我國古代數學在農業中的應用論文

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[論文關鍵詞]古代數學;農業生產;應用

[論文內容提要]我國古代數學對于世界文化有過偉大的貢獻,代數學無可爭辯地是中國所創,我國古代數學是講道理的,是來源于實踐,尤其是來源于農業生產中的。從豐富的生產實踐中發現問題,創造了有我國特色的幾何學。有足夠多的例證,說明我國古代數學立論嚴謹,為農業生產的實踐需要而服務。

我們的祖國是一個地大物博、人口眾多、歷史悠久的文明古國。我國古代文學藝術成就巨大,科學技術方面的指南針、造紙、印刷術、火藥這四大發明,舉世聞名。可是,對我國古代數學的成就,了解的人卻不多,甚至還有人誤以為我國歷來在數學上是落后的。

其實,我國古代數學對于世界文化有過偉大的貢獻。我國古代數學是講道理的,有足夠多的例證,說明它們立論嚴謹,走在世界的前列,我國古代數學在一些重要項目中獲得了“世界冠軍”。而古代數學是來源于實踐,尤其是來源于農業生產的。這是由于中國農業有著悠久的歷史,農業起源于沒有文字記載的遠古時代,它發生于原始采集和狩獵的經濟母體之中,又由于農業生產受社會經濟和自然環境等多種因素的影響,受“地”的影響,古人把“地”看成是“萬物之本原,諸生之根菀”。它是農業生產的基本生產資料,有了“地”,就要有測量,就要有計算,當然就有了數學。

數學是研究客觀世界數量關系和空間形式的科學,我國古代數學恰恰是在數、形、數形結合這三方面有其特色和自成系統。

首先,我國最遲從春秋戰國開始就普遍用算籌記數,而且采用了十進位制,有了良好的記數工具,就可以比較輕便地進行自然數運算;除不盡的除法還出現分數記法及其運算,用兩種不同顏色的算籌區別正數和負數就可以通行無阻地進行有理數四則運算,能夠解決各種比例問題的“今有術”也是在這種算籌制上進行的;從兩漢歷經隋唐宋元,正確、快捷列出方程、方程組、不定方程和不定方程組也都是在這種算籌制上進行的。

另一方面,從漢末三國時代開始的出入相補、損廣益陜原理在處理空間形式問題上起到主導作用,平面圖形的割補和立體圖形的棋驗都體現了這一原理。用長方形余形相等出入相補法則來詮釋劉微重差九術就來得自然,用此來補證秦九韶三斜求積公式,“秦氏承襲希臘海倫”之說也將不攻自破,著名的劉微割圓術是出入相補的應用,祖用牟合方蓋這一專用模型來推導球的體積公式,在方法上、理論上和所得結果至今無可指責,究其原理還是出入相補之理。

數形結合、相輔相成。開平方、開立方無疑是劉微“解體用圖”的具體應用,猶如層層剝繭、井然有序。沈括、楊輝堆垛求和,又與相應立體體積公式類比,從而導出正確結果。反過來,幾何問題又依賴于數量關系。例如趙爽“勾股圓方圖注”憑借計算,以證明勾股弦關系,海島重差借助長方形余形,其理始顯。圓,作為內接正多邊形倍增邊數的極限也是通過計算,得以闡明的。

一、勾股定理在農業生產中的應用舉例

中國古代數學家研究勾股定理的證明和應用,是自成體系的,其證明方法,大都采用青朱出入法,也就是今人說的割補法。通過適當的劃分,將勾上的正方形面積與股上的正方形面積,劃分成若干個部分,而這些部分的總和又恰好能填滿弦上的正方形。所謂青朱出入就是把劃分出來的圖形,添上青、朱、黃等各種顏色,以次出入(割補時容易識別),方法巧妙簡單,令人嘆服。

據歷史資料記載,夏禹(公元前2140年——公元前2095年)治水時就已用到了勾股術(即勾股的計算方法),因此我們可以說,夏禹是世界上有歷史記載的第一個與勾股定理有關的人。

《周髀算經》是我國最古老的算書,成書太約在公元前100年。在該書中說到“禹之所以治天下者,此數之所由生也”。這說明在大禹時,就能應用特殊情況下的勾股定理和測量了。趙爽在《周髀算經》注中說:“禹治洪水,決統江河,望山川方形,定高下之勢,除滔天之災,釋昏墊(老百姓)之厄(危難),使與注于海于無浸逆(溺),乃勾股之所由生也。”這說明當時大禹治洪水之所以成功,是由于使用勾股測量而取得的。

《九章算術》也是我國最古老的一部數學名著,是我國數學方面流傳至今最早也是最重要的一部經典著作,也是世界數學史上極為珍貴的古典文獻,成書大約在公元前后100年。該書總結了秦漢以前我國在數學領域的輝煌成就,開創了獨具一格的理論體系,對中國古代數學的發展有著十分深遠的影響,有不少來源于農業生產的例子。

例1:今有池方一丈,葭生其(池)中央,出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深、葭長各幾何?(選自《九章算術》)

今譯:有一正方形池塘,它的邊長為1丈,一棵蘆葦生長在這池塘的正中央,長出水面1尺,如果將蘆葦拉向池塘邊,莖尖剛巧碰到池岸邊,問池塘水深及蘆葦長各是多少?

