哲學文化幾何學分析論文

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希臘幾何學是數學史上一顆璀璨的明珠。她作為一種科學研究的范式，直接影響過西方數學，乃至整個科學的發展。著名數學史學家克萊因在《古今數學思想》一書中曾經指出過：“希臘人在文明史上首屈一指，在數學史上至高無上?！辈⑶宜岢隽藬祵W思想史上非常重要的一個問題，這就是“文明史上的重大問題之一，是探討何以古希臘人有這樣的才氣和創造性?！盵1]本文試圖對“克萊因問題”進行探索求解，以破解長期困擾著數學史研究中的希臘論證幾何學的成因之謎。反觀“中國古代為什么沒有產生證明幾何學”也就容易找到答案了。

一

古希臘是一個移民的社會，從開始就沒有像東方民族所具有的以血緣關系為紐帶的宗法式的社會結構。這種以地緣關系為基礎的社會共同體，加上希臘所處的獨特地理位置，為希臘古典的民主政治和商品經濟——希臘城邦制的出現提供了必要的條件。在此基礎上，古希臘社會孕育出了一種獨特的文化形態——古典的理性文化或科學文化。希臘幾何學正是在這種理性文化中誕生、形成和發展起來的。

古希臘是法學的發源地，法律文化得到了充分的發展。公元前11世紀——9世紀是希臘的荷馬時代，也就是史稱的“英雄時代”。這一時代是希臘社會發生重大變革的時代，首先表現在希臘人自我意識的覺醒。希臘人開始從宗教神學中解放出來，以“人為一切事物的尺度”來審視世間的一切。荷馬時代實質上是希臘歷史上的一次思想啟蒙運動，是古希臘文明的開端。從此，希臘民族完成了從神秘主義文化向理性主義文化的轉變，開創了以法律文化為軸心的科學文化的歷史進程?！逗神R史法》作為調整社會關系、重建社會秩序的法典，確立了一種政治民主制：其中包括議事會、人民大會和首長選舉等內容。因此可以說，希臘文化的源頭或邏輯起點是《法典》，由此鑄成希臘民族的“法律”意識和“法制”觀念。爾后的德拉古立法，直到公元前594年梭倫立法，最終確立起古希臘的法律體系，推動了希臘民族法律文化的繁榮發達。希臘人唯“法”是從，遇事講“理”，依法辦事，他們以“法”的眼光審視社會、審查自然、審理知識，創造出了獨具特色的古希臘文明。

希臘幾何學的證明思想導源于法律文化，論證幾何發凡于梭倫立法時代。希臘的法學稱“正義學”。人們在立法的過程中首先遇到的是：“什么是正義？為什么有罪？”等法理問題。其中包括“公理、公設、前提、條件”等法學的基礎問題，以及審判過程中的“事實、理由、證據、推理”等法學的邏輯問題。要從根本上弄清楚這些法理問題，人們就必須在思想上進行一種“分析”的理性思考。立法者告誡人們：法律是規則的、普遍的，并對一切人都是相同的；法律所需要的是公平，誠實與有用；他們欲求為一普遍的規律對于一切人都是一樣，因為種種理由所有的人都要服從法律。

梭倫當權后，所做的第一件事，同時也是最大的一件事，就是對“法律”制度的改革。他認為，無法和內亂是人類最大的災難，而法律和秩序則是人類最大的幸福。梭倫改革的目標是企圖建立一個為新的、舊的勢力都能接受的民主和諧的政治，以保證社會各種勢力的平衡和政治穩定。為此，梭倫建立了新的法律，史稱“梭倫”立法。其中最大的舉措是加強了公民大會的權力，凡年滿20歲的雅典公民均可參加，會議定期舉行。400人組成議會。他創建了宏大的人民法院依利艾阿，總人數達6000人，任何人都可以譴責執政官的無理決定。

