數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽創(chuàng)新分析體系研究

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【摘要】數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是鍛煉大學(xué)生分析和解決問(wèn)題的重要學(xué)科競(jìng)賽。目前數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域的研究和相關(guān)著作對(duì)競(jìng)賽本身的研究仍有不足。本文通過(guò)對(duì)歷年賽題進(jìn)行研究和歸納，建設(shè)性提出“建模競(jìng)賽問(wèn)題分析體系”。在本體系中，題目問(wèn)題描述和要求之間的關(guān)系是遞進(jìn)關(guān)系，參數(shù)間是遞進(jìn)和包含關(guān)系，模型間是“基礎(chǔ)”和“能否解決”的關(guān)系，問(wèn)題描述、要求、參數(shù)、模型和解都必須符合“出題人想法”。實(shí)踐表明，學(xué)生們對(duì)該理論也具有較高的評(píng)價(jià)。總之，該體系可有效提高學(xué)生分析問(wèn)題的創(chuàng)新能力和學(xué)科競(jìng)賽的競(jìng)技水平。

【關(guān)鍵字】數(shù)學(xué)建模；問(wèn)題分析；數(shù)學(xué)模型；學(xué)科競(jìng)賽

數(shù)學(xué)建摸是提升大學(xué)生創(chuàng)新、實(shí)踐等綜合素質(zhì)能力的重要學(xué)科競(jìng)賽[1]，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)能力的重要平臺(tái)[2]。隨著比賽的開(kāi)展，數(shù)學(xué)模型研究方法日趨完善，論文寫(xiě)作日趨規(guī)范。盡管如此，當(dāng)前學(xué)生在分析問(wèn)題這一方面仍存在不足，包括參賽學(xué)生對(duì)問(wèn)題認(rèn)識(shí)不清[5]，對(duì)各問(wèn)題間的關(guān)系捉摸不透等。當(dāng)前相關(guān)參考文獻(xiàn)在引導(dǎo)大學(xué)生分析問(wèn)題這一重要環(huán)節(jié)卻相對(duì)忽略，這恰恰是每個(gè)大學(xué)生要掌握的重要技能，這也是數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽設(shè)立的初衷。數(shù)學(xué)建模有方法，創(chuàng)新有方法，那么數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是否有方法呢？創(chuàng)新是一個(gè)從無(wú)到有，從有到精的一個(gè)遞進(jìn)過(guò)程。基于創(chuàng)新的思想，為了能夠解釋出數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中問(wèn)題之間的關(guān)系以及如何分析問(wèn)題，本文通過(guò)對(duì)歷年真題進(jìn)行整理，分析和比較，最終總結(jié)出一個(gè)具有創(chuàng)新意義的問(wèn)題分析流程（圖1）。經(jīng)過(guò)實(shí)踐，該流程對(duì)幾乎所有歷年賽題有效，只要按照這個(gè)分析流程分析和解決問(wèn)題，基本上能達(dá)到賽題要求。

