探究數(shù)學(xué)概率論實(shí)踐教學(xué)論文

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摘要：將數(shù)學(xué)史引入課堂、在教學(xué)中廣泛應(yīng)用案例、積極開展隨機(jī)試驗(yàn)以及引導(dǎo)學(xué)生主動探索等，有助于改進(jìn)概率論教學(xué)方法，解決教學(xué)實(shí)踐問題，提高教學(xué)質(zhì)量．教學(xué)手段的多樣化以及豐富的教學(xué)內(nèi)容可以加深學(xué)生對客觀隨機(jī)現(xiàn)象的理解與認(rèn)識，并激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和主動探索的精神．

關(guān)鍵詞：概率論；教學(xué)；思維方法

在數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程中出現(xiàn)了3次重大的飛躍．第一次飛躍是從算數(shù)過渡到代數(shù)，第二次飛躍是常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，第三次飛躍就是從確定數(shù)學(xué)到隨機(jī)數(shù)學(xué)．現(xiàn)實(shí)世界的隨機(jī)本質(zhì)使得各個領(lǐng)域從確定性理論轉(zhuǎn)向隨機(jī)理論成為自然；而且隨機(jī)數(shù)學(xué)的工具、結(jié)論與方法為解決確定性數(shù)學(xué)中的問題開辟了新的途徑．因此可以說，隨機(jī)數(shù)學(xué)必將成為未來主流數(shù)學(xué)中的亮點(diǎn)之一．概率論作為隨機(jī)數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的部分，已經(jīng)成為高校中很多專業(yè)的學(xué)生所必修的一門基礎(chǔ)課．但是教學(xué)過程中存在的一個主要問題是：學(xué)生們往往已經(jīng)習(xí)慣了確定數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)思維方式，認(rèn)為概率中的基本概念抽象難以理解，思維受限難以展開．這些都使得學(xué)生對這門課望而卻步，因此如何在概率論的教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)學(xué)的思維方法就顯得十分重要．本文擬介紹我們在該課程教學(xué)中的改革嘗試，當(dāng)作引玉之磚．1將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)課堂在概率論教學(xué)過程當(dāng)中，介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生更好地認(rèn)識到概率論不僅是“陽春白雪”，而且還是一門應(yīng)用背景很強(qiáng)的學(xué)科．比如說概率論中最重要的分布——正態(tài)分布，就是在18世紀(jì)，為解決天文觀測誤差而提出的．在17、18世紀(jì)，由于不完善的儀器以及觀測人員缺乏經(jīng)驗(yàn)等原因，天文觀測誤差是一個重要的問題，有許多科學(xué)家都進(jìn)行過研究．1809年，正態(tài)分布概念是由德國的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德國數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）率先將正態(tài)分布應(yīng)用于天文學(xué)研究，指出正態(tài)分布可以很好地“擬合”誤差分布，故正態(tài)分布又叫高斯分布．如今，正態(tài)分布是最重要的一種概率分布，也是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布．在1844年法國征兵時，有許多符合應(yīng)征年齡的人稱自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，這里面一定有人為了躲避兵役而說謊．果然，比利時數(shù)學(xué)家凱特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服從正態(tài)分布的法則，把應(yīng)征人的身高的分布與一般男子的身高分布相比較，找出了法國2000個為躲避征兵而假稱低于最低身高要求的人[1]．在大學(xué)階段，我們不僅希望通過數(shù)學(xué)史在教學(xué)課堂中的呈現(xiàn)來引起學(xué)生學(xué)習(xí)概率論這門課程的興趣，更應(yīng)側(cè)重讓學(xué)生通過興趣去深入挖掘數(shù)學(xué)史，感受隨機(jī)數(shù)學(xué)的思想方法[2]．我們知道概率論中的古典概型要求樣本空間有限，而幾何概型恰好可以消除這一條件，這兩種概型學(xué)生理解起來都很容易．但是繼而出現(xiàn)的概率公理化定義，學(xué)生們總認(rèn)為抽象、不易接受．尤其是概率公理化定義里出現(xiàn)的σ代數(shù)[3]

