運(yùn)籌學(xué)在單位制度中應(yīng)用

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摘要：運(yùn)籌學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，在企業(yè)管理過程中發(fā)揮著越來越重要的作用，特別是在模型的應(yīng)用，更是為企業(yè)管理各領(lǐng)域提供了一種較好的問題決策分析方法，本文主要從企業(yè)管理幾個不同角度，通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題，從而說明運(yùn)籌學(xué)在企業(yè)管理中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：運(yùn)籌學(xué)數(shù)學(xué)模型企業(yè)管理

1．前言

運(yùn)籌學(xué)是一門應(yīng)用科學(xué)，至今還沒有統(tǒng)一且確切的定義。莫斯和金博爾曾對運(yùn)籌學(xué)下的定義是：“為決策結(jié)構(gòu)在對其控制下業(yè)務(wù)活動運(yùn)行決策時，提供以數(shù)量化為基礎(chǔ)的科學(xué)方法。”它首先強(qiáng)調(diào)的是科學(xué)方法，這含義不單是某種研究方法的分散和偶然的應(yīng)用，而是可用于整個一類問題上，并能傳授和有組織地活動。它強(qiáng)調(diào)以量化為基礎(chǔ)，必然要用數(shù)學(xué)。但任何決策都包含定量和定性兩個方面，而定性方面又不能簡單地用數(shù)學(xué)表示，如政治、社會等因素，只要綜合多種因素的決策才是全面的。運(yùn)籌學(xué)工作者的職責(zé)是為決策者提供可以量化方面的分析，指出那些定性的因素。另一定義是：“運(yùn)籌學(xué)是一門應(yīng)用科學(xué)，它廣泛應(yīng)用現(xiàn)有的科學(xué)技術(shù)知識和數(shù)學(xué)方法，解決實際中提出的專門問題，為決策者選者最優(yōu)提供定量依據(jù)。”這定義表明運(yùn)籌學(xué)具有多學(xué)科交叉的特點(diǎn)，如綜合運(yùn)用經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)中的一些方法。運(yùn)籌學(xué)是強(qiáng)調(diào)最優(yōu)決策，“最”是過分理想了，在實際生活中往往用次優(yōu)、滿意等概念代替最優(yōu)。所以，運(yùn)籌學(xué)的又一定義是：“運(yùn)籌學(xué)是一種給出問題壞的答案的藝術(shù)，否則的話問題的結(jié)果會更壞。”

在技術(shù)高度發(fā)展的時代，企業(yè)的競爭由此變得更加激烈。如何在自己的技術(shù)方面趕超別人，同時最大程度地節(jié)約成本呢，減少開支，是每個企業(yè)必須關(guān)注的問題，更是企業(yè)管理中的首要問題。日本豐田汽車公司第一次提出了著名的精益生產(chǎn)方法，包括零庫存與即時生產(chǎn)等，以實現(xiàn)成本最小化。一時風(fēng)靡全球。世界上成功的企業(yè)無不是在成本上進(jìn)行控制，技術(shù)上進(jìn)行創(chuàng)新得以生存與發(fā)展內(nèi)的。因此，科學(xué)管理越來越被企業(yè)管理者所重視，發(fā)揮著越來越大的作用，而運(yùn)籌學(xué)作為管理科學(xué)的核心與基礎(chǔ)，其作用顯然是首當(dāng)其沖的。

在企業(yè)管理學(xué)科的發(fā)展中，可以感受到運(yùn)籌學(xué)的重要性。運(yùn)籌學(xué)作為工具，在企業(yè)產(chǎn)品定價問題，余數(shù)問題，生產(chǎn)庫存問題等等一系列方面可以提供最優(yōu)化模型

2．合理分配材料使利潤最大的問題

2.2模型分析

企業(yè)生產(chǎn)過程中常常會遇到生產(chǎn)不同的產(chǎn)品所需要的各種材料只是數(shù)量不一樣，而這些材料的合理分配將導(dǎo)致產(chǎn)品最后利潤的不同。

假設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)m種產(chǎn)品為，…，生產(chǎn)所需的n材料i*為1*,2*…n*,已知單位產(chǎn)品材料定額，i*的材料上限為,單位產(chǎn)品利潤為，有關(guān)信息如表1所示，問如何安排生產(chǎn)計劃，使得企業(yè)獲得最大利潤。

表1

產(chǎn)品

材料

材料上限1*a11a12…

b1

2*a21a22…

b2

n*

設(shè)表示產(chǎn)品的產(chǎn)量，由此可建立數(shù)學(xué)模型：

maxz=

s.t.

