知三角函數值求角教案

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教學目標:了解反三角函數的定義，掌握用反三角函數值表示給定區間上的角

教學重點:掌握用反三角函數值表示給定區間上的角

教學難點:反三角函數的定義

教學過程:

一.問題的提出：

在我們的學習中常遇到知三角函數值求角的情況，如果是特殊值，我們可以立即求出所有的角，如果不是特殊值()，我們如何表示呢?相當于中如何用來表示，這是一個反解的過程，由此想到求反函數。但三角函數由于有周期性，它們不存在反函數，這就要求我們把它們的定義域縮小，并且這個區間滿足：

(1)包含銳角;(2)具有單調性;(3)能取得三角函數值域上的所有值。

顯然對，這樣的區間是;對，這樣的區間是;對，這樣的區間是;

二.新課的引入：

1.反正弦定義：

反正弦函數：函數，的反函數叫做反正弦函數，記作：.

對于注意：

(1)(相當于原來函數的值域);

(2)(相當于原來函數的定義域);

(3);

即：相當于內的一個角，這個角的正弦值為。

反正弦：符合條件()的角，叫做實數的反正弦，記作：。其中，。

例如：，，，

由此可見：書上的反正弦與反正弦函數是一致的，當然理解了反正弦函數，能使大家更加系統地掌握這部分知識。

2.反余弦定義：

反余弦函數：函數，的反函數叫做反余弦函數，記作：.

對于注意：

(1)(相當于原來函數的值域);

(2)(相當于原來函數的定義域);

(3);

即：相當于內的一個角，這個角的余弦值為。

反余弦：符合條件()的角，叫做實數的反正弦，記作：。其中，。

例如：，，由于，故為負值時，表示的是鈍角。

3.反正切定義：

反正切函數：函數，的反函數叫做反正弦函數，記作：.

對于注意：

(1)(相當于原來函數的值域);

(2)(相當于原來函數的定義域);

(3);

即：相當于內的一個角，這個角的正切值為。

反正切：符合條件()的角，叫做實數的反正切，記作：。其中，。

例如：，，，

對于反三角函數，大家切記：它們不是三角函數的反函數，需要對定義域加以改進后才能出現反函數。反三角函數的性質，有興趣的同學可根據互為反函數的函數的圖象關于對稱這一特性，得到反三角函數的性質。根據新教材的要求，這里就不再講了。

練習：

三.課堂練習：

例1.請說明下列各式的含義：

(1);(2);(3);(4)。

解：(1)表示之間的一個角，這個角的正弦值為，這個角是;

(2)表示之間的一個角，這個角的正弦值為，這個角不存在，即的寫法沒有意義，與，矛盾;

(3)表示之間的一個角，這個角的余弦值為，這個角是;

(4)表示之間的一個角，這個角的正切值為。這個角是一個銳角。

例2.比較大小：(1)與;(2)與。

解：(1)設：，;，，

則，，

∵在上是增函數，，

∴，即。

(2)中小于零，表示負銳角，

中雖然小于零，但表示鈍角。

即：。

例3.已知：，，求：的值。

解：正弦值為的角只有一個，即：，

在中正弦值為的角還有一個，為鈍角，即：，

所求的集合為：。

注意：如果題目沒有特別說明，結果應為準確值，而不應是近似值，書上均為近似值。

例4.已知：，，求：的值。

解：余弦值為的角只有一個，即：，

在中余弦值為的角還有一個，為第三象限角，即：，

所求的集合為：。

例5.求證：()。

證明：∵，∴，設，，

則，即：，即：，

∵，∴，

∴，∴，即：。

例6.求證：()。

證明：∵，∴，設，，

則，即：，即：(*)，

∵，∴，

∴，∴，即：。

注意：(*)中不能用來替換，雖然符號相同，但，不能用反余弦表示。

四.課后作業。

書上：P76.練習,P77.習題4.11。(均要準確值，劃掉書上的精確到)