正切和余切數學教案

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一、教學目標

1.使學生了解正切、余切的概念，能夠正確地用、表示直角三角形(其中一個銳角為)中兩邊的比，了解與成倒數關系，熟記30°、45°、60°角的各個三角函數值，會計算含有這三個特殊銳角的三角函數值的式子，會由一個特殊銳角的三角函數值說出這個角的度數，了解一個銳角的正切(余切)值與它的余角的余切(正切)值之間的關系。

2.逐步培養學生觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力。

3.培養學生獨立思考、勇于創新的精神。

二、學法引導

1.教學方法：運用類比法指導學生探索研究新知。

2.學生學法：運用類比法主動探索研究新知。

三、重點、難點、疑點及解決辦法

1.重點：了解正切、余切的概念，熟記特殊角的正切值和余切值。

2.難點：了解正切和余切的概念。

3.疑點：正切與余切概念的混淆.

4.解決辦法：通過類比引出概念和性質，再通過大量直接應用，鞏固概念和性質。

四、教具準備

投影機、投影片(自制)、三角板

五、教學步驟

(一)明確目標

1.什么是銳角的正弦、余弦?(結合下圖回答)。

2.填表

3.互為余角的正弦值、余弦值有何關系?

4.當角度在0°～90°變化時，銳角的正弦值、余弦值有何變化規律?

5.我們已經掌握一個銳角的正弦(余弦)是指直角三角形中該銳角的對邊(鄰邊)與斜邊的比值，那么直角三角形中，兩直角邊的比值與銳角的關系如何呢?在銳角三角函數中，除正、余弦外，還有其他一些三角函數，本節課我們學習正切和余切。

(二)整體感知

正切、余切的概念，也是本間的重點和關鍵，是全章知識的基礎，對學生今后的學習或工作都十分重要，教材在繼第一節正弦和余弦后，又以同樣的順序安排第二節正切余切，像這樣，把概論、計算和應用分成兩塊，每塊自與一個整體小循環，第二循環又包含了第一循環的內容，可以有效地克服難點，同時也使學生通過對比，便于掌握銳角三角函數的有關知識。

(三)教學過程

1.引入正切、余切概念

①本節課我們研究兩直角邊的比值與銳角的關系，因此同學們首先應思考：當銳角固定時，兩直角邊的比值是否也固定?

因為學生在研究過正弦、余弦概念之后，已經接觸過這類問題，所以大部分學生能口述證明，并進一步猜測“兩直角邊的比值一定是正切和余切”。

②給出正切、余切概念。

如圖，在中，把的對邊與鄰邊的比叫做的正切，記作。

即

并把的鄰邊與對邊的比叫做的余切，記作，

即

2.與的關系

請學生觀察與的表達式，得結論(或，)這個關系式既重要又易于掌握，必須讓學生深刻理解，并與區別開.

3.銳角三角函數

由上圖，，，，，把銳角的正弦、余弦、正切、余切都叫做的銳角三角函數。

銳角三角函數概念的給出，使學生茅塞頓開，初步理解本節題目。

問：銳角三角函數能否為負數?

學生回答這個問題很容易。

4.特殊角的三角函數。

①教師出示幻燈片

請同學推算30°、45°、60°角的正切、余切值。(如下圖)

;

;

;

;

;

.

通過學生計算完成表格的過程，不僅復習鞏固了正切、余切概念，而且使學生熟記特殊角的正切值與余切值，同時滲透了數形結合的數學思想。

0°，90°正切值與余切值可引導學生查“正切和余切表”，學生完全能獨立查出。

5.根據互為余角的正弦值與余弦值的關系，結合圖形，引導學生發現互為余角的正切值與余切值的關系。

結論：任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。

即，.

練習：1)請學生回答與的值各是多少?與?與呢?學生口答之后，還可以為程度較高的學生設置問題：與有何關系?為什么?與呢?

2)把下列正切或余切改寫成余角的余切或正切：

(1);(2);(3);(4);(5);(6)。

6.例題

【例1】求下列各式的值：

(1);

(2).

解：(1)

;

(2)

=2.

練習1.求下列各式的值：

(1);

(2);

(3);

(4);

(5).

2.填空：

(1)

(2)若，則銳角

(3)若，則銳角

學生的計算能力可能不很強，尤其是分式，二次根式的運算，因此這里應查缺補漏，以培養學生運算能力。

(四)總結擴展

請學生小結：本節課了解了正切、余切的概念及與關系.知道特殊角的正切余切值及互為余角的正切值與余切值的關系.本課用到了數形結合的數學思想.