此問題可用線性規(guī)劃來求解。

2.2案例分析

某企業(yè)生產(chǎn)3種產(chǎn)品，有關(guān)信息如表2所示。問如何安排生產(chǎn)計劃，使得企業(yè)獲得最大利潤？

表2

單位產(chǎn)品的材料定額

產(chǎn)品

i*材料上限1#2#3#

i*材料1*342600

2*212400

3*132800

單位產(chǎn)品

利潤

243

解：設(shè)產(chǎn)品的產(chǎn)量為，則得線性規(guī)劃模型：

maxz==;

s.t.

,j=1,2,3.

將它化成標(biāo)準(zhǔn)型（LP）：

minf==;

s.t.

,j=1,2,3,4,5,6.

用單純形法求解（LP），得到最優(yōu)單純形表如表3所示。

表3

1/3101/3-1/30200/3

5/601-1/62/30500/3

-5/300-2/3-1/31800/3

r11/6005/62/302300/3

最優(yōu)解==，最優(yōu)值z*=2300/3。

3.運(yùn)輸問題

3.1模型分析

一類典型的運(yùn)輸問題可描述為：設(shè)某種產(chǎn)品有m個產(chǎn)地A1,A2,...，產(chǎn)量分別為a1,a2,…;有n個銷地B1,B2…，銷量分別為b1,b2…。已知從第i個產(chǎn)地運(yùn)送單位產(chǎn)品到第j個銷地的費(fèi)用為（i=1,2,…m;j=1,2,…n）。問如何調(diào)運(yùn)產(chǎn)品才能使總運(yùn)費(fèi)最小。

為了直觀起見，列出表4，其中（i=1,2,…m;j=1,2,…n）為產(chǎn)地到銷地的運(yùn)輸量，為到的單位運(yùn)價。

表4

產(chǎn)地

銷地A1A2…

銷量

B1

b1

B2

b2

產(chǎn)量a1a2…

由于總產(chǎn)量與總銷量之間可能存在“>”“<”“=”三種關(guān)系，故下分三種情況討論模型的建立：

（1）產(chǎn)銷平衡（）

該種情況下數(shù)學(xué)模型為minz=

(2)總產(chǎn)量大于總銷量（）

該種情況下數(shù)學(xué)模型為minz=

(3)總銷量大于總產(chǎn)量（）

minz=

3.2案例分析

設(shè)有A1,A2,A3三個產(chǎn)地生產(chǎn)某種物資，其產(chǎn)量分別為7t,5t,7t,B1,B2,B3,B4四個銷地需要該種物資，銷量分別為2t,3t,4t,6t,又知產(chǎn)銷地之間的單位運(yùn)價見表5，試決定總運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)運(yùn)方案。

表5

銷地

產(chǎn)地B1B2B3B4

A121134

A210359

A37812

解：產(chǎn)地總產(chǎn)量為19t，銷地總銷量為15t，所以這是一個產(chǎn)大于銷的運(yùn)輸問題。按上述方法轉(zhuǎn)化為產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問題，其產(chǎn)銷平衡表和單位運(yùn)輸價表分別見表6、表7。

表6

銷地

產(chǎn)地B1B2B3B4庫存產(chǎn)量

A17

A25

A37

銷量23464

表7

銷地

產(chǎn)地B1B2B3B4庫存

A1211340

A2103590

A378120

對上兩表可以用表上作業(yè)法計算求出最優(yōu)方案如表8：

表8

銷地

產(chǎn)地B1B2B3B4庫存產(chǎn)量

A12327

A2325

A3437

銷量23464

4.生產(chǎn)庫存問題

4.1模型分析

生產(chǎn)與庫存是每個企業(yè)在生產(chǎn)經(jīng)營過程中都會面臨的問題。在實際生產(chǎn)中，增加產(chǎn)量可以帶來成本上的節(jié)約，但是產(chǎn)量增加了，必然增大庫存量，使庫存費(fèi)用上升。另一方面，若減少庫存量又會造成生產(chǎn)成本的增加。如何保證既滿足市場需要，又盡量降低成本費(fèi)用，欲使總的生產(chǎn)成本和庫存成本費(fèi)用之和最小，這就是生產(chǎn)庫存問題的最優(yōu)化目標(biāo)。

