數學知識交匯研究論文

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1．立體幾何與平面解析幾何的交匯

在教材中，立體幾何與解析幾何是互相獨立的兩章，彼此分離不相聯系，實際上，從空間維數看，平面幾何是二維的，立體幾何是三維的，因此，立體幾何是由平面幾何升維而產生；另一方面，從立體幾何與解析幾何的聯系看，解析幾何中的直線是空間二個平面的交線，圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）是平面截圓錐面所產生的截線；從軌跡的觀點看，空間中的曲面（曲線）是空間中動點運動的軌跡，正因為平面幾何與立體幾何有這么許多千絲萬縷的聯系，因此，在平面幾何與立體幾何的交匯點，新知識生長的土壤特別肥沃，創新型題型的生長空間也相當寬廣，這一點，在04高考卷中已有充分展示，應引起我們在復習中的足夠重視。

1.1空間軌跡

教材中，關于軌跡，多在平面幾何與平面解析幾何中加以定義，在空間中，只對球面用軌跡定義作了描述。如果我們把平面解析幾何中的定點、定直線不局限在同一個平面內，則很自然地把軌跡從平面延伸到空間。

例1，（04高考重慶理科）若三棱錐A—BCD的側面ABC內一動點P到平面BCD距離與到棱AB距離相等，則動點P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是（）

解：設二面角A—BC—D大小為θ，作PR⊥面BCD，R為垂足，PQ⊥BC于Q，PT⊥AB于T，則∠PQR=θ，且由條件PT=PR=PQ·sinθ，∴為小于1的常數，故軌跡圖形應選（D）。

例2，已知邊長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1，在正方體表面上距A為（在空間）的點的軌跡是正方體表面上的一條曲線，求這條曲線的長度。

解：此問題的實質是以A為球心、為半徑的球在正方體ABCD—A1­B1C1D1，各個面上交線的長度計算，正方體的各個面根據與球心位置關系分成二類：ABCD，AA1DD1，AA1BB1為過球心的截面，截痕為大圓弧，各弧圓心角為，A1B1C1D1，B1BCC1，D1DCC1為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為，故各段弧圓心角為，∴這條曲線長度為。

1.2平面幾何的定理在立體幾何中類比

高考考綱對考生思維能力中明確要求“會對問題或資料進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括，會用演繹、歸納和類比進行推理，能合乎邏輯地、準確地進行表述”，類比推理可考查考生利用舊知進行知識遷移、組合和融匯的能力，是一種較好地考查創新能力的形式，平面幾何到立體幾何的類比，材料豐富，操作性強，在歷年高考中均有不俗表現。

例3，（04高考廣東卷題15）由圖(1)有面積關系：，則由圖(2)有體積關系（答案：）

評注：數學結論的類比既需要數學直覺，也需要邏輯推理能力，它是高考考查創新能力的重要載體，從平面幾何到立體幾何的結論類比，更是這一類考題蘊藏豐富的寶庫，從三角形到三棱錐，從正方形到正方體，從圓到球等等，如果我們稍加留意，就會有很多收獲。

1.3幾何體的截痕

例：球在平面上的斜射影為橢園：已知一巨型廣告汽球直徑6米，太陽光線與地面所成角為60°，求此廣告汽球在地面上投影橢圓的離心率和面積（橢圓面積公式為S=πab，其中a,b為長、短半軸長）。

解：由于太陽光線可認定為平行光線，故廣告球的投影

橢園等價于以廣告球直徑為直徑的圓柱截面橢園：此時

b=R，a==2R，∴離心率，

投影面積S=πab=π·k·2R=2πR2=18π。

評注：囿于空間想象能力的限制，幾何體的截痕和投影是立體幾何中的一個難點，也是具，有良好區分度的考題素材，因此有必要適當進行相應的訓練，才能形成基本的解題策略。

1.4幾何體的展開

例：有一半徑為R的圓柱，被與軸成45°角平面相截得“三角”圓柱ABC,則此“三角”圓柱的展開圖為（）

解：設圓柱底面中心O，底面圓周上任一點P''''，過P''''的圓柱母線與截點為P，

∠AOP''''=θ，則∵∠CBA=45°，作P''''Q⊥AB于Q，∴|PP''''|=|AC|－|AQ|=2R－（R－Rcosθ）=R（1+cosθ），AP''''=Rθ。

