，學生往往把握不住其定位的基本思路而導致思維混亂，甚至錯誤地定其位，使問題的解決徒勞無益，本文就是針對這一點，來談一談平日教學中體會。

一、重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發的兩個平面,O是ι上任意一點,OC

α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過棱上任意一點，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

一、立體幾何的特點

立體幾何的典型特點就在于其“立體”，即三維。在學習平面幾何時，學生完全可以通過平面的點、線以及相關的公理來證明和判斷它們之間的關系，但是在立體幾何學習過程中，如果仍僅僅依靠這樣的判斷是不夠的，還需要增加空間想象能力。初學立體幾何時，很多學生難以適應，其主要原因是難以從二維平面中感知到三維圖像，也就是說，學習立體幾何除了相關的公理之外，最重要的就是空間想象能力，這是立體幾何的特點所決定的。

二、實現高中數學立體幾何的有效性

相應的，高中數學立體幾何的教學，不是一個簡單的過程，恰恰相反，由于不同的學生有不同的特點，加上立體幾何教學過程本身就十分繁瑣，因此，對高中數學立體幾何的有效性的實現，需要采取眾多策略。

1.通過畫圖來提高學生對基礎知識的運用

立體幾何學習的難度，不僅僅在于通過二維空間表現三維空間的特點，還在于通過文字來表現三維空間，而后者則要求學生能夠根據文字的描述，進行圖畫的創造。其實，教師引導學生通過畫圖來解答題目，還在一定程度上加深了學生對基礎知識的理解和運用。比如在講授面面垂直這一基本公理時，首先學生應該明白證明面A與面B垂直，只需要證明面A中的一條直線m與面B垂直，而要證明直線m垂直于面B，只需要證明直線m與面B中的兩條相交的直線n和h垂直即可，通過這樣的分析，學生就可以畫出相應的圖畫。雖然學生在解答立體幾何題目中，題干中往往會給出特定的圖像，但是教師在對學生的日常訓練中，要引導學生自主畫圖像，這對于培養學生的空間想象力，無疑具有十分積極的意義。

空間圖形的位置關系是立體幾何的重要內容，解決立體幾何問題的關鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計算，其中定性是定位、定量的基礎，而宣則是定位、定性的深化，在面面關系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，可是，從以往的教學中發現，學生往往把握不住其定位的基本思路而導致思維混亂，甚至錯誤地定其位，使問題的解決徒勞無益，本文就是針對這一點，來談一談平日教學中體會。

一、重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發的兩個平面,O是ι上任意一點,OC

α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過棱上任意一點，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

空間圖形的位置關系是立體幾何的重要內容，解決立體幾何問題的關鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計算，其中定性是定位、定量的基礎，而宣則是定位、定性的深化，在面面關系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，可是，從以往的教學中發現，學生往往把握不住其定位的基本思路而導致思維混亂，甚至錯誤地定其位，使問題的解決徒勞無益，本文就是針對這一點，來談一談平日教學中體會。

一、重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發的兩個平面,O是ι上任意一點,OC

α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過棱上任意一點，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

空間圖形的位置關系是立體幾何的重要內容，解決立體幾何問題的關鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計算，其中定性是定位、定量的基礎，而宣則是定位、定性的深化，在面面關系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，可是，從以往的教學中發現，學生往往把握不住其定位的基本思路而導致思維混亂，甚至錯誤地定其位，使問題的解決徒勞無益，本文就是針對這一點，來談一談平日教學中體會。

一、重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發的兩個平面,O是ι上任意一點,OC

α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過棱上任意一點，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

1．CAI是大趨勢

隨著計算機的普及，計算機的應用隨之滲透到社會生活的各個方面。學校的教學如果不利用這一新技術便會落后于時代。CAI在教學中的地位不會只是一種時髦，由于它的形象、方便、速度、效率等等方面的優點，這一方式勢必會被大部分學生和教師所接受，而成為一種潮流。這一時刻的到來會比預想的快。實際上，當學校的教師們把計算機作為他們生活的一部分時，他們自然會把CAI作為他們教學手段的一部分。對于數學教師來說，這一進程可能會來得更快，畢竟我國高校第一代計算機教師有相當一部分出身于數學領域。