設(shè)某生產(chǎn)部分，生產(chǎn)計劃分為n個階段。已知期初庫存量為s1，n階段末的終結(jié)庫存量為方便起見，可設(shè)（因為它的庫存量一般歸于下一生產(chǎn)周期）；每階段生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量有上限m的限制；為第k階段期初庫存量，為第k階段時常對長品的需求量，為第k階段該產(chǎn)品的生產(chǎn)量（k=1,2,…n）；階段生產(chǎn)固定費(fèi)用為F（不生產(chǎn)時F=0），單位產(chǎn)品變動費(fèi)用為a，單位產(chǎn)品階段庫存費(fèi)用為p；欲求此問題最優(yōu)化目標(biāo)。

因為第k+1階段的起初庫存量等于第k極端的起初庫存量加上第k階段的產(chǎn)量減去第k階段的需求量，于是狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為

第k階段生產(chǎn)費(fèi)用

第k階段庫存費(fèi)用

故第k階段成本費(fèi)用為

因而上述問題數(shù)學(xué)模型為

ming=

此問題可用動態(tài)方法求解。

4.2案例分析

已知三個時期內(nèi)對某種產(chǎn)品的需求量、各時期的定貨費(fèi)用及存存儲費(fèi)用如表9所示，又生產(chǎn)費(fèi)用函數(shù)為：

要求確定各個時期最佳定貨批量，使三個時期各項費(fèi)用和為最小。已知第1時期初有一件庫存，第3時期末庫存為零。

表9

i

1331

2273

3462

解：利用動態(tài)規(guī)劃的算法，當(dāng)i=3時，因有=4而，故，，計算過程見表10

表10

01234

06+50564

16+30363

26+20262

36+10161

4000

當(dāng)i=2時，有，故，，計算過程見表11

表11

A

0123456

07+107+207+307+507+707+90

027+5637+3957+3277+2597+12763

117+5627+3937+3257+2577+12662

20+5617+3927+3237+2557+12560

30+3917+3227+2537+12390

40+3217+2527+12320

50+2517+12250

60+12120

當(dāng)k=1時，有q1+x1d1+d2+d3=9,因已知x1=1，故2q18。計算過程見表12

表12

q1

A

x1

2345678

3+203+303+503+703+903+1103+130

123+7633+6753+5873+4293+36113+30133+18992

由計算結(jié)果知：x1=1，q1*=2；x2=0，q2*=3；x3=1，q3*=3；三個時期最小費(fèi)用總和為99。

5.設(shè)備更新問題

5.1模型分析

企業(yè)管理中經(jīng)常會遇到因設(shè)備老化，損壞，后審查后效率底下而需要更新的問題。一臺機(jī)器使用的太久，必然性能低下，影響效率與生產(chǎn)質(zhì)量，因而影響利潤。但如果更新過快，又必然需要增大投資，增加成本，也影響到利潤。如果更新可提高年凈收入，但是當(dāng)年要指出一筆數(shù)額巨大的購買費(fèi)，為了選擇最優(yōu)決策，常常要在一個較長時間內(nèi)考慮更新決策問題。

現(xiàn)以一臺機(jī)器為例，隨著使用年限的增加，機(jī)器的使用效率降低，收入減少，維修費(fèi)用增加。而且機(jī)器使用內(nèi)線越長，它本身的價值就越小，因而跟心時所需的凈支出費(fèi)

----在第j年機(jī)器役齡為t年的一臺機(jī)器運(yùn)行所得的收入。

----在第j年機(jī)器役齡為t年的一臺機(jī)器運(yùn)行時所需的運(yùn)行費(fèi)用。

----在第j年機(jī)器役齡為t年的一臺機(jī)器更新時所需凈費(fèi)用。

a----折扣因子（），表示一年以后的單收入的價值視為現(xiàn)年的a單位。

T----在第一年開始時，正在使用的機(jī)器的役齡。

n----計劃的年限總數(shù)。

----在第j年開始使用一個役齡為t年的機(jī)器時，從第j年至第n年內(nèi)的最佳收入。

----給出時，在第j年開始時的決策（保留或是更新）。

為了寫出遞推關(guān)系式，先從兩方面分析問題。若在第j年開始時購買了新機(jī)器，則從第j年至第n年得到的總收入應(yīng)等于在第j年中由新機(jī)器獲得的收入，減去在第j年中的運(yùn)行費(fèi)用，減去在第j年開始時役齡為t年的機(jī)器的更新凈費(fèi)用，加上在第j+1年開始使用役齡為1年的機(jī)器從第j+1年至第n年的最佳收入；若在第j年開始時繼續(xù)使用役齡為t年的機(jī)器，則從第j年至第n年的總收入應(yīng)等于在第j年由役齡為t年的機(jī)器得到的收入，減去在第j年中役齡為t年的機(jī)器的運(yùn)行費(fèi)用，加上在第j+1年開始使用役齡為t+1年的機(jī)器從第j+1年至第n年的最佳收入。然后，比較他們的大小，選取達(dá)到，并的出是該更新還是保留的決策。

