初中數學函數問題數學思想研究

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函數應用題一直是中考數學的必考內容，部分學生缺乏對這部分內容系統的解題思路與計算方法的學習，在解決這類問題時存在一定的困難.在初中數學函數部分的教學中，對這一部分有所涉及，也進行了一些相關知識的講解和訓練，但是缺乏對函數問題的解題思路與解題技巧的深入研究和專項訓練.現階段關于初中數學函數應用題的理論與實踐研究較為有限.本文以人教版初中數學為例，結合理論與教學實際，梳理解答函數應用題的常用技巧，總結了常見的問題形式與解題思路，以期引起更多師生的思考.

一、核心思維能力

學生在解決函數應用題時最關鍵的就是把握一次函數、一元一次方程、一元一次不等式組、二元一次方程組及一元二次方程等最基礎的概念的內涵，與此同時，學生需要把握一元一次方程與不等式及二元一次方程組的概念和關系，熟悉哪種具體問題情境對應的是哪種函數模型并寫出相應的函數關系式.同時要求學生學會結合函數的圖像討論函數的性質，將實際問題與數學問題結合起來，感受函數在解決運動變化問題中的重要作用.學生首先要具有將實際生活問題轉化為函數模型的能力，在此基礎上列出相應的函數關系式.在學生求解函數應用題的過程中，解方程的過程并不是這種類型題練習的重點，學生更需要加強的是在分析、思考與解題的過程中提高自己應用一些數學思想的能力，如轉化思想、數形結合思想、分類討論思想等，通過系統、科學的習題訓練增強學生數學思想方法的實踐能力并提高學生的解題速度.

二、函數應用題知識儲備要求

1.基礎———解方程和不等式的能力和熟練的計算能力及技巧.學生在解決函數應用題的過程中，列出方程式或不等式是最關鍵的一步，能否正確算出答案也是非常重要的.這就要求學生熟知解方程和不等式的正確步驟，同時要想快速解出結果，對學生的運算能力也有一定的要求.教師在教學過程中要注意訓練學生的基礎知識應用能力和解題技巧熟練程度，這樣可以幫助學生更高效地解題.2.關鍵———基本函數和不等式的概念及其關系.解決函數應用題最重要的是把題目中的實際問題抽絲剝繭并將其轉化為列出函數關系式的一個個條件，從而準確把握解題的關鍵步驟.學生要熟知每一種函數模型及不等式的基本形式，這樣才能快速地根據條件列出相應的函數關系式或不等式組.思考的角度不同可能會產生不同的解法，但是最簡便和快速的方法只有一種，這就是提高學生解題能力和速度的關鍵.因此，在教學過程中，教師不僅要要求學生解出問題，算出答案，更要注重學生分析題目條件能力的提升，使學生解決函數應用題的能力得到系統提升.3.根本———方程、不等式與函數之間的密切聯系.一元一次方程和不等式是函數部分的基本概念，有一元一次方程和不等式及一元二次方程和不等式兩種.對于一元一次方程和不等式，在初中函數應用題中一般涉及的是一元一次不等式與一次函數的應用及對題中所給圖表信息的提取，需要根據題目信息設出方程或列出不等式并求解，這體現了方程、不等式與函數之間的密切聯系.另一方面，有少部分應用題也會涉及一元一次不等式組及一元二次方程或二元一次方程，這對學生根據題意設出方程的要求就更高了，要能夠辨別題中涉及的函數模型是哪一種.此外，要對不等式組的應用與方案設計有一定的了解.

