培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺的試驗

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摘要：本文從直覺思維談起，分析了直覺思維的特點以及數(shù)學(xué)直覺思維的幾種存在形式，同時談到了直覺思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要意義，并從實踐的教學(xué)經(jīng)驗分析了如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，以達到更好的學(xué)習(xí)效果，同時增強學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和各方面的品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教育、直覺思維

數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)是開發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的能力，特別是要培養(yǎng)學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)思維能力。數(shù)學(xué)思維的能力是多方面的，其中最重要的是創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)，而直覺思維又是創(chuàng)造性思維乃至數(shù)學(xué)思維里面的一個重要內(nèi)容，所以需要我們給予適當(dāng)?shù)闹匾暋?/p>

直覺思維通常是指人腦對客觀世界及其相互關(guān)系的一種非直接的認識、分辨或猜想的心理狀態(tài)，是一種間接的心理反應(yīng)（張俊、羅馥，2002）。直覺作為一種很普遍的心理現(xiàn)象存在于人們的日常生活、學(xué)習(xí)和研究之中。很多人都承認直覺的存在，但是由于目前我們對于直覺的認識還非常有限，所以我們還只能從直覺思維的一些表現(xiàn)特點上來認識它。

直覺思維概括起來有以下幾個特點：第一，直覺思維具有直接性。這里的“直接”是指在沒有經(jīng)過詳細分析和推理下，直接獲得的結(jié)果。某些時候直覺似乎沒有表現(xiàn)出連貫的邏輯，而是表現(xiàn)出中斷的邏輯，然而在斷裂的背后卻是理性思維的“凝煉”。第二，直覺思維具有迅速性。直覺出現(xiàn)的速度是非常快的，多數(shù)時候都是一閃而過，這種瞬間的辨別和判斷是憑借大腦中積累的大量知識和經(jīng)驗發(fā)生作用，所產(chǎn)生的一種結(jié)果。（王秀泉，2001）第三，直覺過程似乎是無須努力而自己完成的。直覺的過程往往具有很強的個體性，而且很難用言語清楚地表達出來，因而也很難被他人理解和研究。

在數(shù)學(xué)里面，直覺思維是人腦對數(shù)學(xué)現(xiàn)象及其結(jié)構(gòu)關(guān)系的一種迅速的判斷與敏銳的想象，其思維的主體是根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗，對數(shù)學(xué)對象及其規(guī)律性關(guān)系的迅速的識別、直接的理解、綜合的判斷與想象的過程。與分析思維相比較，直覺思維很少會有清晰的和確定的步驟，它更傾向于通過對整體問題的理解為基礎(chǔ)進行思維，隨后通過聯(lián)想、猜想等直覺的判斷方法先獲得問題的答案或者進行求解的過程。這無疑會激發(fā)人們對已有的答案用分析的手段進行歸納和演繹，從而對所得到的結(jié)論加以檢驗。歷史上的數(shù)學(xué)家無一不肯定“邏輯是證明的工具，而直覺是創(chuàng)造的工具”這一偉大想法。

