微積分案例教學(xué)策略探討

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摘要：高等數(shù)學(xué)是高等職業(yè)教育必修的基礎(chǔ)課，其理論基礎(chǔ)和思想方法不僅為專業(yè)課學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ)，還是技能發(fā)展的支撐工具。高等數(shù)學(xué)在高素質(zhì)技能型人才的培養(yǎng)方面占據(jù)非常重要的地位。微積分教學(xué)作為高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要模塊，其教學(xué)成效重要性不言而喻。本文對(duì)微積分的教學(xué)進(jìn)行研究，探討微積分的案例教學(xué)如何實(shí)現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：教學(xué)成效;微分學(xué);積分學(xué);案例教學(xué)

高職院校以培養(yǎng)高素質(zhì)技術(shù)型人才為主要方向的高等教育目的，其在課程設(shè)置需要依照高等職業(yè)院校學(xué)生的特點(diǎn)和專業(yè)需要。高等數(shù)學(xué)的教學(xué)展開情況直接影響了技術(shù)型人才的技能素養(yǎng)和終身發(fā)展的需求。

一、發(fā)展簡(jiǎn)史

微積分的發(fā)展體現(xiàn)著人類認(rèn)識(shí)是感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過程。早期萌芽時(shí)期始于公元前七世紀(jì)上半頁，表現(xiàn)為對(duì)圖形的長(zhǎng)度，面積和體積的研究，比如窮竭法，割圓術(shù)等都體現(xiàn)了微積分思維的雛形。發(fā)展成型于十七世紀(jì)，此時(shí)科學(xué)的理論研究著力于速率、極值、切線等問題，特別是描述運(yùn)動(dòng)與變化的無限小算法等，后來，牛頓和萊布尼茨各自獨(dú)立地提出微積分系統(tǒng)的理論，使得微積分成為一門數(shù)學(xué)學(xué)科。自此以后，連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、無窮小以及函數(shù)收斂等得到一系列數(shù)學(xué)家的繼續(xù)深化研究和改善，微積分建立在牢固的理論基礎(chǔ)上。初等數(shù)學(xué)無法解決的問題隨著微積分理論迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡魅力。

二、教學(xué)案例的設(shè)計(jì)

