數學建模課程教學探索

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摘要：數學建模課程案例教學由現實問題驅動，借助數學方法尋求解決方案。大數據背景下需要適當增加與時下熱點問題緊密結合的新穎選題，充分調動學生學習的主動性，培養學生的創新意識與團隊協作精神。數學建模過程與論文撰寫是引導本科生從事科研和實踐活動的有效途徑。通過學習和訓練，學生具備了基本的科學研究能力，創新能力得以提高，并提升對數學類課程的總體認識。

關鍵詞：大數據；問題驅動；研討式教學；案例教學；數學建模

由于計算機和互聯網先進技術的飛速發展，各個行業都產生大量的數據，而數據建模是推動大數據技術前進的動力之一。數學建模是實際問題驅動的，課程教學應與時俱進，注重新型數據處理方法。培養學生應用數學方法解決實際問題的意識和能力已經成為數學教學的一個重要方面，也是培養創新型人才必不可少的環節，而數學建模是把數學與實際問題聯系起來的主要橋梁，是數學實現科學技術轉化實踐的主要途徑。數學模型教學案例中可直接提出待研究的現實問題，激發學生的興趣和積極性，分析討論后進行適當的簡化假設，建立數學模型，弱化模型求解的數學理論推導，注重數學模型與建模的思想講解，加強運用數學軟件解決研究問題的能力。數學建模課程注重綜合運用數學方法和計算機技術解決實際問題能力與創新能力的培養，可以作為以大學生創新與實踐能力培養為核心的數學課程教學改革的突破口。

1實際應用問題驅動的教學方法與案例式教學模式

基于實際案例采用啟發式、研討式教學改革，不同于傳統數學教學方法遵照教材按部就班地介紹課程內容，案例教學將由現實中的問題驅動，借助數學知識尋求解決方案；研討課上將改變傳統的以教師為中心的教學模式，在教學過程中充分發揮學生的主觀能動性，啟發學生主動思考、參與討論和解決問題。研討式教學強調學生的主體地位，最早由18世紀德國教育學家提出，已成為歐美大學普遍使用的重要教學模式[1]。美國大學的教學設計強調以學生為中心，尋找能夠激發學生興趣的主題，引導學生進行思考是教師的重要任務[2]。2003年，宋銀桂與許峰進行的研討式教學的實踐表明，教師的正確指導是實現學生主體性的前提，在教學中應打破教師一言堂，吸引學生參與教學過程[3]。2015年，劉婷與張韻風的研究中，運用研討式和啟發式教學有效解決教學中的重點、難點內容，運用案例式教學解決理論與實際結合的問題[4]。2016年，馬小軍與夏立文針對軟件工程課程給出了啟發式、研討式案例教學的實施流程[5]。傳統的教學模式使部分學生對數學產生抵制情緒，導致對數學學習缺乏熱情，對學習的根本目的沒有一個直觀的認識；被動接受學習模式沒有及時轉變，制約了學生數學思維和數學應用能力的提高。數學建模課程教學方法和手段的改革、學生創新與實踐能力的培養，主要問題體現在以下兩方面。一是教學案例如何選取才能引發學生的學習興趣與熱情。針對每個教學模塊，如何選取切合實際、與時俱進、趣味性強、能借助前續課程解決的實際問題作為教學案例。在經典案例的基礎上，如何適當增加大數據背景下與時下熱點問題緊密結合的新穎選題。二是研討環節怎樣設計能達到良好效果，如何啟發學生針對問題進行適當的簡化假設，選擇適當的數學模型，得出合理的結論；怎樣讓學生成為課堂的主體，充分調動學生主動思維，激發學生的興趣。