結合及，可擴展為.

六、布置作業

1.看教材P12～P14，培養學生看書習慣。

2.教材P16中習題6.2A組2、3、4、5、6.

七、板書設計

第二課時

一、教學目標

1.鞏固正、余切概念，學會用正、余切來解決問題.

2.通過例題教學，培養學生分析問題、解決問題的能力;通過歸納、概括，培養學生邏輯思維能力。

3.培養學生獨立思考、勇于創新的精神及良好的學習習慣。

二、學法引導

1.教學方法：指導探索研究法。

2.學生學法：主動探索研究法。

三、重點、難點、疑點及解決辦法

1.重點：用正、余切解直角三角形。

2.難點：靈活運用正切、余切。

3.疑點：學生可能對正切、余切概念掌握不牢，導致出現之類的錯誤，教學中應引起重視，使學生熟能生巧。

4.解決辦法：通過教師精心引導，學生積極思維，主動研究發現，及練習鞏固解決重難點及疑點。

四、教具準備

投影機(或電腦)、自制投影片(或課件)、三角板

五、教學步驟

(一)明確目標

結合圖，說出什么是的正切、余切?

請班級里較差學生回答，以檢測其掌握情況.

2.與具有什么關系?

答：(或或).

3.互為余角的正切值與余切值具有什么關系?

答：，

3.互為余角的正切值與余切值具有什么關系?

答：，

4.在0°～90°間，正切、余切值隨角度變化而變化的規律是什么?

通過以上四個問題，使學生對新學的知識有了系統的認識，便于應用.

對概念的鞏固最好的途徑是配備練習題.因此，教師在引導學生復習有關概念后，應出示練習題(投影片).

1.在中，為直角，、、所對的邊分別為。

①若，，則，，，

②若，則

2.比較大小：

①②

③④

3.計算題：

①;

②.

(二)整體感知

本課安排在本小節末，運用本小節的知識去解決一個簡單問題，再次為本章第二節解直角三角形做好準備.當然，這個問題只用上一小節學過的正弦、余弦也可以解決，不過那樣做，就要先求出斜邊，解的過程要繁瑣一些。

(三)教學過程

1.講授新課

【例】在中，為直角，所對的邊分別是，已知，，求(保留兩位有效數字).

這個題是本大節知識的綜合運用，考查知識點面面俱到，是檢查全體學生是否全面達到教學目標要求有效途徑，教學中應引導學生全體參與，積極地探求各種解法，然后加以比較，優選出最佳方法，以培養學生思維的敏捷性、深刻性，形成良好的思維品質。

分析：本題已知和，求，觀察圖不難發現，邊恰好是的對邊與鄰邦邊，因此求可選用以下兩個關系式：(1)，(2).

請學生比較一下，哪一個關系計算更簡便呢?答：若選用，由此得，用除以含四位有效數字的數，計算比較麻煩;而選用，由此得.用乘以含四位有效數字的數，計算相對方便.

解：，

∴

解完例題之后，應引導學生小結：本題顯示了“除法與乘法在一定條件下可以互相轉化”，其中“條件”是與互為倒數.認真分析和利用這種轉化，有時可使計算簡便.

2.鞏固練習

本節課實際上是對前面課的綜合，通過對前面知識的綜合運用，以培養學生的比較、分析、概括等邏輯思維能力.因此例題后應安排練習題如下：

在中，為直角，、、所對的邊分別為.

(1)已知，，求和.

(2)已知，，求和.

(3)已知，，求.

(4)已知，，求.

(5)已知，，求.

(6)已知，，求和(保留兩位有效數字).

教法說明：給學生足夠的時間，引導學生討論、研究，篩選出最佳關系式使計算簡便，既培養學生計算能力，鞏固所學知識，又能培養學生的思維能力.

[參考答案](1)，;(2)，;(3);(4);(5);(6)，.

3.對學有余力的學生，可引導其讀教材P15想一想.使學生對正弦、余弦間的關系，正切、余切間的關系以及弦、切間的關系有所了解，保證知識的完整性，為高中三角函數的學習打下基礎.教師板書

.

(四)總結、擴展

引導學生總結：1.要認真分析直角三角形中的各邊與角的三角函數關系.2.因為同一個角的正切和余切可以互相轉化，所以在選用關系時晝選擇乘法使計算較簡便.

六、布置作業

1.看教材P1～P17，培養學生看書習慣。

2.教材P17習題A組7、8，學有余力的學生可選做B組題。