公元前6世紀雅典陪審法院的建立，這不僅標志著希臘民主政治的進一步完善，而且更為重要的是促進了整個希臘學術思想的繁榮與發達。古希臘的法律文化發展到一個新的階段。首先是推動了自然法的理論研究。強調其法律存在的客觀性和同一性，認為不同國家和不同時代的法律有其共同的根源和價值目標，這就是人的本性和規律，就是理性，就是正義所綜合的一系列價值目標，如自由、平等、秩序等。因此，自然法學者特別重視探索法律的終極目標和客觀基礎。其二，法根源于人的永恒不變的本性：社會性和理性。真正的法律或自然法應與之相符，特別是與理性相符合，或者說法是人的理性所發現的人的規律和行為準則，是“理性之光”，它能照亮人前進的道路。其三，法的功能和目的在于實現正義。所謂正義，就是基于公共幸福的合理安排，就是人在社會中“得其所哉”，即享受人應該享受的權力和平等地承擔義務，法律面前人人平等。其四，法律作為一種社會的行為準則能使人們辨是非、知善惡，自然法就是人們不斷追求的終極性的價值目標。

生活在梭倫立法時代的泰勒斯，與梭倫同為希臘“七賢”里的人物。他受希臘法律文化（社會立法）的深刻影響，尤其是受自然法理論研究的啟發，創造性地運用法學的思想和方法為知識“立法”。泰勒斯對經驗幾何學知識進行了卓有成效的理性研究。作為數學思想家的泰勒斯，他突破了以往幾何知識僅僅“是什么”的認識水平，將幾何知識提升到了“為什么”的認識層次。由此開幾何命題的證明之先河。泰勒斯在進行幾何學研究的過程中，不僅發現了“任何圓周都要被其直徑平分；等腰三角形的兩底角相等；兩直線相交時，對頂角相等；若已知三角形的一邊和兩鄰角，則此三角形完全確定；半圓周角是直角”等五個幾何命題，而且還從理論上證明了這些命題。[2]

畢達哥拉斯繼承和發揚了泰勒斯的證明幾何學，并且將數學概念抽象化，進一步推動了演繹數學的發展。畢達哥達斯的“數是萬物的本質，宇宙的組織在其規定中通常是數及其關系的和諧體系”的數理宇宙觀對古希臘的數學思想產生了極其深刻的影響。畢達哥拉斯學派因發現“無理數”（不可公度的量）而引起的第一次數學危機，充分證明了幾何證明的必要性，在一定程度上進一步推動了人們對幾何命題的理論證明。

貫穿于希臘古典民主政治、商品經濟和理性文化之中的是希臘的自由精神，這是在世界上其他任何民族都沒有出現的。這種自由精神最終演化為學術思想上的自由探索精神。正是這種“百家爭鳴”的希臘研究之風，才迎來了“百花齊放”的希臘科學之春。

二

獨具特色的希臘語言文化也是希臘理性主義起源的一個重要誘發因素。最早對語法現象進行研究的是希臘人。公元前10世紀前后，希臘人在閃語字母的基礎上，經過一番改造，首次創造了音位文字字母，并且還把閃語文字自右向左的書寫規則改為自左向右。到公元前775年左右，希臘人把他們用過的各種象形文字書寫系統改換成腓尼基人的拼音字母，建立起了希臘語言文字系統。在此基礎上理論家們開始了為語言“立法”——語法的研究。赫拉克利特指出過：“如果要想理智地說話，那就必須用這個人人共有的東西武裝起來，就像城邦必須用法律武裝起來一樣，而且要武裝得更牢固?！盵3]

希臘哲學、法學、邏輯學與希臘語言文字的關系密切。哲學中的許多派別的理論觀點時常牽涉到對語言的認識。法學中的論戰、法律條文的制定，也往往涉及到對語言的修辭和準確的表達。邏輯學與語言學，特別是與語法學的關系更是密切相關。語言是思維的物質外殼，是思維的工具。思維要通過語言來表達，它是否合乎邏輯就成為語言表達中的一個重要問題。語言家要利用邏輯學的術語和方法來研究語言中的結構意義；另一方面，研究邏輯的也往往牽涉到語言的問題。

希臘的語言結構復雜。希臘語言中的動詞更是變化多端，它有人稱、時、態、體、式的變化。特別是由系動詞附圖變來的（附圖）一詞，具有多種的語言意義，表現出多種的語法關系。正是這種奇特的語言現象引起了理論家們的關注，成為“智者”們思考和研究的對象。

