深究高等數(shù)學教育需要過程化

導語：深究高等數(shù)學教育需要過程化一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

一、問題的提出

高等數(shù)學是理工科院校的一門重要的基礎課程,它不但為學生學習后繼課程和解決實際問題提供必不可少的數(shù)學基礎知識及常用的數(shù)學方法。而且在培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力方面也起著重要的作用。高等數(shù)學教學質量的好壞,直接影響著學生對后繼課程的學習,也直接影響著學生的學習質量。

長期以來，許多工科院校的高等數(shù)學教學已形成了一種默認的方式：在遇到需要講解公式、定理時，教師自認為對學生講公式、定理的證明有浪費時間的嫌疑，索性簡單地介紹一下，要求學生記住公式、定理，然后把課堂的大部分時間都用在講解例題，帶領學生做關于此公式、定理的各種各樣的題型，這種教學即不講定理、公式是如何發(fā)現(xiàn)和提出的，也不說明它們是如何證明的，更不講定理、公式是如何發(fā)展和應用的，各個定理、公式之間有何聯(lián)系等等，學生只要知道公式、定理的結論，能熟練的運用公式、定理就意味著他們已掌握教學內(nèi)容，從而教學任務也就完成了，至于其推理過程講起來費時費力，再加上學時的限制，大家都只好走馬觀花了。這種教學的效果如何呢？請聽一聽過來學生的心聲吧！一個已考上研究生的學生這樣評價自己的高數(shù)學習：讓我們背公式、記定理，做計算題，我們毫不含呼，但如果讓我們做證明題，一點辦法都沒有。還有一個同學對我講，老師，我們?yōu)槭裁匆獙W習泰勒公式，泰勒公式對今后的工作有用嗎？泰勒公式的證明是如何想到的？其實有類似想法的學生也許還有許多。那么造成這些后果的原因到底出在哪里？從實質上看，問題主要在于我們的教學主要是呈現(xiàn)前人發(fā)明的結果和狀態(tài)，完全或部分丟掉了數(shù)學發(fā)明的過程，不妨稱它為“結果教學”，如果教學僅僅為了系統(tǒng)傳授知識，僅僅為了提高學生的運算技能，這種教學就足夠了，但在大力倡導提高民族創(chuàng)新精神的今天，結果教學已完全落后于時代，它使學生“只見樹木，不見森林”，只知其然，而不知所以然，只學到了靜態(tài)的、刻板的知識，而沒有掌握數(shù)學思想方法，其實質是降低了對學生數(shù)學能力的要求，也是無法實現(xiàn)高等數(shù)學的教育目標的。而方法才是具有活力的要素，如何解決上述兩個同學的困惑和疑問，使學生掌握鮮活的知識，如何提高和培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力？現(xiàn)代數(shù)學教學論認為數(shù)學教學是思維活動的教學，只有按照思維活動過程的規(guī)律進行教學，才能優(yōu)化學生的思維品質，提高學習的質量。而偉大的數(shù)學家萊布尼茲也曾說過：“沒有什么比看到發(fā)明的源泉（過程）更重要了，比發(fā)明本身更重要”②。因此筆者認為教學應按照數(shù)學思維活動的規(guī)律,既教給學生數(shù)學發(fā)明創(chuàng)造的成果，又向學生展示知識的形成、發(fā)展、前進的過程，只有這樣才能有效的解決我們當前高數(shù)教學中存在的問題的。這種教學不妨稱為“過程教學”。

二、過程教學的理論依據(jù)

(一)現(xiàn)代建構主義教育觀認為學生的學習是在自己原有認知結構的基礎上的一個主動建構過程，能夠使學生的思維始終處于積極狀態(tài)的教學才是有效的教學，而過程教學正是在教學中通過展現(xiàn)數(shù)學家的思維過程（創(chuàng)造過程）、教師自己的思維過程，使學生在重新經(jīng)歷數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)、形成、改造、發(fā)展中和數(shù)學家同思考、共發(fā)現(xiàn)，師生之間的交流也實現(xiàn)了心靈與心靈零距離的有效碰撞，從而使學生能真正體會到數(shù)學家是如何選擇問題的突破口？如何合理選擇發(fā)明創(chuàng)造的方法，如何調(diào)整研究問題的方向？面對錯誤是如何修正的等等，這樣的教學不但有利于發(fā)揮學生的主動性，而且更有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性，使學生學到活生生的創(chuàng)造整理方法，同時學生的心靈也可以受到潛移默化的影響，而這種影響則是永久的，終生的留在了學生的記憶里，是學生生命的需要。

