初等數學內涵探究論文

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摘要：運用數字推理建立數值邏輯公理系統雛形，辯證認識、探討初等數學基本理論的深刻內涵，繼續深化認識，…。

關鍵詞：1、分數整，2、相對整性質，3小數相對整，4、分數相對整，5、廣義整數，6、有限不循環小數，7、有限循環小數，8、最大分數單位1/2，9、小數單位、最大小數單位0.5，10、雙素數11、狹義數學真理12、廣義數學真理等等

一、建立初等數學數值邏輯公理系統雛形：

（一）、探討認識初等數學深刻內涵，需要不斷深化認識、不斷完善，還要考慮到易懂易理解，一篇不成熟的數學論文，反反復復，大同小異，頗感不妥，抱歉了！今后若有新的認識，以數學基本知識的方式單獨，以前的數學學術觀點、理念不再重復，…，再次抱歉、敬請諒解！

（二）、數字推理——數值邏輯辯證推理：

究竟是到數值邏輯系統外部探尋系統運算規律？還是在數值邏輯系統內部探尋系統運算規律？很顯然，要在數值邏輯系統內部探尋系統運算規律，事實證明，數理邏輯與實無限并未完全揭示出數值邏輯公理系統運算規律，初等數學基本理論尚有不足之處，它是實無限數學理論和數理邏輯無法解決的數學矛盾與問題，關于數學的無限矛盾，實無限不能解決的數學矛盾，運用潛無限數學思維理念與潛無限手段去解決，未嘗不可，…。

用那10個阿拉伯數字演繹數學真諦，1生2、2生3、“10”生無限，確切地說正整數數列：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，……，…如果從數學的集合論和數論、哲學角度出發，運用算術的方法分別選取：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……，…分別地建立起最基本最原始幼稚可笑的有理數數列群與子集合：

第1系列：0/1，1/1，2/1，3/1，4/1，5/1，6/1，……，…

第2系列：0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2，……，…

第3系列：0/3，1/3，2/3，3/3，4/3，5/3，6/3，……，…

第4系列：0/4，1/4，2/4，3/4，4/4，5/4，6/4，……，…

第5系列：0/5，1/5，2/5，3/5，4/5，5/5，6/5，……，…

第6系列：0/6，1/6，2/6，3/6，4/6，5/6，6/6，……，…

第7系列：0/7，1/7，2/7，3/7，4/7，5/7，6/7，……，…

第8系列：0/8，1/8，2/8，3/8，4/8，5/8，6/8，……，…

第9系列：0/9，1/9，2/9，3/9，4/9，5/9，6/9，……，…

第10系列：0/10，1/10，2/10，3/10，4/10，5/10，6/10，……，…

……，……

如何再去分別探索在何范疇內各基數間存在著2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……，…的倍數時——數值邏輯公理系統運算規律？：

第1系列：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，……，…

第2系列：

第2環節：

2（0/2+1/2+2/2）

=（1/2+2/2+3/2）

=（0.5+2/2+1.5）

第3環節：

3（0/2+1/2+2/2）

=（2/2+3/2+4/2）

=（1+3/2+2）

第4環節：

4（0/2+1/2+2/2）

=（3/2+4/2+5/2）

=（1.5+4/2+2.5）

第5環節：

5（0/2+1/2+2/2）

=（4/2+5/2+6/2）

=（2+5/2+3）

第6環節：

6（0/2+1/2+2/2）

=（5/2++6/2+7/2）

=（2.5+6/2+3.5），……，…

第3系列：

第2環節：

2（0/3+1/3+2/3+3/3）

=(1.5/3+2.5/3+3.5/3+4.5/3）

=（3/3+4/3+5/3）

=（0.5+2.5/3+3.5/3+1.5）

第3環節：

3（0/3+1/3+2/3+3/3）

=（3/3+4/3+5/3+6/3）

=（1+4/3+5/3+2）

第4環節：

4（0/3+1/3+2/3+3/3）

=（4.5/3+5.5/3+6.5/3+7.5/3）

=（7/3+8/3+9/3）

=（1.5+5.5/3+6.5/3+2.5）

第5環節：

5（0/3+1/3+2/3+3/3）

=（6/3+7/3+8/3+9/3）

=（2+7/3+8/3+3）

第6環節：

6（0/3+1/3+2/3+3/3）

=（7.5/3+8.5/3+9.5/3+10.5/3）

=（11/3+12/3+13/3）

=（2.5+8.5/3+9.5/3+3.5），……，…

第4系列：

第2環節：

2（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）

=（2/4+3/4+4/4+5/4+6/4）

=（0.5+3/4+4/4+5/4+1.5）

第3環節：

3（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）

=（4/4+5/4+6/4+7/4+8/4）

=（1+5/4+6/4+7/4+2）

第4環節：

4（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）

=（6/4+7/4+8/4+9/4+10/4）

=（1.5+7/4+8/4+9/4+2.5）

第5環節：

5（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）

=（8/4+9/4+10/4+11/4+12/4）

=（2+9/4+10/4+11/4+3）

第6環節：

6（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4+）

=（10/4+11/4+12/4+13/4+14/4）

=（2.5+11/4+12/4+13/4+3.5），……，…

第5系列：

第2環節：

2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）

=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）

=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5）

第3環節：

3（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（5/5+6/5+7/5+8/5+9/5+10/5）

