證券市場混沌研究論文

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內容摘要：有效市場假說(EMH)認為，證券市場中股票價格能及時、準確和充分地反映所有相關信息。但是，EMH的隱含分析范式是線性的，即假定投資者以線性方式對信息做出反應。因此，這一理論體系一直受到各方面的挑戰。本文應用混沌經濟學原理對資本市場進行實證研究,以克服EMH和資本市場理論的局限性。

關鍵詞：有效市場假說赫斯特指數分形維

近年來，國內許多學者對現有的資本市場理論在我國的有效性和適用性進行了實證研究，特別是對證券市場的有效性進行了大量研究，主要集中在有效市場假說（EMH）及CAPM在我國股市應用的可能性，并對CAPM、APT等線性模型在上海或深圳市場的有效性進行計量檢驗。但由于在樣本選取、基本假設和方法上的差異，往往得出相互矛盾的結果，難以形成對我國股票市場有效性程度的共識。與此同時，應用非線性動力學研究我國資本市場正在起步，出現了一些理論和方法評價方面的文章，但資本市場的非線性動力學研究仍處于探索階段，深入系統的實證研究較零散而不系統。有鑒于此，本文運用分形與混沌方法探討了我國上海和深圳股票市場的Hurst指數以及分形維，并對其進行比較，得出了我國證券市場符合分形市場假說，具有混沌與分形的特征，以期向投資者和管理部門提供建議。

本文采用的研究方法

Mandelbrot在1972年首次將R/S分析應用于美國證券市場，分析股票收益的變化(Peter，1994)，對于一個時間序列Xt，把它分為A個長度為N的等長子區間，對于每一個子區間，令：

其中，Xt，a為第a個期間的累積離差，xu為第u時刻的觀測值，Ma為a期間xu的平均值。對每一個子區間，可得到N個累積離差，這N個極差中最大和最小值之間的差就是極差R：

為比較不同類型的時間序列，Hurst用原來的觀測值的標準差S去除極差R，這個“重標極差”應該隨時間增加，Hurst建立了以下關系：

其中，R/S表示重標極差，N為區間長度，a為某一常數，H為Hurst指數，且0≤H≤1。

對每個子區間計算出R/S，可得A個R/S，求出這A個R/S的平均值，可得出用N來等分時間序列下的R/S值，用不同常數N來等分，就可得到不同的R/S，據R/S隨著N的變化關系，可研究時間序列在不同時段的統計特性。

Hurst指數可衡量一個時間序列的統計相關性。當H=0.5時，時間序列就是標準的隨機游走，不同時間的值是不相關的，收益率呈正態分布，即在EMH下出現的狀態。當H=0.5時，時間序列就是標準的隨機游走，不同時間的值是不相關的，收益率呈正態分布，即在EMH下出現的狀態。當0.5

反之，當H<0.5時，存在逆狀態持續性，時間序列是反持久性的，若序列在前一個期間向上(下)走，則它在下一個期間就越有可能向下(上)走，這種反持久性行為的強度隨著H接近于0逐步加強(史永東，2000)。當H≠0.5時，收益率不再呈正態分布，時間序列各個觀測值之間不是互相獨立的，后面的觀測值都帶著之前的觀測值“記憶”，這種“記憶”是長期的。隨時間延長，前面觀測值對后面觀測值影響越來越少。故在此情況下，時間序列是一長串聯系的事件疊加起來的結果。時間序列上的一個觀測值對后面觀測值的影響度可以用關聯尺度來度量，即：

其中，C(t)為關聯尺度函數，表示現在對未來的影響。對(3)式兩邊取對數，得：

因此，找出R/S對于N的log/log曲線的斜率，就可以得出H的估計值。

總之，判斷一個系統是否存在混沌現象，即是否有奇異吸引子，最常見的方法有兩種：其一，系統對初始條件的依賴性是否敏感，這主要通過計算李雅普諾夫指數來衡量；其二，系統相空間中的吸引子是否具有自相似結構的分數維幾何體。本文采用第二種方法來判斷系統是否具備混沌和分形特征，公式如下：

其中，H為赫斯特指數；α是時間序列的概率空間的分形維數，α是概率空間的分形維，α度量的是概率密度函數尾部的肥胖性。

我國證券市場的混沌與分形分析

本文選擇的樣本區間從1992年5月22日到2004年12月30日上證綜合指數和深圳成分指數周收盤價，以及這一時期的月收盤價，分別求得滬市與深市的周收盤、月收盤指數收益率。

