兩角差的余弦公式教案

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一.教學目標

1.掌握對數函數的概念，圖象和性質，且在掌握性質的基礎上能進行初步的應用.

2.通過指數函數與對數函數在圖象與性質上的對比，樹立相互聯系相互轉化的觀點，通過對數函數圖象和性質的學習，滲透數形結合，分類討論等思想，注重培養學生的觀察，分析，歸納等邏輯思維能力.

3.通過觀察指數函數與對數函數在圖象，對學生進行對稱美，簡潔美等審美教育，調動學生學習數學的積極性.

二.教材分析

對數函數是函數中一類重要的基本初等函數，它是在學生已經學過指數函數、對數與對數運算基礎上引入的.故是對上述知識的應用，也是對函數這一重要數學思想的進一步認識與理解.對數函數的概念，圖象與性質的學習使學生的知識體系更加完整，系統，同時又是對數和函數知識的拓展與延伸.它是解決有關自然科學領域中實際問題的重要工具，是學生今后學習對數方程，對數不等式的基礎.

教學重點：理解對數函數的定義，掌握對數函數的圖象性質.

教學難點：類比指數函數的圖象和性質得到對數函數的圖象和性質。

三：教法建議

(1)對數函數及其性質在引入前，就應讓學生回顧的指數函數及其性質得來的整個過程，讓學生通過對指數函數的認識逐步轉化為對對數函數的認識，從而了解知識的共性以及一般的認知規律。在畫對數函數圖象時，既要考慮到對底數的分類討論而且對每一類問題也可以多選幾個不同的底，畫在同一個坐標系內，便于觀察圖象的特征，找出共性，歸納性質.

(2)在本節課中結合對數函數教學的特點，一定要讓學生動手做，動腦想，大膽猜，要以學生的研究為主，教師只是不斷地類比指數函數引導學生思考.這樣既增強了學生的參與意識又教給他們思考問題的方法，獲取知識的途徑，使學生學有所思，思有所得，練有所獲，，從而提高學習興趣.

四.教學方法

啟發研討式

五.學情分析

所教學生中考分數普遍偏低，基礎較薄弱，探究能力也較弱，但求知欲旺盛，課堂很活躍，需要授課時主次分明、邏輯清晰，提問明確，對于難點要放慢節奏，適時引導并保留一定的時間供學生消化、揣摩、反思、討論，對于個別學生還需點撥、輔導，鞏固練習要重基礎知識，講究一題多變，借以提高學生的應變能力。

六.教學過程

(一)引入新課

師:從P63的例8我們知道經過的年數與人口的關系為人口=13×1.01年數,若知道年數我們就可以利用指數函數的模型來求人口,如20年后人口=13×1.0120≈16億,但若知道人口為18億要你預測年數的時候又怎么求呢?

(以提問的形式引入新課，讓學生很快進入思考的狀態，努力尋求解決問題的方法，同時也讓學生意識到新舊知識的聯系，以及明確數學知識很大程度上是由問題引發和拓展的。)

生:可以用我們剛學過的對數的運算來求,即年數=

師:若給出任意的人口數能否求出對應的年數呢?

生:把當作x,把年數當作y,則有y=log1.01x,利用這個關系式就可以知道任意的x均有唯一的y與之對應.

師:很好,這就是我們今天要學的對數函數.

類比指數函數總結定義：一般地,函數y=logax(a>0,且a≠1)叫做對數函數。

在回顧研究指數函數的圖象和性質的基礎上，我們將一起來研究對數函數的圖象與性質.

二.對數函數的圖像與性質

1.作圖方法

由于指數函數的圖象按和分成兩種不同的類型，故對數函數的圖象也應以1為分界線分成兩種情況和，并分別以①和，②和為例畫兩組圖.

(讓學生通過自己動手畫同底的指數函數和對數函數，一方面可以幫助學生建立兩者的聯系和尋求差異的意識，另一方面也為了提高學生的作圖能力和探究能力。)

具體操作時，先畫出第①組的圖象，要求學生做到：

(1)先列表再作圖，指數函數的圖象要盡量準確(關鍵點的位置，圖象的變化趨勢等).如：*從上表中，我們發現了什么現象，反映在圖象上又會發現什么?