談到數(shù)學(xué)直覺思維的基本形式，大體上有這樣幾種：第一，直覺觀念。我們在研究某一數(shù)學(xué)問題時，即使沒有紙和筆，腦子里也會構(gòu)思起生動直觀的模型或形象，表現(xiàn)為圖形、文字、符號等。這種以數(shù)學(xué)模型、空間圖形作為想象載體進行直覺思維的形式，我們稱其為直覺觀念。第二，直覺推理。直覺觀念開始建立時只是簡單的、單個的，而不足以對一個數(shù)學(xué)問題進行思維，多個直覺觀念按照一定的秩序聯(lián)接、變換之后就會形成一定的結(jié)構(gòu)，從而可以逐步接近要認識的對象。這一過程不同于邏輯思維的進行方式，它是由想象力牽引著前進同時又起著與邏輯推理類似的作用，因此我們通常把由想象聯(lián)接直覺觀念的運動過程稱為直覺推理。第三，直覺判斷。直覺判斷是人腦對于客觀存在的實體、現(xiàn)象、符號及其表征的相互關(guān)系的一種迅速的識別或直接的理解。數(shù)學(xué)直覺判斷常常在學(xué)習(xí)和研究過程中表現(xiàn)出來。例如，題目剛一出現(xiàn)，老師還沒有解釋完畢，學(xué)生就說懂了，就是因為結(jié)論已被直覺地判斷出來。非歐氏幾何的誕生正是羅巴切夫斯基和黎曼具有這種整體的直覺判斷能力的偉大成果。第四，直覺啟發(fā)。數(shù)學(xué)家沉思于某一問題，還沒有在頭腦中搜索到固有的模式，而在某種外部信息的刺激下，由于聯(lián)想而使問題豁然貫通，稱之為直覺啟發(fā)，也就是我們常說的“靈感”。數(shù)學(xué)直覺思維中的直覺觀念、推理、判斷和靈感是難以截然分開的，它們常常結(jié)合于一個統(tǒng)一的思維過程中。

直覺思維的培養(yǎng)對全面提高學(xué)生思維能力，特別是創(chuàng)造性思維發(fā)展有重大的推動作用。隨著教育觀念的不斷深化，作為創(chuàng)造性思維的重要組成部分，直覺思維越來越被人們所注重。直覺思維是人類基本的思維形式之一，它是對于一些現(xiàn)象或事物，在未經(jīng)過嚴密的邏輯程序之前，直接地認識到其內(nèi)在本質(zhì)或規(guī)律的思維活動。數(shù)學(xué)直覺是對數(shù)學(xué)對象內(nèi)在的和諧與關(guān)系的直接洞察或頓悟，是一種敏銳的想象和迅速的判斷，是突發(fā)性的也是科學(xué)的。數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)往往在最開始是直覺性的而非邏輯性的，例如牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力，法拉第發(fā)現(xiàn)磁力線與磁場等等。同樣，直覺在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中也有廣泛的應(yīng)用，怎樣才能有效地培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺呢？我們雖然尚未完全明白直覺的心理和生理機制，只是從外部特征上有一些描繪性的認識，但我們并不能因此而放棄對學(xué)生直覺思維的培養(yǎng)。在教學(xué)工作中，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握這種天賦。直覺是人憑借自身的經(jīng)驗和信息而產(chǎn)生的一種心智活動，它不像邏輯思維那樣有完善的架構(gòu)和模式，因此直覺的培養(yǎng)更需要創(chuàng)設(shè)情景、及時把握時機進行啟發(fā)和誘導(dǎo)。在日常教學(xué)活動中，我們可適當(dāng)改變純演繹的教學(xué)方式加以引導(dǎo)。結(jié)合自己的教學(xué)實踐，我想談?wù)剬@個問題的認識和做法。

一、打好基礎(chǔ)、優(yōu)化思維、培養(yǎng)意志

雖然數(shù)學(xué)直覺的產(chǎn)生具有突發(fā)性和不可預(yù)期性，但實踐表明具有良好直覺思維的人一定是具備一定數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人，在努力探索數(shù)學(xué)問題的過程中，突然爆發(fā)出來的如同閃電那樣的靈感會瞬間出現(xiàn)在他的腦海中，于是疑團一下子被解開了。同時，數(shù)學(xué)直覺的漲力是可以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中逐步成長起來的，其中特別重要的一環(huán)是：在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中要當(dāng)達到“真懂”或“徹悟”的境界。由此可見，具有堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、富于探索精神和渴望解決問題的頑強意志，是產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺的必要條件。所以，在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該善于啟發(fā)學(xué)生認識和理解所學(xué)的知識，并能熟練地掌握數(shù)學(xué)的基本方法和基本技能，通過培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，讓學(xué)生對所學(xué)的知識達到“真懂”的地步。