2．數學CAI軟件的設計原則

目前流行于市的CAI著作并不多見，但軟件市場可見到不少cAI軟件商品。其中絕大部分是對學生進行課外輔導性質的。實際上，CAI所涉及的面很廣，它包括教與學的各個方面。任何一個軟件幾乎都不可能覆蓋它的全部內容。本文也只打算對數學課堂教學軟件的設計問題進行探討。任何一個軟件產品，制作者都要事先確定該軟件要達到的目的，然后根據此目的制定一系列具體的設計要求。如果該產品已經很成熟，這些要求會成為公認的標準。數學課堂教學CAI軟件的制作目的當然也是數學教學的最終目的，即使學生掌握相應的教學內容。教學的最后效果是通過學生對知識的掌握來衡量的，但大部分時間往往采取一種更簡易的評價方法----就課論課。例如大部分的公開教學或觀摩課，最后的評價并不是去考學生而是聽課者按照已有的或心目中的標準來衡量這節課的好壞。對教學軟件的評價暫時也只好采取這種方法。實際上設計的原則與評價的原則應該一致。由于目前課堂教學軟件不多，且大部分是各個教學單位為自己的教學而開發的，缺少統一的標準。筆者只是把自己在這方面的一些設想與心得寫出來，與同行切磋。

2．1．“輔助”的含義就是以教師為主計算機永遠也不會取代教師上課，就象計算機不能取代人的思維一樣。把軟件搞成錄像式的就完全失去了教師的作用，這是最失敗的軟件。除了特殊情況，如偏遠地區無教師或一些冷門學科找不到相應的教師只好采用純電教手段外，教學軟件應是主講教師的助手。一個優秀的教師是任何軟件也替代不了的。

2．2．交互功能

1．立體幾何與平面解析幾何的交匯

在教材中，立體幾何與解析幾何是互相獨立的兩章，彼此分離不相聯系，實際上，從空間維數看，平面幾何是二維的，立體幾何是三維的，因此，立體幾何是由平面幾何升維而產生；另一方面，從立體幾何與解析幾何的聯系看，解析幾何中的直線是空間二個平面的交線，圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）是平面截圓錐面所產生的截線；從軌跡的觀點看，空間中的曲面（曲線）是空間中動點運動的軌跡，正因為平面幾何與立體幾何有這么許多千絲萬縷的聯系，因此，在平面幾何與立體幾何的交匯點，新知識生長的土壤特別肥沃，創新型題型的生長空間也相當寬廣，這一點，在04高考卷中已有充分展示，應引起我們在復習中的足夠重視。

1.1空間軌跡

教材中，關于軌跡，多在平面幾何與平面解析幾何中加以定義，在空間中，只對球面用軌跡定義作了描述。如果我們把平面解析幾何中的定點、定直線不局限在同一個平面內，則很自然地把軌跡從平面延伸到空間。

例1，（04高考重慶理科）若三棱錐A—BCD的側面ABC內一動點P到平面BCD距離與到棱AB距離相等，則動點P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是（）

解：設二面角A—BC—D大小為θ，作PR⊥面BCD，R為垂足，PQ⊥BC于Q，PT⊥AB于T，則∠PQR=θ，且由條件PT=PR=PQ·sinθ，∴為小于1的常數，故軌跡圖形應選（D）。

一、《數學教學大綱》中體現的數學能力

關于數學能力，我國長期流行的提法是“三大能力”：數學運算能力，空間想象能力和邏輯思維能力。這一提法有很強的概括力。但是，它同樣忽視應用，突出邏輯的地位，甚至認為“數學能力的核心是邏輯思維能力”。

1951年的數學教學大綱提出了四個方面：（1）數形知識；（2）科學習慣；（3）辨證思維；（4）應用技能。1952年的大綱里,僅提到“基礎知識”與“基本技能”的“雙基”要求,“能力”這個詞都沒有在大綱中出現。1953年10月頒布了《大綱》（草案），對能力的要求是：“發展學生生動的空間想象力，發展學生邏輯的思維力和判斷力，鍛煉學生既定的目的方面和合理地自動完成工作方面的堅毅性”。這個《大綱》雖已把培養能力的內容提出來了，但沒有明確地提出“能力”一詞。1955年的大綱里，在“雙基”的同時，第一次明確提出了要培養運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力。1960年首次提出了“發展學生的邏輯思維和空間想象能力”和“培養學生的辨證唯物主義觀點”。1956—1957年度公布的《中學數學教學大綱（修訂）草案》中又增加了“發展他們的邏輯思維和空間想象能力的要求。”1961年的大綱里，則提到五種，增加了繪圖與測量能力的要求。1963年，教育部頒布《全日制中學數學教學大綱（草案）》，終于將我國數學教育的重點和盤托出：“使學生牢固地掌握代數、平面幾何、立體幾何、三角和平面解析幾何基礎知識，培養學生正確而迅速的運算能力、邏輯思維和空間想象能力，以適應參加生產勞動和進一步學習的需要。”1963年5月的大綱，提出了“培養學生正確而迅速的計算能力、邏輯推理能力和空間想象能力”。1965年，教育部頒布了建國后的第四個中學數學教學大綱：《全日制中學數學教學大綱（草案）》，第一次提出了培養想象能力，從而逐步培養學生分析問題和解決問題的能力。”學生“正確而迅速的運算能力、邏輯思維和空間想象能力”。1977年的大綱，關于能力的要求是這樣寫的：“具有正確迅速的運算能力，一定的邏輯思維能力和一定的空間想象能力。”1978年2月的大綱將上述的“計算能力”改為“運算能力”，“邏輯推理能力”改為“邏輯思維能力”。第一次提出“培養學生分析問題解決問題的能力”。

