數學概念形成探究論文

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數學概念的教學一般都要經歷概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的應用（包括概念所涉及的數學思想方法的運用）等階段。在數學概念的教學中，很多教師往往不注重概念的形成過程，只重視概念的運用，忽視數學知識的產生與形成的重要階段，強行地將一些新的數學概念灌輸給學生，無從體現學生的主體性，將嚴重影響學生形成正確的數學觀，阻礙學生的能力發展。造成這種現象的原因，一方面是由于教師的教學觀念比較陳舊，在教學中不重視學生的思維活動,不能使學生的認知過程成為一個再創造的過程,實現發現、理解、創造與應用；另一方面是許多教師不知如何創設數學概念形成的問題情景，循序漸進地引導學生開展探索活動。在數學概念教學中，如何設計有效的問題情景，充分調動學生參與課堂教學活動，使學生經歷觀察、分析、類比、猜想、歸納、抽象、概括、推廣等思維活動，探究規律，得出新的數學概念。從而使學生體驗到數學概念的產生過程，提高他們對數學的認識水平，掌握數學思想方法，培養數學能力，這是數學概念教學要研究的首要問題。

一、創設數學概念形成的問題情景的途徑

數學概念有些是由生產、生活實際問題中抽象出來的，有些是由數學自身的發展而產生的，許多數學概念源于生活實際，但又依賴已有的數學概念而產生。根據數學概念產生的方式及數學思維的一般方法，結合學生的認知特點，可以用下列幾種方法來創設數學概念形成的問題情景。

（一）回顧已有相似概念，創設類比發現的問題情景

中學數學中有許多概念具有相似的屬性，對于這些概念的教學，教師可先引導學生研究已學過的概念屬性，然后創設類比發現的問題情景，引導學生去發現，嘗試給新概念下定義，這樣新的概念容易在原有的認知結構中得以同化與構建。

例1異面直線的距離的教學

（1）展示概念背景：向學生指出：刻劃兩條異面直線的相對位置的一個幾何量——異面直線所成的角，這只能反映兩異面直線的傾斜程度，若要刻劃其遠近程度，需要用另一個量——異面直線之間的距離。

（2）創設類比發現的問題情景：先引導學生回顧一下過去學過的有關距離的概念（點與點間的距離、點到直線的距離、平行線之間的距離），并概括出它們的共同點：各種距離概念都歸結為點與點間的距離；每種距離都是確定的而且是最小的。

（3）啟迪發現階段：指出定義兩異面直線的距離也必須遵循上述原則，然后引導學生討論：異面直線a、b上哪兩點之間的距離最小？為什么？

進一步誘導：如右圖，過直線a上一點B作

AB⊥直線b，垂足為點A，則線段AB的長為異面直線a,b間的距離,對嗎?因為過A作AC⊥直線a，垂足為C，在RTΔABC中有AB>AC,即AB不具有最小性。再過C作CD⊥直線b，如此下去…，線段只垂直于a、b中的一條時,總是某直角三角形的斜邊,不可能是a、b上任兩點間距離的最小者，那么，異面直線a、b上任兩點間距離的最小者到底應該是哪條線段的長呢？學生會發現：可能是與異面直線a、b都垂直相交的線段。

（4）表述論證階段：最后引導學生發現：異面直線a、b的公垂線段MN的長度具有最小性,又公垂線是唯一的，所以，可以把線段MN定義為異面直線a,b之間的距離。

以上通過引導學生研究已有“距離”概念的本質特點，即產生新的概念的“生長點”，以類比方法獲得異面直線距離的概念，學生覺得這一概念是已有距離概念的一種自然發展，不感到別扭。這樣的概念還有很多，如復數的模與實數的絕對值類比、二次方程與一次方程的類比、空間的二面角與平面的角類比等等。

這類數學概念形成的問題情景創設一定要抓住新舊概念的相似點，為新的數學概念的形成提供必要的“認知基礎”，通過與熟悉的概念類比（類比的形式多樣，如平面與空間的類比、高維與低維的類比、有限與無限的類比，還有方法類比、結構類比、形式類比等等），可使學生更好地認識、理解、掌握新的數學概念。當然要注意類比得出的結論不一定正確，應引導學生修正錯誤的類比設想，直到得出正確結果。

（二）由已有相關概念的比較，創設歸納發現的問題情景

有些數學概念是已有概念的擴充，若能揭示概念的擴充規律，便可以水到渠成地引入新概念。

例2復數概念的教學

先回顧已經歷過的幾次數集擴充的事實：

正整數自然數非負有理數有理數實數，然后教師提出以下問題:

