略論求極限的教學(xué)方法

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摘要通過(guò)民辦本科院校高等數(shù)學(xué)求極限的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)能力，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的愿望，培養(yǎng)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的意識(shí)。

民辦本科院校是我國(guó)較為年輕的一支教育教學(xué)力量，由于受到諸多方面的限制和影響，生源大多是基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，學(xué)習(xí)愿望相對(duì)不高，學(xué)習(xí)動(dòng)力不足的學(xué)生群體。如何教好這類(lèi)學(xué)生，經(jīng)驗(yàn)豐富的重點(diǎn)大學(xué)教授（兼職或退休后受聘于民辦院校）也一籌莫展，剛畢業(yè)的碩士、博士生老師更是哀其不爭(zhēng)，怒其無(wú)用。如何才能使這群家庭條件相對(duì)好，生活相對(duì)豐裕的學(xué)生用心學(xué)習(xí)，為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)課或開(kāi)發(fā)學(xué)習(xí)能力奠定良好的基礎(chǔ)，帶著這樣的認(rèn)識(shí)筆者開(kāi)始嘗試下面的教學(xué)方法：

1利用學(xué)生中學(xué)已經(jīng)熟練掌握的初等數(shù)學(xué)公式求極限，培養(yǎng)學(xué)生的自信心

（1）計(jì)算

解：∵2+4+6+…+2n==(n+1)n（等差數(shù)列前項(xiàng)和公式）

∴==1

（2）計(jì)算

解：分析本題分子，分母都符合等式數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。

1+（）2+…+（）n=

1++（）2+…+（）n=

這兩個(gè)題目讓學(xué)生嘗試到中學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)在高等數(shù)學(xué)求極限中的重要性，同時(shí)學(xué)習(xí)難度不大，很容易激發(fā)學(xué)生的求知欲望和自信心，有利于培養(yǎng)學(xué)生的求知欲，找到學(xué)習(xí)的成就感，找到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，點(diǎn)燃學(xué)習(xí)激情。

2例題講解后布置的思考題：

①設(shè)f(x)=31-x，求{f2(1)+f2(2)+…+f2(n)}

②計(jì)算{}

留給學(xué)生5分鐘左右的思考時(shí)間，通過(guò)課間巡查，觀察有思路的學(xué)生，讓有思路的學(xué)生大膽發(fā)言或上堂演算，鼓勵(lì)其表現(xiàn)，與學(xué)生建立良好互動(dòng)的平臺(tái)，教學(xué)信任度的建立，有利于教學(xué)工作的開(kāi)展，教學(xué)效果趨于良好。

思考題①的解答即：

∵f(x)=31-x

∴f2(1)=(31-1)2=1，f2(2)=(31-2)2=（）2，f2(3)=(31-3)2=()2

…………（類(lèi)推），f2(n)=(31-n)2=()2

∴{f2(1)+f2(2)+…+f2(n)}

={1+()2+()2+…+()2}==

2利用兩個(gè)重要極限及變量代換求極限，培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力

（3）計(jì)算=

解：分析當(dāng)x→0時(shí),分子n-1,分母x都是以0為極限

可設(shè)=u，則1+x=un

即x=un-1，∴當(dāng)x→0時(shí)，u→1

∴==

===1

（4）計(jì)算()x+1

解法一：令x+1=u，當(dāng)x→∞時(shí)，u→∞

∴原式=()u=(1+)u=e

解法二：原式=()x·()1=·1==e。教育學(xué)生深刻理解(1+)x=e公式及變量替換的方法可以培養(yǎng)學(xué)生的新思維。

3利用極限存在的準(zhǔn)則求極限

（5）求(4n+3n+2n)

解：∵4n＜4n+3n+2n＜3·4n

∴4＜(4n+3n+2n)＜·4（夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用）

而=1∴(4n+3n+2n)=4

教育學(xué)生通過(guò)有效的放縮法，利用極限存在的準(zhǔn)則有利于極限的求解，培養(yǎng)學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)，工作中能夠利用有效放縮的變通思想解決實(shí)際問(wèn)題。

4利用函數(shù)的連續(xù)性求極限，培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題及因勢(shì)利導(dǎo)的能力

（6）設(shè)yn=b，求(1+)n

解：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)

∴（函數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算可交替進(jìn)行）

5利用冪指函數(shù)的公式求極限

（7）計(jì)算(1+sinx)

解：(1+sinx)=eln(1+sinx)（冪指函數(shù)改寫(xiě)指數(shù)形式）

=（利用連續(xù)函數(shù)求極限的性質(zhì)）==e

6利用羅必答法則求極限

（8）計(jì)算解：

（9）若f''''''''(a)存在，求

解：====2f''''''''(a)-f''''''''(a)=2f''''''''(a)

培養(yǎng)學(xué)生掌握羅必達(dá)法則的條件及應(yīng)用，解決冪指函數(shù)及抽象函數(shù)求極限的方法。

7綜合分析題

（10）計(jì)算(++…+)

解：設(shè)Sn=+++…+

2Sn=1++++…+

2Sn-Sn=1+(-)+(-)+…+(-)-=2+++…+-

∴Sn=2+(++…+)-

又∵=(++…+)=1=0

∴Sn=3

此題著重培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題的能力，本題分子呈等差數(shù)列，而分母呈等比數(shù)列，若要求此極限，必須先求前n項(xiàng)和，然后再求極限，利用2Sn-Sn的方法可將它變成只含有等式數(shù)列的前n項(xiàng)，這樣有利于求極限。

總之，通過(guò)對(duì)極限的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的自信心，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，利用極限存在的準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則）培養(yǎng)學(xué)生變通的邏輯思維，利用函數(shù)的連續(xù)性求極限培養(yǎng)學(xué)生因勢(shì)利導(dǎo)的能力，利用冪指函數(shù)的改寫(xiě)，連續(xù)函數(shù)求極限的性質(zhì)：1∞型的結(jié)果，告誡學(xué)生必須熟練掌握所學(xué)知識(shí)的重要性；培養(yǎng)學(xué)生對(duì)抽象函數(shù)求極限，求導(dǎo)數(shù)的方法。教育教學(xué)必須注重教育對(duì)象的特質(zhì)，利用被教育對(duì)象的潛質(zhì)，來(lái)開(kāi)發(fā)學(xué)生的潛能，培養(yǎng)其學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到完成教育教學(xué)任務(wù)的同時(shí)，更主要是讓學(xué)生自己認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，從而成為學(xué)習(xí)的主人，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)。