眼科病床的有效計劃

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摘要

醫院是一個由各部門相互聯系的系統,本題我們對醫院系統中住院部的病床合理安排利用情況進行了分析，基于對2008年7月13日至2008年9月11日這段時間內各類患者的門診時間、門診時間、第一、二次手術時間及出院時間情況的原始數據整理，運用排隊論即隨機服務系統理論，將模型引申為模型，通過數學方法定量地、對一個客觀復雜的排隊系統的結構和行為進行動態模擬研究,科學、準確地描述排隊系統的概率規律。并運用MATLAB計算出在患者到門診時，根據當時住院患者及等待住院患者的統計情況，能夠告知其大致入住時間的區間。基于原始數據制出平均治療時間表、滿意度表及一周每天平均入院人數表，假設就醫的患者是無差別的，滿意度也是無差別的，進而優化出每天的患者入院安排參考指南，因為我們得出的結論為FCFS的模型并不能滿足實際需求，需要根據滿意度原則重新建立入院的數學模型，以達到患者和醫院的雙贏，使雙方利益最大化，提高對醫院資源的有效利用。

關鍵詞

模型滿意度負指數分布優化模型[13]入住前等待時間的區間

問題重述

醫院是一個復雜的系統,患者掛號、就診、住院、劃價、取藥每一個服務機構,當某項服務的現有需求超過提供該服務的現有能力時,排隊現象就會發生。由于患者到達的時間和診治患者所需時間的隨機性,可控性小,排隊幾乎是不可避免的。排隊等待時間過長,不僅會耽誤患者的最佳治療時間使其滿意度下降,而且導致醫務人員工作過于忙亂,易出差錯引起醫患糾紛,對患者和社會都會帶來不良影響。因此合理科學安排醫療資源,使醫院避免不必要的空閑,形成資源浪費,又能使患者排隊等待時間盡可能減少,如何在這兩者之間取得平衡,以便提高服務質量,降低服務費用,這是現代醫院管理者必須面對的課題。

問題假設

假設醫院的手術醫生資源是充足的；

假設所使用的數據都真實準確；

假設住院費用與住院天數成正比；

假設治療時間與疾病機理無關；

假設術后恢復時間與患者體質、年齡無關；

假設每次手術都成功；

假設手術醫生的選擇由醫院決定；

假設病人是無差別的，所以滿意度也是無差別的；

假定79張病床并聯排列,各病床獨立工作；

假設代表滿意的程度：。

符號說明

：在任意時刻系統中有個患者的概率；

：單位時間內到達患者的均值；

：單位時間內服務患者的均值；

：在相同時間間隔內患者到達的平均數與能被服務的患者的平均數的比值，稱為服務因子。若服務因子越小，表示服務率越高；若>1，則表示單位時間內到達的患者數超過離去的患者數，隊伍會越來越長；

：患者在系統中平均逗留時間；

：患者在隊列中平均等待時間；

：患者入院治療時間

：第種病的出院人數與5種病出院總人數之比；

：單位時間內服務第種病的患者的平均值；

：滿意的程度；

：白內障單眼患者；

：白內障雙眼患者；

：其他眼科疾病患者；

：外傷疾病患者；

：第患者入院人數占入院總人數的比例；

：第患者分配的床位數；

：為平均住院人數；

：滿意度函數；

○：表示可以安排入院的患者；

×：表示不考慮安排入院的患者

模型分析

我們擬利用平均住院日、病床周轉次數和預住院這三個指標構成評價指標體系：

平均住院日（AverageLengthofStay,ALOS）

平均住院日[8]是評價醫院工作效率和效率、醫療質量和技術水平的綜合指標，它全面地反映醫院的醫、護、技力量和醫院的管理水平。在確保醫療服務質量的前提下，有效縮短平均住院日能使醫院在實現資源成本最小化的同時，減少患者的直接和間接費用，達到醫院綜合效益的最大化。出院者的平均住院日的計算公式如下：

患者平均住院日=；

根據已知數據利用上述公式可知，患者平均住院日為9.3天；

病床周轉次數=；

可根據現有數據可算出從8月8日到9月14日計算出院人數為301人，所以病床周轉次數為=3.8次；

病床的工作效率=平均病床工作日病床周轉次。

平均病床工作日可近似認為是患者的平均住院日[9]，根據原始數據計算可得：出院者平均住院日=8.6天，所以病床的工作效率=；

在開放床位數沒有發生明顯增加的情況下，出院患者的增加說明院內醫療資源得到了更為有效的利用，即同樣的住院醫療資源為更多的患者提供了住院醫療服務。隨著平均住院日的縮減，病床的使用率提高了，轉換的速度也加快了，收治的患者也在逐漸增多。