(二)從心理學的角度來講，過程教學中全體學生的不同思維展現(xiàn)，使不同的思考方法異彩紛呈，更易在同學之間產(chǎn)生影響，好的方法更易被采納，失敗的教訓更易接受，從而更有利于解決他們將來遇到的新問題，因此在教學中暴露思維活動的過程應是高數(shù)教學貫穿的生命主線。

三、過程教學的實施

在教學中如何開展過程教學呢？擬從下面幾個方面進行：

(一)概念、定理、公式的教學中，引導學生經(jīng)歷概念、定理、公式的發(fā)現(xiàn)、形成及證明思路的形成過程，讓學生掌握不同定理、公式之間的聯(lián)系和區(qū)別。

數(shù)學概念、定理的教學是數(shù)學教學中一個十分重要的環(huán)節(jié)，它是深刻理解、掌握教學內(nèi)容，成功解決問題的基礎。教材中一般只給出了概念的定義、定理的內(nèi)容，省略了概念、定理提出、證明方法的形成過程，從而給學生的學習造成了一定的困難，如何讓學生深刻理解概念、定理的本質，體驗概念、定理提出的必要性和可行性呢？筆者認為教師應向學生提供數(shù)學概念、定理形成的有效情景，引導學生利用自己已有的知識和經(jīng)驗，通過主動探索和積極思考，親身經(jīng)歷概念是如何發(fā)現(xiàn)、形成的，最終由學生自己發(fā)現(xiàn)相應的概念與定理，這樣，學生才能真正領悟概念的本質，弄清概念的外延，從而避免在后繼的學習中出現(xiàn)概念性錯誤。比如在講解微積分學基本定理，有兩條方案可供選擇：

其一是直接給出變上限的定積分的概念，接著推出微積分學基本定理，

評價：這種方法是大多數(shù)教師采用的方法，它能按時完成教學任務，也能使學生會用此公式進行定積分的運算，但由于缺乏對學習此公式的必要性和可行性的認同，因而學習沒有興趣，另外，這種教學也使學生缺少了一次數(shù)學思想方法和創(chuàng)造發(fā)明方法洗禮的好機會。其二是教師可在第一節(jié)定積分的概念和性質的基礎上創(chuàng)設如下兩個問題情景：

情景1：計算及。

評價：在計算時，同學們能夠用定積分的定義計算出來，但在計算時，卻無論如何無法進行，此時他們深刻體會到利用定義計算定積分是多么復雜的，尋求計算定積分的簡單方法此刻已成為他們內(nèi)心的需求。也許此時有的同學認為可利用定積分的中值定理來解決，在剛講過中值定理的情況下，學生有這種思考是自然的，此時教師可留出時間讓學生來嘗試，通過嘗試他們會發(fā)現(xiàn)在中由于不知道ξ的值，而無法進行下去。（注：學生對問題嘗試解決的受阻又進一步提高解決問題的積極性。）

下面教師就可出示第二個問題，

情景2：有一物體在x軸上運動，設時刻t時物體所在的位置為s(t)，速度為v(t)(v(t)≥0），請討論物體在時間間隔[T1,T2]內(nèi)經(jīng)過的路程。

此時教師可引導學生利用導數(shù)、定積分的物理意義及物理學中路程的含義得出物體在時間間隔[T1,T2]內(nèi)經(jīng)過的路程，而，于是就有式子成立，由此引導大家得到猜想：速度函數(shù)v(t)在區(qū)間[T1,T2]上的定積分等于其原函數(shù)s(t)在該區(qū)間上的增量，這樣的結論是否具有普遍性呢？這樣引出變上限定積分就有了合理性。

