詮釋傅里葉分析用于熱傳輸因素

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〔摘要〕傅里葉分析是一種重要的數學工具，本文綜述了用傅里葉分析解決細桿的熱傳導問題，并進行了討論。傅里葉分析包括傅里葉級數和傅里葉積分，用傅里葉級數法解決有界細桿的熱傳導問題，用含參數的傅里葉變換法解決無界細桿的熱傳導問題，比其它方法更系統，體現出一種數學與物理對應的美感。

〔關鍵詞〕傅里葉級數傅里葉積分傅里葉變換細桿的熱傳導問題

引言

1822年，傅里葉在研究熱傳導問題時，創造了傅里葉分析，隨著時代的進步，這一數學工具被廣泛地應用于信號分析、匹配濾波、圖象處理等方面,掌握這種具有廣泛用途和發展前景的工具是十分必要的.熱傳導是歷來研究的熱點，尤其是隨著計算機電子設備的高集成化發展，機器內發熱部件和集成電路元件的發熱量隨之增加，傳統的強制冷方式已不能達到理想效果，因此，熱傳導設計成了重要問題。萬變不離其宗，為了更好地掌握傅里葉分析，為了更好地掌握熱傳導問題，本文就一維熱傳導問題對傅里葉分析作了全面詳盡的論述。

1.傅里葉分析

1.1傅里葉級數

傅里葉級數在應用上有以下優點：能表示不連續的函數、周期函數，能對任意函數作調和分析。

若函數以為周期，即(1.1.1)則可取三角函數族

1，cos,cos,…cos，…

sin,sin,…sin，…(1.1.2)

作為基本函數族，將展開為級數

=+cos+cos)(1.1.3)

可以證明，函數族（1.1.2）是正交完備的。根據三角函數族的正交性，可求得（1.1.3）中的展開系數為（1.1.4）

其中(1.1.3)稱為周期函數的傅里葉級數展開式，其中的展開系數（1.1.4）稱為傅里葉系數。關于傅里葉級數的收斂性問題，有Dirichlet定理。

若周期函數是奇函數，則由傅里葉系數計算公式（1.1.4）可見，及諸均等于零，展開式(1.1.3)為=,(1.1.5)

這叫做傅里葉正弦級數。由于對稱性，其展開系數為（1.1.6）

同理，若周期函數是偶函數，則=+(1.1.7)

這叫做傅里葉余弦級數，其中，（1.1.8）

對于只在有限區間，例如在上有定義的函數,可采取延拓的方法，使其成為某種周期函數，而在上，。然后再對作傅里葉級數展開，其級數和在區間上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l無定義，因此可以有無數種延拓方式，因而有無數種展開式，它們在上均代表.有時，對函數在邊界（區間的端點）上的行為提出限制，即滿足一定的邊界條件，這常常就決定了如何延拓。例如要求這時應延拓為奇的周期函數，因為

sin│=0,sin∣=0;

又如要求這時應延拓為偶的周期函數，因為余弦級數的和的導數在和為零。

對于函數u(x,t),-l<x<l,t≥0,展開為傅里葉級數時，可將t視為參數，僅關于x展開為傅里葉級數

u(x,t)=a(t)+)(1.1.9)

其中的展開系數不是常數，而是關于t的函數，(1.1.10)

1.2傅里葉積分

一般說來，定義在區間（-∞<x<∞）上的函數f(x)是非周期的，不能展開為傅里葉級數。為了研究這樣的函數的傅里葉展開問題，我們采取如下辦法：試將非周期函數f(x)看作是某個周期函

數g(x)于周期2l→∞時的極限情形。這樣，g(x)的傅里葉級數展開式

g(x)=+)

在l→∞時的極限形式就是所要尋找的非周期函數的傅里葉展開。仔細研究這一極限過程，可以得到：

f(x)=(1.2.1)

其中

A(ω)=f(ξ)cosωξdξ

B(ω)=f(ξ)sinωξdξ(1.2.2)

(1.2.1)右邊的積分稱為傅里葉積分，(1.2.1)稱為非周期函數f(x)的傅里葉積分表達式。(1.2.2)稱為f(x)的傅里葉變換式。對f(x)的條件，有傅里葉積分定理。復數形式的傅里葉積分為:

f(x)=F(ω)dω(1.2.3)

F(ω)=f(x)dx(1.2.4)