=（1+6/5+7/5+8/5+9/5+2）

第4環節：

4（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（7.5/5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+12.5/5）

=（10/5+11/5+12/5+13/5+14/5）

=（1.5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+2.5）

第5環節：

5（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（10/5+11/5+12/5+13/5+14/5+15/5）

=（2+11/5+12/5+13/5+14/5+3）

第6環節：

6（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（12.5/5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+17.5/5）

=（16/5+17/5+18/5+19/5+20/5）

=（2.5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+3.5），……，…

第6系列：

第2環節：

2（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=(3/6+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+9/6)

=(0.5+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+1.5)

第3環節：

3（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=（6/6+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+12/6）

=（1+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+2）

第4環節：

4（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=（9/6+10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+15/6）

=（1.5++10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+2.5）

第5環節：

5（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=（12/6+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+18/6）

=（2+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+3）

第6環節：

6（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）

=（15/6+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+21/6）

=（2.5+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+3.5），……，…

第7系列：

第2環節：

2（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=（3.5/7+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+10.5/7）

=（5/7+6/7+7/7+8/7+9/7+10/7+11/7）

=（0.5+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+1.5）

第3環節：

3（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=（7/7+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+14/7）

=（1+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+2）

第4環節：

4（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=(10.5/7+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+17.5/7)

=（13/7+14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7）

=(1.5+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+2.5)

第5環節：

5（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=（14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+21/7）

=（2+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+3）

第6環節：

6（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）

=(17.5/7+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+24.5/7)

=(21/7+22/7+23/7+24/7+25/7+26/7+27/7)

=(2.5+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+3.5)，……，…

第8系列：

第2環節：

2（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（4/8+5/8+6/8+7/8+9/8+10/8+11/8+12/8）

=（0.5+5/8+6/8+7/8+9/8+10/8+11/8+1.5）

第3環節：

3（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（8/8+9/8+10/8+11/8+12/8+13/8+14/8+15/8+16/8）

=（1+9/8+10/8+11/8+12/8+13/8+14/8+15/8+2）

第4環節：

4（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（12/8+13/8+14/8+15/8+16/8+17/8+18/8+19/8+20/8）

=（1.5+13/8+14/8+15/8+16/8+17/8+18/8+19/8+2.5）

第5環節：

5（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（16/8+17/8+18/8+19/8+20/8+21/8+22/8+23/8+24/8）

=（2+17/8+18/8+19/8+20/8+21/8+22/8+23/8+3）

第6環節：

6（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）

=（20/8+21/8+22/8+23/8+24/8+25/8+26/8+27/8+28/8）

=（2.5+21/8+22/8+23/8+24/8+25/8+26/8+27/8+3.5），……，…

第9系列：

第2環節：

2（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=(4.5/9+5.5/9+6.5/9+7.5/9+8.5/9+9.5/9+10.5/9+11.5/9+12.5/9+13.5/9)

=(6/9+7/9+8/9+9/9+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9)

=(0.5+5.5/9+6.5/9+7.5/9+8.5/9+9.5/9+10.5/9+11.5/9+12.5/9+1.5)

第3環節：

3（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=（9/9+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9+15/9+16/9+17/9+18/9）

=（1+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9+15/9+16/9+17/9+2）

第4環節：

4（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=（13.5/9+14.5/9+15.5/9+16.5/9+17.5/9+18.5/9

+19.5/9+20.5/9+21.5/9+22.5/9）

=（16/9+17/9+18/9+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9）

=（1.5+14.5/9+15.5/9+16.5/9+17.5/9+18.5/9

+19.5/9+20.5/9+21.5/9+2.5）

第5環節：

5（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=(18/9+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9+25/9+26/9+27/9)

=(2+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9+25/9+26/9+3)

第6環節：

6（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）

=（22.5/9+23.5/9+24.5/9+25.5/9+26.5/9+27.5/9

+28.5/9+29.5/9+30.5/9+31.5/9）

=（26/9+27/9+28/9+29/9+30/9+31/9+32/9+33/9+34/9）

=（2.5+23.5/9+24.5/9+25.5/9+26.5/9+27.5/9

+28.5/9+29.5/9+30.5/9+3.5），……，…

第10系列：

第2環節：

2（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10+11/10

+12/10|+13/10+14/10+15/10）

=（0.5+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10+11/10+12/10|+13/10+14/10+1.5）

