股票投資優化模型建設論文

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【摘要】本文以馬柯維茨的均值方差模型為主要的理論基礎，根據投資者對收益率和風險的不同偏好，建立了三種股票投資優化模型，供投資者投資時參考，并且通過數學軟件Matlab6.5進行實證研究，其結果可望為投資實踐提供某種程度的科學依據。

【關鍵詞】數學建模收益率風險優化

一、引言

我國證券市場經歷了漫長的“熊市”后，終于迎來了令投資者盼望已久的大“牛市”。作為一個成熟的投資者，應該時刻牢記一句話：“股市有風險，入市需謹慎”。證券投資的風險是普遍存在的，尤其是大盤經過長時間的大漲后，系統風險越來越大。目前股市處于動蕩中，因此投資者對風險的控制是必要的。投資者必須確保在獲得一定的預期收益時，使得風險最小或者在一定風險水平下獲得收益最大。為了達到這種目標，并創造出更多的可供選擇的投資機會，進行證券投資的組合優化無疑非常必要。

二、模型假設

1、對風險評價的兩個指標是投資收益率均值?滋和收益率的方差?滓2。

2、投資者都遵守主宰的原則。即在同一的風險水平下，希望得到的收益越高越好；而在獲得一定收益的水平下，希望風險越小越好。

3、未考慮投資比率系數為負的問題。由于負的投資比例意味著賣空相應的證券，而賣空行為在我國現在是很難實現的，因此考慮不允許賣空的情況。

4、證券市場是有效的。即市場中每種證券的風險和收益的變動及其產生的原因都是人所共知的。

三、符號說明

n：證券的投資個數；X=（x1，x2，…，xn）T：為n種證券的投資比例向量；?滓2：證券投資組合的方差；?贅=（?滓ij）n×n：為n種證券收益率協方差陣；?滋=（?滋1，?滋2，…，?滋n）T：n種證券收益率均值向量；en：元素全為1的n維向量；?滋0：投資者的預期收益；R：一定的風險水平。

四、模型的建立

1、約束收益，使風險最小的問題

這里考慮的問題是在得到一定的回報的前提下使得風險最小化，因此模型的目標函數是使得風險?滓2最小，約束條件是得到一定的收益?滋0。模型如下：

Min?滓2=XT?贅X（1）

五、模型的求解

由于模型（1）的目標函數是個二次函數，約束條件是線性的，因此是一個二次規劃問題，對它的求解有很多種方法，在這里采用拉格朗日方法求解。

實際應用中手工求解相應的參數非常困難，甚至不可能，一般通過在Matlab6.5中編寫一個程序來求出最優的解（當然也可用別的軟件求解）。

由于（2）的約束條件是非線性的，因此（2）是一個非線性的規劃問題，它的解法一般都是用迭代算法，迭代算法的基本思想如下。

六、實例分析

假設市場上有5種證券（或股票）可供投資，并知道其上一年的月收益率（％）如表1。

從表1中可以得出5種股票的月平均收益率?滋=（10.0，7.3，13.0，8.0，14.0）T以及收益率的協方差陣

1、把數據帶入模型（1）求解。在Matlab6.5中編寫程序進行計算得出如下結果（程序從略）：

這結果說明，若投資者希望獲得10%的收益，那么各股票的投資比例是：股票1∶股票2∶股票3∶股票4∶股票5＝0.8095∶0∶0.0276∶0.1224∶0.0405。即投資者應該把80.95％的資金投入股票1，2.76％投入股票3，12.24％投入股票4，4.05％投入股票5，股票2不投入，而這時的系統風險為1.334。

2、把數據帶入模型（2）求解。這里也在Matlab6.5中編寫程序進行計算得出如下結果（程序從略）：

R=1.334

X=（0.2121，0.5083，0，0.2796，0）T

?滋’=7.9376

結果說明，若投資者希望系統風險為1.334，那么各股票的投資比例是：股票1∶股票2∶股票3∶股票4∶股票5＝0.2121∶0.5083∶0∶0.2796∶0。即投資者應該把21.21％的資金投入股票1，50.83％投入股票2，27.96％投入股票4，股票3、股票5不投入，該投資者獲得的收益是7.9376％。