當希臘語中使用“附圖”一詞時，就有多種不同的意義。亞里士多德曾經指出：“當動詞‘是’被用來作為句子中的第三種因素時，會產生兩種肯定命題與否定命題。如在句子中‘人是公正的’中，‘是’這個詞被用作第三種因素，無論你稱它是動詞，還是名詞?！盵4]系動詞“附圖”在希臘語中不同凡響，它是人們進行言語對話，進行思想交流，進行陳述和判斷不可缺少的詞語。同時，在人們的語言表達中最容易產生歧義的也是這個中詞。在“他在這兒”這個句子中，它所表示的是一種物理位置；在“天使是白色的”這個句子中，它表示天使的一種與位置或物理存在無關的屬性；在“那個人正在跑”這個句子中，這個詞所表示的是動詞的時態；在“二加二等于四”這個句子中，它的形式被用于表示數字上的相等；在“人是兩足的能思維的哺乳動物”這個句子中，它的形式被用來斷言兩組之間的等同。

在形式邏輯的主賓式語句中“附圖”是一個典型的多義詞。它可以表示“＝”（等于）、“∈”（隸屬）和“附圖”（包含）三種關系。例如：(1)“歐幾里得是《幾何原本》的作者”與“《幾何原本》的作者是歐幾里得”，這里的兩個“是”具有可逆性，他們是一種等價的關系（＝），可解釋成關系“＝”（等于）。(2)“歐幾里得是古希臘的數學家”中的“是”為“∈”（隸屬）。即個體和集合之間的隸屬關系、層次關系，因而不可逆。可解釋成關系“∈”（隸屬）。(3)“數學家是科學家”中的“是”被解釋成關系“附圖”（包含），即集合與集合之間的包含關系，一般來說也是不可逆的?？茖W家不一定是數學家。

正是由于希臘語言中的這種多義詞，也往往容易產生語言思維中的歧義性，由此引發了語言文化史上的“希臘景觀”——觀念的戰爭。正如科學哲學家被波普爾所指出的那樣“觀念的戰爭是希臘人的發明，它是曾經作出的最重要的發明之一。實際上用語詞戰爭代替刀劍戰爭的可能性，還是我們文明的基礎。特別是我們文明的一切立法和議會機構的基礎。”[5]

由此可見，當我們探索追蹤古希臘論證幾何學的成因的時候，我們不能不考察獨特的古希臘語言文化方面的根源。

三

古希臘哲學——本體論、知識論和邏輯學是希臘理性文化中的精品?！皭壑钦摺眰儚纳顚哟蔚母鶈栴}上開始了對法學和語言學中所提出的帶普遍性的諸如“自然規律”、羅各斯、真理等知識理論問題進行理性思考。公元前5世紀出現的智者運動，對希臘哲學的發展以及幾何學的發展產生了重大的影響。當時，雄辯術(Sophistry)的一個方面或一種類型就是進行某種語言審查，稱為反駁論證(Elenchis)，要求把一切行為都置于理性批判和理性推論的基礎之上。希臘論辯術除了論點和論據以外，還涉及到邏輯，即語言處理法。“邏輯”這個概念，在古希臘語言文化的使用中有多種含義：發言、演說、陳述、論證等等。但概括起來講，邏輯一詞主要有三個應用領域，它們之間有著潛在的概念上的統一性。首先是語言和語言的領域，包括發言、演說、描述、陳述、（用語言表達的）論證等等；其次是思想和思維過程的領域，包括思考、推理、解釋、說明等等；第三是世界，即我們所言說、所思想的對象，包括構造原理、公式、自然法則等等。