這就是一個勾股定理的題目,使用勾股定理經過簡單計算,知水深一丈二尺,葭長一丈三尺。

二、盈虧問題在農業生產中的應用舉例

歷史上任何重要的數學思想與方法都不可能是“無源之水,無本之術”,而總有其產生的實際背景和理論淵源的。那么盈不足術是在怎樣的數學歷史背景下產生,又是在何種數學思想與理論的基礎上發展起來的?這個問題的探討對于了解秦漢以前古算中農業生產應用問題解法的演進以及方程術的產生都是很有價值的。

眾所周知,《九章算術》是我國秦漢以前數學成就的總結,它是一部經歷了長期的歷史發展而逐步完善起來的數學著作,全書分為九章,第一章“方田”就是講述遠古時代簡單的土地測量及分數算法。第七章“盈不足”講什么呢?隨著農業實踐的發展和理論研究的深入,數學應用問題所涉及的數量關系已遠遠超出了比例關系的陜隘范圍。形式多樣而復雜的線性問題和非線性問題的出現,使原始的比率算法已無能為力了。一方面,應用比率算法解題需要“因物成率,審辯各分,平其偏頗,齊其參差”,這對于復雜的比例問題要求很高的分析能力和技巧性;另一方面,對于“隱雜互見”的各種線性與非線性問題,使用比率算法根本不能解決問題。這便要求數學家創造一種新的有力的一般解題方法,盈不足術就是在這樣的數學歷史條件下應運而生的。

例2:今有共買牛,七家共出一百九十,不足三百三十,九家共出二百七十,盈三十。問家數牛價各幾何(選自《九章算術》)

今譯:有若干戶人家共同買牛。如果7家共出錢190則不夠330,如果9家共出錢270,則多錢330。問家數及牛價各是多少?

將盈不足術翻譯成如今方程組求解就是:

設x為家數,y為牛價,由題意得:

x/9×270-y=30

y-x/7×190=330

解得家數為126,牛價3750錢。

據《唐闕史》記載:公元855年左右,唐代有位大官叫楊損,在選用和提拔行政官吏方面以公正聞名。一次,有兩個辦事員,需要提升其中一個,麻煩的是這兩個人的職位相同,在政府里工作的時間也同樣長,甚至他們得到的評語也完全相同。那么,究竟提拔誰好呢?負責這項工作的官吏對這件事感到很傷腦筋,便去請示楊損。楊損仔細考慮了一番,說:“一個辦事員的最大優點之一是要算得快,現在就讓這兩個候補人員都來聽我出題,哪一個先得出正確答案,他就該得到提升”。他的題是:“有人在林中散步,無意間聽到幾個盜賊在商量怎樣分偷來的布匹。他們說,若每人分6匹,就會剩5匹,若每人分7匹,就會差8匹。試問,這里共有幾個盜賊?布匹總數又是多少?”楊損讓兩個候補人員當場在大廳的石階上用籌進行計算。不一會,其中一個得出了正確答案,他被提升了,大家對這個決定也都表示心服。

三、體積計算在農業生產中的應用舉例

我國在古代,由于水利工程、國防工事、房屋營造和道路修建的需要,土方計算十分頻繁。隨著農業生產的發展,各種谷倉、糧庫容積的計算也益加繁重、到《九章算術》成書時代,我國的各種幾何體體積公式都已具備,除了常見的長方體、棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺以外,還出現了某些擬柱體體積公式。這些公式大量匯集在《九章算術》商功章里。

古代世界各國體積公式都沒有推導證明,所以在幾何體求積方面我國成果遙遙領先,不論在種類齊全完備上,在邏輯推理的完整上都是同時期外國所不能比擬的。還必須指出二千年前我們祖先曾經使用過的許多豐富多彩的各種體積公式至今仍有使用價值。以下給出《九章算術》的精彩例子,以饗讀者。公務員之家

例3:今有委粟平地,下周一十二丈,高二丈,問積及粟幾何?

今譯:有粟若干,堆積在平地上成圓錐形,它的底圓周長是12丈,高2丈,問它的體積及粟各是多少?

答曰:積八千尺,為粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。

例4:今有委菽依垣,下周三丈,高七尺,問積及為菽各幾何?

今譯:有菽若干,靠墻堆積,它的底圓半周長3丈,高7尺,問它的體積及菽各是多少?

答曰:積三百五十尺,為菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。

例5:今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺,問積及為米幾何?

今譯:有米若干,堆積在墻的內角,它的底圓周長的四分之一是8尺,高是5尺,問它的體積及米各是多少?

答曰:積三十五尺九分尺之五,為米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。

關于這種計算堆積的方法,在我國民間沿用很廣,并將這些公式編成歌訣流傳下來。其歌訣是:

光堆法用三十六,

倚壁須分十八停,

內角聚時如九一,

外角三九甚分明。

這些流傳的歌訣,可能就是后人根據《九章算術》的這個“委粟術”編寫而成的。很明顯,歌訣前三句的意思,就無異于“委粟術”的術文。至于歌訣的第四句,就是依墻外角堆米,參照術文可表達為:“依垣外角者(居圓錐之四分之三也)二十七而一”。不過,《九章算術》中沒有這樣的例子。

總而言之,我國古代數學思想在農業生產中的應用極廣,本文所述僅是冰山一角,該文的作用充其量是拋磚引玉罷了。

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