高效數學課堂教學問題研討

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1關于高效教學與學會學習的認識隨著新課程實驗工作的開展，有效教學的理念越來越引起人們的重視，有效教學并不是一種特定的教學理論和教學方法，它是人們通過對教學實踐的總結與反思特別是對大量的低效教學的分析與研究的基礎上而提出的一種新的教學理念，其核心在于反對低效的教學，追求有效的教學，高效的教學。

高效教學是高質量的教學，是在有限的時間、空間、資源狀態下追求最大的教學收獲的教學，是綜合利用各種策略與方法最大限度的提升教學的有效性的教學，而這種有效性的關鍵或基礎，是讓學生自己學會學習。

教會學生學習是新課程實驗提出的重要理念之一，早在20世紀末，聯合國教科文組織為研究即將到來的21世紀教育改革和發展提出的要求，在一份名為《教育———財富蘊藏其中》的報告中，明確提出21世紀的教育必須圍繞學生的4種基本的學習能力或未來教育的四大支柱來設計，即強調學生應“學會求知，學會做事，學會合作，學會發展”，4個學會的核心是強調培養學生的學習能力，有人也曾形象的說：擁有了知識，只是擁有了過去，因為知識代表的歷史，只有掌握了方法，才是教會學生真正的擁抱明天。

《基礎教育課程改革綱要》中明確提出了：知識與技能，過程與方法，情感、態度、價值觀的三維目標，是新課程相對于傳統課程的重大轉變，“教會學生學習”因而也成為新課程所追求的重要教學理念之一。

《普通高中課程方案》中也進一步提出：普通高中教育是在九年義務教育基礎上進一步提高國民素質、面向大眾的基礎教育，普通高中教育為學生的終身發展奠定基礎，培養學生具有終身學習的愿望和能力，掌握適應時展需要的基礎知識、基本技能，學會收集、判斷和處理信息，具有初步的科學人文素養、環境意識、創新精神與實踐能力。

所有這些論述都為我們闡明一個問題，讓學生學會學習，是學生可持續發展的需要，是學生未來發展的需要，然而，如何把這種要求變為老師的教學行為，把這種理念化為老師的具體行動，是每個老師需要深入研究的問題。

2關于數學學習原理的認識做為數學老師，要教會學生學習數學的方法，首先要研究數學學習的特征與規律，數學不同于其他學科，有它的獨特性。

什么是數學學習？

從心理學的角度看，數學學習可以認為是學生通過獲得數學知識經驗而引起的持久行為、能力和傾向變化的過程。

數學學習具有一般學習的所有特點，尤其是：以系統掌握數學知識的內容、方法、思想為主，是人類發現基礎上的再發現；在教師指導下進行，按照一定的教材和規定的時間進行，為后繼學習和社會實踐奠定基礎。

數學學習從建構主義的學習觀看，數學學習就是學生的數學認知結構的重建，數學認知結構是存在于學生頭腦里的數學知識結構與認識結構而形成的心理結構，學生頭腦里的數學知識結構是課程教材里的數學知識結構，和老師的數學知識結構在學生頭腦里的反映，由于每個學生對數學知識的感知、理解、選擇和組織等方面的差異，使得同樣的數學知識結構在不同的人的頭腦里，會形成不同的數學認知結構。

