投影幾何對數(shù)學研究意義論文

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一、引言

投影幾何是現(xiàn)代數(shù)學中的一個重要分支，它專門研究空間物體在投影變換下的幾何性質(zhì)，在天文學、地理學、建筑學、計算機模擬、土木工程、繪畫等很多學科中都有著廣泛的應用。投影幾何在古代東西方都有，但相比之下，西方的更為詳細和科學，由此，元、明時期西方投影幾何開始傳入我國。特別是在明朝末年。當時大批西方傳教士來到中國，不僅帶來了西方宗教和科技，而且也帶來了大量的與之有密切關系的投影幾何知識。比較多的西方投影幾何知識正是在這個時期才開始進入我國的。此時，當然有不少人都為之作出了貢獻，如利瑪竇、李之藻、熊三拔、徐光啟、羅雅谷、湯若望、梅文鼎、年希堯等。特別是利瑪竇。其是第一個來到中國內(nèi)陸，第一個開始給國人介紹西方投影幾何的。他介紹的投影幾何不僅內(nèi)容多樣、清晰正確，而且還實用，這為當時大量的西方科技在中國傳播打下了堅實的基礎。從某種意義上講，利瑪竇在這方面做出的貢獻完全可以和他傳入歐幾里德幾何所做出的貢獻相媲美。但這件事情長時間以來一直未被人們重視。本文擬就利瑪竇對于傳入投影幾何所做的貢獻作一論述。

二、利瑪竇帶來了多種西方投影理論，為國人廣泛的學習投影幾何打下了基礎

利瑪竇1583年9月10日來到中國大陸，之后，為了吸引民眾宣揚其基督教，他給國人公開展示了多種從西方帶來的物件，如地圖、星盤、日晷、圣母像、三棱鏡等。關于地圖，是其最早展示的一種物件。第一次展出是在1584年4月仙花寺建成之后，在其新教堂里。這次展示的地圖現(xiàn)在有人進行了考證，證明其是于1546年在羅馬刊行又于1570年被奧特里斯（AbrahamOrtelius）仿造的一幅，是當時歐洲比較流行的一種〔1〕。這幅地圖后來被當時的知俯王泮看到了，他對于此圖的精美感到非常震驚，遂令利瑪竇翻刻。利瑪竇將原來的地圖稍進行了改造，將中國由邊緣地帶轉移到了地圖的中心，于1584年11月翻刻并印制成功，這就是有名的“山海輿地圖”。之后不久，也就是同年同月的30日，利瑪竇向羅馬耶穌會總監(jiān)回報了這幅地圖，他說：“西式繪制，用華名、華里、華辰計算的世界地圖一幅，這圖是肇慶長官授命利瑪竇編制的，剛完成，便命去刊印了。”〔2〕由這兩處文獻，我們可知利瑪竇帶來了在當時西方流行的橢圓投影。

關于地圖的繪制，中國古代一直采用的是“計里畫方”的方法，從未使用過球形投影，這可能與中國古代一直以為的“天圓地方”有直接關系。而歐洲就不一樣了。從古希臘時期，人們就意識到了大地是球形的，繪制地圖的時候為了準確起見，最好采用球形投影。西方人繪制地圖最早多采用公元二世紀托勒玫給出的球極投影或是圓錐投影，到了文藝復興時期，隨著人們航海的需要和視野的開闊，此方法逐漸改進，出現(xiàn)了極球投影、赤道球面投影、水平面投影、墨卡托圓柱投影等。1528年彭德尼（BenedetooBordone，1460-1539）發(fā)明了橢圓投影，引起了很大的反響，因為這種投影既美觀、大方又不失準確性。由此，在繪制世界地圖的時候廣泛被人模仿。1570年奧特里斯繪制的世界地圖Typusorbisterrarum，正是采用了這種投影――這還被認為是最有藝術性的樣例〔3〕。利瑪竇的“山海輿地圖”既然是根據(jù)奧特里斯的世界地圖繪制的，那么，其采用的也應當是橢圓投影。此外，這一結果也可以利用其它的資料來印證。1602年利瑪竇在北京協(xié)助李之藻繪制了“坤輿萬國全圖”。此圖流傳很廣，至今還能看到〔4〕。筆者對其保留在南京的一幅的投影進行了細致的測算，發(fā)現(xiàn)其確系采用的是橢圓投影。