第3環節：

3（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（10/10+11/10+12/10+13/10+14/10+15/10

+16/10+17/10+18/10+19/10+20/10）

=（1+11/10+12/10+13/10+14/10+15/10

+16/10+17/10+18/10+19/10+2）

第4環節：

4（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（15/10+16/10+17/10+18/10+19/20+20/10

+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10）

=（1.5+16/10+17/10+18/10+19/20+20/10

+21/10+22/10+23/10+24/10+2.5）

第5環節：

5（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（20/10+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10

+26/10+27/10+28/10+29/10+30/10）

=（2+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10

+26/10+27/10+28/10+29/10+3）

第6環節：

6（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）

=（25/10+26/10+2710+28/10+24910+30/10

+31/10+32/10+33/10+34/10+35/10）

=（2.5+26/10+2710+28/10+24910+30/10

+31/10+32/10+33/10+34/10+3.5），……，…；

……，……

關于上述初等數學起點最簡單最原始幼稚可笑的數值運算是否蘊涵著數值邏輯運算規律和深刻的數學內涵？單憑直覺無法回答，千百年來實無限理論和玄學無法理解與接受它、也不可能去探究，…，目前，只能實事求是，用事實說話，常言道，最簡單的最質樸的恰恰是最深奧的、最難以理解接受的，數學是被應驗的，我們將上述運用亞里士多德潛無限數學思想和辯證法指導下，在數論、集合論內涵條件下形成的普遍運算規律概括歸納為：

1、第1系列并未派生子集合：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，6/1=6，……，是特殊矛盾特殊規律、為特殊特別系列、特殊矛盾例外，務必將其排斥在外，如果不將其排斥在外、這系統同樣無法理解與接受，其實它就是分數整（整數分數）；

2、數值邏輯公理系統（從第2系列起均派生子集合）：

{[0～1]}1↓{[1～2]}3↓{[2～3]}5↓……，…（此結構式上下交錯對應莫散開）

{[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…

第1環節：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，

第2環節：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，

第3環節：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，

第4環節：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，

第5環節：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，

第6環節：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，

第7環節：7∑{[0～1]}=∑{[3～4]}，

第8環節：8∑{[0～1]}=∑{[3.5～4.5]}，

第9環節：9∑{[0～1]}=∑{[4～5]}，

第10環節：10∑{[0～1]}=∑{[4.5～5.5]}，

……，……

∑{[0～1]}意指0與1之間的基數之和，∑{[0.5～1.5]}意指0.5與1.5之間的基數之和，它們是集合族、有無窮個子集合或有無窮個數組，其他依次類推，很顯然，如果說{[0～1]}和{[0.5～1.5]}的基數是實無限，那么它的基數（有理數與無理數）就會一下子全部冒出來究竟具體有多少？無人具體知曉也無法具體知曉，自古至今一籌莫展，務必突破傳統數學思維理念的嚴重束縛，讓事實說話，符號↓：意指派生子集合，在有理數系統數值邏輯運算過程中，小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……從系統發展變化過程中產生分化出來，占據整數位置，充分地十足地體現其相對整性質（亦可理解為哲理整性質），即派生子集合，為奇數能被2相對整除提供科學依據，蘊涵著完整數值邏輯運算規律2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……，數論、集論、初等數學、自然辯證法四位一體、辯證統一，自然辯證法（現代哲學）以對立統一規律為切入點注入初等數學、數學基礎并為其指明前進方向，至此，需要引入數學新概念，相對整性質、小數相對整、等等概念：

相對整性質：其他普通小數的絕對值與小數0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的絕對值相比較更零散，換言之，小數0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的絕對值和其他普通小數的絕對值相比較整裝（在數值邏輯公理系統中），將這一特殊性質統稱為相對整性質，為什么會擁有相對整性質，因為1/2=0.5、1/2是最大分數單位、則0.5是最大小數單位，...，相對整性質為奇數能被2相對整除提供科學根據，只有在本數值邏輯公理系統中，才能夠發現相對整性質，否則無從談起，……。

3、數值邏輯公理系統派生子集合并非一目了然、需要詳細說明：

（1）、當選取1時，第一系列：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，……為分數整，并未派生子集合，是特殊矛盾，則其為特殊系列，特殊矛盾與普遍矛盾務必需要人為加以區分，否則就要導致邏輯悖論，因此，務必把第一系列排斥在公理系統之外，才是科學的、才是適宜的，…。

