函數(shù)歸納數(shù)學(xué)教案

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1.映射定義：設(shè)非空數(shù)集A，B，若對(duì)集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)從A到B的對(duì)應(yīng)為映射

2.若集合A中有m個(gè)元素，集合B中有n個(gè)元素，則從A到B可建立nm個(gè)映射

3.函數(shù)定義：函數(shù)就是定義在非空數(shù)集A，B上的映射，此時(shí)稱(chēng)數(shù)集A為定義域，象集C={f(x)|x∈A}為值域。定義域，對(duì)應(yīng)法則，值域構(gòu)成了函數(shù)的三要素

4.相同函數(shù)的判斷方法：①定義域、值域;②對(duì)應(yīng)法則(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

5.求函數(shù)的定義域常涉及到的依據(jù)為①分母不為0;②偶次根式中被開(kāi)方數(shù)不小于0;③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于零且不等于1;④零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零;⑤實(shí)際問(wèn)題要考慮實(shí)際意義⑥注意同一表達(dá)式中的兩變量的取值范圍是否相互影響

6.函數(shù)解析式的求法：

①定義法(拼湊)：②換元法：③待定系數(shù)法④賦值法7.函數(shù)值域的求法：

①換元配方法。如果一個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)或者經(jīng)過(guò)換元可以寫(xiě)成二次函數(shù)的形式，那么將這個(gè)函數(shù)的右邊配方，通過(guò)自變量的范圍可以求出該函數(shù)的值域。②判別式法。一個(gè)二次分式函數(shù)在自變量沒(méi)有限制時(shí)就可以用判別式法去值域。其方法是將等式兩邊同乘以dx2+ex+f移項(xiàng)整理成一個(gè)x的一元二次方程，方程有實(shí)數(shù)解則判別式大于等于零，得到一個(gè)關(guān)于y的不等式，解出y的范圍就是函數(shù)的值域。

③單調(diào)性法。如果函數(shù)在給出的定義域區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)的，那么就可以利用端點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)求出值域

8.函數(shù)單調(diào)性的證明方法:

第一步：設(shè)x1、x2是給定區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)任意的值，且x1

第二步：作差¦(x1)-&brVBar;(x2)，并對(duì)“差式”變形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”;

第三步：判斷差式¦(x1)-&brVBar;(x2)的正負(fù)號(hào)，從而證得其增減性

9、函數(shù)圖像變換知識(shí)

①平移變換：

形如：y=f(x+a)：把函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸方向向左或向右平移

|a|個(gè)單位，就得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象。

形如：y=f(x)+a：把函數(shù)y=f(x)的圖象沿y軸方向向上或向下平移|a|個(gè)單位，就得到y(tǒng)=f(x)+a的圖象

②.對(duì)稱(chēng)變換y=f(x)→y=f(-x),關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

y=f(x)→y=-f(x),關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

③.翻折變換

y=f(x)→y=f|x|,(左折變換)

把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

y=f(x)→y=|f(x)|(上折變換)

把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

10.互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系：原函數(shù)的定義域和值域分別是反函數(shù)的值域及定義域;

11.求反函數(shù)的步驟：①求反函數(shù)的定義域(即y=f(x)的值域)②將x,y互換，得y=f–1(x);③將y=f(x)看成關(guān)于x的方程，解出x=f–1(y)，若有兩解，要注意解的選擇;。

12.互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系：關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng);

13.原函數(shù)與反函數(shù)的圖象交點(diǎn)可在直線y=x上，也可是關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)

14.原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性

15、在定義域上單調(diào)的函數(shù)才具有反函數(shù);反之，并不成立(如y=1/x)

16.復(fù)合函數(shù)的定義域求法：

①已知y=f(x)的定義域?yàn)锳，求y=f[g(x)]的定義域時(shí)，可令g(x)ÎA，求得x的取值范圍即可。

②已知y=f[g(x)]的定義域?yàn)锳，求y=f(x)的定義域時(shí)，可令xÎA，求得g(x)的函數(shù)值范圍即可。

17.復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的值域求法：

首先根據(jù)定義域求出u=g(x)的取值范圍A，

在uÎA的情況下,求出y=f(u)的值域即可。

18.復(fù)合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)性相同，則函數(shù)是增函數(shù);單調(diào)性不同則函數(shù)是減函數(shù)。增增、減減為增;增減、減增才減

①f(x)與f(x)+c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性

②f(x)與c·f(x)當(dāng)c>0是單調(diào)性相同，當(dāng)c<0時(shí)具有相反的單調(diào)性

③當(dāng)f(x)恒不為0時(shí)，f(x)與1/f(x)具有相反的單調(diào)性

④當(dāng)f(x)恒為非負(fù)時(shí)，f(x)與具有相同的單調(diào)性

⑤當(dāng)f(x)、g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí)，f(x)+g(x)也是增(減)函數(shù)

設(shè)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)·g(x)當(dāng)f(x)，g(x)兩者都恒大于0時(shí)也是增(減)函數(shù)，當(dāng)兩者都恒小于0時(shí)是減(增)函數(shù)

19.二次函數(shù)求最值問(wèn)題：根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間關(guān)系進(jìn)行分析，

Ⅰ、若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在給定的區(qū)間上，則

a>0時(shí)：在頂點(diǎn)處取得最小值，最大值在距離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得;

a<0時(shí)：在頂點(diǎn)處取得最大值，最小值在距離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得;

Ⅱ、若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在給定的區(qū)間上，則

a>0時(shí)：最小值在離對(duì)稱(chēng)軸近的端點(diǎn)處取得，最大值在離對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得;

a<0時(shí)：最大值在離對(duì)稱(chēng)軸近的端點(diǎn)處取得，最小值在離對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得

20.一元二次方程實(shí)根分布問(wèn)題解法：

①將方程的根視為開(kāi)口向上的二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

②從判別式、對(duì)稱(chēng)軸、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值三方面分析限制條件

21.分式函數(shù)y=(ax+b)/(cx+d)的圖像畫(huà)法：

①確定定義域漸近線x=-d/c②確定值域漸近線y=a/c③根據(jù)y軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)確定曲線所在象限位置。

22.指數(shù)式運(yùn)算法則23.對(duì)數(shù)式運(yùn)算法則：

24.指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)關(guān)系：

在第一象限內(nèi)，底數(shù)越大，圖像(逆時(shí)針?lè)较?越靠近y軸。

25.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)關(guān)系：

在第一象限內(nèi)，底數(shù)越大，圖像(順時(shí)針?lè)较?越靠近x軸。

26.比較兩個(gè)指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，若底數(shù)不相同時(shí)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù)，還要注意與1比較或與0比較

27.抽象函數(shù)的性質(zhì)所對(duì)應(yīng)的一些具體特殊函數(shù)模型：

①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)Þ正比例函數(shù)f(x)=kx(k¹0)

②f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);f(x1-x2)=f(x1)÷f(x2)Þy=ax;

③f(x1•x2)=f(x1)+f(x2);f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)Þy=logax

28.如果f(a+x)=f(b-x)成立，則y=f(x)圖像關(guān)于x=(a+b)/2對(duì)稱(chēng);

特別是，f(x)=f(-x)成立，則y=f(x)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

29.a>f(x)恒成立Ûa>f(x)的最大值

a

30.a>f(x)有解Ûa>f(x)的最小值

a