1數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽問(wèn)題分析體系

本文從問(wèn)題出發(fā)，針對(duì)問(wèn)題及問(wèn)題要求間關(guān)系、問(wèn)題參數(shù)間關(guān)系、問(wèn)題模型間關(guān)系和問(wèn)題解與出題人想法間關(guān)系這4個(gè)關(guān)系對(duì)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的分析進(jìn)行詳細(xì)的解讀。1.1問(wèn)題及問(wèn)題要求間關(guān)聯(lián)。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽主要考察對(duì)象是大學(xué)生，而大學(xué)生正處于分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的初步階段，他們分析和實(shí)踐能力相對(duì)不足。建模競(jìng)賽的出題過(guò)程也是一個(gè)逐步遞進(jìn)、啟發(fā)大學(xué)生思考的過(guò)程。數(shù)學(xué)建模一般會(huì)以3～4個(gè)問(wèn)題的形式逐步展開(kāi)。在此，本文以含4個(gè)問(wèn)題的賽題為例，問(wèn)題1到問(wèn)題2是一個(gè)遞進(jìn)關(guān)系，同樣，問(wèn)題2到問(wèn)題3，問(wèn)題3到問(wèn)題4也都是遞進(jìn)關(guān)系。所述的遞進(jìn)關(guān)系主義含義為，前者是后者的基礎(chǔ)，而后者是在前者基礎(chǔ)上提出的。在遞進(jìn)關(guān)系中，問(wèn)題1，問(wèn)題2，問(wèn)題3，問(wèn)題4都是遞進(jìn)關(guān)系，也就是起源是1，終點(diǎn)是4，只要滿(mǎn)足問(wèn)題4，那么整個(gè)建模問(wèn)題就都會(huì)解決。從這個(gè)意義上講，該賽題雖然有4個(gè)題目，但實(shí)際上是一個(gè)問(wèn)題，那就是“題目”。那如何應(yīng)用該關(guān)聯(lián)呢？從辯證角度講，可分別從問(wèn)題1入手后正向推演，或者從問(wèn)題4入手后逆向推演。1.2參數(shù)間關(guān)聯(lián)。由于問(wèn)題間的遞進(jìn)關(guān)系，后面的問(wèn)題往往是在前面問(wèn)題基礎(chǔ)上生成的，因此需要的參數(shù)也是一種遞進(jìn)關(guān)系。后面問(wèn)題的參數(shù)往往又包含了前面問(wèn)題的參數(shù)，這是一種包含關(guān)系。如果后面的問(wèn)題沒(méi)有前面問(wèn)題的參數(shù)，這說(shuō)明兩者間的遞進(jìn)關(guān)系不滿(mǎn)足，這樣的模型基本是不符合實(shí)際情況的，需要重新進(jìn)行校訂和修改。同樣，前面問(wèn)題中的參數(shù)要為后面的問(wèn)題進(jìn)行鋪墊，這也決定了前面問(wèn)題的參數(shù)對(duì)后面問(wèn)題有應(yīng)用價(jià)值，否則前面問(wèn)題就沒(méi)有出現(xiàn)的意義，這是由于問(wèn)題整體性決定的。1.3模型間關(guān)聯(lián)。由于問(wèn)題和參數(shù)的遞進(jìn)關(guān)系，針對(duì)每個(gè)問(wèn)題建立的模型也必然是一種遞進(jìn)關(guān)系，這種遞進(jìn)關(guān)系包含了參數(shù)的遞進(jìn)和要解決問(wèn)題的遞進(jìn)，我們把這種關(guān)系叫做基礎(chǔ)；反過(guò)來(lái)，后一個(gè)問(wèn)題的模型往往能夠解決前一個(gè)問(wèn)題。這個(gè)邏輯思維在建模過(guò)程中是至關(guān)重要的。如果前一模型對(duì)于下一問(wèn)題模型沒(méi)有任何作用或者說(shuō)不是后一個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)，那么參賽者對(duì)于問(wèn)題的理解是有所偏頗的或者是不正確的。如果后一個(gè)問(wèn)題不能解決前一個(gè)問(wèn)題，只有兩種情況，一種是上一問(wèn)題理解錯(cuò)了；另一種是當(dāng)前問(wèn)題理解錯(cuò)了。根據(jù)上述結(jié)論，建立模型時(shí)，要先從全局角度進(jìn)行分析。問(wèn)題1是問(wèn)題2的基礎(chǔ)，問(wèn)題2是問(wèn)題3的基礎(chǔ)，問(wèn)題3是問(wèn)題4的基礎(chǔ)，從這個(gè)邏輯看，只要完成了問(wèn)題4，前面所有問(wèn)題也就都解決了。