學生頭腦里的認識結構是伴隨著頭腦里數學知識結構的形成而同時發展起來的思維動作結構，思維動作就是運用思維方法的思想活動方式。

學生頭腦里的數學認知結構中，既有一般思維動作，又有數學的特殊思維動作。

一般思維動作主要是：分析與綜合、比較與類比、抽象與具體化、概括與專門化、分類與系統化等。

數學的特殊思維動作主要是：數學操作性思維動作、方法技巧性思維動作、思想觀念性思維動作和策略定向性思維動作。

數學操作性思維動作有：歸入概念、推出性質、作出判斷、重新理解、模式識別。方法技巧性思維動作有：消元、降次、換元、配方、待定系數、反證、完全歸納等等。

思想觀念性思維動作有：方程思想、數形結合思想、映射與函數思想、極限思想、隨機思想等。

策略定向性思維動作有：等價轉化、化歸、類比、歸納猜想等等。

數學學習需要較高抽象思維的能力：抽象與概括都是一種思維方法。

抽象：將一些對象的某一共同屬性同其他屬性區分開來并分離出來；概括：把從部分對象抽象出來的某一屬性推廣到同類對象中去。

抽象與概括是相互依存不可分離的伴侶，沒有抽象就無法概括，沒有概括就無需抽象（沒有概括，抽象就失去了意義）。

數學較其他學科更為抽象和概括，特別其對象是抽象的思想材料，而且使用了高度概括的形式化語言，不僅對象的抽象具有層次性，而且研究的方法也具有抽象性。

數學的這些特點，十分容易使學生造成表面形式的理解，即只記住了形式符號，而不知道符號背后的實質，不能理解它代表的本質屬性，或只能模仿而不能靈活運用。

這些都說明必須通過由具體到抽象的概括，才能既掌握數學結論的形式，又掌握形式背后的實質。數學學習需要發展邏輯推理能力：演繹、推理是人類的一種主要思維形式，是由一個或幾個判斷推出另一個判斷的思維形式。

數學是一門建立在公理體系上的，一切結論都需要嚴格證明的科學。數學證明所采用的最基本、最主要的形式是邏輯推理。

學生在整個數學學習過程中，反復地學習運用邏輯推理來證明或解答各種數學問題，并要求達到熟練掌握的程度，這對于學生發展邏輯推理能力無疑是極有利的。

數學學學習需要必要的解題練習：數學學習是離不開解題練習的，并且練習要達到一定數量，才能學好數學。

首先，數學的抽象性特征決定了只有通過較多的解題練習，才能深刻理解數學的概念和原理，才能把握數學的基本思想方法，才能真正掌握數學知識；其次，數學的思想實驗性特征，使得數學問題的解決沒有什么固定的統一的模式可循，但問題與問題之間又或多或少存在著某種聯系，只有通過大量的解題練習，才能為解題增加可供聯想的儲備，此謂“從解題中學會解題”；再者，數學學習的目的是提高學生的素質，是提高學生掌握一般思維方法和數學特殊思維方法的水平，而素質的提高和思維方法掌握水平的提高是一個相當長期的過程，并且只能在長期大量的解題實踐中才能提高。

3關于數學學習特征的認識根據數學學習的基本規律，數學的學習需要在做中學，活動中學，創新中學。

數學學習的基本特征：一是模仿性，二是操作性，三是探究性，四是創造性。數學學習的模仿性：模仿學習就是按照一定的模式去進行學習，它直接依賴于教師的示范。

在數學學習的過程中，數學符號的讀寫、學具的使用、運算步驟的順序、解題過程的表達、數學方法的運用、學習習慣的養成等都含有模仿的成分。

模仿可以是有意的，也可以是無意的。

模仿有兩個層次：簡單模仿和復雜模仿。簡單模仿是一種機械性模仿，往往不是有意義學習。

拿學生按老師上課例題中的方法去解決同類問題來說，如果不知道來龍去脈、原理和實質而機械地套用，那么就屬于簡單模仿。

復雜模仿一般需要很強的邏輯思維能力，復雜模仿經常伴有“嘗試—錯誤”的過程，因為學生很少能一次就學會用某個模式去解決數學問題。

復雜模仿是看出方法與問題兩方面實質性的聯系以后，根據這些聯系對方法加以靈活運用，雖然有模仿的成分，但含有對實質的理解，是在理解實質的基礎上模仿。數學學習的操作性：數學操作學習指可以對數學學習效果產生強化作用的學習行為。