預住院

針對病情相對穩定需要住院治療的患者因沒有空床不能立刻收治的情況，通過收住虛擬床位患者的形式，進行正式住院前的一切術前必要檢查，患者不需住院但接受醫院給予的必要檢查，術前準備完畢后，根據床位情況安排正式入院，從而縮短患者的術前住院等待時間降低醫療費用。預住院期間患者按門診患者對待，正式入院后，納入病房管理。預住院[8]期間醫院將妥善安排相關檢查項目，盡早安排已辦理預住院的患者正式入院，從而縮短了患者術前的準備時間，減少患者的醫療費用。預住院期間醫院不收取床位費、護理費、伙食費、空調費等無關費用，實行預住院制度時床位安排的優先遵循急診患者、預住院患者、平診患者的順序，對已等待一定時間的預住院患者優先安排入院。這既遵循了急診優先、預住院優先，也遵循了時間優先的原則，預住院期間醫療文書管理即患者的門診病歷由患者本人保管。預住院轉入正式住院后，住院醫療文書均與普通住院者相同。

模型建立及優化

模型一

排隊論[13]，或稱隨機服務系統理論。每當某項服務的現有需求量超過提供該項服務的現有能力時，排隊現象就會發生。排隊論模型是通過數學方法定量地、對一個客觀復雜的排隊系統的結構和行為進行動態模擬研究,科學、準確地描述排隊系統的概率規律。在醫院管理中,若在排隊論的基礎上,對醫院排隊系統的結構和行為進行科學的模擬和系統的研究，從而對醫院病床安排進行最優設計,以獲得反映其系統本質特征的數量指標結果,進行預測、分析或評價,最大限度地滿足患者的需求,將有效避免資源浪費。

系統描述

以醫院為研究對象,它有如下特征:

1.輸入過程:患者的到達是相互獨立,相繼到達的時間間隔是隨機的；一定時間的到達服從Poisson分布。

2.排隊規則:從先到先服務,且為等待制,即患者到達時所有診室和醫生都沒有空閑,他們就要排隊等待。

3.服務時間:患者診治時間是相互獨立的,服從負指數分布。

4.服務窗口:多服務臺,C個服務臺并聯排列,各服務臺獨立工作。模型是輸入過程為泊松輸入，病床服務時間為負指數分布并具有單病床的等待制排隊系統模型，這是最簡單的排隊系統模型。

我們采用排隊論中最常見的模型，該模型是輸入過程為泊松輸入，病床服務時間為負指數分布并具有單病床的等待制排隊系統模型。

（圖為輸入過程為泊松輸入，病床服務時間為負指數分布并具有單病床的等待制排隊系統模型[3]）在分析過程中，我們假設系統的患者源和容量都是無限的，患者單隊排列，排隊規則是先到先服務()。

表示有效的平均到達率l與平均服務率m之比(0＜r＜1)。

我們將模型引申為模型，視醫院住院部的79張病床為79個隨機服務模型，且假設醫院的手術醫生資源是充足的。

模型[6]

是多病床的等待制排隊系統,它的各種特征的規定和假設與模型基本相同.并假定C個病床并聯排列,各病床獨立工作,其平均服務率相同,即==…==m.因此,該系統的平均服務率為Cm

在統計平衡狀態下,服務強度：

此時,系統的穩態概率為：[7]

患者在系統中平均逗留時間由患者在隊列中平均等待時間和患者入院治療時間組成，即：

關于問題三中提及到的“患者希望盡早知道自己大約何時能住院”的問題，我們認為可以根據當時住院患者及等待住院患者的統計情況，在患者到門診時即可告知其大致入住時間的區間。

通過對數據的分析，基于模型，運用Excel，按患者的病情種類計算出2008年7月13日至2008年9月11日之間入住前的平均等待時間，即患者在隊列中平均等待時間，如下所示：

白內障單眼患者：11.97天

白內障雙眼患者：12.29天

其他眼科疾病患者：12.06天

外傷疾病患者：0.95天

由附錄三中各類患者入住前等待時間的詳細數據，運用MATLAB,可以計算出患者入住前等待時間的區間(結果保留小數點后一位)