評價：采用上述方式教學，情景1的設計首先從思想上解決了學習微積分學基本定理的必要性，讓學生體會到問題是如何提出的，更引發(fā)了學生的學習興趣，“變要我學，為我要學”，接下來通過不同學生的探索過程，又讓學生體驗到問題是如何解決；情景2的設置使學生體驗到當問題解決不下去時，如何尋找出路，達到柳暗花明的境界，那就是利用特殊化的思想把研究的問題先特殊化，變成我們熟悉的、能夠解決的問題，從特殊問題的解決中找出規(guī)律，尋求一般問題解決的思路，這種解決問題、思考問題的方法正是進行科學研究經(jīng)常采用的，對學生進行科學研究方法的訓練，也正是教學要達到的一個較高境界。

（二）在解決問題時向學生展現(xiàn)問題的提出、思路的形成、發(fā)展，調(diào)控以及修正過程。

“問題是數(shù)學的心臟”，如何通過問題解決的教學優(yōu)化學生的思維品質，使他們學會如何提出、發(fā)現(xiàn)和解決問題，應使每一個教師認真思考的問題，我們認為教師應采用適當?shù)姆椒▉肀┞丁⒔沂窘處熀蛿?shù)學家真實的解決問題的思維過程，如，當教師遇到問題時是如何尋找突破口？在問題的解決過程中如何調(diào)控自己的思維？如何發(fā)現(xiàn)和提出新的問題？等等。我們知道證明“∈(a,b)，使f(ξ)=0或f′(ξ)=0是微分中值定理應用中的兩類重要問題，常常利用Rolle定理來解決，對于第一類問題往往通過找出f(x)的原函數(shù)F(x)，對F(x)在[a,b]利用Rolle定理證明F′(x)在(a,b)內(nèi)存在零點即可，對于第二類問題也可類似解決，可見兩個問題都轉化為求f(x)的原函數(shù)F(x)。而學生面對此類問題往往卻束手無策，不知如何下手，歷來是教學的重點更是難點，如何使學生通過例題的學習掌握規(guī)律、找出通法，掌握解決問題的實質和關鍵應是提高解題教學質量的有效途徑。

例1：設證明在(0,1)內(nèi)至少有一個x滿足方程

師：討論方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)的根的存在性問題，一般有兩種途徑：（1）利用連續(xù)函數(shù)的零點定理，（2）尋找f(x)的一個原函數(shù)F(x)，使F′(x)=f(x)，且F(a)=F(b)利用Rolle定理就可找到原方程的根。下面利用第二種途徑來解決。如何利用羅爾定理了解決這個問題呢？（注：在問題思路的探討過程中，教師一定要留出時間和空間，讓學生利用所學的知識通過自己的思考，探討思路是怎樣發(fā)現(xiàn)的。）

生1：令，而f(x)的哪一個原函數(shù)可滿足F′(x)=f(x)且F(0)=F(1)？

經(jīng)過幾分鐘的觀察……,生2：取，則F(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)可導，且F(0)=F(1)=0故有Rolle定理知，至少存在一個x∈(0,1)，使得F′(x)=0，