操作學習的主要形式就是練習。

一般地，學生在獲取知識的過程中所形成的數學概念、原理和方法，在起始階段往往不夠全面、不夠深刻，這就需要通過練習來強化和加深。

經常性的練習，不僅能起到鞏固知識、保持記憶、減少遺忘的作用，而且對提高技能，培養能力，掌握思維方法也是必不可少的。

教師在新授知識點之后，往往要進行一系列的概念辨析等操作訓練，同時再加上幾道直接運用概念進行解題的簡單訓練，其目的也正是如此。

數學學習的探究性：關于探究學習，施瓦布的觀點最具有代表性，他認為“探究學習是指兒童通過自主地參與獲得知識的過程，掌握研究自然所必需的探究能力；同時，形成認識自然的基礎—科學概念；進而培養探索未知世界的積極態度”。這一定義同時強調了知識、技能和態度三個方面的探究學習目的。探究學習，關鍵要把握其“從無到有”的探究特點。因此，有以下幾個方面的基本特征：自主性、過程性、實踐性、開放性。

由于數學是以理性思維見長的學科，這就決定了數學探究學習不同于實驗性學科的探究學習，偏重于動手操作，也不同于一般理解的科學探究偏重于調查取證，而是一種以獨立思考、深人鉆研數學問題為主的思維探究活動。針對數學學科的某個主題由學生形成自己的問題或活動意向，或者由教師提出問顆，并創設探索所需的情境和途徑之后，學生針對問題特點通過直觀思維、邏輯推理、精確計算等數學活動，形成自己的假設，并通過反思、觀察和必要的數學實驗活動檢驗假設，直至解決問題，在探究活動的基礎上建構起對數學知識的理解和有關的方法、技能。

其中，不僅包括數學概念、命題的形成、歸納過程，而且包括解決數學問題的探索、監控、推廣過程。

探究過程中，盡管分析、推理、演算等數學活動處于主導地位，但也常常需要學生進行一定的實驗性操作演示活動，這不僅僅是為了激發學生的數學學習興趣，訓練操作技能，也不只是為了發現一些數學事實，而是為學生建構數學知識、豐富數學素養提供基本的經驗基礎。數學學習的創造性：創造性學習有兩個特點：一是知識技能向新的問題情境遷移；二是在熟悉的問題情境中發現新問題。數學學習中的再創造，在于能夠利用已掌握的數學知識和技能去尋找解決新問題的方法，更重要的在于能夠提出和發現新問題。

因此，如果模仿學習和操作學習是解決知與不知，會與不會的問題的話，那么，再創造性學習是解決怎樣想，為什么這樣想的問題。

創造性學習主要在解決問題過程中進行，其基本模式是：問題情境—轉換—尋求解法—求得解答。創造性學習始于問題情境，學生從問題情境中接受信息，激發學生為實現問題目標而努力，吸引學生將注意力集中于問題的解決之中。轉換是創造性學習關鍵的一步。

即把問題轉換成自己的語言和表述，在轉換中弄清問題的實質，與已有的概念、原理、方法和問題聯系起來，最終把問題轉換成易于解決的或者較為熟悉的問題。尋求解法的過程實際是對一系列的內部心智活動進行選擇和組織。

每一個心智活動都是根據條件或結論而形成的“產生式”，這些心智活動一個接著一個產生，經過選擇從一個環節轉化到另一個環節，最終形成解決問題的心智活動的集合。也就是由已知條件可推出哪些結論，要達到解題目標需要哪些條件，從而形成大量的產生式，選擇適當的產生式構成一條解題的思想通道。所以在尋求解決方法時，不是簡單地運用已有信息，更重要的是對信息進行加工，超越給定的信息之外，重新組合成新的信息。經過這樣對問題的信息進行的加工，探索出解決問題的途徑，學生進行了創造性學習，再經過積累、總結，學生就獲得了創造性數學活動的經驗，這種創造性學習獲得的經驗更容易用于其他的數學問題中去。

4關于怎樣教會學生數學學習方法的思考學習方法問題是老師與學生老生常談的問題，有宏觀的，有微觀的，有一般的，有特殊的。

因人而異，因學科而異，如如何預習，如何聽課，如何做筆記，如何小結等是宏觀的方法，是一般的方法，適應于各學科的學習，適應于每個人的學習，同樣適應于數學的學習。

但如何根據數學的特點，進行高中數學的學習問題，又是每個數學老師必須不斷研究的問題。根據數學學習的特點與數學學習方法的特征，在我們的數學課堂教學中怎樣教會學生學習數學的方法？