二、依據(jù)直覺特征、設(shè)計數(shù)學(xué)情境、培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺。

數(shù)學(xué)直覺是一種不包括普通邏輯推理過程的直接悟性，所以它的思維方式是有其特別之處的。只要我們根據(jù)它的特點，并且結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實際來對學(xué)生進行有意識的訓(xùn)練，同時做到堅持不懈，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺一定會被逐步培養(yǎng)起來。培養(yǎng)直覺思維，我們還要從數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程入手證明問題。現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材都是經(jīng)過邏輯加工好的數(shù)學(xué)形式，定理的證明以及公式的推導(dǎo)一般都是按照編排好的邏輯演繹方式進行講授。其實，數(shù)學(xué)知識與其它人類知識一樣，它們的發(fā)現(xiàn)也是經(jīng)過反復(fù)的猜測和論證才獲得的。在證明問題前，老師如果能先將數(shù)學(xué)結(jié)論獲得前的推測簡要地重現(xiàn)給學(xué)生，或者將自己對結(jié)論的猜測告訴學(xué)生，又或者創(chuàng)設(shè)情景讓學(xué)生去猜測、提出疑問等引導(dǎo)學(xué)生探索“發(fā)現(xiàn)”結(jié)論將有助于開啟學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺。如此通過引導(dǎo)學(xué)生探索、大膽地去猜測、不斷提出疑問而最終發(fā)現(xiàn)結(jié)論，這一過程將有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

1、根據(jù)直覺思維考察問題，還要重視各個元素之間的聯(lián)系以及系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)，從整體上把握研究的內(nèi)容和方向并選取數(shù)學(xué)問題供學(xué)生訓(xùn)練，同時引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識去猜想、發(fā)現(xiàn)、最后論證。

例一、橢圓的焦點F1、F2，點P是橢圓上的動點，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時，求點P橫坐標(biāo)的取值范圍。

分析：點P在橢圓上運動、要使利用直覺，首先想到當(dāng)時，點P的位置哪里呢？又根據(jù)平面幾何知識可知點P又在以F1F2為直徑的圓周上，所以當(dāng)時，點P為圓和橢圓的交點，由對稱性有。

2、鼓勵學(xué)生大膽猜想，使學(xué)生學(xué)會猜想。

獲得直覺的過程須經(jīng)歷一個認識的過程，然后逐步提高深化發(fā)生“頓悟”，進而產(chǎn)生直覺。對某類事物的部分對象進行考查，從中尋找可能存在的規(guī)律，將這種認識加以推廣形成一般性的結(jié)論，即對這類事物的某種猜測。不論這個結(jié)論正確與否，我們對這類事物的認識都前進了一步，許多重要的數(shù)學(xué)結(jié)論，如勾股定理、二項展開式、楊輝三角形和歐拉公式等都是在觀察和實驗的基礎(chǔ)上，通過猜想得到的。因此，猜想在培養(yǎng)直覺思維方面功不可沒。想象是根據(jù)頭腦里已有的表象，經(jīng)過思維加工、改造，從而形成新形象的心理過程，想象無拘無束，易于產(chǎn)生創(chuàng)造性的突破。獲得直覺更大程度上依賴于想象，而相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征往往孕育著相同的數(shù)學(xué)本質(zhì)特征。由條件或結(jié)論的外表形象與結(jié)構(gòu)特征,想到熟知的定義、定理、公式和圖形，從而直覺解題的途徑。

數(shù)學(xué)猜想是根據(jù)已知數(shù)學(xué)條件和數(shù)學(xué)原理對未知量及其關(guān)系的推斷，是一種探索性思維，它與數(shù)學(xué)直覺有密切關(guān)系。牛頓認為：沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。波利亞說：“先猜后證——這是大多數(shù)的發(fā)現(xiàn)之道”；“預(yù)見結(jié)論，途徑便可以有的放矢”。所以，加強數(shù)學(xué)猜想的訓(xùn)練對提高學(xué)生的直覺思維能力是十分有益的。因此，在給學(xué)生分析實際數(shù)學(xué)問題時，老師不妨向?qū)W生剖析自己的解題心理，曾經(jīng)對問題所作的猜測，以此開啟學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生憑敏銳的直覺、深刻的洞察力進行大膽猜測。