（1）上述數集擴充的原因及其規律如何？

實際問題的需要使得在已有的數集內有些運算無法進行，數集的擴充過程體現了如下規律：

①每次擴充都增加規定了新元素；

②在原數集內成立的運算規律，在數集擴充后的更大范圍內仍然成立；

③擴充后的新數集里能解決原數集不能解決的問題。

有了上述準備后，教師提出問題：負數不能開平方的事實說明實數集不夠完善，因而提出將實數集擴充為一個更為完整的數集的必要性。那么，怎樣解決這個問題呢？

（2）借鑒上述規律，為了擴充實數集，引入新元素i，并作出兩條規定。（略）

這樣學生對i的引入不會感到疑惑，對復數集概念的建立也不會覺得突然，使學生的思維很自然地步入知識發生和形成的軌道中，為概念的理解和進一步研究奠定基礎。

這類數學概念形成的問題情景創設的關鍵是揭示出相關概念的擴充發展的背景及其規律，從而引發新的數學概念的產生。

（三）聯想相關數學概念，創設引發猜想的問題情景

許多數學概念間存在著一定的聯系，教師若能將新舊概念間的聯系點設計成問題情景，引導學生建立起新舊概念間的聯系，便可以使學生牢固地掌握新的概念。

例3異面直線所成角的概念教學

（1）展示概念背景：教師與學生一起以熟悉的正方體為例，請學生觀察圖中有幾對異面直線？接著提問：從位置關系看，同為異面直線，但它們的相對位置，是否就沒有區別？教師緊接著說：既然有區別，說明僅用“異面”來描述異面直線間的相對位置顯然是不夠的。在生產實際與數學問題中，有時還需要進一步精確化，這就提出了一個新任務：怎樣刻劃異面直線間的這種相對位置，或者說，引進一些什么數量來刻劃這種相對位置？

(2)情境設計階段：我們知道平面幾何中用“距離”來刻劃兩平行直線間的相對位置，用“角”來刻劃兩相交直線間的相對位置，那么用什么來刻劃兩異面直線的相對位置呢？我們還知道兩異面直線不相交，但它們又確實存在傾斜程度不同，這就需要我們找到一個角，用它的大小來度量異面直線的相對傾斜程度。為了解決這個問題，我們研究一道題：一張紙上畫有兩條能相交的直線a、b（但交點在紙外）．現給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長紙上的線段，問如何能量出a、b所成的角的大小？

(3)猜想發現階段：解決上述問題的方法是過一點分別作a,b的平行線，該方法能否遷移到兩異面直線的傾斜程度呢？經學生研討后能粗略地得出異面直線的傾斜程度可轉化為平面內兩條相交直線的角（即過一點分別作a、b的平行線，這兩條平行線所成的角）

(4)表述論證階段：教師提問，這角（或平行線）一定可以作出來嗎？角的大小與作法有什么關系？（以上即是存在性和確定性問題）通過解決以上兩個問題得到：兩異面直線所成角的范圍規定在（0，內，那么它的大小，由異面直線本身決定，而與點O（一線的平行線與另一線的平行線的交點）的選取無關，點O可任選．一般總是將點O選在特殊位置．至此，兩異面直線所成角的概念完全建立了，在這個過程中滲透了把空間問題轉化為平面問題這一化歸的數學思想方法。

這類數學概念形成的問題情景創設一定要抓住新、舊數學概念間的本質屬性，為新概念的產生創設適當的固著點，使其孕育新的數學概念的形成。（四）提供感性材料,創設抽象與概括的問題情景

有些數學概念源于現實生活，是從生產、生活實際問題中抽象出來的，對于這些概念的教學要通過一些感性材料，創設抽象與概括的情景，引導學生提煉數學概念的本質屬性。

例4數軸概念的教學

教師先出示下列問題：小張家向東走20米是書店，向西走30米是少年宮。若規定向東走為正，向西走為負，那么，小張從家出發，走到書店應記作什么？走到少年宮記作什么？溫度計顯示零上20C，零下3C，你如何用有理數表示。

教師接著要求學生將上述兩個問題分別用簡單形象的圖示方法來描述它們，并進一步引導學生提煉出它們的共同屬性：

（1）能用圖線表示事物的數量特征（可用同一直線上的線段來刻劃）（2）度量的起點（0C和小張家）（3）度量的單位（溫度計每格表示1C）（4）有表示相反意義的方向（向東為正，向西為負；零上為正，零下為負）

這樣就啟發學生用直線上的點表示數，對于“表示相反意義的方向”用箭頭“”表示正方向，從而引進“數軸”的概念。這樣做符合學生的認識規律，給學生留下深刻持久的印象，同時也有助于激發學生的學習興趣，促使他們積極參與教學活動，有利于學生思維能力的培養和素質的提高。

這類數學概念形成的問題情景創設一定要遵循認識規律，從感性到理性，從具體到抽象，通過學生熟悉的實際例子，恰當地設計一些問題，讓學生經過比較、分類、抽象等思維活動，從中找出一類事物的本質屬性，最后通過概括得出新的數學概念。