策略之一：讓學生學會基本方法指導中學生如何學習數學，是數學教師必須完成的重要任務。作為一個數學教師，必須熟悉多方面的學習方法，廣覽各種學習方法的精要所在，然后有計劃、有步驟、分階段、分層次、有針對性地指導學生掌握各種學習方法。使我們的學生能夠主動地、獨立地學習，達到新課程要求標準。教會學生學習數學的方法，首先是學習數學的基本方法，基本方法有基本的環節、基本步驟構成，所以，必須讓學生明確學習數學的基本環節：

①制訂計劃，②課前預習，③認真聽講，④及時復習，⑤獨立作業，⑥解決疑難，⑦系統小結，⑧課外學習。

本方法是武漢黎世法老師調查全國200名各科學習成績平均90分以上的優秀中學生、原華中工學院的40名少年大學生及以高分考入武漢大學的60名大學生的學習經驗總結出來的，一個學生只要能夠按照這8個環節學習，步步落實到位，那么這個學生就將成為學習的主人，并成為班上的優秀學生。8個環節中的每個學習環節還需要老師作具體的指導，如怎樣聽課，如何預習，如何小結等，讓學生明確完成一項數學學習任務，需要分步驟逐項完成，才能牢固掌握知識。

因為數學學習過程是一個復雜的認識過程，因而完成一項數學學習任務，真正掌握知識，必須全面完成各個步驟。心理學上把認識過程一般分為感知、理解、鞏固、應用4個基本階段。按照這4個階段，可把數學的學習過程也分為4個階段：預習，查出障礙；聽課，破解障礙；復習，掃除障礙；作業，學會應用。

預習就是為了對一節課初步感知，聽課就是為了更好地理解課文，復習是為了鞏固，作業就是把所學知識進行應用。

不論學習任何層次的知識，都需要掌握相應知識的四大要素，事實、事理、事用、事體，即：“是什么”，“為什么”，怎樣應用，怎樣歸類。與這四大要素相對應的4個步驟就是：感知、理解、應用、系統化。

具體來講即就是：（1）感知（事實）：對一般結論有一個初步的了解，對概念、定理、公式等所反映的各種屬性有一個整體的反應。

感知是數學學習的開始、是基礎，一切數學學習活動只有知道了“是什么”，才能進一步地探索“為什么？”從而才能理解和應用知識。

（2）理解（事理）：為了對一個數學結論能夠理解，必須明確它的原理，它的來龍去脈。理解是人們逐步認識事物的各種聯系，弄清其本質規律的一種思維過程。可見，只有通過理解，才會使對事物的感性認識上升到理性認識。

數學概念的內涵和外延，定理的證明，公式的推導，結論的解釋等，都要弄懂搞明白，才算真正掌握了數學事實的原理。

（3）應用（事用）：應用是學習的繼續和深入，在感知、理解的基礎上，學生已掌握了數學知識，但還應將知識應用在問題的解決和分析當中，才能加深所學知識的理解，使學習更有實效，并且通過實踐訓練掌握技能技巧，提高思維能力。

數學教材當中，對例題的總結，練習題的解答，及課外作業的完成過程，都是“事用”掌握的過程。

（4）系統化（事體）：“事體”指的就是“知識體系”。數學學習材料之間具有種種聯系，如果學生了解新舊知識間的聯系，就能達到由此及彼的作用。掌握“事體”有以下幾個作用：知識結構嚴密化，記憶牢固，思維靈活多樣，為學習新知識奠定基礎，容易產生新的聯想。因此通過總結，使知識系統化是十分重要的。

策略之二：讓學生學會宏觀方法數學的學習有別于其他學科的學習，所以，在掌握一般學習方法的基礎上，要讓學生充分認識數學學習的宏觀方法，也就是任何數學知識的學習都遵循的方法：“溫故知新”———讓學生學會同化：數學內容之間的關系有類屬關系、總括關系、并列關系。這3種關系主要有數學內容的包攝水平和概括水平的高低來決定。包攝水平和概括水平高的處于總括地位，低的處于類屬地位，水平相當的處于并列地位。

