數學解題活動教學研究論文

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摘要：本文通過一個數學問題的解題過程，探索解題中滲透的數學思維與數學方法，并概括了數學解題教學應達到的目標，力求能夠指導數學解題的教學。

關鍵詞：數學解題；邏輯思維；非邏輯思維；數學思維

學數學就要解數學題，數學解題學習對學生鞏固知識、培養素質、發展能力和促進個性心理發展都有及其重要的作用和意義，因此數學教學離不開數學解題的教學，數學解題過程中存在著三種思維活動：數學家的思維活動、數學教師的思維活動、學生自己的思維活動。數學解題教學就是教學生學習數學家的思維活動，并逐步使其思維結構與數學家的相似，學會數學的思維。

一、問題的提出

數學解題活動主要是利用認知結構(知識結構和思維結構)對抽象的形式化思想材料進行加工的過程，是數學符號及數學命題在人的大腦里的內部操作過程，也就是一種思維活動。這就必然導致數學解題教學是一個讓學生體驗數學思維的過程。首先看一例題：

例1：根據下面數列找出它的規律

11，31，41，61，71，101，131，….

答案：末位數為1的素數

然而本題給20名數學系大四的學生15分鐘的思考時間，20人竟無一人能回答正確。他們中間的同學試圖從數字之和去考慮問題，比如1+1=2，3+1=4，4+1=5，6+1=7，這樣可以出現131、151、161(錯)、181…。行不通：而后又考慮3+1=4，4+3-1=6，6+4-3=7，7+6-4=9，9+7-6=10，10+9-7=11，11+10-9=12，12+11-10=13這樣得出除末位數外的前面的數字，出現了41、61、71、91(錯)、101、111(錯)、121(錯)、131、…。之所以沒有答案筆者認為他們的思維方向不對。課后的追訪驗證了我的答案。

教師：這些數有什么的特點?

學生：個位數都是1

教師：還有什么特點?

學生：憑感覺認為后面的數是151、181，再往后就不知道了，看不到它們的規律。

教師：再從另一個角度考慮，比如素數、和數方面想想?

學生：呵!它們都是素數。

教師；這樣你可以說出答案了吧。

學生：(想…)還是不行，還是找不到它的通項公式。

教師：答案是末位數為1的素數。

學生：就是這樣的答案嗎?不是讓找它的通項公式嗎?我考慮的太多了，我們都認為是讓找通項公式。

可以看到學生認為這道數列的題目是讓找通項公式，這與他們在高中數學學習中作過大量這樣的題目有關，以前的思維定勢讓他們認為應該有一個通項公式來表達這個規律，然而本題卻沒有通項公式。

從上面例題可以看出，在解決問題時往往從特殊的簡單情形開始，給人一種返璞歸真的感覺，但在解題中必須明確，返璞歸真的目的不是為了找出幾個簡單情形的解法，而是為了通過簡單情形的解法，悟出規律，抓住題魂，所謂的“返璞歸真不為玉，意在靈性通題魂”，體現了“以退為進”的角色模式。但是，邏輯思維能力是一個需要畢生精力不斷苦練的功夫，功夫不到就可能跌入新的誤區，任何人跌入誤區的原因都是未能把握住這條邏輯鏈——具體問題具體分析，這是研究一切問題的靈魂。如上面的例題一樣，遇到數列找規律的問題就不能想當然的認為找通項公式。

二、數學解題教學的幾點思考與建議

學習數學必須學會解題，我國是解題的王國，學生解題的基本功非常好，但相當部分學生的功夫是通過“解題類型+方法”機械訓練而來的，忽視了解題中數學思維與方法的學習，造成出現上面的種種弊端。因此如何應用數學思維與數學方法論指導解題是當前一個非常關鍵的問題。

(一)更新解題觀念

什么是解題，不同的人有不同的觀念，按現代教學論與心理學，可以這么說，數學解題是在數學思維與方法指導下，有目的地運用數學基礎知識和基本技能分析與解決數學問題的過程。G.Polya在《怎樣解題》一書一開始，把解題過程歸結為四個階段：(1)弄清問題；(2)制定計劃；(3)實現計劃：(4)回顧；另外，在《數學發現》中，波利亞又從思維活動的形式這一角度對此作出了更為明確的描述：他指出解題過程是由以下的思維活動所組成的：集中目標，估計前景，對途經的尋找，對更有希望局面的尋找，對有關知識的尋找，重新估計形式。他認為解題是人類最富有特征的一種活動，是學生學習數學的中心環節，是一種實踐性技能，是發展學生思維能力、培養良好心理品種的重要手段。我們應從“過程、環節、技能、手段”角度去理解數學解題的概念，數學解題教學是用通過典型數學題的學習，去探究數學問題解決的基本規律，學會象數學家那樣“數學的思維”，因此數學解題的教學目的不僅是提高學生的解題能力，深化鞏固所學的知識，而且應是掌握其思維與方法、全面提高數學素養。

