數學研究矛盾分析論文

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【內容提要】中國古代數學史的研究結論中，在數學的思維方式、理論構造、珠算評價等方面存在互相矛盾的結論，造成這些矛盾的原因既有方法論層次上的問題，也有中西古代數學比較標準方面的問題，中國古代數學應當在運演工具、建構模式、價值走向方面建立起自己的理論框架。

【關鍵詞】中國古代數學/運演工具

【正文】

中國古代數學的研究，目前存在著一些彼此對立的研究結論；正確地分析存在著的矛盾結論，無疑會有助于人們深入地了解中國古代數學，同時也會使人們對數學史研究的方法和評價標準有新的認識。

一、幾個有代表性的矛盾結論

如何評價中國古代數學，如何評價在中國古代文明中數學的作用以及它取得的成就是每個數學史學者關心的問題。但是目前的一些研究卻有著一些矛盾的結論，這些矛盾的結論往往是圍繞著認識、理解、評價中國古代數學的關鍵性理論問題展開的。

1.關于古代數學運用的思維方式問題

中國古代數學是否象古希臘那樣明確地運用邏輯思維問題，目前已成為評價中國古代數學的一個重要因素，因為在人們的認識和理解中，數學如果沒有嚴格的邏輯思維形式，那就很難成為真正的數學理論，袁曉明先生的研究結論與人們的良好愿望相反，他認為中國古代數學不存在象古希臘數學那樣以邏輯為基礎的思維方式，“與古希臘數學嚴格地采用邏輯演繹的邏輯思維方式不同，中國數學則是以非邏輯思維為主，即主要通過直覺、想象、類比、靈感等思維形式來形成概念、發現方法、實現推理的。”[1]

郭書春先生通過對《九章算術》的研究，得出相反的結論，他認為《九章算術》的注釋中已經具有并形成了演繹的邏輯方法及演繹的邏輯體系，“劉徽注中主要使用了演繹推理，他的論證主要是演繹論證即真正的數學證明，從而把《九章算術》上百個一般公式、解法變成了建立在必然性基礎之上的真正的數學科學。”[2]

巫壽康先生與郭書春先生的觀點相同，他認為：“劉徽《九章算術注》中的每一個題，都可以分解成一些首尾相接的判斷，如果仔細分析這些判斷之間的聯系，就會發現這些判斷組成若干個推理，然后由這些推理再組成一個證明，因此可以說，《九章算術注》中的論證已經具備了證明的結構，就大多數注文來說，這其中的推理都是演繹推理，大多數證明也都是演繹證明。”[3]

中國古代數學到底“是以非邏輯思維為主”，還是“主要是演繹證明”，這是中國古代數學研究中一個矛盾的結論，還沒有得到統一認識的問題。

2.關于中國古代數學理論構造的問題

按照西方數學的模式，一種數學著作若是按應用問題的類別編排，并且每一個題之后給出解法和答案，那么這個數學著作就是一個習題集的模式，也許正是由于這種客觀原因，許多國外的學者都認為中國古代數學不存在什么理論構造，李約瑟先生就認為“從實踐到純知識領域的飛躍中，中國數學是未曾參與過的。”[4]著名的數學家陳省身先生也有相同的看法，他認為“在中國幾何中，我無法找到類似三角形內角和等于180°的推論，這是中國數學中沒有的結果。因此，得于國外數學的經驗和有機會看中國數學的書，我覺得中國數學都偏應用，講得過分一點，甚至可以說中國數學沒有純粹數學，都是應用數學。”[5]

中國的一些數學史學者對此持完全相反的觀點，堅持強調中國古代數學理論構造的存在性。李繼閔先生認為“中國傳統數學具有自己獨特的理論體系，它以理論的高度概括、精煉為特征，中算家善于從錯綜復雜的數學現象中抽象出深刻的數學概念，提煉出一般的數學原理，而從非常簡單的基本原理出發解決重大的理論關鍵問題……中國傳統數學理論，乃是為建立那些在實際中有直接應用的數學方法而構造的最為簡單、精巧的理論建筑物。”[6]

中國古代數學是否有一個理論意義上的構造體系，這大概是目前中外數學史專家們對中國古代數學研究中的一個最大的分歧點。如何正確地評價中國古代數學的體系構造已成為中國數學史研究中應當回答的理論問題之一。