在學習新知識的過程中，新舊知識間關系有的是類屬關系，有的是總括關系，有的是并列關系。

建立在內容之間的關系基礎上的數學學習形式，主要有兩種：同化學習和順應學習。

所謂同化學習，就是當新的數學內容輸入以后，主體并不是消極地接受它們，而是利用已有的數學認知結構對新知識內容進行改造，使新內容納入到原有的數學認知結構中。

在同化的過程中，主要是辨識新舊知識的聯系，并由原有的舊知識作為生長點或固著點，把新知識歸屬于原認知結構，同時使原認知結構得到分化、擴充。認知結構中已有知識而言，對與其是類屬關系的新知識的學習主要是同化，對與其是總括關系和并列關系的新知識的學習有一部分是同化。

一般來說，從學習新知識到練習中對新知識的保持是再認性同化，在其它知識中又遇見那個新知識時而對新知識的學習是再生性同化；在各種新問題中不斷地遇到那個新知識以后對新知識的學習是概括性同化。“削足適履”———讓學生學會順應：數學新知識在原有的數學認知結構中沒有密切聯系的適當知識，這時如果要把新知識納入到認知結構中，像同化學習那樣通過與相關舊知識建立聯系來獲得新知識的意義就比較困難。這時必須要對原有數學認知結構進行改組，使之與新知識內容相適應，從而把它納入進去，這個過程叫作順應。

如果說同化學習主要是新知識適應已有知識的過程，那么順應學習主要是已有知識適應新知識的過程。簡單地說，同化是原有認知結構對新知識的認同，順應是原有認知結構對新知識的適應。

“悠然心會”———讓學生學會個人體驗：數學學習的活動中，獲得個人體驗是至關重要的。

個人體驗有語言成分，也有非語言成分。

即就是有他說出來的，也有他心里想的，當完成某個數學新知識的建構時，其語言表征僅僅是可以表達出來的外部形式，除此之外還有不能以外部形式表現出來的非語言表征，即就是有說出來的，也有說不出來的，在數學知識的建構活動中，常常先進行非語言編碼，然后才進行語言編碼。

在信息加工、貯存和提取的過程中，語言和非語言表征同樣重要。這些語言的、非語言的編碼或表征，使主體獲得了客體豐富、復雜、多元的特征，這也就是主體所獲得的“個人體驗”，并由此在心理上達到對客體完整的意義建構。

所以，在數學的課堂學習過程中，要讓學生懂得要積極交流，積極發言，既要意會又要言傳，說出自己的理解，說出自己的思考，說出自己的困惑，說自己的感悟，把一個思想變成多個思想，從而在老師、同學的共同努力下，修正錯誤，完善認識，完成數學知識的意義建構。

“全力以赴”———讓學生學會智力參與：所謂“全力以赴”，就是主體將自己的注意力、觀察力、記憶力、想像力、思維力和語言能力都參與到數學的學習中去。

由于數學學習活動的本質是思維構造，是一個創造的過程，盡管是再發現再創造的性質，但是對學習者本人還是處于第一次發現發明的地位，因而主體一定要有高水平的智力參與，這個創造的過程才能得以實現。

即通常所說的“學生對教師所講授的新知識必須有一個理解或消化的過程”，這里的理解或消化，也是將教師所講的納入到自己適當的認知結構中去，這種納入的過程必須依據自己已有的知識和經驗，對教師所講的東西作出自己的解釋，用自己的語言對其重新編碼，也就是必須對新知識與自己原有認知結構的適應性作出自己的評價和調整，并在兩者之間建立聯系，從教師所講的新知識在心理上獲得確定的意義。

這時學生所學到的已不是教師所教的，而是已經經過了主體的思維構造。可見這種理解或消化實際上具有很強的創造性質，如果沒有主體高水平的智力參與也是不可能實現的。“自知之明”———讓學生學會自主活動：學生的數學學習以學生的自主活動為基礎，以智力參與為前提，又以個人體驗為終結。