因此，建模時(shí)要先從全局角度進(jìn)行建模分析，從最后一問(wèn)分析入手，先確定所要建立模型的整體結(jié)構(gòu)，然后逐步確定第3問(wèn)的問(wèn)題模型，第2問(wèn)的問(wèn)題模型和第1問(wèn)的問(wèn)題模型。問(wèn)題模型間的關(guān)聯(lián)無(wú)論從建立模型還是評(píng)價(jià)模型都有較實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值，對(duì)理解問(wèn)題也有重要的參考意義和實(shí)際的指導(dǎo)價(jià)值。通過(guò)在近3年的教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生們對(duì)這個(gè)觀(guān)點(diǎn)也表示認(rèn)同，并認(rèn)為對(duì)建模實(shí)踐非常有可操作性。1.4問(wèn)題解及出題人想法間關(guān)聯(lián)。在建模實(shí)踐中，模型的解不一定是問(wèn)題的解。模型中給出一種計(jì)算方法，或是給出一個(gè)參數(shù)值，求得一組數(shù)值解。但是出題人的想法可能要從多個(gè)角度進(jìn)行分析，也就是需要帶入多組數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算和比較，而這往往是模型本身不能直接反映出來(lái)的。因此，在模型求解時(shí)，一定要以問(wèn)題要求和出題人的想法為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行分析。以計(jì)算平面折疊桌桌尾曲線(xiàn)題為例，其不僅要給出不同角度的曲線(xiàn)方程，還要根據(jù)不同角度將圖形繪制出來(lái)。在實(shí)際建模過(guò)程中，出題人的想法至關(guān)重要，他往往超越了模型本身，題目中蘊(yùn)含了出題人的想法，這恰恰是建模的核心之處。1.5例題講解。以2016年賽題A題為例進(jìn)行分析。該問(wèn)題為系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。在問(wèn)題簡(jiǎn)述方面，問(wèn)題2中“在問(wèn)題1的假設(shè)下”，這是遞進(jìn)關(guān)系；問(wèn)題2中提及了錨點(diǎn)與海床的夾角和鋼桶傾斜角，而問(wèn)題1沒(méi)有涉及，這也是遞進(jìn)關(guān)系。問(wèn)題3中水深是一個(gè)變量，這是在問(wèn)題2中定量的遞進(jìn)；水速和風(fēng)速?gòu)亩ㄖ底兂勺兞浚@也是遞進(jìn)關(guān)系。問(wèn)題要求中，問(wèn)題1到問(wèn)題2，再到問(wèn)題3，出題人從求解給定數(shù)值解到給定范圍解，這都是遞進(jìn)關(guān)系的體現(xiàn)。在參數(shù)方面，問(wèn)題1中的風(fēng)速、海水密度、水深、重物球質(zhì)量、錨鏈長(zhǎng)度是常數(shù)，鋼桶傾斜角度是常數(shù)；而在問(wèn)題2中，重物球質(zhì)量變成變量，鋼桶傾斜角度也成為變量，這也是遞進(jìn)關(guān)系。反過(guò)來(lái)，問(wèn)題2中的參數(shù)都包含了問(wèn)題1中的參數(shù)，是包含關(guān)系。在模型方面，問(wèn)題1的模型根據(jù)關(guān)系求解值即可；在值求解的過(guò)程中建立的函數(shù)關(guān)系對(duì)第二問(wèn)有一定基礎(chǔ)，但由于其增加了參數(shù)，因此他并不能解決第二問(wèn)的問(wèn)題，所以問(wèn)題1是問(wèn)題2的基礎(chǔ)；反過(guò)來(lái)，問(wèn)題2的模型，將風(fēng)速、傾斜角、質(zhì)量等設(shè)為問(wèn)題1中的定值時(shí)，則能解決第1問(wèn)的問(wèn)題，就是解決關(guān)系。同樣，相比第三問(wèn)，第二問(wèn)中水深、水速、風(fēng)速是定值，它們僅能為第三問(wèn)提供基礎(chǔ)模型，但反過(guò)來(lái)，將第三問(wèn)模型中參數(shù)值變成定值，就能解決第2問(wèn)的問(wèn)題。這就是解決關(guān)系。綜合講，該問(wèn)題只需1個(gè)模型，那就是高校教育第3問(wèn)的模型。只要第3問(wèn)模型構(gòu)建完畢，所有問(wèn)題都會(huì)得到解決。在出題人想法方面，本題希望大學(xué)生給出系泊系統(tǒng)中所有參數(shù)間關(guān)系，并給出特定情況下的具體值。因此，必須有有針對(duì)性的進(jìn)行討論。