評價：解題教學重在引導學生找到解決問題的思路、方法，通過上述問題的學習讓學生明白尋找原函數(shù)是解決此類問題的關鍵。

（三）在結論的完成階段向學生展現(xiàn)結論的延伸、聯(lián)系及新問題的發(fā)現(xiàn)過程。

一個問題的結束是否意味著教學任務的完成呢？在大多數(shù)情況下，教師迫于教學時數(shù)的限制，在解決完一個問題后就開始了另一個問題的講解，這樣的教學看似學生學習了許多東西而實質上這種教學充其量只完成了知識目標的教學，對于學生能力的養(yǎng)成，特別是數(shù)學意識的養(yǎng)成關注很少，更不要說學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)了。我們知道一個問題的解決往往意味著新的問題的提出和發(fā)現(xiàn)，因此我們在一個問題講解完之后，不要急于提出另外一個問題，應引導學生對原有問題的反思、消化，從舊的結論中提出新的見解，比如可啟發(fā)學生思考如下問題：這個問題的解法和前面類似問題的解法有什么聯(lián)系和區(qū)別，我們?nèi)绻言袉栴}的條件加強或減弱，結論將如何變化，在此題的條件下還能得到哪些結論，各個結論之間是如何聯(lián)系的等等，這種通過學生自己的思考來尋求結論的延伸，新問題的發(fā)現(xiàn)，以及新舊問題之間的聯(lián)系的教學，既能培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的能力，更能增加學生的成功心理體驗，提高他們的學習興趣，從而為他們的終身學下堅實的基礎。

四、“過程教學”與“結果教學”的協(xié)調(diào)統(tǒng)一

(一)既展現(xiàn)成功的思維過程，也暴露失敗的思考過程。

在我們的教學過程中，一般整理向學生展示的都是解決問題的正確的思維過程，然而“數(shù)學的發(fā)展并非是無可懷疑的真理在教學中的簡單積累，而是一個充滿了猜想與反駁的復雜過程”，在教學中適時的暴露教師或學生失敗的思考過程，也許更能啟迪學生的思維，使學生在自我反省中優(yōu)化思維品質。在教學中暴露教師是如何從失敗走向成功的全過程，學生學到的是真正的研究問題的方法，同時還學到了數(shù)學家百折不撓的品質和精神。每堂課一開始要花點時間糾正作業(yè)中典型錯誤,每次布置1-2道富有思考些的題目,讓同學回去思考.下堂課再討論，套公式的題目,課堂上不講。因此暴露思維過程即要展示成功的過程，更要適當體現(xiàn)一些錯誤思維的暴露、調(diào)控及糾正過程。

例2：設f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，證明：至少存在一點ξ∈(a,b)，

分析：結論可轉化為證明：，使(b-ξ)f′(ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0。

生1：在(a,b)上運用Rolle中值定理來解決呢？

生2：由于不知道f(x)在x=a,b的值，不能直接運用。

生3：我們可以構造一個函數(shù)F(x)，使F(x)在x=ξ的導數(shù)正好是(b-ξ)f′(ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0，

師：哪一個函數(shù)在x=ξ的導數(shù)是(b-ξ)f′(ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0。

生3：取F(x)=(b-x)[f(x)-f(a)]，則F(a)=F(b)=0，而由已知條件可知F(x)在[a,b]上連續(xù)、在(a,b)可導，所以由羅爾定理知：∈(a,b)F′(ξ)=(b-ξ)f′(ξ)-[f(ξ)-f(a)=0，既∈(a,b)，使。

在上述問題的解決過程中，通過生1的思維受阻，啟迪其他學生的思維，為正確思路的形成奠定了基礎。

(二)選擇恰當?shù)慕虒W內(nèi)容。

并不是所有的教學內(nèi)容都適合運用過程教學，我們知道教材中有些內(nèi)容，其發(fā)現(xiàn)過程是極其艱難和漫長的，比如在講解數(shù)列極限概念時，要求學生在較短的時間內(nèi)，去想象和發(fā)現(xiàn)，是不現(xiàn)實的，而有些內(nèi)容發(fā)現(xiàn)則來自于數(shù)學家突然間的靈感，這些內(nèi)容發(fā)現(xiàn)的思維過程連科學家自身都不能很好的說清，何況我們的學生呢，因此在進行過程教學時，教師要認真鉆研教材，選擇恰當?shù)膬?nèi)容通過過程教學使學生掌握研究問題的方法，近而培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。

(三)展現(xiàn)合理有效的問題情景。

我們知道并不是所有問題都能引發(fā)學生的積極思考，比如，“這樣做對不對？”“是不是？”，“你能把定理內(nèi)容敘述一下嗎？”等問題只能引發(fā)學生低水平的思考，并不能真正激發(fā)學生潛在的創(chuàng)造性，從而使學生以飽滿的熱情投入到教學中來，因此在設置問題情景時，一定要從學生原有的認知結構出發(fā)，提出一些使學生通過積極思考和探索才能解決的問題來。