1.以白內障單眼患者入住前的等待時間圖像為例[4]：

可得期望，即均值為11.9722，標準差為1.7114，因此我們有的把握性程度認為白內障單眼患者入住前等待時間落入[11.6，12.4]的區間內。

2.白內障雙眼患者入住前的等待時間:

期望，即均值為12.2927，標準差為0.8238，因此我們有的把握性程度認為白內障單眼患者入住前等待時間落入[12.1，12.4]的區間內。

3.其他眼科疾病患者入住前的等待時間:

期望，即均值為12.1500，標準差為1.0724，因此我們有的把握性程度認為白內障單眼患者入住前等待時間落入[12.0，12.3]的區間內。

4.外傷疾病患者入住前的等待時間:

期望，即均值為0.9455，標準差為0.2292，因此我們有的把握性程度認為白內障單眼患者入住前等待時間落入[0.9，1.0]的區間內。

模型二

從已知的原始數據可知，從2008年7月13號開始住院的病人，最晚的出院時間為8月8日，因此我們運用MATLAB軟件做出從此日開始關于累積住院人數、累積出院人數及病房實時的病人數的圖形。通過我們對數據的計算及所做圖形可以清楚的得出，病房實時的病人數一直為79人，也就是說醫院的病床一直處于的利用狀態，沒有任何的資源浪費。因此我們需要考慮的問題是如何來確定第二天應該安排哪些病人住院，也就是說需要根據第二天擬出院病人數來確定第二天應該安排哪些病人住院。

由于模型沒有考慮到本題的限定條件，即：該院是每周一、三做白內障手術，此類病人的術前準備時間只需1、2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，大約占到。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時會立即安排住院，住院后第二天便會安排手術。其他眼科疾病比較復雜，有兩種不同情況，但大致住院以后2、3天內就可以接受手術，主要是術后的觀察時間較長。這類疾病手術時間可根據需要安排，一般不安排在周一、周三。

根據以上限定條件來建立模型，目的是為了提高患者的滿意程度，使醫院的資源得到最有效的利用。對醫院而言，可以縮短平均住院日，降低醫療成本，有效緩解“看病難，看病貴”的問題，得到經濟效益與社會效益的雙豐收；對患者而言，可以縮短無價值住院日，總住院時間也就相應縮短了，不但可以直接減少患者的醫療費用，也間接減少了患者家屬單位的院外消耗。尤其對于外地患者，更是節約了很大一筆費用。

此題中，我們假設就醫的患者是無差別的，滿意度也是無差別的。

為了便于重新統計數據，把病種分為四類即：、、、分別代表白內障（單眼），白內障（雙眼），其他眼科疾病和外傷疾病。

根據原始數據可算出從8月9日到9月11日之間4種疾病從周一到周日各自的平均治療時間，利用Excel把數據進行分類，統計出每天4種疾病分別的治療時間，再進行加權平均，求出每天的平均治療時間（如下表）。

表一：平均治療時間表（單位：天）

入院時間

病種

周六

周日

周一

周二

周三

周四

周五

4.73.3754775.5

6.561210.59.597.5

11.2510.612.510.710.310.211.3

6.28.57.56.35.5107

將算出的平均治療時間從小到大進行排列，因為通常情況下住院治療時間越短，患者的滿意度便會越高。這樣就可以減少患者的無價值住院，直接降低其醫療費用。

假設代表滿意的程度：

假設滿意度：

根據以上統計表列出滿意度函數：，（為平均住院人數）；如下表:

表二：滿意度表（單位：）

入院時間

病種

周六

周日

周一

周二

周三

周四

周五

200%200%200%200%200%200%200%

是外傷急癥患者，所以此類患者有可能性被優先考慮入院。再根據原始數據，同樣利用Excel統計出4種病每天分別的治療人數，再進行加權平均（如：下圖）。

表三：周一至周日每天平均入院人數表（單位：人數）

入院時間

病種

周六

周日

周一

周二

周三

周四

周五

3311322

4222322

43

21233

2

131221

利用滿意度函數，（為平均住院人數），代入數據即可得出：

假設類病人最后到達；

其中分別代表周六、周日、周一、周二、周三、周四、周五的滿意度函數。

為了進行優化設計，我們來做定性的分析。

假設每天平均出院人數為10人，以8月9日（周六）為例，根據表三的平均入院人數是13人，由于10人<13人,根據FCFS的模型不能滿足實際需求，需要根據滿意度原則重新建立入院的數學模型。