（2）、數值邏輯系統外部結構形式像“鎖鏈”，因此將其簡稱為連鎖形式，連鎖形式非常規則，一環扣一環、環環相扣、無窮無盡（例如）：

[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此結構式上下交錯對應莫散開）

{[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…

（3）、當系統子系列在偶數范疇內：在第2系列（例如：0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2，……）、第4系列、在第6系列、第8系列、第10系列、……均派生子集合——充分地十足地揭示著小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……擁有相對整性質，連鎖形式規則，非常直觀，具有典型代表意義。

（4）、當系統子系列在奇數范疇內：在第3系列（例如：0/3，1/3，2/3，3/3，4/3，5/3，6/3，……）、第5系列、第7系列、第9系列、……亦均派子集合（隱形的、非直觀的），因為小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……擁有相對整性質，所以紛紛跨躍（飛躍）出來，充當相對整子集，連鎖形式規則，十分顯然地揭示著小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……擁有相對整性質、自告奮勇、勢不可擋，數值邏輯對立統一規律預示著選擇公理，在奇數范疇內必有其它基數與其相當，例如第5系列、第2環節：

2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）

=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）

=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5）

=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）

很顯然，如果直接用

2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）來表達派生子集合，就是隱形的、非直觀的，單憑直覺觀察不出派生子集合，如果對（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）進行拆分子運算就能得到（必須指出、在公理系統中是運用規律直接觀察、歸納出來的）：

（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）

=[（2.5+1.5）/5+(3.5+1.5/5)+(4.5+1.5/5)+(5.5+1.5)/5+(6.5+1.5)/5]

=(2.5/5+3.5+/5+4.5/5)+(5.5)/5+6.5/5+(1.5*5)/5

=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）

=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5），第2環節體現0.5，1.5擁有相對整性質，其他奇數系列、偶數環節上都是如此,這是規律無需逐一驗算，因為0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……擁有相對整性質，所以自告奮勇、會紛紛跨躍出來，勢不可擋，…。

（5）、當系統子系列在10，100，1000，10000，……，范疇內，均派生子集合，不僅揭示著小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5……擁有相對整性質，而且在向縱深發展潛無限的過程中有太多太多的基數是超越無理數數值的有限形式、甚至與其相吻合、相當，形成有限不循環小數或潛無限不循環小數（例如31415926/10000000=3.1415926等等），具有十分重要的典型代表意義，在此基礎上提出有限不循環小數的概念、數學中客觀存在著有限不循環小數為什么不被提出？…。

（6）、很顯然，上述數值邏輯系統運算規律，除了第1系列（0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，6/1，……）例外，系統的子系列無論是在奇數系列還是在偶數系列范疇內均派生子集合，小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,……紛紛分化出來、均占據整數位置，揭示著其絕對值比其他普通小數絕對值相對整裝，充分地十足地體現其相對整性質（也可理解為哲理整性質），因此，構成相對整子集，譬如{[0.5～1.5]}、、{[1.5～2.5]}等等，存在著完整數值邏輯運算規律與深刻內涵，數值邏輯系統外部結構形式像連鎖，因此說系統連鎖結構形式規則，蘊涵著極其深刻內涵——數值邏輯對立統一規律，奇數與偶數相反相成、對立統一，為偶數能被2整除、奇數不能被2整除卻著實能被2相對整除提供科學依據，具有普遍意義，這是數學自然觀的重大認識問題，要做出正確選擇，很顯然，整數形成了廣義整數、數論形成了廣義數論、集合論形成了廣義集合論、真理形成了廣義數學真理，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……自告奮勇勢不可擋、紛紛分化出來擔負起“相對整數”的重任，數字簡單原理哲理卻深刻，同時自然辯證法以對立統一規律為切入點注入初等數學和純粹數學，…。

二、初等數學深刻內涵：

1、分數整：0/1=0，1/1=1，-1/1=-1，2/1=2，-2/1=-2，3/1=3，-3/1=-3，4/1=4，-4/1=-4，5/1=5，-5/1=-5，6/1=6，-6/1=-6，……盡管是分數形式，數值邏輯系統揭示著依然體現整數性質，因此將其統稱為分數整。

2、小數整：無限循環小數0.9˙=1，小數形式依然體現整數性質，將其簡稱為小數整。

3、素數偶：2既是一個素數又是一個偶數，將其簡稱為素數偶，具有唯一性，將奇素數3，5，7，11，13，17，19，......統稱為素數。

4、分數相對整：分數1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……既擁有分數性質又具備相對整性質，因此將其統稱為分數相對整，分數相對整擁有相互矛盾的雙重性質，其一是普通分數性質，其二是相對整性質——因為1/2是最大分數單位，其他普通分數不具備相對整性質——因為普通分數的分數單位均小于1/2，實際上，其他普通分數的分數部分均為分數單位，均小于1/2絕對值更零散，所以一次性徹底排除，以免造成思維混亂，務必需要說明，分數相對整與整數（分數整）是有差異的、是異中之同、差異中有共性，并不等同，既要看到差異又要看到共性、當然是指差異中的共性。