詞匯、思想和事物之間究竟是一種什么關系？這成為智者們思考的一個重要問題。一旦人們把這三者區分開來，同時仍然堅持作為獲得真理和知識的必要條件，三者之間應該具有某種一致性，由此人們就面臨著如何最恰當的理解邏輯與這三者的關系問題。一個事物的邏輯就是：其一，事物自身的原則、本質、顯著標志或事物本身的組成部分；其二，我們認為它所是的東西；其三，對事物（語言上的）正確描述、說明或定義。這些都提出了是什么的問題。事物的邏輯在第一項下是指事物是什么；在第二項下是指人們認為它指的是什么；在第三項下是指人們說它是什么。歸根到底，從最高意義上講，也就是思維和存在的關系問題。蘇格拉底向人們指出，要解決這個問題，“最好求助于羅各斯，從中考查存在的真理?！?/p>

至少有10種含義的希臘字“附圖”成為蘇格拉底時代希臘哲學發展的突破口。獨特的希臘系動詞“是”（附圖）引起了理論家們的注意，成為哲學家思考和研究的對象，由此而開創了哲學本體論的研究領域。作為哲學范疇的“附圖”一詞的哲學意義為“存在”、“本性”、“有”、“是”。

存在與非存在、有與無、是與非等問題的論爭貫穿于希臘哲學發展的全過程，特別地成為辯證法的搖籃。三大幾何難題（三等分角、化圓為方、立方倍積）和芝諾四大悖論（實質是運動和靜止、有限和無限、連續和間斷的矛盾性）的出現都是希臘人辯證思維的產物。

蘇格拉底在愛利亞學派的本體論和芝諾反證法的基礎上，首創“詰問式”的辯證方法，一種“發明觀念”的矛盾方法，促進了對“定義”和“推論”的深化研究。他提出“真正的知識基于普遍的定義”和“歸納的理論”。他以邏輯辯論的方式啟發思想，揭露矛盾，以辯證思維的方法深入到事物的本質。蘇格拉底致力于尋求事物的普遍定義，例如“什么是正義”。他總是以提問的方式揭露對方提出的各種命題、學說中的各種矛盾，以動搖對方論證的基礎，指明對方的無知。蘇格拉底以此來訓練人的邏輯推理能力。

柏拉圖不僅是一位法理學家，而且是一位極其重要的數學思想家。“不懂幾何者不能入內”是他教育學生、訓練思維的主要方法。在數學教育史上，柏拉圖是第一個提出以幾何學作為訓練和提高人的思維能力的哲學家和教育家。在數學方法論上，柏拉圖是第一個把嚴密推理法則加以系統化的人。他特別關心數學中的證明問題，關心推理過程中的方法論。柏拉圖提出數學證明應以某種假設作為出發點，即公理、然后通過一系列邏輯推理，最后達到所要證明的結論。他將這種數學推演過程概括為“假設法”。柏拉圖學派把幾何學證明方法的發明推向高潮。他們發明了幾何證明中的分析法、間接證明中的歸謬法。古希臘從柏拉圖時代起，數學上要求根據一些公認的原理作出演繹證明，已經成為數學研究中的一個準則。演繹證明是以其正確性已經是眾所周知的理論陳述，或者以在一個既定的理論體系中被視為正確的公理為出發點，并以它們為根據，借助于邏輯的最終規則，構成一系列陳述，而這些陳述的最后是可以被論證的命題。每一個相繼產生的陳述必須按照最終規則從前一個陳述中產生。數學中純粹的演繹證明，早已是以相關理論的廣泛的形式化為前提。

法學家、哲學家、數學家歐多克索斯，繼承了畢達哥拉斯學派開創的把幾何學作為證明的演繹科學進行研究的方向。在同代人，特別是柏拉圖學派的研究基礎上，初步建立起以公理為依據的演繹法。歐多克索斯的數學思想完全來源于希臘的哲學文化。希臘字假設(hypothesis)，其本意為辯論雙方可接受的命題為出發點，不需證明或證實的是基本命題。公理(Axioma)原義乃請求，轉義為公理，指基礎、研究的出發點。歐多克索斯總結出直接證明的演繹推理手法與間接證明的反證法，分析法和綜合法為幾何證明中的主導思想方式。