1.3含參數的傅里葉變換

對于函數u(x,t),(-∞<x<∞,t≥0),可將t視為參數，僅將x成為自變量，則與一元函數f(x)的傅里葉展開類似可得：

u(x,t)=F(ω,t)dω(1.3.1)

其中

F(ω,t)=u(x,t)dx(1.3.2)

(1.3.1)是u(x,t)傅里葉積分表達式，(1.3.2)是u(x,t)的傅里葉變換式。

2．細桿的熱傳導問題

由于溫度不均勻，熱量從溫度高的地方向溫度低的地方轉移，這種現象叫做熱傳導。在細桿的熱傳導問題中研究的是溫度在一維空間中的分布和在時間中的變化u(x,t)。應用熱傳導定理和能量守恒定律，可導出可導出熱傳導方程：

(無熱源、匯)

(有熱源、匯)

還需初始條件

u(x,t)|=(x)

和三類邊界條件：

第一類u(x,t)|=ψ(t)

第二類u(x,t)|=ψ(t)

第三類u(x,t)|+Hu(x,t)|=ψ(t)

這樣構成完整的一維熱傳導問題。根據空間變量的范圍可分為以下兩種細桿的熱傳導問題。

2.1有界細桿的熱傳導問題

這里僅選第二類邊界條件作討論，構成(2.1.1)

2.2無界細桿的熱傳導問題(2.2.1)

對半無界細桿的熱傳導問題，根據邊界條件延拓到無界，轉化為無界細桿的定解問題。對第一類齊次邊界條件的定解問題（x>0,t>0）=0=(x)作奇延拓=對第二類邊界條件（x>0,t>0）

=(x)作偶延拓=

3．傅里葉分析應用于細桿的熱傳導問題

3.1用傅里葉級數法解決有界細桿的熱傳導問題

傅里葉級數法是直接求解非齊次方程的定解問題。對問題(2.1.1)，把所求解u(x,t)本身展開為傅里葉級數，基本函數族應是相應齊次方程

在第二類齊次邊界條件下的本征函數：cos(0,1,2,…),這樣試把所求解展開為傅里葉余弦級數u(x,t)=(3.1.1)

把這個級數代入泛定方程，＝f(x,t)(3.1.2)

方程左邊是傅里葉余弦級數，提示我們把方程右邊也展開為傅里葉余弦級數，得到：(3.1.3)

其中為的傅里葉余弦級數的第n個傅里葉系數。比較兩邊的系數，分離出（t）的常微分方程=(3.1.4)

又把（3.1.1）代入初始條件，得：==(3.1.5)

其中為的傅里葉余弦級數的第n個傅里葉系數。(3.1.5)式兩邊都是傅里葉余弦級數，由于基本函數族的正交性，等式兩邊對應同一基本函數的傅里葉系數必然相等，于是得(t)的非零初始條件(3.1.7)

(t)的常微分方程（求解）在初始條件（3.1.7）下的解是

(t)=(3.1.8)

這樣所求解是=}(3.1.9)

可以證明(3.1.9)是存在且唯一的.

3.2用傅里葉變換法求解無界細桿的熱傳導問題

對問題(2.2.1)應用含參數的傅里葉變換，即用不著遍乘方程及定解條件各項，并對空間變數x積分（時間變數視作參數），原來的定解問題變成(3.2.1)

其中為u(x,t)的傅里葉變換。為求解這個非齊次常微方程，用遍乘方程各項，得：

對t積分一次，計及零初始值，==

進行傅里葉逆變換，=]•dk

交換積分次序=[]

引用積分公式=

可得結果=(3.2.2))

可以驗證(3.2.2)確實符合(2.2.1).有熱源或熱匯的熱傳導問題，即泛定方程是齊次的，求解更容易。

4.討論

4.1一維熱傳導問題方法和結論的推廣

用傅里葉分析法解決細桿的熱傳導問題，以及得到的結論均可推廣到二維、三維空間，用到的理論基礎是二、三重傅里葉級數和二、三重傅里葉變換，求解過程與一維類似。

4.2傅里葉分析應用于其它定解問題

用傅里葉分析法求解熱傳導問題時，只是對所求解進行了傅里葉展開或變換，并未對方程限制，常見的其它定解問題：振動問題，擴散問題等均可用傅里葉分析法。

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