5、相對整性質：其他普通分數的絕對值和1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……的絕對值相比較更零散，換言之1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，……和其他普通分數相比較絕對值整裝（在數值邏輯公理系統中），把(分數相對整)相比較絕對值整裝性質統稱為相對整性質，為什么擁有相對整性質，因為1/2是最大分數單位，分數單位1/2﹥1/3﹥1/4﹥1/5﹥1/6，……，因為1/2=0.5，1/2是最大分數單位，則0.5是最大小數單位。

6、小數單位：關于分數和小數互相關聯著，看到分數要聯想到小數，分數單位1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，…對應下的小數就是小數單位，例如：1/2=0.5，1/3=0.333….，1/4=0.25，1/5=0.2，…，1/10=0.1等等，即0.5，0.333…，0.25，0.2，…，0.1等等就是小數單位，很顯然，1/2是最大分數單位，0.5是最大小數單位，1/2與0.5看似極其簡單的兩個數字卻是微小微妙的，自古至今，數學只把它們看成普通分數、普通小數，現在來看需要轉變思維理念，….。

7、小數相對整：小數0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......既擁有小數性質又具備相對整性質，將其統稱為小數相對整，小數相對整擁有相互矛盾的雙重性質，一是普通小數性質，二是相對整性質——因為0.5是最大小數單位，其他普通小數不具備相對整性質——因為普通小數的小數單位均小于0.5，一次性徹底排除，以免造成思維混亂，只接受小數相對整的小數性質是片面的，只接受小數相對整的相對整性質是片面的，需要說明，小數相對整與整數是有差異的、是異中之同、差異中有共性，并非等同，正整數的性質可以理解為絕對整，小數相對整顧名思義性質相對整，這就是二者的差異，同時絕對整與相對整又是異中之同、所謂的共性，…。

8、相對整性質：其他普通小數的絕對值和小數0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的絕對值相比較更零散，換言之，小數0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......和其他普通小數相比較絕對值整裝（在數值邏輯公理系統中），把（小數相對整）相比較絕對值整裝性質統稱為相對整性質，為什么會擁有相對整性質，因為0.5是最大小數單位，...，相對整性質為奇數能被2相對整除提供科學根據，只有在數值邏輯公理系統中，才能夠發現相對整性質，否則無從談起，務必引起高度重視，...。

9、廣義整數：將整數和分數相對整統稱為廣義整數，即本文將0，1/2，-1/2，1，-1，3/2，-3/2，2，-2，5/2，-5/2，3，-3，7/2，-7/2，……，…統稱為廣義整數；亦可以將整數和小數相對整統稱為廣義整數，即本文將0，0.5，-0.5，1，-1，1.5，-1.52，-2，2.5，-2.5，3，-3，3.5，-3.5，4，-4，4.5，-4.5，5，-5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，……，…統稱為廣義整數，蘊涵著絕對整與相對整的意義，...。

10、廣義（數學）真理：偶數能被2整除，奇數不能被2整除、卻能被2相對整除、潛無限等等內涵的數學真理統稱為廣義（數學）真理，要探索絕對值1+1=2蘊涵的基本原理、道理、哲理，哲學以對立統一規律為切入點注入初等數學、注入純粹數學，...。

11、狹義（數學）真理：偶數能被2整除、奇數不能被2整除，...，統稱為狹義（數學）真理，非常有必要把數學分為狹義真理和廣義真理，小學數學（算術）應為狹義（數學）真理，...。

12、實無限：簡言之，理解為經完成的無限，我們的前人將其稱之為實無限，...，如自然數的全體、實數全體是指實無限，實無限排斥潛無限，潛無限也排斥實無限，事實上互相排斥，實無限為高等數學、數理邏輯等等方面奠定基礎、實無限是被理想化的無限，只有如此理解方能合乎大道理，才有存在的理由、緣由，…。

13、潛無限：簡言之，理解為處于不斷發展變化中的無限，如像n→∞或n→0的極限過程那樣稱為潛無限，也可理解成未完成的無限、無窮無盡，數學潛無限與人文無限、哲學無限一脈相承、并不相悖，潛無限依然是初等數學的基礎，潛無限依然是廣泛意義上的真理、無處不在，承認接受實無限的大家風范不能排斥、丟掉了潛無限數學真理，否則沒有錯誤有失誤，因此，潛無限為初等數學數值邏輯奠定基礎，潛無限也排斥實無限，事實上互相排斥，...。