微積分的發(fā)展史也體現(xiàn)了人類在數(shù)學(xué)方面的認(rèn)知發(fā)展過程，微積分的教學(xué)成為高職教育中非常重要的一環(huán)。在微積分的講解過程當(dāng)中，著力于高職教育的教育目的以及高職類學(xué)生的基礎(chǔ)特色，著重從實(shí)際案例引入微積分的教學(xué)。(一)極限思維培養(yǎng)。在微積分的講解過程當(dāng)中，極限思維的培養(yǎng)是非常重要的。具有極限的思維能很好地理解函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)，積分等微概念。案例：在課堂探討無限循環(huán)小數(shù)0.9與1的大小關(guān)系。證明方式：x=0.9令，10x=9.9則有，聯(lián)立方程組求解有：10x=9.9x=0.9，解得x=1。在進(jìn)一步基礎(chǔ)上，引入初等數(shù)學(xué)問題討論“任意的無限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)”的實(shí)現(xiàn)。另外可以適當(dāng)根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)情況，通過圓周率的確定，扇形面積公式等來進(jìn)一步講解極限思維的應(yīng)用場(chǎng)景，實(shí)現(xiàn)與初等數(shù)學(xué)的銜接和極限思想的進(jìn)一步培養(yǎng)。(二)函數(shù)以及函數(shù)的連續(xù)性。函數(shù)體現(xiàn)的是實(shí)數(shù)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可引入速度、時(shí)間和路程這些量之間的關(guān)系，系統(tǒng)解釋一元連續(xù)函數(shù)，如圖1。在連續(xù)函數(shù)的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步作離散的函數(shù)圖2，以作連續(xù)和離散函數(shù)的對(duì)比。圖1圖2(三)函數(shù)的可導(dǎo)。在函數(shù)連續(xù)的基礎(chǔ)上，導(dǎo)數(shù)定量研究函數(shù)的連續(xù)性，在實(shí)際講解過程中繼續(xù)對(duì)圖1所示函數(shù)進(jìn)行分析：以y表示直線運(yùn)動(dòng)的路程，x表示運(yùn)行時(shí)間，其中y=2xx-6x-80≤x≤10。按照?qǐng)D3所示，逐點(diǎn)x0<x<10考慮dydx或者∆y∆x∆x→0，則得到瞬時(shí)速度函數(shù)y'=dydx=2x-6x-8+2xx-6+2x-80<x<10，則y'對(duì)應(yīng)物體運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度函數(shù)，比如在路程y函數(shù)上點(diǎn)x0,y0處有對(duì)應(yīng)瞬時(shí)速度函數(shù)y'上有點(diǎn)x0,y0'，代表x0在時(shí)刻，有速度值y0'。另外根據(jù)需要和學(xué)生情況，在端點(diǎn)處x=0和x=10處探討單側(cè)可導(dǎo)性。圖3圖4通過此案例的介紹，其實(shí)導(dǎo)數(shù)衡量的變量的改變趨勢(shì)，包括改變的方向以及改變的快慢，是一種定量研究函數(shù)連續(xù)性的方法。(四)函數(shù)的可微。微分主要衡量自變量的改變對(duì)應(yīng)引起的因變量的改變大小，本質(zhì)上是導(dǎo)數(shù)的變形。在此圖中，s∆=y0'∆x-∆y，∆y為圖3中對(duì)應(yīng)的因變量的改變量，在極限狀態(tài)∆x→0下s∆為零，故有∆y→y0‘∆x∆x→0，亦可記為dy=y0‘dx。此種推導(dǎo)過程推廣到整個(gè)區(qū)間，則有任意點(diǎn)x0<x<10處都有dy=y’dx。從實(shí)際案例理解起來，就是微小時(shí)間的dx內(nèi)，路程改變量dy=y’dx，即等于瞬時(shí)速度乘以時(shí)間。圖5(五)不定積分。從數(shù)學(xué)的角度來說，不定積分屬于微積分領(lǐng)域積分學(xué)的范疇，其實(shí)屬于導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。在從微分學(xué)跨越到積分學(xué)的過程當(dāng)中，從離散狀態(tài)的求和符號(hào)xi講起，然后強(qiáng)調(diào)積分符號(hào)fxdx本質(zhì)上是一種連續(xù)狀態(tài)下的求和，把連續(xù)的微小量fxdx累加起來。通過不定積分的y'dx求解，可以得到——系列的路程——時(shí)間函數(shù),這些函數(shù)的圖象保持如圖6所示的特點(diǎn)。路程——時(shí)間函數(shù)呈現(xiàn)圖6的特點(diǎn)，得到多條趨勢(shì)一致的曲線（即路程——時(shí)間函數(shù)不唯一），這是由于速度只是決定了路程的變化趨勢(shì)，但是物體運(yùn)動(dòng)的初始位置沒有限定，故由速度反向確定路程——時(shí)間，得到的結(jié)果不唯一。(六)定積分及其不定積分的關(guān)系。定積分問題本質(zhì)上屬于微分的逆運(yùn)算，也是連續(xù)狀態(tài)下的求和問題。如果以時(shí)間、速度和路程三者的關(guān)系為例子圖6和圖7充分反映了定積分以及不定積分的關(guān)系。y2-y1=s1-s2+s3=x1x2y'dx，其本質(zhì)反映了在時(shí)間段x1,x2上按照速度y'運(yùn)動(dòng)的物體路程的累計(jì)改變量，其結(jié)果跟圖6中所示的路程——時(shí)間函數(shù)具體選取哪個(gè)函數(shù)沒有關(guān)系。在具體的教學(xué)過程當(dāng)中，通過路程、時(shí)間和速度三者的之間的關(guān)系講解，最后延伸到身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)中去，比如可以借助經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型、傳染病控制相關(guān)知識(shí)、法醫(yī)鑒定人體死亡時(shí)間等相關(guān)知識(shí)來探討微積分相關(guān)知識(shí)。

通過案例的引入，加深學(xué)生對(duì)微積分的理解，最后再從具體的案例當(dāng)中抽象出來，從數(shù)學(xué)層面純粹探討微積分并進(jìn)行講解。本文通過時(shí)間、路程和速度三者的關(guān)系進(jìn)行實(shí)例剖析，通過實(shí)例介紹，介紹微積分從連續(xù)、可導(dǎo)、可微、定積分和不定積分這些概念的內(nèi)在聯(lián)系，為微積分的案例教學(xué)提供一定的參考。案例講解過程中忽略理論推導(dǎo)而注重直觀感受，比較符合高職教育的實(shí)際情況和需要。

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作者:蔣芬 單位:廣州華夏職業(yè)學(xué)院