(2)畫出直線，觀察同一坐標中的圖象的位置有什么關系?

結論：同底的指數函數和對數函數，關于y=x對稱。

(3)利用第(2)的結論猜想要畫第②組的圖象，除了描點法還有其它什么方法?

(此時分兩組，第一組的同學采用列表描點法作圖，第二組的同學采用對稱的方法作圖。)

學生在畫圖本上完成具體操作，教師在學生完成后將關鍵步驟在黑板上演示一遍，畫出

和的圖像.(此時同底的指數函數和對數函數畫在同一坐標系內)如圖：

2.草圖.

教師畫完圖后再利用投影儀將和的圖象畫在同一坐標系內，如圖：

然后提出讓學生根據圖象說出對數函數的性質(要求從幾何與代數兩個角度說明)

3.性質

(1)定義域：

(2)值域：

由以上兩條可說明圖象位于軸的右側.

(3)截距：令得，即在軸上的截距為1，與軸無交點即以軸為漸近線.

(4)奇偶性：既不是奇函數也不是偶函數，即它不關于原點對稱，也不關于軸對稱.

(5)單調性：與有關.當時，在上是增函數.即圖象是上升的

當時，在上是減函數，即圖象是下降的.

之后可以追問學生有沒有最大值和最小值，當得到否定答案時，可以再問能否看待何時函數值為正?學生看著圖可以答出應有兩種情況：

當時，有;當時，有.

最后教師在總結時，強調記住性質的關鍵在于要腦中有圖.且應將其性質與指數函數的性質對比記憶.(特別強調它們單調性的一致性)

對圖象和性質有了一定的了解后，一起來看看它們的應用.

三.簡單應用

1.研究相關函數的性質

例7.求下列函數的定義域：

(1)(2)

先由學生依次列出相應的不等式，其中特別要注意對數中真數和底數的條件限制.

2.利用單調性比較大小

例8.比較下列各組數的大小

(1)log23.4,log28.5;(2)log0.33.4,log0.38.5

(3)loga3.4loga8.5.

讓學生先說出各組數的特征即它們的底數相同，故可以構造對數函數利用單調性來比大小.最后讓學生以其中一組為例寫出詳細的比較過程.

擴展：比較log0.30.4,log20.5的大小

此時底數不一樣，該如何比較?

提示：如何比較0.30.4和20.5的大小

結論:當底數不同的時候,同樣可以插入中間量(1,0)或作圖描點比高低的方法來比較大小.

3.鞏固練習

若，求的取值范圍.

四.小結

知識點：理解對數函數的定義，重點掌握其圖象和性質。

能力點：函數的作圖、觀察、分析能力和類比研究能力。

方法點：領會對稱方法;對比、類比方法;數形結合方法。

五.作業略

六.探究活動

(1)指數函數當底數均大于1時,底數越大的圖象越靠近y軸,那在對數函數中會發生什么變化?

(2)指數函數當底數均小于1時,底數越大的圖象越遠離y軸,那在對數函數中會發生什么變化?

七.教學反思

本節課重點、難點把握很好，邏輯清楚，尤其是新舊知識的聯系處理到位，從學生熟悉的指數函數出發不斷地以舊帶新，一方面讓學生掌握知識的聯系和共性，一方面也幫助學生建立一個學生知識的框架和線條。在探索對數函數的圖象和性質的時候，讓學生自己動手列表描點，在列表的過程中發現所列的點的橫坐標和縱坐標恰好相反，在這個基礎上又生成新的問題，激發學生通過作圖來發現這樣的兩個點實質上是關于y=x對稱，從而也得出同底的對數函數和指數函數也是關于y=x對稱，在這個基礎上作出下一組圖的時候就可以利用這個結論快速作圖。最后仿照指數函數在同一坐標中畫出和，再通過觀察圖象讓學生自己總結出對數函數的性質，做到不死記硬背，而是腦中有圖.且應將其性質與指數函數的性質對比記憶.不足的地方是給學生作圖的時間較少，沒有完全放開，對于學生基礎較好的可以適當加快上課的進程。