14、絕對值1+1=2蘊涵著的基本原理、道理、哲理（為什么1+1=2）：

本文回答既簡單又深奧：偶數能被2（絕對）整除，奇數不能被2（絕對）整除卻著實能被2相對整除（傳統意義的偶數能被2整除、奇數不能被2整除是指奇數與偶數的排斥性對立性，偶數能被2整除、奇數不能被2整除卻著實能被2相對整除是指奇數和偶數的異中之同、差異中共性、同一性），因此說，奇數與偶數相反相成對立統一，1+1=2是數學首要公理，或者說2是數學首要公理，1+1=2蘊涵著深刻的數值邏輯對立統一規律——蘊涵著哲學的對立統一規律，哲學（自然辯證法）以對立統一規律為切入點注入數學基礎、注入初等數學，哲學的基本原理大可為數學理論作指導，如果有誰再說哲學不能過問、關心數學矛盾和問題，那就站不住腳了，數學既要講邏輯又要講基本原理、道理、哲理，自然辯證法為其補充、彌補深刻內涵，...，是啊！它的確既簡單又深奧，它簡單的表面上看似是小學生的基本知識，其道理卻深奧地不可思議、不可理喻、它的“廬山”真面目就是如此、并非本文一派胡言，如此基本原理、道理、哲理并非人人都能夠理解與接受，更不是小學生階段能夠理解接受的數學知識，的確需要轉變數學思維理念，高度重視、重新認識，...。

15、有必要說明：因為哲理整性質、哲理整小數難以理解接受甚至不被理解與接受，本文將它稱之為相對整性質、小數相對整等等，換言之，本文相對整性質，亦可理解為哲理整性質，那么，相對整性質——哲理整性質、奇數能被2相對整除——奇數能被2哲理整除、分數相對整——哲理整分數、小數相對整——哲理整小數等等，內涵大同小異。

16、有限不循環小數：為了便于理解，簡言之，我們把無限不循環小數有限數字或者小數點右邊至少有兩位或兩位以上不循環數字的小數統稱為有限不循環小數，譬如小數：3.14，3.1415，3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，……等等就是有限不循環小數，有限不循環小數無窮無盡，有無限不循環小數必然存在著有限不循環小數，在數值邏輯中，非常容易發現它們，而且有限不循環小數與潛無限不循環小數擁有替代無理數數值的巨大意義與作用，有限小數中的小數再如此細致地劃分出有限不循環小數、有限循環小數、小數整、普通有限小數等等，才更切合實際，這的確是數學的一個重大認識問題，有限不循環小數可表達為分數形式，因此有限不循環小數是有理數，同時還是無理數的有限形式，因此可替代無理數數值（無理數的近似值），只談無限不循環小數（只談無理數），沒有涉及到有限不循環小數是不切實際的，因為它們客觀存在著，有限不循環小數盡管不是無理數卻是無理數的化身、擁有無理數的重要因素、成分，尤其是，它實質上真正的起著替代無理數數值巨大的數學實際意義與作用，它真正支撐著數學實無限、實數系的基礎，有限不循環小數的概念不被提出是初等數學的最大不足和缺陷，因為它有很高的應用價值，所以說初等數學和純粹數學沒有錯誤卻有失誤，…。

17、有限循環小數：為了便于理解，簡言之，我們把無限循環小數有限個循環節或者說小數點右邊至少有兩個或兩個以上數字循環節的小數統稱為有限循環小數，譬如：0.1616（2個循環節），0.161616（3個循環節），0.666（3個循環節），0.666666（6個循環節），0.787878（3個循環節），0.99999（5個循環節），等等就是有限循環小數，有限循環小數無窮無盡，有無限循環小數必然存在著有限循環小數，有限循環小數客擁有客觀存在性，它也可替代無限循環小的數值，這也是一個認識問題，有限循環小數可表達為分數形式，因此有限循環小數是有理數。

18、有理數：將廣義整數與分數統稱為有理數，廣義整數包含著整數、分數整、分數相對整，分數包含著分數整、分數相對整、普通分數，這是因為分數相對整擁有雙重性質、分數整擁有雙重身份所決定的；也可以將廣義整數與小數統稱為有理數，廣義整數包含著整數與小數相對整、小數包含著小數相對整與普通小數，因為小數相對整擁有雙重性質、一是相對整性質、二是普通小數性質。

19、有理數系統——有理數系：本文將有理數數值邏輯公理系統和深刻內涵統稱為初等數學有理數系統、簡稱為有理數系，有理數系是無限開放著的數值邏輯公理體系、永遠不會終極、永遠不會枯竭的數值邏輯公理體系，正如人文無限和哲學無限的內涵——無窮無盡，它們一脈相承，…。

