圖像特征巧解高中數學函數題研究

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摘要：圖像與函數是密不可分的，通過圖像可以將抽象的函數直觀展現在學生面前，使函數問題具體化、清晰化。文章通過對函數圖像與函數問題的關聯研究，提出如何利用函數圖像解答高中數學函數問題，幫助學生輕松應對數學函數問題，使學生能夠擺脫函數學習困境，獲得學習自信，并提出函數教學的合理建議，以提高課堂教學質量。

關鍵詞：高中函數；圖像特征；解題技巧；對策建議

函數是高中數學的重要內容，也是學生接受高層次學習的基礎內容。函數不僅在數學中涉及，還存在于其他學科和專業中。因此，函數是高中生必須掌握和具備的數學知識。利用函數圖像將函數語言轉化為圖像，可以使函數更加直觀，學生理解起來更容易。本文對如何利用函數圖像解答函數題進行論述。

一、高中函數及函數圖像的特點和意義

函數在高中數學中占有很重要的地位。從內容上看，很多數學內容都涉及函數，函數屬于解題的重要方式，具有很強的應用性和分析價值；從難易程度來看，函數的延展性比較強，既可以簡化，又可以涉及較難的知識點；從題型來看，通過變化，函數題型十分豐富，既可以簡單考查某一知識點，以填空和單選形式出現，又可以考查函數多個知識點以及和其他知識點的聯系，以解答分析題出現在試卷最后；從函數的學習意義來看，函數不僅僅是獨立的數學學科內容，還應用于物理、經濟學等學科和專業，學生學習函數的過程不會只停留在高中階段，當升入大學后，很多專業知識都會涉及函數。由此可見，高中函數對學生數學學習、其他學科學習以及思維的培養有著重要的意義。函數圖像作為函數的一部分，具有解釋函數、輔助學生理解函數的作用。通過函數圖像輔助函數教學，可使學生較快掌握函數題的特點和解題方式。在函數教學中，教師應當讓學生養成利用函數圖像解答函數題的習慣，使學生形成清晰的函數思維。

二、利用圖像解答函數問題的原則

1.利用函數圖像，培養學生圖像思維。函數與圖像是密不可分的，函數是圖像的表示，圖像是函數的體現。學生學習函數，就應養成函數圖像解題思維。高中教師在函數教學中，要以培養學生圖像思維能力為原則，使學生養成圖像解題的習慣，利用函數圖像分析語言，促使學生在短時間內能夠利用很少的運算得到函數題的答案。2.利用函數圖像，培養學生解題技巧。函數圖像解題思維要以扎實的解題技巧為基礎。俗話說：“巧婦難為無米之炊。”僅有利用圖像的思維，缺少解題技巧，在面對函數題時不知道如何利用，也是無法實現良好結合的。教師要以培養學生解題技巧為原則，讓學生在解題時可以根據題目和重點畫出函數圖像，找到解題方式。3.利用函數圖像，培養數形結合意識。函數與圖像是不可分割的，教師利用函數圖像培養學生數形結合意識，在題目中設計做圖像的例題，既能鍛煉學生的畫圖能力，也能培養學生的圖像思維意識。學生利用函數的特性，將特性表現在函數圖像中，能逐漸形成看到圖像就獲得表達式的技能，培養數形結合意識。