例二在等差數(shù)列{an}中若a10=0，則a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n成立（n∈N,n<19），類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地在等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則有_____________。

分析：利用直覺，注意到在等差數(shù)列中“和差”，在等比數(shù)列是“積商”。所以猜想所求等式為b1?b2?…?bn=b1?b2?…?bx，如何確定x呢？由a10=a1+9d=0，10+9=19，b9=b1?q8=1，9+8=17，所以x=17–n。

所以所求等式為b1?b2?…bn=b1?b2?…b17–n(n∈N,n<17)。

3、由于數(shù)學(xué)直覺的產(chǎn)生是自發(fā)的，是想象出來的瞬間推斷，所以豐富學(xué)生的想象、擴展學(xué)生的視野同時開拓他們的思維空間也是相當(dāng)重要的一環(huán)。同時還要做到聯(lián)系實際生活、實際生產(chǎn)以及聯(lián)系數(shù)學(xué)在其他領(lǐng)域中的各種應(yīng)用，這樣才能在關(guān)鍵的時候有靈感的閃現(xiàn)。

例三，從地面以6m/秒的初速度將物體豎直上拋、物體掉四地面碰撞后速度變?yōu)樵瓉淼姆磸棧笤撐矬w運動的總路程（不計空氣阻力）

分析：由物理知識有

4、正確處理數(shù)學(xué)直覺與邏輯思維的關(guān)系。

直覺思維與邏輯思維兩者之間是相輔相成的關(guān)系，如前所述，沒有堅實的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，數(shù)學(xué)的直覺是不可能憑空產(chǎn)生的。但是，如果僅有嚴格的邏輯思維而沒有直覺思維的能力，在實際研究問題時，尤其是遇到新的知識時，就會缺乏預(yù)見的能力從而缺乏開拓性和創(chuàng)新性，也就難有新的發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造產(chǎn)生。但是，由直覺獲得的東西有時是真的，有時卻是假的，不可能獲得百分之百的保證。所以，凡是直覺獲得的真實結(jié)論最終是可以用邏輯推理的方法進行證明的，而非真實的結(jié)論則會得到證偽。因此，我們在注意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺能力的同時，還應(yīng)該重視邏輯思維的訓(xùn)練。既要教給學(xué)生如何猜想，又要教會學(xué)生怎樣證明，只有這樣才能得出科學(xué)的結(jié)論。

例四，已知異面直線a、b所成的角為50°，P為空間一點，則過點P且與a、b所成的角都是30°的直線有且僅有（）

A．1條；B．2條；C．3條；D．4條

分析：由異面直線所成角的概念。經(jīng)過平移變換如圖。利用直覺、猜想答案是選B，為什么呢？由直觀與想象過點P的直線L與直線a’，b’的夾角發(fā)生變化，則L與平面α，則射影PO是a’，b’夾角的平分線，即∠OPE=25°。

如圖：由余弦積定理得cos∠MPE=cos∠MPO?cos25°，因為∠MPO是過點P的直線L與平面α所成的角，由0<cos∠MPO<1，∴cos∠MPE<cos25°，∴∠MPE>cos25°，由此得出過點P引直線L與a’、b’成等角，則該角應(yīng)大于a’、b’所夾角的一半。若設(shè)L與直線a、b所成的角都是θ，則：

當(dāng)θ=25°時有且僅有1條。

當(dāng)θ∈（25°，65°）時有且僅有2條。

當(dāng)θ=65°時有且僅有3條。

當(dāng)θ∈（65°，90°）時有且僅有4條。