20世紀80年代，我國數學教育的“三要素結構”逐漸形成，“三要素結構”即指處于第一層次的雙基（基礎知識、基本技能）結構、第一層次的能力（三大基本能力及在此基礎上逐步形成分析解決實際問題的能力）結構、第三層次的思想品質（興趣、積極性、科學態度、辨證唯物主義觀點等）結構。這在1986年的大綱中得到完整的表現。1986年的《大綱》提出的能力要求是“培養學生的運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，以逐步形成運用數學知識來分析和解決問題的能力”，與1978年的《大綱》不同的是這里提出了逐步提高學生應用數學知識的能力。

1990年，中國教育發生了深刻的變化，它是漸進的，人們往往不甚覺察。但是回頭一望，已經有了巨大的改變。國家整體上提倡“素質教育”和“創新教育”，中國數學界強調數學應用的重要性，社會進步把數學教學帶入了計算機時代。數學教育界看到了“應用意識的失落”，提出了“淡化形式、注重實質”的口號，注意把學習的主動權交給學生。數學應用題終于重新進入高考，而且大量的數學新題型出現了。于是，數學能力的提法也逐漸有了變化。國家頒布的1992年數學教學大綱，繼續提出三大能力，但是加上了“用所學知識解決簡單的實際問題”。注意到“實際問題”，僅限于“簡單的”。1996年大綱將“邏輯思維能力”改成“思維能力”，理由是數學思維不僅是邏輯思維；在三大能力之外，提出了“逐步培養分析和解決實際問題的能力”，這進一步注意到解決實際問題的能力，可惜還是“逐步培養”。1997年的《高中數學教學大綱（修訂本）》中要求培養學生的運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，使其逐步形成運用教學知識分析和解決實際問題的問題。

進入21世紀之后，國內關于數學能力的提法又有新的變化。

近兩年各省市高考數學試卷，遵循高考命題的“三個有利于”和穩定、改革、創新的命題原則，在試題設計上做到“從學科的思維高度和思維價值考慮問題，在知識網絡交匯點設計試題”，用統一的教學觀點組織材料，對知識的考查側重于理解和應用，尤其是綜合和靈活的應用，以此來檢測考生將知識遷移到不同情景中去的能力。不同的高考試卷，表現出一個共同特點，即通過對新穎信息、情景的設問，在知識網絡交匯處設計試題，體現了對創新能力的考查，因此，要提高復習的針對性，適應高考創新型試題，必須注意知識在各自發展過程中的縱向聯系以及不同知識部份之間的橫向聯系，把握結構，理清脈絡，十分重視知識網絡交匯點和知識塊結合部的復習，以提高對高考創新型試題的適應能力。以下對不同知識交匯和結合的情形作一些研究。

1．立體幾何與平面解析幾何的交匯

在教材中，立體幾何與解析幾何是互相獨立的兩章，彼此分離不相聯系，實際上，從空間維數看，平面幾何是二維的，立體幾何是三維的，因此，立體幾何是由平面幾何升維而產生；另一方面，從立體幾何與解析幾何的聯系看，解析幾何中的直線是空間二個平面的交線，圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）是平面截圓錐面所產生的截線；從軌跡的觀點看，空間中的曲面（曲線）是空間中動點運動的軌跡，正因為平面幾何與立體幾何有這么許多千絲萬縷的聯系，因此，在平面幾何與立體幾何的交匯點，新知識生長的土壤特別肥沃，創新型題型的生長空間也相當寬廣，這一點，在04高考卷中已有充分展示，應引起我們在復習中的足夠重視。

1.1空間軌跡

教材中，關于軌跡，多在平面幾何與平面解析幾何中加以定義，在空間中，只對球面用軌跡定義作了描述。如果我們把平面解析幾何中的定點、定直線不局限在同一個平面內，則很自然地把軌跡從平面延伸到空間。

例1，（04高考重慶理科）若三棱錐A—BCD的側面ABC內一動點P到平面BCD距離與到棱AB距離相等，則動點P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是（）