三、利用函數圖像解答函數題的實踐研究

單純地利用文字整理題目內容和關鍵點，難以得到全面、有效的答案，而通過繪制函數圖像解答函數問題，卻可以直觀地分析、判斷。另外，利用函數圖像與函數性質對應，還可以解決函數零點、根的個數、不等式等問題。因此，在看到函數問題時，學生首先要考慮可以繪制什么樣的函數圖像，通過函數圖像進行接下來的探究。1.對函數圖像分類討論。學生利用函數圖像，可以對函數進行分類。函數問題中，分類討論的題目十分常見，并且情況復雜，學生僅通過文字很難把所有情況逐一列舉。因此，學生要掌握函數的特殊性質，在繪制函數圖像后，通過圖像對各種情況展開討論。有些函數題中，由于自變量的變化會影響函數，這時教師可讓學生繪制出函數圖像，利用坐標表達函數，再對自變量進行分類討論。常見的圖像與函數對應關系為：從函數的最高點、最低點得到函數極值、最值，從圖像分析奇偶性，從圖像的趨勢分析單調性和周期。例如，函數中帶有絕對值判斷單調性，就要通過去掉絕對值，畫出函數圖像進行分析，分別討論寫出正負x時的函數，再畫出函數圖像，選擇x對應的曲線，去掉不對應部分，形成圖像。又如，對于常見的指數函數y=（a-1）x，首先要明確圖像與（a-1）的關系，再把圖像和方程結合，分別導出（a-1）與0和1的關系，進行不同情況下的函數圖像的表達，就可以判斷圖像走向和趨勢。這種利用畫圖分類討論的形式，可以節省學生解題時間，提高解題效率，使學生數學函數思維更加清晰。2.對函數圖像進行特征應用。通過基礎圖像表達函數，再利用函數圖像獲得表達式，是函數最基本的特征。很多時候，單一的函數問題無法從函數式中獲得答案，學生要通過函數特有的特點，畫圖分析，得到答案。例如，對于“做出y=x+1/x的函數圖像”，學生要根據函數的性質，利用函數的奇偶性判斷出該函數為奇函數，然后根據特性做出x>0時的函數圖像，得到x>0時函數≥2，得到函數最低點為（1，2），再通過分析x在（0，1）為減函數，在x>1時為增函數，結合x+1/x>x，得到結論y=x為漸近線，最后畫出圖像。學生利用函數的特點，畫出函數圖像，找到函數特有的性質，就可以順利解答函數題。另一種方式就是通過描述，寫出函數方程式，然后選擇正確的函數圖像，這類試題以文字表述為主，需要學生從文字中提煉關鍵語句，獲得主要內容，再進行下一步分析，討論不同情況下的函數表達式，并利用函數表達式做出函數圖像。例如，對于“利用圖像表達出圖形中移動點包含的陰影面積。在直角梯形ABCD中，角B為直角，BC=CD=1/2AB，DC∥AB，有一點P沿著C到D方向運動，若P移動的路程為x，組成的三角形ABP面積為y，寫出x與y的函數關系式，并做出圖像”。學生可通過試題，得到梯形樣式和P點的移動，做出圖像，再把三角形用陰影表示出來，模仿P點移動軌跡，尋找P點移動過程中面積的區別，發現P點在BC邊上移動形成變化的三角形，在CD邊上移動則形成了上底、下底、高都不變的直角梯形，然后分別寫出函數關系式，做出函數圖像。這樣，學生就通過語言文字，提取函數關系，再利用函數關系分析函數圖像，最終得到答案。3.通過函數圖像，快速解答選擇題。很多函數題的解答需要煩瑣的過程，花費大量的時間。在有規定時間的考試中，對于涉及函數的選擇題，學生可利用特殊值帶入或者函數圖像估算、排除、確定最終選項。一些選擇題鍛煉的就是學生對函數特性的理解能力，并非需要學生計算出具體的答案，這時函數圖像就在解題中發揮了重要的作用。利用函數方程求不等式就是很好的應用，當不等式不能帶入或者麻煩的時候，就可以利用其對應的函數方程，將不等式轉化為兩個不等式的函數方程，從兩個函數方程在直角坐標系上的位置關系判斷不等式的大小。例如，判斷對數函數的大小時，試題中給出a、b的大小關系，0<a<b<1，然后給出以a為底的b，以b為底的a，以1/a為底的b和以1/b為底的a，選擇排序大小正確的選項。學生可首先設Y1、Y2、Y3、Y4分別為底是a、b、1/a、1/b的對數函數，由0<a<b<1推出a、b、1/a、1/b的大小關系，然后在同一坐系中做出底數不同的函數圖像，再做出垂直于（a，0）和（b，0）的直線，得到與四個函數的交點，比較對應的縱坐標，得出大小關系。

綜上所述，利用圖像解答函數問題，可以幫助學生直觀、具體、全面地分析問題，獲得思路和答案。教師應當將函數圖像解題思維和解題技巧滲透在函數教學中，讓學生學會繪制函數圖像，對函數進行分類討論，遇到情境問題時則仔細耐心地判斷特征，利用函數圖像特征解答函數問題，掌握函數特性，為深入研究函數打下基礎。

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作者:余文 單位:福建省寧德五中