在利瑪竇的中國札記中除了地圖，提到比較多的還有星盤。星盤是利瑪竇來到中國大陸后進行計時和天文測量的主要工具，因而其時時攜帶著它，也經(jīng)常向他周圍的人展示。周圍的人對其感到非常好奇，為此利瑪竇還曾經(jīng)親自制作過它當做禮品送給一些高官，如趙可懷等。1607年在北京，利瑪竇和李之藻還就此寫成了一本書《渾蓋通憲圖說》。由這，我們可知道利瑪竇也帶來了西方的球極投影。

星盤是古希臘時期產(chǎn)生的一種天文儀器。據(jù)說其創(chuàng)始人是公元二世紀的托勒玫，因為在托勒玫的書中曾有類似的描述，并且托勒玫明確給出了制作星盤的數(shù)學基礎——球極投影。星盤在中世紀傳入伊斯蘭世界。伊斯蘭人為了準確的掌握祈禱的方位和時間，制作了大量的精美的星盤，從而將這種工具完好的保留到了文藝復興時期。文藝復興時期，航海探險之風盛行，因而作為能在晚間也能計時和確定方位的星盤又一次受到廣泛的重視。人們不僅給它增加了很多附件，使其能在不同的地區(qū)也可以準確的使用，而且還在托勒玫給出的球極投影基礎上給它建立了數(shù)學體系，使之成了一種滿載數(shù)學理論的計算工具。因此，星盤在文藝復興時期被稱為是“數(shù)學之寶”〔5〕。利瑪竇在中國使用的那副星盤，據(jù)裴化行考證正是從歐洲帶來的，平面式，它的設計者還是利瑪竇在羅馬學院時期的老師，當時歐洲著名的數(shù)學家和天文學家也是星盤專家克拉維烏斯神父。他說：“克拉維烏斯神父設計的星盤是‘平面回盤’(planisphsere，即步天規(guī))，即在一個圓盤圓周上刻有度數(shù)，并裝有一個可以旋轉的照準儀，這樣就能觀察天空的不同位置。克拉維烏斯的步天規(guī)的最大特點是蛛網(wǎng)式的，即通過盤中各種曲線，指示出天球投影在赤道平面上的緯度。這樣既有一般星盤的作用，又有渾儀的功用”〔6〕。所以，利瑪竇也從歐洲帶來了球極投影無疑。

對于《渾蓋通憲圖說》，其實際上是克拉維烏斯于1593年出版的專門討論星盤中數(shù)學原理的《論星盤》節(jié)譯本〔7〕。這本書中包含了大量的球極投影的知識。不僅球極投影原理，即如何進行投影的說法，而且還有眾多球極投影性質(zhì)。如“球形投影下，球面上平行于投影面（赤道面）的圓都是同心圓，不過距離南極近的圓投影較大，距離北極近的圓投影較小。”如“球形投影下，球面上不平行于投影面（赤道面）的圓的投影也都是圓。”“球形投影下，球面上的弧線的投影仍是弧線，點和曲線的結合關系不變。”“球形投影下，球面上等距平行于投影面的圓的投影不距等，靠近南極的兩個圓的投影的距離大于靠近北極的兩個圓的投影的距離。”“球形投影下，在球面上相交的兩個圓，它們的投影也相交。”等。不僅有投影的性質(zhì)，而且還有投影的具體做法，如天頂規(guī)的做法是：“既得天頂，則自天頂以對地心有一規(guī)，總為天頂規(guī)。此規(guī)上下過天地之中，東西交赤道卯酉之中。

