探索讓數學課堂充滿激情與智慧

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《數學課程標準》提出“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐，自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式”。課堂是教學主陣地，培養學生的創造力和探索能力，還得從課堂入手，放手讓學生去探索、去發現，對學生潛能發展和數學思維能力的發展都起著重要的推進作用。因此，教師的任務主要在于指導學生探索獲得知識、技能的途徑和方法，領悟數學思想方法和精神，對于培養學生學會探索、學會學習是至關重要的。布魯納指出：“探索是數學教學的生命線”。

如何在數學課堂中引導學生開展探索活動？筆者就如下方面進行了探究。

1．探索問題的條件或結論，彰顯學生智慧的個性

條件或結論開放的問題給學生留有足夠的探索空間，為學生創造了探索的機會和提供了探索題材，并能激發學生的探索欲望。學生從多角度、多層次開展探索活動，表現出不同層次的思維水平，通過互動交流促使思維空間得以拓展，有利于培養學生的探索精神和激發學生的潛能，彰顯個性思維，迸發智慧的火花。

例1如圖(1)，⊙O的直徑AB的延長線交切線TP于P，TH⊥AB于H，若TP=a，請你添上一個條件后，可以求出OH．

我提示：要求OH，關鍵是探究OH、PT、PH、OP、TH這些線段的關。經此點撥，學生依據已知條件，聯想基本圖形，通過添加輔助線，從而容易得到OH、PT、PH、OP、OT、TH這些線段的關系，進而發現只要線段(PH、OP、TH、半徑或直徑)中的任何一條線段已知，就可求出OH。此時學生的學習情緒高漲，充分感受到探索知識的無窮樂趣和成功的喜悅之情。我趁機提出：除添加以上條件外，還可以添加其它條件嗎？這進一步激發了學生探索的激情．有的學生從角(∠P、∠PTH)入手添加條件，有的學生從線段(PA、PB)入手添加條件，有的學生從線段關系入手添加條件，如：PA=4PB、TH∶PH=1∶3、PH=3OH等。學生探究的角度越來越多，顯然，這樣的課堂是卓有成效的。

這里，問題結論明確而條件不給出或條件不完備，問題所要具備的條件需要學生探索才能獲得。應點撥學生從所給結論、條件出發，逆向推理，逐步探索，獲取最佳條件，常用方法是“執果索因”。

例2如圖(2)，AB是⊙O的直徑，⊙O過AC的中點D，DE⊥BC于E，CB切⊙O于B.由這些條件，你能推出哪些正確的結論？

我提示：要仔細觀察圖形的特點，想一想，如何添加輔助線？從哪些方面獲取結論？經此點撥，學生從判斷三角形的形狀及其三邊的特殊關系、兩角關系、兩條線段關系、直線與圓的位置關系及線段之間的數量關系等方面探究獲得結論，學生通過多層次、多方位的探索，活化了自己的思維。

問題給出條件而結論不給出或結論不確定，需要學生探索才能得到結論。常規策略是“綜合法”。要點撥學生從問題條件出發，依據已知事實和數學知識，合理推斷，大膽猜想，探索相應結論，并驗證猜想的結論，從而獲得正確結論。

2．探索解題中的錯因，點燃學生智慧的火花

英國心理學家貝恩布里奇說：“錯誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的。”是的，我們不僅要寬容錯誤，更要挖掘利用好學生的錯誤資源，學生有了錯誤，要給足學生思考的時間和空間，讓學生自己去發現錯誤，探究錯因，糾正錯誤。從認知沖突中產生思維碰撞，點燃智慧的火花，邁入知識的殿堂。

例4若（X+1）X²+3X+2=1,則X的值為（）。

A、0B、-2C、-1或-2D、0或-2

解答時，多數學生的解答是：由題意得：X2+3X+2=0,且X+1≠0,解得X=-2，故選B。

此時，我提醒學生再仔細想想。過一會兒，終于有學生提出答案為D。很多學生半信半疑地把X=0代入原式驗證，結果發現等式也成立。對此，大家感到迷惑不解，表明上述解法有錯，“到底錯在哪里？”至此，學生產生了迫切的求知心和想弄清錯因的強烈愿望。我再次提醒學生不要只注意“底”的條件（底數不能為零）而忽略其它情況，讓學生在探索、交流中去發現錯誤，分析原因，真正弄懂錯誤的根源——沒有全面地分析等式成立的所有可能性：①a0=1(a≠0),②1n=1(n∈N),③(-1)2n=1(n∈N)，通過引導學生類比發現：當等式成立屬于情況①時，解答如上，得X=-2；當等式成立屬于②時，有X+1=1，即X=0；當等式成立屬于情況③時，有X+1=-1，即X=-2，此時，X2+3X+2=0，則等式為(-1)0=1，綜合以上情況得X=0或X=-2。

教學中巧設富有內涵置陷且有啟發性的問題，能起投石激浪作用。通過示錯——糾錯——頓悟的過程，讓學生更好地在錯誤中尋找疑點，在誤中思，在思中悟，讓他們在自己常犯的錯誤和挫折的教訓中變得“聰明起來”。