有理數系并無什么缺憾，因為有理數系蘊涵著有限不循環小數（潛無限不循環小數），盡管有限不循環小數（潛無限不循環小數）不是無理數，它卻是無理數的化身、擁有無理數的重要因素和成分，它在數學中實際上真正起著無理數的意義和作用，敬請認真斟酌，這是數學的一個非常非常重大認識問題，無理數的實無限走得太遙遠了、有限不循環小數和潛無限不循環小數不被理性認識，這似乎才是初等數學、數學基礎的真實現狀與真實狀況，系統不包含無理數也可以、也是也，只要我們能夠構造出潛無限不循環小數與擁有所謂的無理數數值一樣的富有，不是有理數系有問題，而是人的認識出了大問題，尤其是先前率先認識數學的，…，本文也深知無理數擁有客觀存在性，客觀存在著，只是對其實無限的無理數數值有著不盡相同的看法，只是說關于無理數需要具體問題具體分析、具體對待、特別對待，將性質不同的兩類數學矛盾人為的加以區分，更合乎邏輯，…。

有理數系統是向縱深發展著的系統、無限開放，有限不循環小數也是向縱深發展變化著的，有限不循環小數形成潛無限不循環小數，按照實無限的數學自然觀，這一無限過程如果被理解為完成了，那么潛無限不循環小數與無理數、無理數數值相吻合，無可厚非，在數理邏輯中實無限擁有極大優越性、但實無限也有很大局限性，不能茍同、不能相同，不能投其所好，...，數值邏輯只會潛無限、潛無限更科學、不會實無限、實無限不能為數值邏輯奠定基礎，實無限一句話或者寥寥數字就把實數系、實無限集合完成了，實無限和實數系太籠統，當您若要具體展開實數系時，您會發現完全不是那么一碼事，一個具體的無理數數值都無法完整地構造出來，發現無理數已有兩千多年的歷史了，迄今為止，還沒有誰能夠構造出一個實無限的完整無理數數值，這是事實，扯別的沒有意義，字母符號不是無理數、實數系的全部意義、只是一個代號，實無限是理想化的無限，因此說，實無限還是將來十分遙遠的可能性，今天還看不到現實性，實無限只能夠給高等數學、數理邏輯等等奠定基礎，因為它們不需要具體展開實無限、實數系，一句話、幾筆就能帶過的數學矛盾，換言之，關于無限不需要具體展開的數學矛盾和數學領域實無限大可為其奠定基礎、需要具體展開的數學矛盾潛無限為其奠定基礎，...。

20、實數：把有理數和無理數統稱為實數，是可以理解接受的，無理數客觀存在著、擁有客觀存在性，如果把實數看作實數系、請您不要說的那么籠統、那種方式也只是承認其客觀存在性另一種說法，大家風范，數學迫切需要您的實無限、實數系的具體系統，而不是籠統的，敬請貢獻出來，...。

21、關于無理數：無理數客觀存在，擁有客觀存在性，由于無理數沒有公度比，與有理數的規律不一致，無理數排斥有理數、實數系中的無理數把有理數系的運算規律都被排斥掉了，有理數排斥無理數，實數系太籠統太茫然，有理數與無理數不能在一個公理系統中共容，務必把無理數排斥在系統之外，關于無理數只能對無理數、無理數數值具體問題具體分析、具體問題具體對待、特別對待，如果您能夠做到了這一點——對無理數具體問題具體分析具體對待，那么它的數值是潛無限還是實無限本文不再干涉。

關于無理數需要嚴格界定，一是無公度比，二是無限不循環小數、而且其數值（絕對值）無窮無盡、永遠不會窮盡、永遠不會終結，以防有機可乘、有懈可擊，實無限？潛無限？問題就出在界定不嚴格，數學邏輯十分嚴密，有些十分重要、十分關鍵的概念界定很不嚴格，有空可入，關于數學中存在的一些問題無需爭論誰是誰非，而是一部分數學概念需要重新嚴格界定一下，尤其是無理數，…。

22、自然數與正整數、單位“1”與自然“1”：

絕對值1+1=2是科學抽象的，1+1=2和正整數是相對于廣義單位“1”而言，單位“1”的含量絕對統一，1+1=2并非自然“1”的意義，事實上自然數與正整數既有差異又有聯系，自然數是相對于自然“1”而言，正整數是相對于廣義單位“1”而言，正整數把自然數提升到了抽象的科學高度，由于自然數、時常因單位“1”不統一、“含金量”不一致，如果對自然數直接進行運算是有很大的局限性——有時正確、有時有偏差，換言之不是任何條件下都正確，我們人類是聰明智慧的，有了數學的廣義單位“1”、正整數、整數，消除了自然數的局限性，…。