∴在柱面展開圖中，以AB直線為x軸，AC為y軸建立直角坐標系，相應點P坐標為（x,y），則有消去得，展開圖輪廓線為余弦曲線，故應選（D）

評注：幾何體與其展開圖，包含了平面與空間的大量信息，需要較強的空間想象能力，要進行點與對應點，線段與對應線段的位置與數量的細致分析，需找出變與不變量以及變化規律，因此，它是代數與幾何、空間與平面的重要知識交匯點。

2．概率與數列的交匯

數列是以正整數n為自變量的函數，而n次獨立重復試驗中事件A出現k次的概率Pn(k)也是自然數n,k的函數，借助于自然數這一紐帶，可實現數列與概率的交匯。

例4：質點從原點O出發，在數軸上向右運動，且遵循以下運動規律：質點向右移動一個單位的概率為，右移2個單位的概率為，設質點運動到點（n,0）的概率為Pn。

①求P1和P2。

②求證｛Pn－Pn－1｝是等比數列。

③求Pn。

解：①P1=，

②由題意可知，質點到達點（n,0），可分兩種情形，由點（n-1,0）右移1個單位或由點（n-2,0）右移2個單位，故由條件可知：（n≥3）

評注：本題解題關鍵是數列的遞歸規律，建立概率數列的遞推公式，用數列知識解題，這種復雜的系列問題通過擷取其片段，解剖其規律，是破解難題的常用手段。

3．向量與三角、幾何的交匯

向量既有長度，又有方向，因此，向量蘊含長度和角度，因此，以幾何、三角為背景的問題便可成為產生向量問題良好溫床。

例5：（04高考湖北卷19）如圖，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以A為中點，問和夾角取何值時，的值最大？并求出這個最大值。

評注：本題為用向量形式表現的幾何最值問題，具有較強的綜合性，適時建立坐標系，利用向量的坐標形式，最終轉化為三角函數，大大降低了解題的難度。同時，也對相關知識的化歸能力提出了較高要求。

4．向量與立體幾何的交匯

在最新版部編教材中，向量的內容有所加強，特別在平面向量的運算規律和平面向量基本定理進一步擴充到空間中，向量的工具性地位更加突出，因此，用向量解立體幾何問題也不應局限在建立空間直角坐標系，用空間坐標運算來解決問題，而應著眼于向量的本質內容。

例6：已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1各棱長均為1，

且棱AA1，AD，AB兩兩成60°角，E,F分別為

A1D1和B1B中點，求EF的長。

評注：本題新穎之處在于向量與立體幾何的結合，并不只是建立空間直角坐標系，轉化為坐標向量來解題。對于那種不方便建立空間直角坐標系的問題，如斜棱柱斜棱錐等可直接利用空間向量的運算性質解題。

5．向量與解析幾何的交匯

由于向量在描述長度與角度上獨特的工具性，解析幾何有著向量展現的良好的基礎，歷年新高考試卷已在此積累了不少成功經驗，04高考也不例外，使向量與解幾的結合更加合縫與自然。

例7.（2005高考全國卷1）已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線。

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設M為橢圓上任意一點，且，證明為定值。

（I）解：設橢圓方程為

則直線AB的方程為

故為定值，定值為1.

評注：解向量與解幾的交匯題，關鍵在于利用向量的坐標形式把向量條件轉化為坐標條件。

6．數列與函數的交匯

數列與函數一脈相承，因此，數列與函數的交匯是傳統的命題熱點，04、05年高考更有長足的表現，把數列、函數、導數等知識點交匯在一起，綜合程度和思維要求均有所提高。

例8（2005高考浙江卷）設點(，0)，和拋物線：y＝x2＋anx＋bn

(n∈N*)，其中an＝－2－4n－，由以下方法得到：x1＝1，點P2(x2，2)在拋物線C1：y＝x2＋a1x＋b1上，點A1(x1，0)到P2的距離是A1到C1上點的最短距離，…，點在拋物線：y＝x2＋anx＋bn上，點(，0)到的距離是到上點的最短距離．

即時，等式成立

由①②知，等式對成立，故是等差數列。

評注：函數是特殊的數列，因此函數與數列具有天然的親密關系，可我們在學習中，往往過分關注數列的特殊性和數列解題的特殊技巧，高考強調函數和數列的結合，有助于糾正這一偏差。

綜上所述，知識交匯處是創新型試題生長的沃土，也是高考復習中十分重要的著眼點。在高考復習中，我們必須重視在知識交匯處挖掘復習素材，加強知識交匯點的訓練，才能增強高考創新型試題的適應能力。