三、常用方法例析

1.一元一次方程應用題.案例1：李蘭、王敏兩人分別從北京、上海兩地同時出發，勻速相向而行.李蘭的速度快于王敏的速度，李蘭到達上海后，王敏繼續前行.設出發xh后，兩人相距ykm，如下的折線圖表示這兩個人從出發到王敏到達北京的過程中y與x之間的函數關系.要求依據圖中所給出的信息，求：（1）點Q的坐標，并說明它的實際意義；（2）李蘭、王敏兩人的速度.解析：（1）設直線PQ的解析式為y=kx+b.把（0，10）、14，152兩點的坐標代入，得152=14k+b，b=10，解得k=-10，b=10.所以y=-10x+10.當y=0時，x=1，所以點Q的坐標為（1，0）.點Q的意義：李蘭、王敏兩人分別從北京、上海兩個不同的地方同時出發，1個小時后兩人相遇.（2）由圖像可知，在第53小時，李蘭到達上海.李蘭的速度為10÷53=6（km/h）.設王敏的速度為mkm/h.由兩人經過1h相遇，得1×（m+6）=10，解得m=4.所以王敏的速度為4km/h.答：李蘭、王敏的速度分別為6km/h、4km/h.2.一元一次不等式組及其應用.案例2：大慶紅地煉鋼廠某車間生產特等鋼一、特等鋼二兩種鋼的相關信息如表1所示，請你回答下列問題：（1）設這個車間每個月生產特等鋼一、特等鋼二兩種鋼各x噸，可以賺取的費用分別為y1元和y2元，分別求出y1和y2與x的函數關系式（注：利潤=全部收入-全部支出）.（2）已知這個車間每月生產特等鋼一、特等鋼二兩種鋼都不超過400噸，若任意一個月要生產特等鋼一、特等鋼二共700噸，求這個月生產特等鋼一、特等鋼二各多少噸，按照這種生產方式可以獲得的利潤最大？這個最大利潤是多少？解析：（1）依題意得：y1=（2100-800-200）x=1100x，y2=（2400-1100-100）x-20000=1200x-20000.（2）設該月生產特等鋼一x噸，則生產特等鋼二（700-x）噸，總利潤為W元.依題意得：W=1100x+1200（700-x）-20000=-100x+820000因為x≤400，700-x≤400，所以300≤x≤400.因為-100＜0，所以W隨x的增大而減小，所以當x=300時，W最大=790000元，此時，700-x=400.因此，分別生產特等鋼一、特等鋼二300噸和400噸時，廠家可以獲得的利潤最大，這個最大利潤為790000元.3.二元一次方程組應用題.案例3：李安在某店購買兩種不同的文具共三次，僅有其中一次購買時，兩種文具同時打折，剩下的兩次均按原價購得，三次購買文具小刀、鉛筆的個數和價格如表2：（1）李安打折購買文具小刀和鉛筆是第幾次購物？（2）求出文具小刀、鉛筆的原價.（3）若商品小刀、鉛筆的折扣相同，商店是打幾折售賣這兩種文具的？解析：（1）因為第三次購物的價格和費用顯示李安買的文具較多但是費用比較便宜，所以李安打折購買文具小刀和鉛筆是第三次購物.（2）設文具小刀的原價為x元，文具鉛筆的原價為y元.根據題中表格信息，可得6x+5y=1140，3x+7y=1110，解得x=90，y=120.答：文具小刀的原價為90元，鉛筆的原價為120元.（3）設這個商店打m折出售這兩種文具.由題中信息，得（9×90+8×120）×m10=1062，解得m=6.答：商店是打6折出售這兩種商品的.4.一元二次方程應用題.案例4：菠蘿零售戶以2元/千克的價格購進一批優質菠蘿，以3元/千克的價格售賣，日均可賣出200千克.為了促銷，該經營戶決定降價銷售.經走訪周圍居民發現，該優質菠蘿每降價0.1元/千克，每天可多賣出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.若該零售商戶想每天獲利200元，應將每千克優質菠蘿的售價減少多少元？解析：設將每千克優質菠蘿的售價降低x元.根據題意，得（3-2-x）200+40x0.1-24=200.解得x1=0.2，x2=0.3.答：應將每千克優質菠蘿的售價降低0.2元或0.3元.

四、總結

對于學生而言，運用函數和不等式知識解決實際生活問題的應用題還是難度比較高的，對初中生的數學思維能力與分析題目并一一列出方程所需條件的能力要求較高，因此這類題目對學生來說還是有一定的難度的.同時，部分學生缺乏對這部分內容內部聯系的深入思考，往往會對自己的分析過程缺乏信心.這些現狀就要求教師在日常的教學活動及習題訓練過程中牢牢把握函數及不等式應用題的不同類型與考查形式，全面梳理常用的思維方式與解題技巧并強化訓練，以此提升學生解決函數及不等式應用題的能力，培養學生的數學思維，此種教學方式對于增強學生學好函數類型應用題的信心也有很大程度上的幫助.

作者:談為偉 單位:江蘇省西安交通大學蘇州附屬初級中學