（五）通過學生實驗，創設觀察、發現的問題情景

有些數學概念可以通過引導學生從自己的親自實驗或通過現代教育技術手段演示及自己操作（如幾何畫板提供了很好的工具）去領悟數學概念的形成，讓學生在動手操作、探索反思中掌握數學概念。

例5橢圓概念的教學

可分下列幾個步驟進行：（1）實驗獲得感性認識（要求學生用事先準備的兩個小圖釘和一長度為定長的細線，將細線的兩端固定，用鉛筆把細線拉緊，使筆尖在紙上慢慢移動，畫得圖形為橢圓）（2）提出問題，思考討論。橢圓上的點有何特征？當細線的長等于兩定點之間的距離時，其軌跡是什么？當細線的長小于兩定點之間的距離時，其軌跡是什么？你能給橢圓下一個定義嗎？（3）揭示本質，給出定義。象這樣，學生經歷了實驗、討論后，對橢圓的定義的實質會掌握得很好，不會出現忽略橢圓定義中的定長應大于兩定點之間的距離的錯誤。

這類數學概念的形成一定要學生動手操作實驗，仔細觀察，并能根據需要適當變換角度來抓住問題的特征以解決問題。培養學生敏銳的觀察力是解決這類問題的關鍵。除了真實的實驗外，還可以充分利用現代教育技術設計一些仿真實驗，實驗的設計不能只是作為教師來演示的一種工具，而是要能由學生可以根據自己的思路進行動手操作的學具，讓學生通過實際操作學會觀察、學會發現！

以上列舉的幾種方法不是獨立的，而是相互聯系的，有些數學概念的產生與形成過程需要綜合運用多種方法才能創設出利于學生發現的問題情景。

二、數學概念形成階段教學應注意的問題

在創設問題情景時，還應創設師生共同研究問題的良好氛圍。教師要積極鼓勵學生獨立提出問題、獨立分析、解決問題，還要鼓勵學生之間互相研討問題，大膽向教師提問題或提出創見性的觀點，努力營造一種師生之間平等共同研討、分析解決問題的民主氣氛，形成師生間和諧良好的人際關系，使課堂教學充滿活力。在教學中要注意以下問題：

（一）注意問題的呈示方式

有了合適的問題情景，還必須注意問題的呈示方式。我們認為：問題的呈示要以學生主體的充分發揮為前提，重視知識的發現和探索過程，重視學生的內心體驗。通過問題的呈示能使學生充分地展開思維活動（包括動手、動腦），教師應留給學生一定的思考時間和空間，不要急于將答案告訴學生，應把發現問題的機會，大智若愚地讓給學生，讓學生的思維得到充分的暴露，教師根據學生出現的一些問題，有針對性地組織討論、辨析，并在關鍵處予以點撥，真正使學生體驗到新的數學概念的形成過程。

（二）教學形式要多樣化

課堂教學從本質上說是一種“溝通”與“合作”的活動，是教師主導與學生主體相互作用以實現學生有意義學習的過程，要使這個過程順利進行，必須充分發揮師生雙方的積極性和主動性。為了充分調動學生的積極性，教學形式應盡可能多樣化。教學不能只是教師的講授，還應包括學生的獨立自主探究，集體研究，小組討論或先學生獨立研究再相互交流，或帶著問題自學等多種方式。這樣有利于激發學生的學習積極性。至于如何確定教學形式，這要考慮所研究問題的難易程度及學生的知識和思維水平。一般來說，要盡可能讓學生參與數學活動，只要學生有能力通過活動解決的問題，就應該讓學生獨立完成。對有一定難度的問題，可先讓學生獨立研究，再組織小組交流（教師參與小組研究，并在關鍵處作適當點撥），最后師生一起探索得出結論。

（三）滲透數學思想方法

數學概念是思維的細胞，是濃縮的知識點，是感性認識飛躍到理性認識的結果，而飛躍的實現要依據數學思想方法，經過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工而成。因此教師應注意將在解決問題的過程中所涉及的數學思想方法顯化，對解決問題的思維策略進行提煉，讓學生學會思維，提高自我探索、發現創造的能力。如例5中學生根據操作過程類比圓的概念產生這樣的定義：平面內到兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡叫橢圓。怎樣使學生意識到這一定義不完備呢？如何讓學生完善這一定義呢？可讓學生將兩個定點由近到遠地多畫些橢圓，當學生將此操作進行至極限（即細線的長等于兩定點之間的距離時）時發現畫出的是一條線段。這樣的過程能夠使學生獨立地發現和完善橢圓的定義。這種不斷實驗、觀察、進而得到發現的“科研”方法要讓學生通過學習逐步掌握。學生掌握這些方法將受益終身！