3.關于珠算在中國數學史中的地位問題。

在中國數學史的研究中，人們一直認為宋元數學是中國古代數學的高峰。宋元之后的明代珠算無法與宋元數學的成就相比，明代珠算一般被認為是“民用”或“商用”數學。言外之意，珠算是不能登中國古代數學理論構造的大雅之堂。許多學者認為宋元數學的衰退、被人遺忘是很值得研究的理論問題，而明代珠算卻沒有什么值得在理論層面給予研究的意義。

筆者的觀點與當前評價宋元數學和明代珠算的觀點都相悖。筆者認為珠算是中國古代數學在宋元之后取得的又一里程碑式的成就，它是中國籌算在運演工具上的重大創新，是籌算運演發展的重大突破，是中國古代數學技藝型發展的必然結果。[7]

如何評價珠算在中國數學史中的地位，實際也帶來了如何評價宋元數學的一系列問題，在這個問題上筆者也提出了與目前傳統觀點相悖的論點，即宋元數學的成就，是中國籌算在特定的社會動蕩、傳統儒家觀念發生紊亂、仕大夫仕途無望的文化氛圍中奇異性發展的結果，當社會是進入穩定發展、仕大夫按照儒家傳統觀念走向仕途時，宋元數學就必然會被整個民族文化所淡忘。[8]

對珠算與宋元數學的評價，實際上涉及了如何看待中國古代籌算體系的發展及其內在規律的問題，這一問題也是正確認識中國古代數學的一個理論性的問題。

二、數學史研究的方法論問題及評判的理論依據

從方法論的意義上來考察中國古代的數學史研究，可以發現實際上存在兩個不同層次的研究狀況，第一層次的研究是指對史料的收集、整理、考證。應當說這個層次的主要工作是在中國古代數學的范疇內對數學史實的發展及其流變進行分析認證。這一層次的分析考證應當確認史料的年代及其真偽，以及史實在中國數學發展中所處的地位。第二層次的研究，是對已確認的史料與世界數學史的比較評價。應當說這個層次的比較研究是在世界數學史的范疇內（實際上主要是中西數學發展的范疇內）進行比較研究，這一層次的主要工作是要確認中國古代數學已達到的理論層次。這一過程顯然是把中國古代數學納入到已有的理論框架中進行比較，進而要求表述中國古代數學在現有古代數學史理論框架內所處的地位、理論層次、構造性狀況以及它對現有數學史理論的貢獻。

在方法論意義上，這兩個不同層次的工作不能混同，因為這兩個層次的工作存在著研究的范疇差異、時間差異和評判依據準則的差異。[9]

所謂范疇差異，是指第一層次的研究是在中國文化的范疇內進行分析考證，而第二層次的研究主要是在中西文化的范疇內進行比較評斷。第一層次研究此時要解決的是史料真偽狀況及在中國文化中的發展狀況，而第二層次的研究要回答的是，已經證實的中國史實材料與西方數學相比，與現代的數學理論相比，其結果如何。

所謂時間差異是指第一層次的研究是要把史料放在原有的歷史時間內考證史料是什么，它的語言、背景、含意等等，第一層次運用的是歷史時間序列。第二層次的比較研究是要把史料放在現代數學史的理論框架內來比較評判中國古代數學的史料達到的理論狀態、在人類數學史中的地位等等。因此說，第二層次研究運用的是現代的時間序列。

所謂評判差異，是指第一層次的分析考證運用的是在歷史演化發展時數學自身變化發展的評判尺度，即以中國古代數學的自身成就來評判某一特定歷史階段數學史實的意義。此時運用的是中國古代數學史的評判準則。例如，判定某個歷史時期籌算的成就，運用的是籌算自身發展的規律來判定那個時期籌算達到的運演和理論的實際狀況。當然，第二層次上的比較評判，運用的卻是現代數學史研究的理論框架并以此分析評判中國古代數學某個史實所達到的標準。

值得指出的是，我們目前的一些比較評價，實際上都是在第二層次上進行的，但是作為第二層次研究所特有的方法論意義上的要求，卻常常不被嚴格遵守，尤其是第二層次的比較評判中應當特別強調的理論評價準則在先的原則，往往不被重視。也就是說，如果我們要把某一個中國古代數學的史實與世界數學的理論形式相比較，就必須明確地認識到或論證出現有的數學成果構成的理論標準，并以此標準來判斷中國古代數學的史料是否達到了這個理論標準。