1+1=2是數學公理并無問題、絕對無問題、只是需要探尋它的公理系統，為什么1+1=2？不僅知其然還要知其所以然，而且也涵蓋著數論的“1+1”，…，然而，絕對值1+1=2與數論的“1+1”既有差異又有聯系，如果把素數2看作偶素數，那么數論的“1+1”是指大于等于6的偶數可表示為兩個素數之和——哥德巴赫猜想，本文素數就是指奇素數3，5，7，11，13，17，19，23，……，…，數論的“1+1”它是絕對值的特殊公理，數論的“1+1”與絕對值的1+1=2在數值邏輯公理系統中一脈相承，在絕對值1+1=2數值邏輯公理系統中蘊涵著數論的“1+1”，數論的“1+1”是數值邏輯公理系統偶數環節上的特殊公理，換言之、數論的“1+1”不僅是而且必須首先是絕對值的數學公理（例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11，16=5+11，18=5+13，……，無窮無盡）擁有客觀存在性，既不肯定也不否定其真實性、模棱兩可、這背離了數學（邏輯）排中律，…。

23、普通有限小數、普通分數、普通小數：

a、普通有限小數：不包括小數整、有限不循環小數、有限循環小數在內的小數系列簡稱為普通有限小數，例如2.6，6.6，7.8，6.8，9.9等等。

b、普通分數：不包括分數整、分數相對整在內的分數，…。

c、普通小數：不包含小數相對整在內的小數，…。

24、雙素數：除了能被1和自身整除外，還僅能被2和一個素數互為整除的（正）偶數，我們把具有這樣性質的偶數稱之為雙素數，例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示為兩個等值素數之和，即6=3+3，10=5+5，14=7+7，22=11+11，26=13+13，34=17+17，38=19+19，……，雙素數星星點點揭示著哥德巴赫猜想擁有客觀存在性。

25、關于哥德巴赫猜想、理論如何認識？在數值邏輯公理系統中不可能回避的數學矛盾：

{[0～1]}1↓{[1～2]}3↓{[2～3]}5↓……，…（此結構式上下交錯對應不能散開）

｛[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…

第1環節：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，

第2環節：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，

第3環節：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，

第4環節：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，

第5環節：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，

第6環節：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，

……，……

∑{[0～1]}意指0與1之間的基數之和，它是集合族、有無窮個子集合或有無窮個數組，其他依次類推，符號↓：意指派生子集合，很顯然，在系統數值邏輯運算過程中，小數0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……從系統發展變化過程中產生分化出來，占據整數位置，充分體現其相對整性質，即派生子集合，為奇數能被2相對整除提供科學依據，蘊涵著完整的數值運算規律，數論、集論、算術三位一體、辯證統一，揭示著2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…均為數學公理，…，如果將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…展開為數值邏輯公理的另一種表達形式：

第2環節：1+1=2，

第3環節：1+2=3、2+1=3，

第4環節：1+3=4、2+2=4、3+1=4，

第5環節：1+4=5、2+3=5、3+2=5、4+1=5，

第6環節：1+5=6、2+4=6、（3+3）！=6、4+2=6、5+1=6，

第7環節：1+6=7、2+5=7、3+4=7、4+3=7、5+2=7、6+1=7，

第8環節：1+7=8、2+6=8、[3+5]=8、4+4=8、5+3=8、6+2=8、7+1=8，

第9環節：1+8=9、2+7=9、3+6=3+（3+3）！=9、4+5=9、5+4=9、6+3=9、…、8+1=9，

第10環節：1+9=10、2+8=10、[3+7]=10、4+6=10、（5+5）！=10、6+4=10、7+3=10、8+2=10、9+1=10，

第11環節：1+10=11、2+9=11、3+8=11、4+7=11、5+6=5+（3+3）！=11、…、7++4=11、…，

第12環節：1+11=12、2+10=12、3+9=12、4+8=12、[5+7]=12、6+6=12、…、8+4=12、…，

第13環節：1+12=13、2+11=13、3+10=3+（5+5）！=13、…、6+7=（3+3）！+7=13、…，

第14環節：1+13=14、2+12=14、［3+11］=14、4+10=14、5+9=14、6+8=14、（7+7）！=14、…，

第15環節：1+14=15、2+13=15、3+12=15、4+11=15、5+10=5+（5+5）！=15、6+9=15、7+8=15、…，

第16環節：1+15=16、2+14=16、［3+13］=16、4+12=16、［5+11］=16、6+10=16、7+9=16、8+8=16、…，

……，…

在1+k=n（k=1，2，3，4，5，6，……，當k=5，6，7，8，9，…，n=1,2,3,4,5,6,…）向k+1=n的轉換過程中總是蘊涵著哥德巴赫猜想，運算規律不僅具有絕對值意義，也蘊涵著經典數論的重大意義，我們無法否定它的客觀存在性，絕對值的1+1=2與數論的“1+1”二者相輔相成，一脈相承，一定要在數值邏輯公理系統中辯證地認識、正確地看待它，初等數學不可能回避此問題，…。