辯方正位，于是乎取其法自赤道規(guī)，酉中起數(shù)地方赤道出地度，或自子中起數(shù)北極出地之度，其法皆同，但數(shù)一處刻界。自酉中按界作弦長出，求其交子中線處，即是地下對對頂中際。從此上望天頂，折半求中以是為樞，旋而規(guī)之則成天頂規(guī)。”如地平規(guī)漸升圈的做法是：“凡求（地平規(guī)）漸升度，以前圖南北極軸線為界，去界北不用，自界而南，以半規(guī)均分百八十度或兼二度，則分作九十兼五度，則分作三十六中定赤道軸線以求天頂，次自北極左行第一度望酉中畫一弦，又自南極右行第一度望酉中畫一弦。二弦皆過盤中子午線，而取子午線上所得之界，上下折半為樞，旋規(guī)是為漸升第一規(guī)，當為出地之第一度。余自二度至九十度亦如之。”另外，還給出了這些做法的原理：“原所以取赤道卯酉為準者，蓋赤道纮天地之中，卯酉又分赤道之中，借卯酉以為地心，因望地心以求天頂。儀體雖平，其用則圓，而其經(jīng)緯從衡之秒全在赤道一規(guī)。平視之而分子午卯酉，側視之而寄南北二極。二極結子午之正，寄二極于赤道者，借赤道之規(guī)為子午規(guī)者也。后凡地盤度皆自赤道為準。”〔8〕由此看出，利瑪竇還將大量的球極投影理論知識也傳入了中國。

在利瑪竇給國人展示的物品中，也多次提到西方繪畫，如圣母像、耶穌像等。這些繪畫，有的是從印度、澳門、日本等外面經(jīng)教友轉來的，也有是利瑪竇自己繪制的。如1602年利瑪竇奉中國皇帝的命令，耗時兩三天繪制成的“西方宮廷生活圖”是一幅〔9〕，還有利瑪竇晚年繪制的“野墅平林圖”也是一幅〔10〕。利瑪竇采用的什么方法畫這些畫呢？雖沒有文字記錄，但可以從其它地方找到證據(jù)。從現(xiàn)存于遼寧省博物館的“野墅平林圖”中我們可以看出，其不是中國式的寫意畫法――雖然入畫內(nèi)容是山水。其遠近分明，明暗比例協(xié)調(diào)，滅點固定，視野開闊，顯然是采用了西方****畫法。還有，利瑪竇在1601年將圣母像獻給皇帝之前，曾給很多人展示過，在展示的時候，還對比中國畫進行了講解，他曾說：“中國畫但畫陽不畫陰，故看之人面軀正平，無凹凸相，吾國之畫兼陰與陽寫之，故面有高下，而手臂皆輪圓耳。凡人之面正迎陽，則明而白，若則立，則向明一邊者白，其不向明一邊者眼耳鼻口凹處，皆有暗相。吾國之寫像者，解此法用之，故能使畫像與生人亡異也。”〔11〕在《譯幾何原本引》中他又曾說：“察目視勢，以遠近正邪高下之差，照物狀可畫立圓、立方之度數(shù)于平版之上，可遠測物度及真形。畫小，使目視大，畫近，使目視遠，畫圓，視目視球，畫像，有坳凸，畫室，有明暗也。”〔12〕還有，在利瑪竇學習過的羅馬學院的課程表中明確標有：****學，學習三個月。〔13〕由此，利瑪竇懂得當時在歐洲興起的****畫法，了解其中的數(shù)學投影原理，也將它們帶到了中國。