2數字時代數學建模課程教學內容的擴展與更新

2.1大數據背景下案例教學中傳統方法的擴展應用。數據導向的數據分析方法是數字時代數學應用無法回避的一個重要趨勢[6]，有些數學模型可以擴展應用到大數據領域，如從傳染病模型到網絡謠言傳播模型。在數學建模案例中，微分方程模型可以描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數的變化規律。思考傳染病的傳播規律后，將人群劃分為感染者（病人）、未感染者（健康人）、移出者（治愈者有免疫力）建立SIR模型，利用Matlab軟件求解微分方程，結合圖形理解傳播過程。在此基礎上，可以進一步結合大數據背景和學生感興趣的社交網絡，將微分方程模型的應用進一步擴展到輿情傳播領域，對于謠言的傳播，仿照傳染病模型把人群劃分為無知者、傳播者、知謠但不傳謠者，建立SIR謠言傳播模型。當無知者遇到傳播者，無知者以一定的概率轉化為傳播者；當傳播者遇到知謠但不傳謠者，會以一定的概率變為知謠但不傳謠者。另外，可以引導學生結合實際考慮的更全面，比如一部分人由于具有豐厚的知識和理智的頭腦，第一時間意識到傳播的信息是謠言，直接成為知謠但不傳謠者，模型如何進一步修正。2.2開放數據、大數據背景下教學內容的更新。計算機高速發展的時代，如何從大數據中挖掘出有價值的信息是普遍面臨的問題。大數據時代來臨，社交網絡、電商交易、視頻網站等產生大量非結構化、高噪音、實時的數據。大數據對數據分析最直接的沖擊是數據收集方式的變革，個人消費、網頁瀏覽、地理位置、社交平臺交流等各種數據通過數值、文本、圖片、音頻、視頻等形式的數據格式被記錄下來。教學過程中關于各種形式數據的采集方法需要加強訓練，通過實踐使學生了解Python、R、Hadooop和數據庫等[7]。聚類分析、主成分分析、模糊邏輯和貝葉斯網絡等用于系統體系還原與智能計算的方法可以適當引入[8]。在教學內容設置中不能忽視數據的巨變，增加關聯規則、聚類、決策樹、神經網絡等方面的案例教學，適應社會需求[9]。數學建模課程需要增加介紹處理這些問題的數學和算法思想，注重數據預處理、數據可視化、數據挖掘常用算法的軟件實現、結果的理解和解釋。另外，建模時若冗余特征過多會導致維數災難，降低算法運行效率。因此，可增加主成分分析、線性判別分析、小波分析和拉普拉斯特征映射等降維方法的講解，進一步闡明數學與統計學在實際應用中的重要性。