采用R/S分析法分別計算滬深兩市的赫斯特指數，在估計和回歸過程中，使用股指的對數收益率，令：

其中，pt為股票t時的價格，St為股票t時的對數收益率。之所以采用對數收益率是因為對于R/S分析而言，對數收益率比百分比收益率更為適用，因為R/S分析中的極差是對于平均值的累積離差，對數收益率加起來等于累積收益率，而百分比收益率則不具備這種性質。為了去掉St序列的線性相關性，對St進行AR(1)回歸得殘差序列為：

其中：a和b為AR(1)的系數，xt為殘差。因為線性依賴性會偏離赫斯特指數H或容易導致第一類錯誤的發生。通過取AR(1)的殘差，可以消除或降低線性依賴性程度，同時也可以消除通貨膨脹性的增長。經變化得到一個xt序列，于是問題轉化為對序列進行R/S分析。本文對我們對上海股市進行回歸分析，得到結果如表1所示。

對于上海市場，本文對R/S在整個值域上作線性回歸的log/log圖，如圖1所示。

從回歸結果可知，H=0.601，較高的R2(0.974)，較高的F值（706.808），較低的標準差（0.05）表明回歸的擬和程度相當好。根據公式（4）計算相關性C(t)=15.03%，相關性和H的高值顯示出上海股票市場具有分形結構和較強的持久性，它不是隨機游走過程，而是一個有偏的隨機游走過程。

同理對深圳股市進行回歸分析，從結果可以看出，H=0.625，R2(0.995)，和F值（3443.738）都較高，標準差（0.025）較低，表明回歸的擬和程度相當好，相關性（C(t)=18.92%）和H的高值顯示出深圳股票市場同樣具有分形結構和較強的持久性，不是隨機游走過程。

由于滬深兩市的赫斯特指數的估計值分別為0.601和0.625，均大于0.5，意味著滬深兩證券市場都具有長期記憶性，是一種持久性的時間序列，變量之間不是相互獨立的，而是正相關的，具有趨勢增強的特性。同時，深圳成指的赫斯特指數數值要略大于上證指數的赫斯特指數數值，這可能與所考察兩種指數的構成方式不同有很大關系。

本文對R/S在整個值域上作線性回歸，得到滬市的赫斯特指數之后，由α=1/H可以求出上海股票市場的概論空間的分形維為1.6639，同理可以求出深市的赫斯特指數為0.625，深圳股票市場的概論空間的分形維為1.6。

本文結論與建議

根據本文的分析，筆者首先得出我國證券市場股票收益率分布并不是正態的，而是典型的分形分布。其次，計算了滬深兩市的赫斯特指數，分別為0.601和0.625，可以看出在同一時期，上海和深圳的赫斯特指數近似相等，這表明，兩個交易所均處于同一個大環境下，變化的趨勢基本相同。同時，深圳成指的赫斯特指數的數值要略大于上證指數的赫斯特指數數值，這可能與所考察兩種指數的構成方式不同有關系。

Hurst指數大于0.5表明，我國證券市場是有分形概率分布的持久性時間序列，它們遵循有偏的隨機游走，變量之間不是相互獨立，而是正相關的。如同赫斯特描述的那樣，市場表現出趨勢增強行為，而不是均值回復行為。

筆者認為，我國股市符合分形市場假說具有其現實的合理性，特別是我國股市的投資者結構具有以散戶為主的典型特征。首先，資本市場上的信息是不對稱的，投資者在同一時間獲得信息的質與量不同。一般來說，散戶投資者在獲取信息方面處于劣勢，是一種典型的“無信息投資者”。其次，投資者并非是完全理性的，投資者的投資行為因投資者的知識、能力與經驗的差異，對同一信息集的處理方式和反應也是不同的，決策有差異。在一個以散戶投資者為主的市場中，這種差異更加明顯。最后，散戶投資者典型的投資行為特征是“跟風”，這種跟風投資行為將使市場持續增強的特征更加明顯。

股票市場是一個開放的復雜巨型系統，受到多種人為及非人為因素的影響，信息與投資者之間、信息與信息之間存在著大量的非線性相互作用；信息不象EMH所說那樣立即被反映到價格中，而是在收益率中體現為一個偏倚。股票市場具有循環的趨勢。它是一個非線性動力學系統，混沌理論為理解股票市場的動態變化和其中各種要素之間復雜的相互關系提供了新的方法論指導，使投資者能從更多的角度觀察和思考問題。

為了維護證券市場的健康發展，政府應著力改善市場的內部結構，通過調節外部因素，使市場盡快擺脫混沌，減少振動。