這一概念：設(shè)Ω為樣本空間，若Ω的一些子集所組成的集合?滿足下列條件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，則A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，則∈∞=nnA∪1?，則我們稱?為Ω的一個σ代數(shù)．為了使學(xué)生更好的理解這一概念，我們可以引入幾何概型的一點(diǎn)歷史來介紹為什么要建立概率的公理化定義，為什么需要σ代數(shù)．幾何概型是19世紀(jì)末新發(fā)展起來的一種概率的計(jì)算方法，是在古典概型基礎(chǔ)上進(jìn)一步的發(fā)展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸．1899年，法國學(xué)者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”[3]，矛頭直指幾何概率概念本身．這個悖論是：給定一個半徑為1的圓，隨機(jī)取它的一條弦，問：

弦長不小于3的概率為多大？對于這個問題，如果我們假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布，所求概率為1/2；又若假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布，則所求概率又等于1/4．同一個問題竟然會有3種不同的答案，原因在于取弦時采用了不同的等可能性假定！這3種答案針對的是3種不同的隨機(jī)試驗(yàn)，對于各自的隨機(jī)試驗(yàn)而言，它們都是正確的．因此在使用“隨機(jī)”、“等可能”、“均勻分布”等術(shù)語時，應(yīng)明確指明其含義，而這又因試驗(yàn)而異．也就是說我們在假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布時，就不能考慮弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布或弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布所對應(yīng)的事件．換句話講，我們在假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布時，只把端點(diǎn)在圓周上均勻分布所對應(yīng)的元素看成為事件．現(xiàn)在再來理解σ-代數(shù)的概念：對同一個樣本空間Ω，?1={?,Ω}為它的一個σ代數(shù)；設(shè)A為Ω的一子集，則?2={?,A,A,Ω}也為Ω的一個σ代數(shù)；設(shè)B為Ω中不同于A的另一子集，則?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也為Ω的一個σ代數(shù)；Ω的所有子集所組成的集合同樣能構(gòu)成Ω的一個σ代數(shù)．當(dāng)我們考慮?2時，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω當(dāng)作事件，而B或AB就不在考慮范圍之內(nèi)．由此σ代數(shù)的定義就較易理解了．2廣泛運(yùn)用案例教學(xué)法案例與一般例題不同，它有產(chǎn)生問題的實(shí)際背景，并能夠?yàn)閷W(xué)生所理解．案例教學(xué)法是將案例作為一種教學(xué)工具，把學(xué)生引導(dǎo)到實(shí)際問題中去，通過分析和討論，提出解決問題的基本方法和途徑的一種教學(xué)方法．我們可以從直觀性、趣味性和易于理解的角度把概率論基礎(chǔ)知識加以介紹．我們在講條件概率一節(jié)時可以先介紹一個有趣的案例——“瑪麗蓮問題”：十多年前，美國的“瑪利亞幸運(yùn)搶答”

電臺公布了這樣一道題：在三扇門的背后（比如說1號、2號及3號）藏了兩只羊與一輛小汽車，如果你猜對了藏汽車的門，則汽車就是你的．現(xiàn)在先讓你選擇，比方說你選擇了1號門，然后主持人打開了剩余兩扇門中的一個，讓你看清楚這扇門背后是只羊，接著問你是否應(yīng)該重新選擇，以增大猜對汽車的概率？