將上面這段話寫成數(shù)學(xué)形式，即得到遞推關(guān)系式為：

(t=1,2,…nt=1,2,…j-1,j+t-1)

其中“K”是Keep的縮寫，表示保留使用；“R”是Replacement的縮寫，表示更新機(jī)器。

由于研究的是n的計劃，故還要求：=0

對于來說，允許的t值只能是T。因為當(dāng)進(jìn)入計劃過程時，機(jī)器必然已使用了T年。

應(yīng)指出的是：這里研究的設(shè)備更新問題，是以機(jī)齡作為狀態(tài)變量，決策是保留和更新兩種。但它可推廣到多維情形，如還考慮對使用的機(jī)器進(jìn)行大修作為一種決策，那時所需的費(fèi)用和收入，不僅取決于機(jī)齡和購置的年限，也取決于上次大修后的時間。因此，必須使用兩個狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)的狀態(tài)，其過程與此類似。

5.2案例分析

假設(shè)n=5，a=1，T=1，其有關(guān)數(shù)據(jù)如表13所示。試制定5年中的設(shè)備更新策略，使在5年內(nèi)的總收入達(dá)到最大。

表13

產(chǎn)品年序

機(jī)齡

項目第一年第二年第三年第四年第五年期前

01234012301201012345

收入2221201816272524222926243028321816161414

運(yùn)行費(fèi)用6688105689556454889910

更新費(fèi)用2729323437293134363132333233343234363638

解：因第j年開始機(jī)齡為t年的機(jī)器，其制造年序應(yīng)為j-t年，因此，為第五年新產(chǎn)品的收入，故=32。為第一年的產(chǎn)品起機(jī)齡為2年的收入，故=20。同理=4，=8。而是第5年機(jī)齡為1年的機(jī)器（應(yīng)為第四年的產(chǎn)品）的更新費(fèi)用，故=33。同理=33，=31，其余類；

當(dāng)j=5時，由于設(shè)T=1，故從第5年開始計算事，機(jī)器使用了1、2、3、4、5年，則遞推關(guān)系式為

因此所以

所以

同理=13，；=6，；=4，

當(dāng)j=4時，遞推關(guān)系為

故

同理；；

當(dāng)j=3時，有

故所以

同理；

當(dāng)j=2時，有

故所以

所以

當(dāng)j=1時，有

故所以

最后，根據(jù)上面計算過程反推之，可求得最優(yōu)策略如表14，相應(yīng)的最佳收益為46單位

表14

年最佳策略

1K

2R

3K

4K

5K

結(jié)論：

以上部分從企業(yè)管理的四個不同角度分析了運(yùn)籌學(xué)在企業(yè)管理中的運(yùn)用。有些問題中，我們針對問題建立模型，并收集一些實際數(shù)據(jù)進(jìn)行計算。事實上，在實際運(yùn)用中，只須將收集的數(shù)據(jù)帶入模型即可，同時本文數(shù)學(xué)模型的建立是高度抽象化了的，實際問題有所出入時，可適當(dāng)調(diào)整模型參量。但其核心部分-----數(shù)學(xué)方法是不會改變的，這也是運(yùn)籌學(xué)在企業(yè)管理中根本之所在。

當(dāng)然，本文并沒有羅列出所有可以在企業(yè)管理中應(yīng)用的模型，事實上，這也是不可能的，因為模型可以用在企業(yè)管理中的方方面面，如還由于薪資問題，風(fēng)險決策問題，投資問題等等。但是，本文的目的并不是所有模型的羅列，而是通過一些實際問題的解決來說明運(yùn)籌學(xué)確實在企業(yè)管理中發(fā)揮著巨大的作用，并且在今后管理科學(xué)的發(fā)展過程中，這種作用將會表現(xiàn)得越來越明顯。

參考文獻(xiàn)：

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