物理習(xí)題極值問(wèn)題論文

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論文關(guān)鍵詞:物理習(xí)題極值

論文摘要:本文根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況以及本人的教學(xué)實(shí)踐,針對(duì)普通物理教學(xué)中困擾學(xué)生的極值問(wèn)題,利用數(shù)學(xué)、物理的概念、公式等,嘗試對(duì)物理極值問(wèn)題的求解規(guī)律進(jìn)行歸納與探析。

在普通物理習(xí)題中有一些是關(guān)于求極值問(wèn)題。有的是求極小值,有的是求極大值,學(xué)生對(duì)此并沒(méi)有足夠的預(yù)備知識(shí),遇到這類題目往往感到無(wú)從下手,不知如何解,故而在解題過(guò)程中錯(cuò)誤層出不窮,本文試從幾個(gè)方面對(duì)物理習(xí)題中的極值問(wèn)題加以說(shuō)明。

一、從物理概念、公式出發(fā)求極值

例1:一車技演員騎摩托車駛進(jìn)一半徑為R,路面傾角為的圓錐形峭壁上做圓周運(yùn)動(dòng),車輪與路面間靜摩擦系數(shù)為μ。求飛車在此圓軌道上不致滑動(dòng)的速率V的取值范圍。

解:物體受力:支持力N;重力G;最大靜摩擦力fm;建立坐標(biāo),假定fm沿斜面向上,如圖(a)所示:

y軸方向沒(méi)有運(yùn)動(dòng)(1)

x軸方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

式(2)中的向心力為最小,因而V最小應(yīng)表示為Vmin

最大靜摩擦力

假定最大靜摩擦力fm沿斜面向下,如圖(b)所示:

y軸方向

x軸方向合外力充當(dāng)向心力式(4)中的向心力為最大,因而V最大應(yīng)表示為Vmax

從(3)(4)兩式可解得:

最后,飛車在此圓軌道上不致滑動(dòng)的速率V的取值范圍為:Vmin≤V≤Vmax

此題利用向心力公式

fm沿斜面向上向心力F最小因而V最小;

fm沿斜面向下向心力F最大因而V最大;

故而求得V的取值范圍。

例2:如圖(c)所示,滑道AC的后部是一個(gè)半徑為R的圓環(huán),質(zhì)量為m的滑塊在高度為h的位置從靜止出發(fā),沿AC滑下,求滑塊通過(guò)圓環(huán)頂部時(shí)不致脫落的h的最小值。

解:把滑塊和地球看作一個(gè)系統(tǒng),沒(méi)有外力作功,內(nèi)力中的重力為保守力,摩擦力被忽略,滑道和圓環(huán)對(duì)滑塊的作用力均與運(yùn)動(dòng)方向垂直,它們不作功,機(jī)械能守恒條件得到滿足,以地球作參考系,取滑塊通過(guò)的最低位置作為重力勢(shì)能的零點(diǎn),設(shè)h為使滑塊在圓環(huán)頂端不脫落的最小高度,比較滑塊在圓環(huán)頂部和出發(fā)點(diǎn)的機(jī)械能有:

V0為滑塊在圓環(huán)頂部的速度,滑塊在圓環(huán)頂部所受的向心力為mg+N

RN為圓環(huán)頂部對(duì)滑塊的壓力,在一般情況下N≥0

對(duì)于滑塊剛好能通過(guò)頂點(diǎn)的情況,取N=0,由式(2)得到mv02=mgR代入式(1),可得

二、利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)一階導(dǎo)數(shù)為零求極值

此題利用了數(shù)學(xué)求導(dǎo)求極值問(wèn)題,一階導(dǎo)數(shù)為零,有極值;二階導(dǎo)數(shù)大于零,有極小值;二階導(dǎo)數(shù)小于零,有極大值。

三、利用矢量三角形解物理極值

例4:如圖(d)所示,質(zhì)量為m的小球用細(xì)線懸掛在O點(diǎn),并置于傾角為a的光滑斜面上,細(xì)線與豎直方向的夾角為>a,試分析:在斜面緩慢右移,逐漸減至0°的過(guò)程中,小球受到線的拉力和斜面支持力如何變化?它們的極值各是多少?

分析與解:在逐漸減少的過(guò)程中,小球在三個(gè)共點(diǎn)力的作用下始終處于平衡狀態(tài),重力mg為豎直向下的恒力,支持力N大小變化而方向始終垂直斜面,而拉力T的大小和方向都在變化。從三力構(gòu)成的矢量三角形如圖(e)可以看出:拉力T先減小后增大,當(dāng)T與N垂直,即+α=90°。T與斜面平行時(shí),拉力最小為T(mén)min=mgsinα。而支持力N不斷減小,當(dāng)=0°時(shí),N減為零,即Nmin=0

四、利用三角函數(shù)解物理極值

例5:質(zhì)量為m的物體放在地面上,它們間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為μ,用力F拉物體,使物體在水平面上作勻速直線運(yùn)動(dòng),力與水平方向的夾角α為多大時(shí)最省力。

分析:由于物體在水平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng),隨著α角的不同,物體與水平面間的彈力不同,因而滑動(dòng)摩擦力也不一樣,而拉力在水平方向的分力與摩擦力相等,因而α角不同,拉力F也不一樣。

解:以物體為研究對(duì)象,受力分析如右圖(f)所示。因?yàn)槲矬w處于平衡狀態(tài),根據(jù)