亞里士多德為古希臘哲學文化的集大成者。他倡導“第一哲學”，研究“存在的存在”，作為“是的是”的科學。他認為，思想在推理和證明的過程中的聯系、邏輯學定律和規則，是以存在本身的聯系為基礎的。亞里士多德的形式邏輯，作為工具論，對希臘證明幾何學的最終完成，作出了重要貢獻。他在《分析篇》中指出：“我們無論如何都是通過證明獲得知識的，我所謂的證明是指產生科學知識的三段論。所謂科學知識，是指只要我們把握了它，就能據此知道事物的東西。”[4]他在《論題篇》中指出：“推理是一種論證，其中有一些被假設為前提，另外的判斷則必須由它們發生。當推理由此出發的前提是真實的和原初的時……這種推理就是證明的?！盵4]亞里士多德明確提出證明三要素：一是有待于證明的結論；二是公理（公理是證明的基礎）；三是載體性的種及其規定及依據自身的屬性由證明揭示。他還認為，數學是研究形式的，人們通過算術證明幾何命題。

亞里士多德的邏輯學是為人們的思維“立法”，它所總結出來的邏輯規律（同一律、矛盾律、排中律）為幾何證明提供了一種法度，即有效推理的準則。數學論證必須滿足兩大條件：真前提或出發點，以及有效的論證。數學推理都是根據矛盾律進行的；反證法的依據是邏輯的排中律。希臘人確信，邏輯是科學的工具，真理是建立在證明之上的，而且是一種“信念”的源泉。理所當然，數學體系的建立離不開思維的邏輯工具。

四

公元前300年左右，亞歷山大里亞的數學家歐幾里得站在巨人的肩膀上，運用亞里士多德形式化的邏輯分析和證明理論，終于建立起一個完備的幾何學知識體系。他把前人已有的幾何學知識充分搜集起來并加以系統化，從中抽出那些最簡單、最基本，已被無數經驗事實所一再證實了的命題，作為不證自明的公理或公設，再由此出發，以嚴格的邏輯演繹方法，循序漸進、由簡及繁地引出幾何學的全部定理，并為之提供了精辟的邏輯證明。《幾何原本》的誕生，標志著希臘證明幾何學的完成和演繹數學體系的確立。

在《幾何原本》里，歐幾里得對他以前的和他親自增補的所有幾何問題，作出了嚴格的邏輯性的敘述。這種敘述是借助于演繹法包含把假定作為基礎的某些不要求證明的定義和真理，而一切進一步的原理則用嚴格的證明作出，這些證明或者是根據這些真理，或者是根據由真理得出的原理。歐幾里得倡導的“定義—公設—公理—命題”四步曲，成為數學研究的綱領方法論和數學理論最通用的鋪陳方式，以及“已知—求證—證明”的數學演算三段論，對后世的數學發展產生了極其深遠的影響。

綜上所述，我們可以得出以下結論：希臘幾何學從泰勒斯開始，到歐幾里得完成，其間經歷了萌芽、生長、成熟和定型四個階段，歷經300余年的發展。每一個階段的演進都受到了希臘理性文化的深刻影響。法律文化中的公理、假設、理由、證據等范疇是幾何學中的公理、公設、推論、證明的概念根源；語言文化中的希臘系動詞“是”（附圖）獨特的語法現象，誘發出了哲學本體論和知識論的研究，以及邏輯學中的概念、判斷和推理等思維形式的研究，這些都成為幾何學中的定義、推論和證明的理論基礎；博大精深、內涵豐富的希臘哲學文化，成為幾何證明方法不斷發明創造的源泉動力。反過來，公理幾何學的發展，給希臘理性文化以影響，使之具有幾何學的本質。由此從中給人們透露出一種信息：幾何學，乃至整個數學的發展無不受到人文、社會科學發展的影響和制約。文理交叉、優勢互補、相得益彰、協同進化，是科學發展的一條重要規律。

【參考文獻】

[1]克萊因著，張理京譯，《古今數學思想》（一），上?？茖W技術出版社，1979年，第28頁。

[2]斯科特著，侯德潤譯，《數學史》，商務印書館，1982年，第25頁。

[3]北京大學哲學系外國哲學史教研室編譯，《西方哲學原著選讀》（上）商務印書館，1986年，第25頁。

[4]苗力田主編，《亞里士多德全集》（一），中國人民大學出版社，1990年，第62、247、353頁