中國一些數學史學者在進行中國古代數學的比較評判時，往往把第一層次的工作與第二層次的工作混同起來，尤其是在沒有指出應有的評價準則時就把自己的感悟、個人的理解換成一種客觀的標準，進而就得出一種評判的結果。這樣的結論不僅會帶來研究結果的矛盾，更為重要的是會使我們的研究成果具有很大的主觀性、隨意性特征。例如，臺灣的學者李國偉先生就曾對國內學者認為劉徽“求微數法”就是無理數的研究成果提出疑義，并且從五個層次論述了劉徽的結果與無理數理論的差異。[10]顯然，對于無理數問題的評判，國內一些學者缺乏理論標準在先的意識。

在自然科學史研究中，人們就是在正確地使用方法論的同時，也還有一個對史實論證過程中的潛在的理論模式影響的問題。這個問題實際已經超越了方法論意義的討論，它實質上涉及了用什么樣的古代數學理論模式來評判籌算所具有的理論價值。例如，對于中國籌算發展為珠算的評判以及對宋元數學和明代珠算的評價，雖然在數學史的研究中屬于第一個層次的問題，但是它實際上已經涉及了用一種什么樣的古代數學的模式來評判籌算取得的一些成果。

現在可以看出，中國古代數學史研究中出現的某些相互矛盾的結論，不僅僅是一個方法論方面的問題，它實際上涉及到用什么樣的理論標準來評價籌算的發展、演變以及不同時期取得的成就。更進一步的問題可以成為，中國古代籌算是應當按照西方古代數學的模式來評價，還是放棄西方古代數學的模式重新建立一個中國文化中數學發展的模式，可以說這后一個問題是中國數學史面臨的一個很值得討論研究的理論問題。

三、籌算的特征及分析

從目前數學史研究中可以發現，人們對籌算構成的一些理論性問題很感興趣，評價頗高，而對實際應用的發展評價頗低，似乎不被看作是中國古代數學的什么重大成果。同樣的，人們對《九章算術》中表現的邏輯形式十分看重，而對它表現的籌算操作運演本身評價一般（如對代表正、負意義算籌形式及其排擺方法）。其實中西古代數學明顯地存在巨大差異，這些差異正是我們客觀認識中國古代數學發展模式和理論框架的必要基礎。

吳文俊先生認為，中國古代數學是緊緊依靠算器而形成的一種數學模式。“我國的傳統數學有它自己的體系與形式，有著它自身發展途徑和獨到的思想體系，不能以西方數學的模式生搬硬套……從問題而不是從公理出發，以解決問題而不是以推理論證為主旨，這與西方以歐幾里得幾何為代表的所謂演釋體系旨趣迥異，途徑亦殊……在數學發展的歷史長河中，數學機械化算法體系與數學公理化演繹體系曾多次反復互為消長，交替成為數學發展中的主流。”[11]中國籌算的依靠算具、形數結合、重在操作運演本身，以解決具體問題為構造模式的這些特征應當看作是一種中國古代數學的理論發展模式。

從中西古代數學的比較可以得到如下四個方面差異。

1.籌算的運演和結果表現在一種竹棍擺排上，而古希臘數學運演和結果則表現在文字符號書寫上。

2.籌算在運演是一種竹棍的排擺，是一種規則指導下的手工操作，而古希臘數學的運演是書寫在文字符號的運演過程中，是一種規則指導下的文字運演過程。

3.籌算是以具體問題的分類構成體系，而古希臘數學是以文字符號運演的邏輯形式進行分類（按數學的內部規律進行分類）并構成體系。

4.籌算是以實際致用為發展方向，而古希臘數學則是以理性精神的表述為自己的發展方向（西方著名科學哲學家波普爾，直到今天仍認為歐幾里得的《幾何原本》并不是數學的教材而是柏拉圖構造世界的一種圖示，因為它以五種正多面體結束最終的構造[12]）。

對照上面籌算與古希臘數學的差異，我們可以看出中國古代數學理論建構的某些特征。

第一，運用形數結合的竹棍來表現數學，竹棍的運演本身及竹棍自身的變化就毫無疑問應當是中國古代數學發展的一個重要內容。

第二，運用竹棍的手工操作規則是一種算法而且不留有過程，竹棍操作運演是一種程序。籌算的程序應當是中國古代數學的一個重要內容。這與古希臘文字運演重視邏輯思維方式、邏輯運演的規則是完全相異的。