3基于數學建模課程加強學生實踐創新和科研能力的培養

3.1研討式、實踐性教學活動的實施措施。高質量問題驅動的研討有助于激發學生的思維，提高學習主動性。教師根據每個教學模塊設計相應的研討問題，布置學生課下提前查閱資料，尋求適當的數學方法。課上組織學生參與討論，引導學生互動交流，對學生的方案進行合理的評價，最終給出解決問題的思路，并在此基礎上，進一步提出新問題，引發學生深入思考。在這個過程中，學生的批判性思維、積極思考能力與課堂參與能力會發生較大的改變。學生通過親自設計和動手，體驗解決問題的全過程，從數學建模中去探索、學習和發現數學規律，提高了學習的主動性，培養了創新意識與團隊協作精神。例如，商品銷售量的預測問題，以牙膏銷售量為例，可以建立牙膏銷售量與價格、廣告投入之間回歸模型。但如果要研究消費者是否會購買某品牌的牙膏，因變量為二分類變量，如何處理？這就需要引入logistic回歸模型，可以引導學生理解不同模型的適用性，并討論需要考慮哪些影響因素，演示logistic回歸如何通過軟件實現，及輸出結果怎樣解讀，直接從問題出發，解決問題，盡量略去原理的講解，而留作課后文獻閱讀作業，讓學生先對模型和應用有直觀的認識，再帶著問題去學習理論部分。給出logistic回歸在數據挖掘中的應用，并且進一步提出相關的一類方法作為課后泛讀材料，如logistic回歸、決策樹、貝葉斯分類器有什么共同之處和不同之處，有哪些應用案例。3.2以學生為中心，任務驅動的課外自主學習模式。數學軟件的實現使得學生能夠了解數學知識的實用價值，開拓思維，進而加深對數學理論和方法的理解和掌握。對數學方法的思想、案例和軟件實現講解之后，向學生介紹該模塊比較有代表性的研究工作，提供相應模塊的數學建模案例研究文章作為學生課后選讀資料。在課后任務設置環節，給定選題，讓學生組團隊尋找數據，如：從網絡爬取社交媒體數據、采集網絡銷售量及價格數據等，對數據進行分析、評價，逐漸掌握數據的挖掘和統計分析，并能通過文字、統計圖表或動畫等方式直觀展現數據與分析結果。激發學生的興趣和積極性，使得學生能夠了解統計方法的實用價值，開拓思維。教師整理歸納任務中遇到的知識點、重點、難點，使學生能在教師歸納總結的引導下，進一步優化任務的解決方案，并從任務分析過程中學習統計理論的相關知識點，加深對所學知識的理解和掌握。實現統計從“以教為主”到“以學為主”的轉變，以實際問題為任務，強調統計方法中的應用背景和統計思維，讓學生在完成任務的同時學習新軟件、掌握所需理論知識，從而培養學生自主探索能力。3.3科研融入教學實踐，提高學生創新能力。隨著高等教育改革的不斷深化，培養創新型人才的本科教育教學體系的構建日益迫切。中共中央、國務院印發《國家創新驅動發展戰略綱要》提出到2020年進入創新型國家行列、2030年躋身創新型國家前列、到2050年建成世界科技創新強國“三步走”目標。創新型國家所需人才的教育模式要求從“記憶力教育”模式轉換為“創造力教育”模式[10]。創新背景下教學改革的目標具體體現在培養學生運用數學知識解決實際問題的能力，使學生了解數學方法在實際中的強大與直接應用，從而激發學習的主動性和積極性，提高學習其他課程的興趣；同時提高學生查閱文獻的能力，培養學生的創新與科研能力以及團隊協作精神。數學建模過程與論文撰寫是引導本科生從事科研活動、培養創新能力的有效途徑。比如，安排學生分小組圍繞實際確定選題，完成一篇數學建模學術論文[11]。研究過程中可以使學生掌握資料檢索和學術論文數據庫的使用方法，通過使用查閱到的與待解決實際問題相關的文獻，可以了解待解決實際問題的相關背景、研究現狀和最新的研究方法，在此基礎上進行深入探討，建立更加優化的數學模型，撰寫專業論文。從而實現學生基本科研能力的訓練。在數學建模訓練的基礎上，結合實踐性教學環節、大學生創新項目和挑戰杯競賽，學生逐漸組成比較成熟的團隊，以獨特視角選擇新穎的實踐性選題，采集數據，運用軟件完成分析，得出有意義的研究結論。這些科研內容，在老師的指導下，提煉出主要研究內容，按照期刊論文的寫作范式進行修改后投稿。在以往的教學過程中，每個班在畢業時都有兩三個團隊的在學術期刊或學術會議上，這些科研成果在推免生面試、考研復試、出國學校申請和求職就業時都起到重要的作用，在反映學生的科研、創新、應用和團隊協作能力上極具說服力。

4結論

數學建模課程教學改革的探索具有較好的研究實踐基礎，通過參加數學建模活動，很多學生的自主學習、自主探索和科研創新能力得到了顯著提高，在本科畢業論文設計、實習和研究生階段的學習中表現出了明顯的優勢，得到用人單位和研究生導師的普遍認可。同時也為數學建模案例式、研討式教學改革的實施積累了經驗。問題驅動的案例式、研討式教學，按照不同的數學方法將課程教學分成不同的模塊，針對每個模塊選取案例、組織研討課。通過案例展示與研討，學生將學會怎樣建立模型解決實際問題。案例教學過程中，教師直接給出實際問題，讓學生進行思考，教師進行講解，通過解決問題的過程給學生介紹建模的過程與意義；讓學生感受到數學的廣泛用途，啟發、引導學生自主學習、思考和探索，推動本科教育、教學質量的提升，培育優秀創新人才。

作者:閔素芹 張貝貝 單位:1.中國傳媒大學 2.首都經濟貿易大學