由于這個問題與當(dāng)前電視上一些娛樂競猜節(jié)目很相似，學(xué)生們就很積極地參與到這個問題的討論中來．討論的結(jié)果是這個問題的答案與主持人是否知道所有門背后的東西有關(guān)，這樣就可以很自然的引出條件概率來．在這樣熱烈的氣氛里學(xué)習(xí)新的概念，一方面使得學(xué)生的積極性高漲，另一方面讓學(xué)生意識到所學(xué)的概率論知識與我們的日常生活是息息相關(guān)的，可以幫助我們解決很多實(shí)際的問題．因此在介紹概率論基礎(chǔ)知識時，引進(jìn)有關(guān)經(jīng)典的案例會取得很好的效果．例如分賭本問題、庫存與收益問題、隱私問題的調(diào)查、概率與密碼問題、17世紀(jì)中美洲巫術(shù)問題、調(diào)查敏感問題、血液檢驗(yàn)問題、1992年美國佛蒙特州州務(wù)卿競選的概率決策問題，以及當(dāng)前流行的福利彩票中獎問題，等等[4]．概率論不僅可以為上述問題提供解決方法，還可以對一些隨機(jī)現(xiàn)象做出理論上的解釋，正因?yàn)檫@樣，概率論就成為我們認(rèn)識客觀世界的有效工具．比如說我們知道某個特定的人要成為偉人，可能性是極小的．之所以如此，一個原因是由于某人的誕生是一系列隨機(jī)事件的復(fù)合：父母、祖父母、外祖父母……的結(jié)合、異性的兩個生殖細(xì)胞的相遇，而這兩個細(xì)胞又必須含有某些產(chǎn)生天才的因素．另一個原因是嬰兒出生以后，各種偶然遭遇在整體上必須有利于他的成功，他所處的時代、他所受的教育、他的各項(xiàng)活動、他所接觸的人與事以及物，都須為他提供很好的機(jī)會．雖然如此，各時代仍然偉人輩出．一個人成功的概率雖然極小，但是幾十億人中總有佼佼者，這就是所謂的“必然寓于偶然之中”的一種含義．如何用概率論的知識解釋說明這個問題呢？設(shè)某試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為ε，0<ε<1，不管ε如何小，如果把這試驗(yàn)不斷獨(dú)立重復(fù)做任意多次，那么A遲早會出現(xiàn)1次，從而也必然會出現(xiàn)任意多次．這是因?yàn)椋谝淮卧囼?yàn)A不出現(xiàn)的概率為(1?ε)n，前n次A都不出現(xiàn)的概率為1?(1?ε)n，當(dāng)n趨于無窮大時，此概率趨于1，這表示A遲早出現(xiàn)1次的概率為1．出現(xiàn)A以后，把下次試驗(yàn)當(dāng)作第一次，重復(fù)上述推理，可見A必然再出現(xiàn)，如此繼續(xù)，可知A必然出現(xiàn)任意多次．因此，一個人成為偉人的概率固然非常小，但是千百萬人中至少有一個偉人就幾乎是必然的了[5]．3積極開展隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)是指具有下面3個特點(diǎn)的試驗(yàn)：

（1）可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)．在講授隨機(jī)試驗(yàn)的定義時，我們往往把上面3個特點(diǎn)一一羅列以后，再舉幾個簡單的例子說明一下就結(jié)束了，但是在看過一期國外的科普短片以后，我們很受啟發(fā)．節(jié)目內(nèi)容是想驗(yàn)證一下：當(dāng)一面涂有黃油，一面什么都沒有涂的面包從桌上掉下去的時候，到底會哪一面朝上？令我們沒有想到的是，為了讓試驗(yàn)結(jié)果更具說服力，實(shí)驗(yàn)人員專門制作了給面包涂黃油的機(jī)器，以及面包投擲機(jī)，然后才開始做試驗(yàn)．且不論這個問題的結(jié)論是什么，我們觀察到的是他們?yōu)榱吮ＷC隨機(jī)試驗(yàn)是在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行的，相當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剡M(jìn)行了試驗(yàn)設(shè)計(jì)．我們把此科普短片引入到課堂教學(xué)中，結(jié)合實(shí)例進(jìn)行分析，并提出隨機(jī)試驗(yàn)的3個特點(diǎn)，學(xué)生接受起來十分自然，整個教學(xué)過程也變得輕松愉快．因此，我們在教學(xué)中可以利用簡單的工具進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，盡可能使理論知識直觀化．比如全概率公式的應(yīng)用演示、幾何概率的圖示、隨機(jī)變量函數(shù)的分布、數(shù)學(xué)期望的統(tǒng)計(jì)意義、二維正態(tài)分布、高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)等，把抽象理論以直觀的形式給出，加深學(xué)生對理論的理解．但是我們不可能在有限的課堂時間內(nèi)去實(shí)現(xiàn)每一個隨機(jī)試驗(yàn)，因此為了有效地刺激學(xué)生的形象思維，我們采用了多媒體輔助理論課教學(xué)的手段，通過計(jì)算機(jī)圖形顯示、動畫模擬、數(shù)值計(jì)算及文字說明等，建立一個圖文并茂、聲像結(jié)合、數(shù)形結(jié)合的生動直觀的教學(xué)環(huán)境，從而拓寬學(xué)生的思路，有利于概率論基本理論的掌握．與此同時，讓學(xué)生在接受理論知識的過程中還能夠體會到現(xiàn)代化教學(xué)的魅力，達(dá)到了傳統(tǒng)教學(xué)無法實(shí)現(xiàn)的教學(xué)效果[6]．4引導(dǎo)學(xué)生主動探索傳統(tǒng)的教學(xué)方式往往是教師在課堂上滿堂灌，方法單一，只重視學(xué)生知識的積累．教師是教學(xué)的主體，側(cè)重于教的過程，而忽視了教學(xué)是教與學(xué)互動的過程．相比較而言，現(xiàn)代教學(xué)方法更側(cè)重于挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能，以最大限度地發(fā)揮及發(fā)展學(xué)生的聰明才智為追求目標(biāo)．例如，在給出條件概率的定義以后，我們知道當(dāng)P(A)>0時，P(B|A)未必等于P(B)．但是一旦P(B|A)=P(B)，也就說明事件A的發(fā)生不影響事件B的發(fā)生．同樣當(dāng)P(B)>0時，若P(A|B)=P(A)，就稱事件B的發(fā)生不影響事件A的發(fā)生．因此若P(A)>0，P(B)>0，且P(B|A)=P(B)與P(A|B)=P(A)兩個等式都成立，就意味著這兩個事件的發(fā)生與否彼此之間沒有影響．我們可以讓學(xué)生主動思考是否能夠如下定義兩個事件的獨(dú)立性：

