剖析三角形的等積分割線與三角函數式的求值論文

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如何將一個三角形面積分割成兩個相等的部分，是我們已熟知的問題，只要沿三角形的中線，即可把三角形分割成面積相等的兩個部分，許多同學認為，這樣的分割線只有三條，但是，這樣的分割線到底有多少條呢？

問題1：請用一條直線，把△ABC分割為面積相等的兩部分。

解：取BC的中點，記為點D，連結AD，則AD所在直線把△ABC分成面積相等的兩個部分。

大家知道，這樣分割線一共有三條，分別是經過△ABC的三條中線的直線，能把△ABC的面積分成相等兩部分。除了這三條以外，還有很多種，并且對于△ABC邊上任意一點，都可以找到一條經過這點且把三角形面積平分的直線。

問題2：點E是△ABC中AB邊上的任意一點，且AE≠BE，過點E求作一條直線，把△ABC分成面積相等的兩部分。

解：如圖2，取AB的中點D，連結CD，過點D作DF∥CE，交BC于點F，則直線EF就是所求的分割線。

證明：設CD、EF相交于點P

∵點D是AB的中點

∴AD=BD∴S△CAD=S△CBD

∴S四邊形CAEP＋S△PED=S四邊形DPFB＋S△PCF

又∵DF∥CE∴S△FED=S△DCF（同底等高）

即：S△PED=S△PCF

∴S四邊形CAEP=S四邊形DPFB

∴S四邊形CAEP＋SPCF=S四邊形DPFB＋S△PED

即S四邊形AEFC=S△EBF

由此可知，把三角形面積進行平分的直線有無數條，而且經過邊上任意一條直線，運用梯形對角線的特殊性質，很容易作出這樣的分割線。

那么，這些分割線會不會交于某特定的一點呢？

大家知道，三角形的三條中線都把三角形分成面積相等的兩個部分，而三條中線交于它的重心，如果這些分割線相交于一點，那么這點必定是三角形的重心。

問題3：已知：如圖3，在△ABC中，G是△ABC的重心，過點G作EF∥BC交AB于點E，交AC于點F，求證：S△AEF=S△ABC.

證明：延長AG，交BC于點D

∵點G是△ABC的重心

∴AG:AD=2:3

又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC

由本題可得：過AB邊上的點E，經過重心G的直線，EF把三角形面積分為4:5兩部分，直線EF并不是三角形的等積分割線。而根據問題2，可以找到一條過點E把三角形面積平分的一條直線，這條直線必不過重心G。

綜上可知，三角形的等積分割線有無數條，而且任意給定邊上一點，都可以作出相應的等積分割線，且只有一條，所有的分割線并不相交于三角形的重心。

1.給角求值要求熟練掌握兩角和與差的三角函數的基本公式、二倍角公式，特別要注意逆向使用和差角公式與二倍角公式，以此將非特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數。

例1

求值：sec50°+tan10°

解析：sec50°+tan10°

=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°

=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°

=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°

=cos40°+cos20°cos10°

=2cos30°cos10°cos10°=3

總結評述：本題的解題思路是：變角→切割化弦→化異角為同角→轉化為特殊角→約去非特殊角的三角函數。

解此類問題的方法是，轉化為特殊角，同時能消去非特殊角的三角函數。

2.給值求值給出角的一種三角函數值，求另外的三角函數式的值，常用到同角三角函數的基本關系及其推論，有時還用到“配角”的技巧，解題的關鍵是找出已知條件與欲求的值之間的角的運算及函數名稱的差異，對已知式與欲求式施以適當的變形，以達到解決問題的目的。公務員之家

例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值

策略：要求1-sin2αcos2α的值，條件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要從這一條件出發，將α的某一三角函數值求出，即可獲解。

解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26

∵cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)

∴1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26

3.給值求角

給出三角函數值求角的關鍵有二：

（1）求出要求角的某一三角函數值（通常以正弦或余弦為目標函數）。

（2）確定所求角在（已求該角的函數值）相應函數的哪一個單調區間上（注意已知條件和中間所求函數值的正負符號）。

例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。

解析：由已知不難求出tanα與tan2β的值，這就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，關鍵是準確判斷α+2β的范圍。

∵cosα=－750且α∈（0，π）

∴sinα=150,tanα=－17

又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34

∴tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα

=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1

α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)

β∈（0，π），tanβ=－13<0,β∈(π2,π)

∴2β∈（π,2π），tan2β=－34<0

∴3π2<2β<2π

∴α+2β∈（2π，3π）.

而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4

∴α+2β=11π4

總結評述：給值求角問題中，求出三角函數值后，要注意限制角的范圍。