2評(píng)價(jià)與討論

2.1歷年真題賽題實(shí)際情況評(píng)價(jià)。全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽從1992年開(kāi)始，至今已有25套賽題，通過(guò)對(duì)所有本科組賽題利用本文的建模競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)分析方法進(jìn)行分析，結(jié)果顯示除去只含一個(gè)問(wèn)題的賽題，本分析方法適用于所有的賽題。這充分表明本方法在分析建模賽題和審查賽題問(wèn)題上是十分有效的。此外，本方法不僅可以用來(lái)進(jìn)行問(wèn)題分析，同樣也可以作為論文評(píng)價(jià)的參考標(biāo)準(zhǔn)。如果問(wèn)題、參數(shù)間沒(méi)有遞進(jìn)關(guān)系，說(shuō)明論文分析的有問(wèn)題；如果不同問(wèn)題間的模型沒(méi)有關(guān)聯(lián)，那么論文也是偏離出題人思想，其結(jié)果很難令人信服。若后面問(wèn)題的模型不能解決前面問(wèn)題，這一般是模型間的聯(lián)系不緊密造成的，從全局看，這樣的論文也是有所偏頗的。2.2討論。本團(tuán)隊(duì)研究得出的數(shù)學(xué)建模標(biāo)準(zhǔn)分析方法在一定程度上對(duì)于把握賽題內(nèi)容和方向是十分有效的，對(duì)論文撰寫(xiě)也有一定的指導(dǎo)意義。這個(gè)研究成果在一定程度上補(bǔ)充了當(dāng)前數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽教育新的內(nèi)容，也為建模競(jìng)賽培訓(xùn)工作指明了培訓(xùn)方向，相信經(jīng)過(guò)本研究成果的推廣，更多的學(xué)生能更快捷方便的進(jìn)入到數(shù)學(xué)建模的邏輯思維中來(lái)，參賽水平也會(huì)有較高質(zhì)量的提升。此外，問(wèn)題分析的過(guò)程是一個(gè)十分復(fù)雜的過(guò)程，不同的問(wèn)題要分析出不同的模型，這在本論文的標(biāo)準(zhǔn)方法中沒(méi)有體現(xiàn)，今后將繼續(xù)開(kāi)展針對(duì)性研究，將數(shù)學(xué)建模方法更完善，更系統(tǒng)。

3結(jié)語(yǔ)

本文在實(shí)踐中摸索出具有創(chuàng)新性數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽分析體系，該體系在教學(xué)實(shí)踐和學(xué)生競(jìng)賽實(shí)踐中均表現(xiàn)出較強(qiáng)的實(shí)踐價(jià)值和實(shí)戰(zhàn)作用。該體系對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽有重要指導(dǎo)意義，對(duì)其他學(xué)科競(jìng)賽的創(chuàng)新實(shí)踐也具有一定的參考價(jià)值。

【參考文獻(xiàn)】

[1]譚谷霞.數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽對(duì)大學(xué)生綜合素質(zhì)的影響[J].科教導(dǎo)刊-電子版（上旬），2019（12）:198.

[2]姚曄，仇建，王震.依托數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽提升大學(xué)生的創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)能力[J].計(jì)算機(jī)教育，2019（9）:74-78.

作者:常志強(qiáng) 呂俊杰 張博 趙文媛 單位:哈爾濱醫(yī)科大學(xué)