定義1：設(shè)A，B是兩個隨機(jī)事件，若P(A)>0，P(B)>0，我們有P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．接下來，我們可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)考察定義1中的條件P(A)>0與P(B)>0是否為本質(zhì)要求？事實(shí)上，如果P(A)>0，P(B)>0，我們可以得到：

P(B|A)=P(B)?P(AB)=P(A)P(B)?P(A|B)=P(A)．但是當(dāng)P(A)=0，P(B)=0時會是什么情況呢？由事件間的關(guān)系及概率的性質(zhì)，我們知道AB?A，AB?B，因此P(AB)=0=P(A)P(B)，等式仍然成立．所以我們可以舍去定義1中的條件P(A)>0，P(B)>0，即如下定義事件的獨(dú)立性：公務(wù)員之家

定義2：設(shè)A，B為兩隨機(jī)事件，如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱A，B為相互獨(dú)立的事件，又稱A，B相互獨(dú)立．很顯然，定義2比定義1更加簡潔．在這個定義的尋找過程中，我們不僅能夠鼓勵學(xué)生積極思考，而且可以很好地培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生提出問題、分析問題以及解決問題的能力，從而體會數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)的美．5結(jié)束語通過實(shí)踐我們發(fā)現(xiàn)，將數(shù)學(xué)史引入課堂既能讓學(xué)生深入了解隨機(jī)數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展過程，又切實(shí)感受到隨機(jī)數(shù)學(xué)的思想方法；把案例應(yīng)用到教學(xué)當(dāng)中以及在課堂上開展隨機(jī)試驗(yàn)可以將概率論基礎(chǔ)知識直觀化，增加課程的趣味性，易于學(xué)生的理解與掌握；引導(dǎo)學(xué)生主動探索可以強(qiáng)化教與學(xué)的互動過程，激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想來解決概率論中遇到的問題．

總之，在概率論的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生建立學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)學(xué)的思維方法.通過教學(xué)手段的多樣化以及豐富的教學(xué)內(nèi)容加深學(xué)生對客觀隨機(jī)現(xiàn)象的理解與認(rèn)識．另外，要以人才培養(yǎng)為本，實(shí)現(xiàn)以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的主客體結(jié)合的教學(xué)思想，將培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力、創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力的思想落到實(shí)處，以期達(dá)到學(xué)生受益最大化的目標(biāo)，為學(xué)生將來從事經(jīng)濟(jì)、金融、管理、教育、心理、通信等學(xué)科的研究打下良好的基礎(chǔ)．

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