(二)分析解題過程

G.Polya在《怎樣解題》中，宏觀地把解題過程概括為四個階段：(1)弄清問題；(2)制定計劃；(3)實現計劃；(4)回顧。從而體現出模式識別、聯系轉化、特殊化與一般化、歸納、類比等思維策略的指導。就解題而言，最受重視的是制定解題計劃，然而就學習解題而言，最重要的是理解題意階段和解題回顧階段，以“解”作為出發點，注重的是解題的結果，以“學解”作為出發點。注重的是解題的過程。

(1)弄清問題，明確目標——解題的起點。有位數學家說善于解題的人用一半時間來理解題意，只用一半時間完成解答。我們習慣上說的審題，即弄清問題的已知是什么?未知是什么?條件是什么?關鍵是學習分析隱含條件的能力，化簡已知和未知的能力，達到對問題的深層次理解，利用解題認知結構中適當的解題知識塊，識別出問題的類型。

(2)探索思路，制定計劃——解題的關鍵。在這個過程中要實現一系列的轉化：或是利用變換問題思維模式、分解與組合的思維模式、構造解題思維模式、整體化思維模式把未知的、把比較困難的問題轉化為已知的、較容易的問題以求得解決，或是通過其他問題的研究來獲得材料上或方法上的幫助，也就是要利用你的知識結構，文化修養緊扣數學有關基礎知識與基本技能認真思考，尋找已知和未知的種種聯系，并結合應用邏輯思維、非邏輯思維、數學審美等思維與方法。構思解決當前問題的步驟，探索解決問題的各種方法。對于比較復雜的問題，一時不得解決，還可以進行大膽的猜想，由一般想到特殊，特殊想到一般?？傊床ɡ麃喺Z“我們通過動員和組織、分離和結合、辨認和回憶題中的各種元素以及重組和充實我們的構思這一系列過程的連續進行，來預見問題的解；或解的某些特征：或部分答案的具體實現途徑?！?/p>

(3)實現計劃——解題的表述。要嚴格推證與計算或按思路具體寫出每一步驟，并且要用數學語言與符號嚴謹表達，做到敘述正確、合理、嚴密、簡捷和清楚。

(4)回顧——解題后的反思。要嚴格檢查，并判斷解題正確與否，同時總結解題策略經驗、提高解題技能，研究是否能夠推廣，作出各種可能的延伸。

如：n推廣到n(當然后者的證明需要用到數學歸納法、比較分析法等方法。)

再如：求和并證明：我們不僅要用分數求和的形式解決問題，還要學會用數學家對模式的尋找：歸納法來解決問題。而對于問題：設a，b＞0求lim(a+b)，我們即要用極限的方法解決又要嘗試數學家的特殊化方法。

注意在解題后的回顧這個過程中，我們不僅要回顧有關的知識、解題方法以及理解題意的過程，而且更要反思：一開始是怎樣探索的，走過那些彎路，出現過那些錯誤，為什么會走這些彎路、會產生這些錯誤等等。古人云“_T欲善其事，必先利其器?！苯忸}回顧就是磨利解題武器的過程，它所起到的舉一反三的作用，勝過做十道題，在具體教學時，不妨借助“時間等待”理論的思想，留出充分的時間讓學生把解題回顧完成。

(三)學會數學思考，力爭揭示發現和發明的方法

數學解題學習主要是有意義的發現學習，因此建立良好的解題認知結構至關重要，而解題認知結構的建立和改造有三大環節：知識網絡建構、解題實踐活動和策略經驗積累，其中策略經驗的積累最為重要，并且這一環節主要在“解題同顧”的過程中獲得。所以說解題教學，并不是去幫助學生尋找萬能的解題方法，而是力圖揭示發現和發明的方法和規律。盡管萬能的解題方法不存在，但解題中存在著各種各樣的規則，在教學過程中我們應對這些思維的規則進行明確地描述、從而實現由對合理方法的天才的、不自覺的應用向有意識的自覺的應用的轉化，提高學生解題的元認知能力。因此我們要教會學生學習思考，不但要學會有目的的思考，而且學著了解數學的非形式思維過程，因為數學思維所涉及的不僅有公理、定理、定義以及嚴格的證明，而且還有許多的其他方面，象推廣、歸納、類推以及從一個具體情況中辨認或者說抽取出某個數學概念等。我們應讓學生通過解題實踐掌握越來越多的解題模式，積累越來越多的解題策略經驗、問題策略經驗以及方法和技巧性經驗，發現通常在做什么和應該去作什么之間的差別，懂得如何思考問題和解決問題，如何猜想與預測問題的答案。