結構實踐與結論的橋梁

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摘要：“操作”歷來是數學課中促進學生理解概念而受教師青睞的學習方式，然而，許多老師在教學中錯誤地認為只要是“動手實踐、實物操作”學生就能主動建構，而忽視了主動建構是學生學習過程中內在的思維活動。筆者根據自己的教學實踐與體會提出了教師如何促進學生從直觀的形象操作抽象到結論的三個策略，期望引起同仁的共鳴與得到行家的批評指正。

關鍵詞：操作；內化；自主；結論

“兒童的智慧在他的手指尖上”，操作也歷來是數學課中學生概念學習的好幫手，但是，如果教師未能幫助學生較好地去實現概念的形式定義與其已有的直觀形象和經驗的必要整合，那么通過操作給學生所建立的表象上的“認知基礎”就很可能反而成為學生學習的“認知障礙”。本文中，筆者結合教學實踐進行“如何促進學生通過操作幫助自己自主形成結論”的嘗試研究，試圖探索教師引導學生進行有效操作的教學策略。

策略一：語言內化——說說我是怎樣操作的？

筆者先來介紹一位老師執教的《筆算除法》的過程：

學生根據教師創設的情境列出算式：52÷2，教師讓學生口算，許多學生感到口算有困難或不方便，從而引導到本節課要學習的筆算。教師先讓學生試算，學生出現了以下兩種情況：

師：筆算除法怎樣寫正確呢？請同學們借助小

棒分一分，想一想怎樣列豎式。

學生先獨立操作后，教師讓一位學生在投影上操作，教師邊提問，學生邊操作。即先把4捆平均分成2份，再把剩下的一捆拆開平均分成2份，每份5根，最后2根再分。

教師再讓學生觀察電腦課件：52根小棒先拿出4捆平均分成2份,每份2捆，再把余下的1捆拆開與2根合起來是12根，每份得到6棵。

師：結合小朋友與電腦分小棒的過程，說說豎式是怎樣列的？然后師邊列豎式邊提問：“52”十位上的“5”除以2商2寫在什么位置？……逐步完成豎式過程。

初看，教學中，教師設法激起學生探究欲望，注重數形結合，學生的認知基礎也把握得非常準確（這節課學生已有的知識基礎是表內除法的筆算，教師想讓學生通過操作形成直觀經驗，如此設計理念筆者也是贊同的。），教學過程似乎無可非議！然而課堂練習中，近學生仍然采用先設法口算出得數然后列豎式的第一種錯誤的筆算方法，當然計算結果也是錯誤百出，一少部分學生更是無從下手，顯然，課堂中的操作沒有達到預期的幫助學生理解與掌握筆算除法方法的效果，即學生未能運用通過操作所建立的直觀經驗來指導自己學習筆算除法。

究其原因，筆者認為，最關鍵的地方是學生沒有經歷“自反抽象”的內化過程，投影上、電腦上的操作，所有的學生都是一個觀察者，因而后繼的豎式學習過程中，他們只能也是被動的接受者，這樣，最后出現如此糟糕的學習效果也能在情理之中解釋了。

縱上分析，一位學生在投影上操作后，教師應該讓每位學生靜下心來想一想自己是如何操作的，把操作的過程說給同桌（或組內交流）聽聽，當他們通過老師的引領與語言內化后，然后教師再引導他們自主思考，如果用豎式來表達分小棒的過程，那么自己是先分什么，在豎式上應怎樣寫，再分什么，在豎式上又怎樣寫？使他們感受到除法豎式也就像分小棒一樣幫助自己解決“52÷2”這個問題。只有這樣，學生將“素樸的”直觀和經驗轉變為“精致的”直觀和經驗，學生才能很好地進行抽象的數學概念的學習。

策略二：表象提升——想想他人是怎樣操作的？

我們知道，數學的對象并非物質世界的真實存在，而只是抽象思維的產物，如果我們始終只是停留于實際操作的層面，而未能讓學生在頭腦中實際地建構起相應的數學對象的話，則就根本不可能發展起任何真正的數學思維。即相對于具體的操作或活動而言，我們更應強調“活動的內化”。

例如，大多數老師在執教《長方形面積的計算》這一課時，都是先通過讓學生用1平方厘米的正方形去擺出不同的長方形（或用相同多的如24個1平方厘米的正方形擺出不同的長方形），在相應的表格上分別記錄自己所擺的長方形的長、寬與面積，然后經過大量的數據觀察，即引導學生分析表格中面積與長、寬的關系，最后經過歸納推理得出長方形的面積等于長×寬。

如此過程，雖然學生對長方形面積的計算方法沒有異議，但是沒有“活動的內化”的做法筆者不敢茍同，當然，這種缺乏讓學生深刻體驗、反思與感悟所獲得的結論給學生留下的記憶痕跡是也很淺顯的。筆者在執教該課時，作了如下的嘗試，得到了與會聽課教師的一致好評。