3．探索數學公式定理，叩開學生的智慧之門

建構主義認為：“學生數學學習是一個主動建構知識的過程，獲得數學知識需要每個人再現類似的創造過程，數學學習是一種再發現、再創造的過程”。讓學生探索定理、公式形成過程就是一個“再創造”的最好范例．為此，對公式、定理教學，我不是簡單地呈現結論，而是突出公式定理的發生、發展和形成的過程，從具體背景材料出發，揭示知識背景和來源，創設動手實踐、操作實驗等情景和一系列探索性的問題，為學生建構新知識創設必要的平臺，讓學生從事觀察、實驗、探索、猜想、驗證、推理與交流等活動，促使學生探索發現數學公式定理，闖入知識的殿堂，叩開學生的智慧之門。

例5“平方差公式”教學，可設置如下問題：

(1)計算并觀察下列每組算式：

(2)已知25×25=625，那么24×26=？

(3)你能舉出一個類似的例子嗎？

(4)從上述過程，你發現了什么規律？

(5)你能用語言敘述這個規律嗎？你能用代數式表示這個規律嗎？

(6)你能驗證并說明你所猜想的規律的正確性嗎？

這樣，通過“數組計算——比較歸納——感受方法——猜想一般規律”，讓學生經歷了根據特例進行觀察、比較、歸納、猜想、驗證，用數學符號表示，證明猜想，在探索過程中發現了“平方差公式”，從中嘗試到成功的喜悅，誘發了學習數學的激情。

例6“三角形中位線定理”教學，我設計了“把一個三角形剪一刀拼成一個平行四邊形”的操作活動。

問題1：圖(5)是一個任意三角形，請在三角形上剪一刀，使得分成的兩塊正好拼成一個平行四邊形．

問題2：若把圖(5)中我們剪下的位置稱為三角形的中位線，你能給出三角形中位線的定義嗎？一個三角形有幾條中位線？

問題3：通過活動和觀察，你能發現三角形的中位線和第三邊有什么位置和數量關系？想一想怎樣驗證你的猜想？

問題4：你能否對你的猜想進行證明？

這樣，把數學知識的形成過程轉化為學生親自實驗、操作、觀察、探索、發現、驗證、運用的過程，讓學生歷經探索發現了定理、公式，品嘗知識探索過程中成功的喜悅，既實現數學教學對于學生主動發展的價值，又豐富了數學活動的經驗，培養了學生探索能力，激活了創造潛能。

4．探索數學問題的規律，拓寬學生的智慧之路

波利亞指出：“學習任何知識的最佳途徑是自己去發現”。數學問題的許多內容充滿了用來表達各種數學規律的模型，如數列、代數式、方程、函數、不等式、圖形等均蘊含一定規律，這無疑要學生通過探索才能發現其規律。這類問題一般是從特殊到一般，再到一般，觀察它們的共同特征，猜想得出規律。學生在經歷探索事物的數量關系、變化的過程中發現數學規律，拓寬了思維空間與知識空間，開啟了智慧之門。

4．1探索數式所蘊含的規律

數式蘊含著什么的規律，通過探索才能發現其規律．關鍵要指導學生觀察、分析、比較、抓住數式的共同特征，探索它們之間的相互關系，進而歸納、猜想得到規律。

例7請同學們先驗證下列各個等式是否成立。

(1)；(2)；(3)；

(4)；…通過驗證，你能發現什么規律呢？并用字母表示這一規律.

在上述各式中，根號“”像一個“牢籠”，它把數、式關在里面，使它們與“牢籠”外的數、式不能直接運算，給化簡、合并帶來障礙．但是，經過驗算可以發現，上述各式中的整數部分可以沖出“牢籠”。于是，引導學生探索：

(1)是否任何一個分數開平方，整數部分都可以沖出“牢籠”呢？

(2)還有那些帶分數開平方(或開立方…)，整數部分都可以沖出“牢籠”呢？

學生進行探索、試算、體驗，進而觀察分子、分母的特點，從而可以猜想得到：；

還可以引導學生進一步猜想出更一般的規律：.

這樣，學生通過觀察、猜想、類比、交流、歸納、證明等探索過程中獲得成功的體驗，進一步認識和理解數學探究的一般性方法。

4．2探索圖形蘊含的規律

新教材編排（搭建、擺放、拼、鋪設等）許多計數圖形（案）均蘊含某種規律，也是近年中考試題的一個亮點，而且給學生提供了很好的探索素材。讓學生探索一組圖形變化所反映的規律，使學生經歷觀察、分析、探索、猜測、驗證等發現探索過程，學會“問題——探索——發現——推廣”的探索模式，從中讓學生“悟出”道理、規律和思考方法等，能有效地提高學生分析解決問題的能力和探索能力。

例8某餐廳按下圖方式擺放餐桌和椅子：

（1）1張餐桌可坐6人，2張餐桌可坐人。

（2）請你擺出5張餐桌的圖形，6張餐桌呢？各能坐多少人？

（3）觀察、分析、探索圖中表示的人數是怎樣隨餐桌的變化而變化的，你發現什么規律？請寫出n張這樣擺放的餐桌可以坐的人數。

（4）如果按這種方式擺放100張餐桌，一共可以坐多少人？

這樣，教師以數學規律的發生、發展的過程為主線，結合學生的認知特點，不斷設置問題，激發學生的好奇心和探索欲望，能讓學生變被動接受為主動探究，富有個性地自我建構，從而掙脫思維定勢的束縛，激發自身的學習潛能。

多年的教學實踐證明，數學課堂開展探索學習活動，還必須結合學生的知識水平創設探索性問題情景進行，只有這樣，才能保證學生學習探索的可持續發展。