對稱性與守恒定律探究論文

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[摘要]本文對在量子體系下的對稱變換論文及其性質作了簡單的介紹，詳細的分析了對稱變換與守恒量以及不可測量量的關系，并且對時空對稱性導致動量、角動量、能量守恒作了詳細分析，并給出了現在物理學中一些重要的對稱性和守恒律的簡介。

[關鍵詞]量子體系對稱性守恒定律

一、引言

對稱性是自然界最普遍、最重要的特性。近代科學表明，自然界的所有重要的規律均與某種對稱性有關，甚至所有自然界中的相互作用，都具有某種特殊的對稱性——所謂“規范對稱性”。實際上，對稱性的研究日趨深入，已越來越廣泛的應用到物理學的各個分支：量子論、高能物理、相對論、原子分子物理、晶體物理、原子核物理，以及化學（分子軌道理論、配位場理論等）、生物（DNA的構型對稱性等）和工程技術。

何謂對稱性？按照英國《韋氏國際辭典》中的定義：“對稱性乃是分界線或中央平面兩側各部分在大小、形狀和相對位置的對應性”。這里講的是人們觀察客觀事物形體上的最直觀特征而形成的認識，也就是所謂的幾何對稱性。

關于對稱性和守恒定律的研究一直是物理學中的一個重要領域，對稱性與守恒定律的本質和它們之間的關系一直是人們研究的重要內容。在經典力學中，從牛頓方程出發，在一定條件下可以導出力學量的守恒定律，粗看起來，守恒定律似乎是運動方程的結果．但從本質上來看，守恒定律比運動方程更為基本，因為它表述了自然界的一些普遍法則，支配著自然界的所有過程，制約著不同領域的運動方程．物理學關于對稱性探索的一個重要進展是諾特定理的建立，定理指出，如果運動定律在某一變換下具有不變性，必相應地存在一條守恒定律．簡言之，物理定律的一種對稱性，對應地存在一條守恒定律．經典物理范圍內的對稱性和守恒定律相聯系的諾特定理后來經過推廣，在量子力學范圍內也成立．在量子力學和粒子物理學中，又引入了一些新的內部自由度,認識了一些新的抽象空間的對稱性以及與之相應的守恒定律，這就給解決復雜的微觀問題帶來好處，尤其現在根據量子體系對稱性用群論的方法處理問題，更顯優越。

在物理學中，尤其是在理論物理學中，我們所說的對稱性指的是體系的拉格朗日量或者哈密頓量在某種變換下的不變性。這些變換一般可分為連續變換、分立變換和對于內稟參量的變換。每一種變換下的不變性，都對應一種守恒律，意味著存在某種不可觀測量。例如，時間平移不變性，對應能量守恒，意味著時間的原點不可觀測；空間平移評議不變性，對應動量守恒，意味著空間的絕對位置不可觀測；空間旋轉不變性，對應角動量守恒，意味著空間的絕對方向不可觀測，等等。在物理學中對稱性與守恒定律占著重要地位,特別是三個普遍的守恒定律——動量、能量、角動量守恒，其重要性是眾所周知，并且在工程技術上也得到廣泛的應用。因此，為了對守恒定律的物理實質有較深刻的理解，必須研究體系的時空對稱性與守恒定律之間的關系。

本文將著重討論非相對論情形下討論量子體系的時空對稱性與三個守恒定律的關系，并在最后給出一些我們常見的對稱變換與守恒定律的簡單介紹。

二、對稱變換及其性質

一個力學系統的對稱性就是它的運動規律的不變性，在經典力學里，運動規律由拉格朗日函數決定，因而時空對稱性表現為拉格朗日函數在時空變換下的不變性．在量子力學里，運動規律是薛定諤方程，它決定于系統的哈密頓算符，因此，量子力學系統的對稱性表現為哈密頓算符的不變性。

對稱變換就是保持體系的哈密頓算符不變的變換．在變換S（例如空間平移、空間轉動等）下，體系的任何狀態ψ變為ψ（s）。

三、對稱變換與守恒量的關系

經典力學中守恒量就是在運動過程中不隨時間變化的量，從此考慮過渡到量子力學，當是厄米算符，則表示某個力學量，而

然而,當不是厄米算符,則就不表示力學量.但是，若為連續變換時，我們就很方便的找到了力學量守恒。

設是連續變換，于是可寫成為=1+IλF,λ為一無窮小參量，當λ→0時，為恒等變換。考慮到除時間反演外，時空對稱變換都是幺正變換，所以

（8）式中忽略λ的高階小量，由上式看到

即F是厄米算符，F稱為變換算符的生成元。由此可見，當不是厄米算符時，與某個力學量F相對應。再根據可得

可見F是體系的一個守恒量。

從上面的討論說明，量子體系的對稱性，對應著力學量的守恒，下面具體討論時空對稱性與動量、能量、角動量守恒。

1.空間平移不變性（空間均勻性）與動量守恒。

空間平移不變性就是指體系整體移動δr時，體系的哈密頓算符保持不變．當沒有外場時，體系就是具有空間平移不變性。

設體系的坐標自r平移到，那么波函數ψ(r)變換到ψ(s)(r)

2.空間旋轉不變性（空間各向同性）與角動量守恒

空間旋轉不變性就是指體系整體繞任意軸n旋δφ時，體系的哈密頓算符不變。當體系處于中心對稱場或無外場時，體系具有空間旋轉不變性。

3.時間平移不變性與能量守恒

時間平移不變性就是指體系作時間平移時，其哈密頓算符不變。當體系處于不變外場或沒有外場時，體系的哈密頓算符與時間無關（），體系具有時間平移不變性。

和空間平移討論類似，時間平移算符δt對波函數的作用就是使體系從態變為時間平移態：

同樣，將（27）式的右端在T的領域展開為泰勒級數

四、結語

從上面的討論我們可以看到，三個守恒定律都是由于體系的時空對稱性引起的，這說明物質運動與時間空間的對稱性有著密切的聯系，并且這三個守恒定律的確立為后來認識普遍運動規律提供了線索和啟示，曾加了我們對對稱性和守恒定律的認識．對稱性和守恒定律之間的聯系，使我們認識到，任何一種對稱性，或者說一種拉格朗日或哈密頓的變換不變性，都對應著一種守恒定律和一種不可觀測量，這一結論在我們的物理研究中具有極其重要的意義，尤其是在粒子物理學和物理學中，重子數守恒、輕子數守恒和同位旋守恒等內稟參量的守恒在我們的研究中起著重要的作用．下表中我們簡要給出一些對稱性和守恒律之間的關系。

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