活動是個人體驗的源泉，對處于認知發展階段的學生而言，這種活動最初主要表現為外部活動，由主體自身的智力參與，使外部的活動過程內化為主體內部的心理活動過程，并從中產生出主體的個人體驗。學習的目的是為了在心理上獲得客體的意義，這不是簡單地在頭腦里登記一下就完事，而是必須對客體主動進行感知，并在對輸入的信息加工時進行積極的心理活動，沒有學生的主動性和積極性是不能完成的。人類大腦中的知識分為明確知識和意會知識，明確知識是指能言傳的，可以用文字來表述的知識。意會知識是指不能言傳的，意會知識是鑲嵌于實踐活動之中的，是情境性和個體化的，只可意會，不可言傳。

例如，無論你掌握了多么豐富的游泳的明確知識，但從來沒有在水中折騰過，那么你永遠也學不會游泳，因為你腦中缺乏游泳的意會知識，游泳是在游泳的實踐活動中才學會的。意會知識隱藏在人類的實踐活動中，只有通過親身的活動體驗才能學會和提高。

學習不僅要用大腦思考，而且要用眼睛觀察，用耳朵傾聽，用語言表達，用手操作，即要親身去經歷，去感悟，這不僅僅是認知的需要，更是激發學生生命活力，促進學生成長的需要。

因此，數學學習活動必須讓學生自己操作、自己考察、自己調查，自己探究、自己表達，自己經歷、自己體驗，一句話，讓學生學會自主活動。

策略三：讓學生掌握數學學習的微觀方法就具體內容而言，數學的學習主要是數學概念的學習，公式定理的學習，例題習題的學習，從微觀的角度要讓學生學會怎樣去學會這些數學知識：

數學概念定義的學習方法：概念是數學的細胞，學高中數學，首先要讓學生建立清晰的數學概念。

數學概念是反映數學對象本質屬性的思維形式，它的定義方式有描述性的，有指明外延的，有概念加類差等方式。

一個數學概念需要記住名稱，敘述出本質屬性，體會出所涉及的范圍，并應用概念準確進行判斷。

這些問題老師沒有要求，不給出學習方法，學生將很難有規律地進行學習。

如何學習數學概念呢？

①概念的形成，要在學生自己的腦海中形成某一數學概念。

首先要仔細閱讀課文的內容，學會從生活問題到數學問題，從具體的實例到抽象的數學定義，學會歸納特點，概括共性，抽象本質，自己給概念下定義；其次是認識概念的表示，數學概念的表示，一般有3種形式：文字語言，符號語言，圖形語言，一個新概念的誕生，常常會伴隨著新的名詞術語，新的符號，記號，所以，要理解這些名詞術語的含義，記住符號、記號的含義，會書寫，能識別。

②概念的理解，要真正理解一個數學概念，要有一個過程。

首先要記住定義，能夠用自己的理解把它表述出來，并能舉出正反的實例加以說明；其次是能夠理解概念的內涵與外延；第三是對一些重點概念能夠挖掘出它的性質，概念的性質是數學的方法技巧的載體。

③概念的應用，是否真正理解和掌握了某個概念，檢測它的標準是：能否用它去解決具體的數學問題，即就是要去完成相關的練習，把概念的性質變成解題的方法與技巧，在解決具體問題的過程中，弄清與其它概念的區別與聯系，明確它所蘊含的方法技巧。

一個數學概念的定義之中包含著許多重要的性質，這些性質就是解題的依據和方法，研究概念就要摳定義，或文字表述，或符號表示，或圖形描繪，理解內涵是基礎，能表示、會識別是關鍵，只有把握定義的本質屬性，才能把概念變成方法，揭示它的內涵，挖掘它的性質，抽象它的模式，凸現它的思想，點化它的技巧，注解它的作用，選析它的考題，預測它的考情。

從定義中找方法，從定義中找規律，從定義中找關系，從定義中找根據。

數學公式定理的學習方法：公式定理是數學的基石，數學公式定理的學習首先要弄清它的來龍去脈，推導過程，證明方法。“問渠那得清如許，為有源頭活水來”，一個數學公式，一個數學定理，是如何被發現的，是如何進行證明的，常常是一部數學史，常常既有令人感動的故事，又有令人奮發的精神，激勵著一代又一代人勇攀科學的高峰。