當學生通過操作（我采用的是學生用1平方厘米擺出不同的長方形的操作探究方式）填好表格后，我沒有馬上引導學生去得出結論，而是利用投影的不足（即空間與時間都不可能允許展示很多學生的表格）讓學生說說還有哪些跟投影上表格中不同的填法，當一位同學說他擺的長方形長是6厘米，寬是3厘米，我馬上提問：“同學們猜猜，他是怎樣擺出這個長方形的？一共需要多少個小正方形，這個長方形的面積是多少？”孩子們根據自己剛才的操作經驗很容易地猜到“這位同學擺的長方形長邊用了6個1平方厘米的正方形，寬邊擺了3排，一共用了18個小正方形，面積是18平方厘米。”然后教師再讓學生像剛才一樣（教師將自己的提問呈現在投影上，方便學生進行交流）分別輪流猜猜組內其他同學其中一個長方形是怎樣操作的；接著教師話鋒一轉，“操場上有一個很大的長方形，長是8米，寬是6米，老師想測量它的面積，你猜猜老師會用什么正方形去擺，怎樣擺？一共需要多少個這樣的正方形？”當學生回答后，我又說：“你們認為老師真的會這樣去測量這個長方形的面積嗎？”學生們都笑了，說老師一定是用“8×6”去計算出它的面積的！這時，我故意裝糊涂：“怎么可以這樣算呢？”一位孩子著急地說，“老師，告訴我們這個長方形長是8米，長邊一定可以擺8個1平方米的正方形，寬是6米，就是可以擺6排，這樣不是一共可以擺48個嗎？所以面積是48平方米，想想就知道了，干嗎要擺呀！”

好一個“干嗎要擺呀！”實際上老師也就希望你不要擺呀，當我繼續“裝糊涂”地引導學生解讀這位學生的意見時，幾乎所有的學生都得出了“長方形的面積=長×寬”這個結論，這時我提出了一個難度非常大的問題：“誰能用自己的話說說長方形的面積為什么等于長×寬？”孩子們有的舉例說明，有的孩子還能進行如此抽象地概括：“長方形的長就能說明長邊可以擺幾個面積單位，寬就告訴我們可以擺這樣的幾排，這樣長×寬就計算出了這個長方形一共可以擺幾個面積單位，也就是它的面積。”

筆者認為，這節課教學的成功，就是教師適時地讓學生利用自己實踐操作的直觀經驗，通過“想想他人是怎樣操作的”進行了不自覺的表象提升，使學生在更高的層面對所得到建構的東西重新進行建構，從而使之成為一個更大結構的部分。

策略三：自主結論——如果沒有了操作，我發現了什么？

先來介紹筆者執教《能被3整除的數的特征》的教學過程：

教師在激發了學生探究“能被3整除的數的特征”的興趣后，讓學生拿出數位順序表和實驗記錄表（如下），用實驗的方法來尋找能被3整除的數的特征。

實驗的方法是用火柴桿在數位表上擺數。把1根火柴桿放在個位上表示1，放在十位上表示10，放在百位上表示100。每擺出一個數，就判斷一下這個數能不能被3整除。如果這個數能被3整除，就在實驗記錄表的格子上打“√”，否則打“×”。例如用1根火柴桿擺出的數1、10、100都不能被3整除，就在用1根火柴桿擺出的數的右邊格子里畫一個“×”；而用3根火柴桿擺出的數102、111、120、201、210、300等都能被3整除，就在用3根火柴桿擺出的數的右邊格子里畫一個“√”。

使用火柴桿的根數擺出的數是否能被3整除

1×

2×

3√

學生通過操作，發現“凡是用3根、6根、9根、12根……火柴桿擺出的數都能被3整除”，教師繼而引導學生提煉語言“凡是火柴桿根數是3的倍數的，擺出的數就能被3整除”、“凡是火柴桿根數能被3的整除的，擺出的數就能被3整除”。

根據操作的結論進行嘗試練習，讓學生根據教師所報的數，在數位表上用火柴桿表示出來，看看用了幾根火柴桿，能不能被3整除；接著教師要求學生不要擺在心里想一想火柴桿的根數，判斷下面的數（如“114，163”等）能否被3整除，這時學生回答“114需要用6根火柴桿擺，6能被3整除，所以114能被3整除”而“163需要用10根火柴桿擺，10不能被3整除，所以163不能被3整除”。

最后，教師提問：如果沒有了火柴桿的幫助，你能說一說怎樣的數能被3整除嗎？你發現了什么？此時，學生對于能被3整除的數的特征呼之欲出，學生自主愉快地發現“一個數各個數位上數的和能被3整除，這個數就能被3整除。”教學也自然水到渠成。

在抽象的數學概念的教學中，我們應當努力去發現這樣的問題情境或基礎知識，它們是學生所熟悉的，同時又為新的抽象概念的學習提供了合適的基礎，用火柴桿實驗的方法來探索“能被3整除的數的特征”，用這樣的操作來幫助學生形成直觀經驗的認知基礎是非常恰當的。但是，數學中操作活動最終還是要促進學生的抽象思維，為學生形成概念或結論所用的。教學中，學生操作后，教師引導學生語言提煉、嘗試練習，都是為學生“自主結論——如果沒有了操作，我發現了什么？”層層鋪墊，幫助學生以已有的直觀形象和經驗為基礎并通過合理的抽象很好地建立相應數學概念的形式定義。學生雖然沒有了操作，在其形成結論時，已經能夠很好地將概念的形式定義與直觀形象和感覺經驗整合起來，因而課堂中，抽象的形式定義對學生而言變得如此的生動和豐富！

最后，筆者還要指出的是，上述三個策略是相輔相成、辨證的統一體，一節課中三個策略同時使用可以是一個教學流程，也可以是某一個策略的突出使用與兩個策略有機結合的使用，使用的策略僅是一種方式或手段，是構筑學生操作與形成結論的橋梁，其最終目的是為了避免學生通過操作所獲得的直觀形象和經驗與學生學習概念的形式定義互不相關甚至干擾，促進學生自主地進行“活動的內化”。

參考文獻：

鄭毓信：《國際視角下的小學數學教育》.人民教育出版社.2004年1月第1版.