三角形等積分割線分析論文

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問題1：請用一條直線，把△ABC分割為面積相等的兩部分。

解：取BC的中點，記為點D，連結AD，則AD所在直線把△ABC分成面積相等的兩個部分。

大家知道，這樣分割線一共有三條，分別是經過△ABC的三條中線的直線，能把△ABC的面積分成相等兩部分。除了這三條以外，還有很多種，并且對于△ABC邊上任意一點，都可以找到一條經過這點且把三角形面積平分的直線。

問題2：點E是△ABC中AB邊上的任意一點，且AE≠BE，過點E求作一條直線，把△ABC分成面積相等的兩部分。

解：如圖2，取AB的中點D，連結CD，過點D作DF∥CE，交BC于點F，則直線EF就是所求的分割線。

證明：設CD、EF相交于點P

∵點D是AB的中點

∴AD=BD∴S△CAD=S△CBD

∴S四邊形CAEP＋S△PED=S四邊形DPFB＋S△PCF

又∵DF∥CE∴S△FED=S△DCF（同底等高）

即：S△PED=S△PCF

∴S四邊形CAEP=S四邊形DPFB

∴S四邊形CAEP＋SPCF=S四邊形DPFB＋S△PED

即S四邊形AEFC=S△EBF

由此可知，把三角形面積進行平分的直線有無數條，而

且經過邊上任意一條直線，運用梯形對角線的特殊性質，很容易作出這樣的分割線。

那么，這些分割線會不會交于某特定的一點呢？

大家知道，三角形的三條中線都把三角形分成面積相等的兩個部分，而三條中線交于它的重心，如果這些分割線相交于一點，那么這點必定是三角形的重心。

問題3：已知：如圖3，在△ABC中，G是△ABC的重心，過點G作EF∥BC交AB于點E，交AC于點F，求證：S△AEF=S△ABC.

證明：延長AG，交BC于點D

∵點G是△ABC的重心

∴AG:AD=2:3

又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC

由本題可得：過AB邊上的點E，經過重心G的直線，EF把三角形面積分為4:5兩部分，直線EF并不是三角形的等積分割線。而根據問題2，可以找到一條過點E把三角形面積平分的一條直線，這條直線必不過重心G。

綜上可知，三角形的等積分割線有無數條，而且任意給定邊上一點，都可以作出相應的等積分割線，且只有一條，所有的分割線并不相交于三角形的重心。