此外還有日晷。在利瑪竇日常活動中，也曾多次提到過日晷。如在肇慶他曾指導瞿太素制造日晷，在南京曾輔導張養(yǎng)默制造日晷等。日晷作為一種古老的利用太陽來計時的儀器，東西方都有，但各有所長。東方的多是赤道日晷，沒有投影理論在里面。而西方的多是地平日晷，其以西方古代天文學基本構架為基礎，大量地使用了球面投影理論和方法。西方繪制日晷的方法叫做“Analemma法”。關于這種方法，古希臘有兩部書進行了介紹，一部是公元前一世紀亞歷山大里亞的狄奧多努斯（Diodorus）寫的，另一本是公元二世紀的天文學家托勒玫寫的，書目都叫Analemma。狄奧多努斯的書已失傳。現(xiàn)根據(jù)托勒玫的書我們可以知道這種方法實際上是一種球面平行正投影，借助這種投影可以將赤道坐標很容易的換算成黃道坐標，反之依然。〔14〕利瑪竇帶來的日晷不同于中國式的，通過其對日晷的描述我們可考證一定是地平日晷〔15〕。另外，在“坤輿萬國全圖”的一個小圖下面他還曾提到Analemma，他說：“右圖乃黃赤二道錯行中氣之界限也。凡算太陽出入皆準此。其法以中橫線為地平，直線為天頂，中圈為地體，外大圈為周天。以周天分三百六十度。假如是圖在京師地方，北極出地平線上四十度，則赤道離天頂南亦四十度矣。然后自赤道數(shù)起，南北各以二十三度半為界，最南為冬至，最北為夏至。凡太陽所行不出此界之外，既定冬、夏至界，即可求十二宮之中氣。先從冬夏二至界相望畫一線，次于線中十字處為心，盡邊各作一小圈，名黃道圈。圈上勻分二十四分，兩兩相對作虛線，各識于周天圈上。在赤道上者，即春秋分；次北曰穀雨、處暑，曰小滿、大暑，曰夏至；次南曰霜降、雨水，曰小雪、大寒，曰冬至。因圖小，止載中氣，其余節(jié)氣倣此。就中再勻分一倍，即得之矣。而其日影之射于地者，則取周天所識，上下相對，透地心斜畫之。太陽所離赤道緯度，所以隨節(jié)氣分遠近者，此可略見。凡作日晷帶節(jié)氣者，皆以此為提綱，歐邏巴人名為‘曷捺楞馬’云”。“曷捺楞馬”系“Analemma”的音譯〔14〕。由此看出，利瑪竇還從西方帶來了球面平行正投影。

總之，利瑪竇確系帶到中國來很多的投影知識，不僅有橢圓投影、球極投影、球面平行投影，而且還有****法等，不僅有投影原理，而且還有投影的性質(zhì)命題和繪制方法等知識。這大大豐富了當時的數(shù)學研究，為國人順利地接受西方知識打下了基礎，也為我國數(shù)學的迅速發(fā)展爭取早些與西方數(shù)學會同鋪平了道路。

三、利瑪竇給國人廣泛講授了投影幾何知識，并指導了投影幾何知識的具體應用

利瑪竇來中國的目的是傳教，為此他廣交各階層的人士，與他們談天論道、交流感情等。而當時的國人，特別是一些知識階層的人士，驚詫于其才能和所擁有的西方科技，也愿意與之友好。這樣形成了一種利瑪竇到到處受歡迎，很多地方都有其學生的局面——盡管明確承認是利瑪竇學生的人并不多。利瑪竇第一個正式的學生是蘇州人瞿太素。瞿太素又名瞿汝夔，是明朝末年禮部尚書瞿景淳的二兒子。1589年其將全部家產(chǎn)都投入到了煉金的火爐中使之灰飛煙滅之后，來到了廣東肇慶。此間其聽說這里來個西洋神父，博學多才，甚至還會利用魔法煉金，遂于8月來到利瑪竇住處，拜利瑪竇為師學習西方文化〔16〕。對于這個學生，利瑪竇非常喜歡，這不僅僅是因為瞿太素給利瑪竇出了很多好主意，幫助利瑪竇順利地打開了當?shù)氐膫鹘叹置妫疫€由于瞿太素很聰明，很多東西一點就通。由此，利瑪竇開始教瞿太素一些難的知識。這些知識中就有投影幾何知識。在中國札記中利瑪竇說：“他（瞿太素）接著從事研習丁先生的地球儀和歐幾里德的原理，即歐氏的第一書。然后他學習繪制各種日晷圖案，準確地表示時辰，并用幾何法則測量物體的高度。我們已經(jīng)說過，他很有知識并長于寫作。他運用所學到的知識寫出一系列精細的注釋，當他把這些注釋呈獻給他的有學識酌官員朋友們肘，他和他所歸功的老師都贏得普遍的、令人艷羨的聲譽。他所學到的新鮮東西使中國人大惑不解。他們認為他不能靠自己的研究獲得它。他日以繼夜地從事工作，用圖表來裝點他的手稿，那些圖表可以與最佳酌歐洲工藝相媲美。他還為自己制作科學儀器，諸如天球儀、星盤、象限儀、羅盤、日晷及其他這類器械，制作精巧，裝飾美觀他制造用的材料，正如他的手藝一樣，各不相同。”〔17〕從這里我們可以看出，利瑪竇教給了瞿太素很多投影知識，如關于日晷的和星盤的等，不僅如此，他還教會了瞿太素如何使用它們。