第三，籌算是以實際問題的類型分類建構，這與古希臘數學以公理、公式為類型的建構模式完全相異。

第四，籌算的致用發展是一種民族文化賦予它的價值取向，它不會也不可能從理性的意義去構造自身、發展自身。因為在中國文化中，起文化中理性指導作用是《周易》的六十四卦模式。[13]

運用上面四個特征的分析，我們可以獲得如下的一些結論。

結論1籌算運演程序的成就及籌算運演工具自身的改進和創造（籌算到珠算）都應看作是中國古代數學的重大進展，亦應看作是對人類古代數學的貢獻。

結論2中國古代數學的邏輯思維方式與古希臘數學的邏輯思維方式的對比是不對稱的比較，中國古代數學的算法程序（包括擺排的技巧及指導思想）才是與古希臘邏輯思維方式相對稱的比較。在人類思維的意義上，籌算算法程序的建立和發展與古希臘數學形式邏輯思維的創立和發展是人類古代數學思想的兩大方向。

結論3數學的理性構造不應當依西方古代數學的模式為唯一的人類古代數學的模式，數學理性構造的方向是一種文化特征。應當在明確兩種文化的數學理性層次（處于形而上層次還是處于形而下層次）差異的基礎上，進行數學自身意義的比較，而不能把一種民族文化特征（如西方數學在理性意義上的構造及在理性意義對其它學科的影響）看作人類古代數學的唯一的特征或必要的特征。

應當說，討論方法論的層次、討論中西古代數學的模式差異，已經上升為對古代數學的一種哲學意義的思考。目前，中國古代數學史的研究還缺乏對籌算的一些哲學層次的理性思考，我們的一些中西古代數學比較研究往往會不自覺地把西方數學的模式套到籌算上來。

值得指出的是，許多數學史學者在進入到中西古代數學的比較評價時就進入了一種二難狀況。其一，是中國學者往往從自身的文化傳統及研究中深感籌算的意義，但是籌算與古希臘數學相比卻總是由于差異而難獲公論。其二，企圖找出籌算與古希臘數學具有的某些相似的特征，并以此論證籌算的歷史地位，但在古希臘數學的模式面前又很難比較。

筆者認為，中國古代數學史的研究要想走向世界，一個重要的理論問題就是要在哲學的意義上建立一個沒有西方數學價值觀影響的或稱之為超越西方古代數學模式的古代數學理論模式。數學是一種文化這已是中西方學者在目前的共識，文化差異不應當是抹殺古代數學成就的條件，而應當成為人類古代數學不同貢獻的說明。我們只有認清中國文化中數學的文化層次、價值取向以及運演工具、運演方式、構造模式的特征，我們才能在一種中西文化差異的基礎上客觀地評價籌算取得的成果以及它對人類古代數學的貢獻。

【參考文獻】

[1]袁曉明：《數學思想導論》，廣西教育社，1991年版，125頁。

[2]郭書春：“關于中國古代數學哲學的幾個問題”，《自然辯證法通訊》，1988年，第4期，44頁。

[3]巫壽康：“劉徽《九章算術》邏輯初探”，《自然科學史研究》，1987年，第1期，20頁。

[4]李約瑟：《中國科學技術史》三卷，科學出版社，1978年，337頁。

[5]陳省身：《陳省身文選》，科學出版社，1991年版，244頁。

[6]李繼閔：《中國數學史論文集》（二），山東教育出版社，1986年版，14頁。

[7]王憲昌：“宋元數學與珠算的比較評價”，《自然科學史研究》，1996年，第1期

[8]王憲昌：“宋元數學與文化價值觀”，《大自然探索》，1995年，第124—127頁。

[9]王憲昌：“試論中國古代數學的評價準則”，《科學技術與辯證法》，1995年，第5期，15—18頁。

[10]李國偉：“《九章算術》與不可公度”，《自然辯證法通訊》，1994年第2期，53頁。

[11]吳文俊：“關于研究數學在中國的歷史與現狀”，《自然辯證法通訊》，1990年，第4期，39頁。

[12]波普爾：《猜想與反駁》，上海譯文出版社，1986年，123頁。

[13]王憲昌：“《九章算術》研究中的文化觀”，《北師大學報》（自然科學版），1990年，增3，23—27頁。