前提條件：外傷患者可以優先入院；

規則：

1.優先原則：在外傷患者優先入院的前提下，滿意度越高的其他患者越優先被安排入院；

2.提前原則：在有空余床位的情況下，把后一天未被分配床位的患者優先考慮；

3.延后原則：在沒有空余床位的情況下，根據滿意度原則，滿意度越高的患者越被優先考慮入院。

改進后的模型：（以周六、周日、周一為例）

按照先后順序，用入院人數滿意度并代入數值得：

由此得出：

即按照改進后模型算出的滿意度遠遠高于改進前的滿意度。

此模型說明：根據患者的滿意程度，醫院重新安排患者的入院順序，以達到患者和醫院的雙贏，使其利益最大化。以8月9日為例，有兩個急癥患者最優先安排入住，其次安排4名白內障（雙眼）患者入院、3名白內障（單眼）患者入院、1名其他患者（青光眼或視網膜疾病）入院，余下3名患者等待第二天優先分配入院。

通過對模型的分析，我們制訂了可以在周六、周日做手術的條件下，每天的患者入院安排參考指南。“○”表示可以安排入院的患者，“×”表示不考慮安排入院的患者（如下表）。

周一周二周三周四周五周六周日

○○××○○×

×××××○○

○○○○○○○

有可能性被隨時優先考慮入院

因為外傷疾病患者有的可能性被隨時優先考慮入院，因此當在一天中出現有兩類患者可以被考慮安排入院時，需要考慮滿意度，滿意度越高的越被優先安排入院。

關于問題四中提及到的“若該住院部周六、周日不安排手術”的問題，我們認為醫院的手術時間安排應該作出相應的調整。由臨近原則，將周一、周三的白內障手術改為周二、周四做，以此來緩解周一周三的手術壓力。

如下表所示，為周六周日不做手術時平均治療時間表（單位：天）及周一至周日每天平均入院人數表（單位：人數）

問題四的解決與問題二所使用的規則相同，只不過所使用的表格如下所示與之前的有所不同。

入院時間

病種

周日

周一

周二

周三

周四

周五

周六

4.73.37548.295.5

6.561210.510.510.57.5

11.2510.612.510.711.311.211.3

6.28.57.56.37.3117

入院時間

病種

周日

周一

周二

周三

周四

周五

周六

2131564

2243331

21

41222

1

321231

模型三：病床比例分配模型

根據原始數據，這家醫院以前的排隊情況可如下描述[12]：

整體到達率：

整體服務率：

==1.041

若>1，即單位時間內到達的患者數超過離去的患者數，因此隊伍會越來越長。

根據原始數據算出：

為白內障單眼患者入院人數占入院總人數的比例

為白內障雙眼患者入院人數占入院總人數的比例

為其他（青光眼，視網膜疾?。┗颊呷朐喝藬嫡既朐嚎側藬档谋壤?/p>

為外傷患者入院人數占入院人總數的比例

按比例分配床位數[10]

為白內障單眼患者分配的床位數

為白內障雙眼患者分配的床位數

為其他患者（青光眼，視網膜疾?。┓峙涞拇参粩?/p>

為外傷患者分配的床位數

把病人分類安排病床數仍然符合模型，利用模型算出四種患者服務強度

假設：

到達率：

服務率：

如果按比例分配床位數，出單眼白內障患者有排隊現象以外（），雙眼白內障患者，其他眼病患者，外傷患者，都沒有排隊顯現了（）。這種按比例分配床的方法，提高了服務效率，縮短了逗留時間[1]。

參考文獻

[1]傅維潼，《物流數學》，高等教育出版社，2006年版；

[2]姜啟源謝金星葉俊，《數學模型》（第三版），高等教育出版社，2008年版；

[3]葛哲學，《精通MATLAB》，電子工業出版社，2008年版；

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醫學數學模型探討，Vol.21，No.1，2008年；

[6]周義倉赫孝良，《數學建模實驗》，西安交通大學出版社，1999年版；

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[8]周惠芬，潘景業，《實施預住院制度，降低平均住院日》，醫療管理R197.3；

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[11]59.77.1.114:85/廈門大學數學建模精品課程；

[12]/p-249477.html,醫院排隊論模型;

[13]/p-15525234.html,第六章排隊論及排隊系統優化；

[14]/ht/news_more.asp?lm2=71,中華數學建模網基地。