所以，只有了解它的歷史，才能真正掌握它的思想和方法，只有研究它的推證方法，才能真正懂得運用它的訣竅，如等差數列、等比數列前項和公式，推導方法很多，但課本卻選取了有普遍應用性的兩種方法，倒寫相加法，退位相減法，不僅要求學生掌握公式的結論，而且要求學生懂得推導公式的方法。其次是研究它的結構特征，作用功能，適用范圍，應用技巧，數學公式、定理，反映了數學對象的屬性之間的關系，這種關系以特殊的結構形式表現為一個具體的公式或定理，不同的結構形式決定了不同的作用功能。

例如，在三角函數中誘導公式的功能是化任意角三角函數為銳角三角函數，8個基本恒等式的功能是同角三角函數實現相互轉化，正余弦定理的功能是實現三角形中的邊角關系的相互轉化。所以，數學公式定理的學習，就要從推導過程找方法，從結構特征找規律，從應用過程找技巧，從變化形式找思路。

公式具有抽象性，公式中的字母代表一定范圍內的無窮多個數。有的學生在學習公式時，可以在短時間內掌握，而有的學生卻要反來復去地體會，才能跳出千變萬化的數字關系的泥堆。教師應明確告訴學生學習公式過程需要的步驟，使學生能夠迅速順利地掌握公式。

我們介紹的數學公式的學習方法是：

①書寫公式，記住公式中字母間的關系；

②懂得公式的來龍去脈，掌握推導過程；

③用數字驗算公式，在公式具體化過程中體會公式中反映的規律；

④將公式進行各種變換，了解其不同的變化形式；

⑤將公式中的字母想象成抽象的框架，達到自如地應用公式。

一個定理包含條件和結論兩部分，定理必須進行證明，證明過程是連接條件和結論的橋梁，而學習定理是為了更好地應用它解決各種問題。

下面我們歸納出數學定理的學習方法：

①背誦定理；

②分清定理的條件和結論；

③理解定理的證明過程；

④應用定理證明有關問題；

⑤體會定理與有關定理和概念的內在關系。

數學例題習題的學習方法：問題是數學的心臟，例題習題的學習，是解題學習，是讓學生學會數學的解題方法與技巧的過程，這一過程也是一個問題的解決過程。

學會解題，對學生而言，首先是方法的掌握，即課堂上的模仿性學習，根據老師的分析、講解、板書，學會怎樣確定解題思路，怎樣書寫解題過程，怎樣分類討論，怎樣處理細節，明確數學方法的基本思路與具體步驟，掌握數學技巧的操作要領與變形規律，明確什么樣的問題，用什么樣的方法解決，即“類型＋方法”這是學習解題的第一層次，心有靈犀一點通；其次是方法的遷移，舉一反三，能夠將某一方法應用到解決同一類問題當中去，解決同類的問題，相似的問題，這是學習解題的第二層次，觸類旁通；第三是方法的創新，拿到一道新的數學題后，能展開聯想，能進行類比，能進行構造，從而找到解決新問題的數學方法，這是學會數學解題的第三層次，即融會貫通；第四是方法的融合，即能進行一題多解，在掌握通性通法的基礎上，尋求其他更簡捷，更巧妙的解法，能進行一題多變，改變條件的敘述方式，或改變題設背景，或改變設問方式，或把相似的幾個問題組合改造、引申演變成新的問題，從問題到方法，從技能到技巧，從方法到思想，即無師自通。

學會解題，必須學會分析數學題的具體步

驟：

①審題，搞清是什么；

②構思，搞清為什么；

③解答，搞清怎么辦；

④檢驗，驗證怎么樣。

有的學生在解數學題時，感到無從下手，不知如何思考，那么我們可以給他介紹波利亞的解題過程自問法，使他學會思考，學會探索。

我選擇的是怎樣的一條解題途徑？我為什么作出這樣的選擇？我現在已進行到了哪一階段？這一步的實施在整個解題過程中具有怎樣的地位？我目前所面臨的主要困難是什么？解題的前景如何？

通過上述問題的層層深入的思考，就會使學生的思維具有批判性，能夠對自己的解題行為及時的進行有效的調節，從而找到解題的方法和途徑。